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2024年陕西省西安市碑林区铁一中学中考数学三模试卷（含解析）
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这是一份2024年陕西省西安市碑林区铁一中学中考数学三模试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.−13的倒数为( )
A. 13B. 3C. −3D. −1
2.如图放置的几何体中，其主视图为长方形的是( )
A. B. C. D.
3.如图，AB//CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，∠1=70°，则∠3的度数为( )
A. 70°
B. 80°
C. 40°
D. 30°
4.下列计算正确的是( )
A. −4a2⋅2a3=−8a6B. 3a2−4a2=a2
C. (a−3)2=a2−9D. (2a3)2÷(2a)2=a4
5.在平面直角坐标系中，若将一次函数y=2x+b向左平移3个单位长度后，恰好经过点(−1,−2)，则b的值为( )
A. 2B. 3C. −4D. −6
6.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D在小正方形的顶点处，AC与BD相交于点O，则AO的长等于( )
A. 293
B. 263
C. 292
D. 262
7.如图，AB是⊙O的直径，点C、D、E在⊙O上，AE=DE，若∠BDE=110°，则∠ABD的度数为( )
A. 20°
B. 30°
C. 40°
D. 50°
8.已知抛物线y=x2−2mx−4(m>0)的顶点M关于坐标原点O的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M的坐标为( )
A. (1,−5)B. (3,−13)C. (2,−8)D. (4,−20)
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.在实数53、−5、 18、0、π中，无理数有______个.
10.分解因式：a3−4a2+4a=______．
11.如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置.要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是______．
12.如图，已知正方形ABCD的面积为4，它的两个顶点B，D是反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象上两点.若点D的坐标是(b,a)，则a−b的值为______．
13.如图，AB=10，C是线段AB上一点，△ADC和△BCE是位于直线AB同侧的两个等边三角形，连接DE，若F为DE的中点，则AF+BF的最小值为______．
三、解答题：本题共13小题，共104分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题8分)
计算：|1− 3|− 2× 6−(12)−2．
15.(本小题8分)
解不等式：1+2x3>x−1．
16.(本小题8分)
解方程：x−2x+3x+2=1．
17.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=30°，请用尺规作图法在边CB上求作一点D，使得AD将△ABC分为两个等腰三角形.(保留作图痕迹，不写作法)
18.(本小题8分)
如图，点E，F在BC上，BE=CF，AF与DE交于点O，且OE=OF，∠A=∠D.求证：△ABF≌△DCE．
19.(本小题8分)
我国古代名著《增删算法统宗》中有一题：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹.每人六竿多十四，每人八竿恰齐足.其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴的玩耍，不知有多少人和竹竿.每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完.”请用列方程的方法求出这个问题中的牧童人数．
20.(本小题8分)
长安(今西安)在李白的一生中有着重要的地位，诗仙寓居终南，寻访骊山，在此期间，留下了不少壮丽诗篇，如《望终南山寄紫阁隐者》《侍从游宿温泉宫作》《阳春哥》《杜陵绝句》等.小红一家准备劳动节期间亲临诗仙笔下的长安盛景，到终南山世界地质公园(记为A)、华清宫景区(记为B)、汉长安城未央宫遗址(记为C)、杜陵遗址公园(记为D)游玩．
(1)若劳动节当天小红一家从A，B，C，D四处景点随机任选一处去游玩，则选中B的概率为______；
(2)若劳动节当天小红一家从A，B，C，D四处景区随机选择两处去游玩，请用列表或画树状图的方法，求同时选中A和D的概率．
21.(本小题8分)
“风电”是未来全球最重要的清洁能源之一，在我们的身边也经常能见到“风电”的身影.某数学兴趣小组测量一架风力发电机塔杆高度的活动报告如下：
请利用表中提供的信息，求风力发电机的塔杆高度PD．
(参考数据：sin18°≈0.309，cs18°≈0.951，tan18°≈0.325)
22.(本小题8分)
如图，深50cm的圆柱形容器，底部放入一个长方体的铁块，现在以一定的速度向容器内注水，3分钟后水面上升的速度是之前速度的14.如图为容器顶部离水面的距离y(cm)随时间t(分钟)的变化图象．
(1)3分钟后水面上升的速度为______；
(2)求直线BC的解析式；
(3)求该容器注满水所用的时间．
23.(本小题8分)
近年来，诈骗分子较为猖狂，诈骗手段不断更新，为有效提高学生防诈反诈能力，学校开展了“防诈反诈”讲座，讲座后进行了“防诈反诈”知识竞赛，并随机抽取m名学生的竞赛成绩进行了整理：将成绩划分为A(90≤x≤100)，B(80≤x<90)，C(70≤x<80)，D(60≤x<70)四个等级，并绘制出不完整的统计图．
其中B等级的成绩数据(单位：分)：80，86，80，82，84，86，86，89，81，85．
