初中数学浙教版七年级下册3.4 乘法公式优秀课件ppt

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1．理解并掌握完全平方公式的推导过程，并学会用几何图形表示完全平方公式的形式；2．掌握完全平方公式的计算，并熟练其应用；
(a+b)(a−b)=
1.（a – b ) ( a + b) = a2 - b2
2.（b + a )( -b + a ) = a2 - b2
两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差.
一块边长为a米的正方形稻田，因需要将其边长增加 b 米.形成四块稻田，以种植不同的新品种(如图). 用不同的代数式表示稻田的总面积, 并进行比较.
面积公式求：总面积=（a+b)(a+b)
组合图形求：总面积=a2+ab+ab+b2
（a+b)2=a2+2ab+b2
知识点一 完全平方公式的概念
问题1 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
（1） （p+1)2=(p+1)(p+1)= .
（2） （m+2)2=(m+2)(m+2)= .
（3） （p-1)2=(p-1)(p-1)= .
（4） （m-2)2=(m-2)(m-2)= .
问题2 根据你发现的规律，你能写出下列式子的答案吗？
（a+b)2= .
（a-b)2= .
也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式.
简记为：“首平方，尾平方，积的2倍放中间”
问题3 你能根据图1和图2中的面积说明完全平方公式吗?
a2−2ab+b2 .
想一想：下面各式的计算是否正确？如果不正确,应当怎样改正？
(1)(x+y)2=x2 +y2
(2)(x -y)2 =x2 -y2
(3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2
(4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2
(x +y)2 =x2+2xy +y2
(x -y)2 =x2 -2xy +y2
(-x +y)2 =x2 -2xy +y2
(2x +y)2 =4x2+4xy +y2
【例1】-(x-y)2= (　　)A．x2+2xy+y2 B．-x2+2xy-y2 C．x2-2xy+y2 D．-x2-2xy-y2
【详解】解：原式=-(x2-2xy+y2)=-x2+2xy-y2，故选：B．
【例2】若(x-y)2=(x+y)2（　　），则括号内的整式是（　　）A．2xyB．-2xyC．4xyD．-4xy
【详解】解：(x-y)2 =x2+y2-2xy=x2+y2+2xy-4xy=(x+y)2-4xy，故选D．
1．若4x2+(k+1)x+25是一个完全平方式，则常数k的值为（    ）A．11B．21C．21或-19D．11或-19
【详解】解：4x2+(k+1)x+25是一个完全平方式∴k-1=±2×2×5解得：k=21或k=-19，故选：C．
2．计算：(3x-4y)2．
【详解】解：原式=9x2-24xy+16y2．
3．已知(x+y)2=7，(x-y)2=3．求：(1)x2+y2的值；(2)x4+y4的值．
【详解】（1）∵(x+y)2=7，(x-y)2=3，x2+2xy+y2=7，x2-2xy+y2=3，∴2(x2+y2)=(x+y)2+(x-y)2=10，4xy=(x+y)2-(x-y)2=4，∴x2+y2=5；xy=1（x4+y4=(x2+y2)2-2x2y2=25-2=23
知识点二 完全平方公式几何应用
【例3】用四个全等的长方形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积是144，小正方形的面积是4，若用a、b分别表示长方形的长和宽（a＞b），则下列等式不正确的是（    ）A．a+b=12B．a-b=2C．ab=35D．a2+b2=84
【详解】解：大正方形的边长为(a+b)，小正方形的边长为(a-b)，由题意知：(a+b)2=144，(a-b)2=4，∴a+b=12，a-b=2．可得：a=7，b=5．a+b=12，故A正确；a-b=2，故B正确；ab=35，故C正确；a2+b2=74，故D错误．故选：D．
1．如图1，是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，则每个小长方形的宽为______，然后用四个小长方形拼成如图2所示的正方形，则图中阴影正方形的面积为______．
【详解】解：由题意可知，每个小长方形的宽为a，长为b，则图中大正方形的边长为a+b，图中4个长方形的面积为4ab，图中阴影正方形的边长为b-a，所以图中阴影正方形的面积为(b-a)(b-a)=(b-a)2或(a+b)(a+b)-4ab=(a+b)2-4ab．故答案为：a，(b-a)2或(a+b)2-4ab．
1．若代数式x2-6x+b可化为(x-a)2-1，则b-a的值是（　　）A．5B．-5C．11D．-11
【详解】解：∵x2-6x+b=x2-6x+9-9+b=(x-3)2+b-9=(x-a)2-1，∴a=3，b-9=-1，即a=3，b=8，故b-a=5．故选：A．
2．若x2+(m-3)x+49是一个完全平方式，则m的值为（　　）A．17B．-11C．17或-11D．10
【详解】解：x2+(m-3)x+49是完全平方式，m-3=±14，解得：m=17或m=-11，故选：C．
3．如图，有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形A和正方形B并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为6，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，（图2，图3中正方形A、B纸片均无重叠部分）则图3阴影部分面积为（　　）A．14B．12C．24D．22
【详解】解：设正方形纸片A和B的边长分别为：a，b，由图1可知，阴影部分面积a2-b2=2，图2可知，阴影部分面积(a+b)2-a2-b2=6，所以ab=3，由图3可知，阴影部分面积(2a+b)2-3a2-2b2=a2-b2+4ab=2+12=14．故选：A．
4．如图，四个等腰直角三角形拼成一个正方形，则阴影部分的面积为______．
5．若(2023-x)(x-2021)=-2022，则(2023-x)2+(x-2021)2的值为_______．
【详解】解：∵(2023-x)(x-2021)=-2022，∴(2023-x)2+(x-2021)2=[(2023-x)+(x-2021)]2-2(2023-x)(x-2021)=4-2(2023-x)(x-2021)=4-2×（-2022）=4048故答案为：4048．
6．先化简，再求值：[(x+y)2-y(y+4x)-8xy]÷2x，其中x=2，y=-1．
7．如图，在大长方形ABCD中放入10个相同的小长方形（图中空白部分）．若大长方形的周长是104，图中阴影部分的面积是327．设小长方形的长为x，宽为y．(1)求一个小长方形的周长；(2)求图中空白部分面积与阴影部分面积的比值．
【详解】（1）解：根据题意得：AB=x+3y，AD=3x+y∵大长方形的周长是104，∴2(AB+AD)=104，即AB+AD=52，∴(x+3y)+(3x+y)=4x+4y=52，∴x+y=13，∴一个小长方形的周长为26；
（2）解：∵阴影部分的面积是327，且空白部分的面积等于大长方形的面积减去阴影部分的面积，∴(x+3y)(3x+y)-10xy=327，∴x2+y2=109，∵x+y=13，∴(x+y)2=x2+2xy+y2=169，∴2xy=60，即xy=30，∴空白部分的面积=3=×10=300，∴图中空白部分面积与阴影部分面积的比值=300:327=100:109．
(a±b)2= a2 ±2ab+b2
1.项数、符号、字母及其指数
2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号变形成符合公式的要求才行
3.弄清完全平方公式和平方差公式不同（从公式结构特点及结果两方面）
a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; 4ab=(a+b)2-(a-b)2.