根据以上信息，回答下列问题．
(1)抽取的总人数m= ______，并补全条形统计图；
(2)在所抽取的m名学生的竞赛成绩中，中位数是______分，B等级的众数是______分；
(3)若该中学共有2000名学生，且全部参加这次竞赛，请估计学生的竞赛成绩不低于80分的总人数．
24.(本小题8分)
如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D是⊙O外一点，∠BCD=∠BAC，连接OD交BC于点E．
(1)求证：CD是⊙O的切线．
(2)若CE=OA，BC=4，AB=5，求OE的长度．
25.(本小题8分)
已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)与x轴交于点A(−2 3,0)、点B两点，与y轴交于点C(0,2)，对称轴为x=−56 3．
(1)求抛物线的表达式；
(2)M是抛物线上的点且在第二象限，过M作MN⊥AC于N，求AN+ 3MN的最大值．
26.(本小题8分)
(1)如图1，已知线段AB=5，平面内有一动点C，且CA=2，则BC的最小值为______．
(2)如图2，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为BC的中点，点E为△ABC内一动点，DE=2，连接CE，过点E作EF⊥CE，且EF=CE，连接AF，求AF的长．
(3)某工厂计划加工如图3所示的△ABC零件，要求BC=6分米，∠A=30°，在AB上有一点P,BP=13AC，连接CP，请你帮工人师傅计算CP是否存在最小值，若存在，请求出CP的最小值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵(−13)×(−3)=1，
∴−13的倒数为−3．
故选C．
直接根据倒数的定义即可得出结论．
本题考查的是倒数的定义，熟知乘积是1的两数互为倒数是解答此题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、主视图为三角形，故本选项不符合题意；
B、主视图为三角形，故本选项不符合题意；
C、主视图为长方形，故本选项符合题意；
D、主视图为圆，故本选项不符合题意．
故选：C．
找到从正面看所得到的图形，作出判断即可．
本题考查了简单几何体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3.【答案】C
【解析】解：∵EG平分∠BEF，
∴∠BEF=2∠1=140°，
∵AB//CD，
∴∠3=180°−∠BEF=40°，
故选：C．
先利用角平分线的定义可得∠BEF=140°，然后利用平行线的性质进行计算，即可解答．
本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、−4a2⋅2a3=−8a5，故A不符合题意；
B、3a2−4a2=−a2，故B不符合题意；
C、(a−3)2=a2−6a+9，故C不符合题意；
D、(2a3)2÷(2a)2=4a6÷4a2=a4，故D符合题意；
故选：D．
根据完全平方公式，合并同类项，单项式乘单项式的法则，单项式除以单项式的法则进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：由题知，
将点(−1,−2)向右平移3个单位长度所得点的坐标为(2,−2)，
则此点在函数y=2x+b的图象上，
所以2×2+b=−2，
解得b=−6．
故选：D．
将点(−1,−2)向右平移3个单位，将所得的点的坐标代入函数解析式即可．
本题考查一次函数图象与几何变化，通过平移求出函数y=2x+b上点的坐标是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：连接AB，CD，如图，
由网格图可知：AG=2，BG=1，DH=4，CH=2，
∴AGGB=CHDH=2，AG= AG2+BG2= 5，CD= DH2+CH2= 20=2 5，
∵∠AGB=∠CHD=90°，
∴△AGB∽△CHD，
∴∠BAG=∠DCH．
∵AE//CF，
∴∠GAC=∠HCA，
∴∠BAO=∠DCO．
∵∠AOB=∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∴AOOC=ABCD=12，
∴AO=12OC，
∴AO=13AC．
∵AC= 22+52= 29，
∴AO= 293．
故选：A．
利用勾股定理，相似三角形的判定定理解答即可．
本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，本题是网格题目，利用网格线的特征，熟练应用平行线的性质和勾股定理是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：连接AD，BE，
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠BDE=110°，
∴∠ADE=110°−90°=20°，
∵AE=DE，
∴AE =DE，
∴∠ABE=∠DBE=∠ADE=20°，
∴∠ABD=20°+20°=40°．
故选：C．
由圆周角定理得到∠ADB=90°，求出∠ADE=110°−90°=20°，由圆心角、弧、弦的关系得到AE =DE，由圆周角定理推出∠ABE=∠DBE=∠ADE=20°，即可求出∠ABD=20°+20°=40°．
本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，关键是由圆周角定理得到∠ABE=∠DBE=∠ADE．
8.【答案】C
【解析】解：y=x2−2mx−4=x2−2mx+m2−m2−4=(x−m)2−m2−4．
∴点M(m,−m2−4)．
∴点M′(−m,m2+4)．
∴m2+2m2−4=m2+4．
解得m=±2．
∵m>0，
∴m=2．
∴M(2,−8)．
故选：C．
先利用配方法求得点M的坐标，然后利用关于原点对称点的特点得到点M′的坐标，然后将点M′的坐标代入抛物线的解析式求解即可．
本题主要考查的是二次函数的性质、关于原点对称的点的坐标特点，求得点M′的坐标是解题的关键．
9.【答案】2
【解析】解：无理数有 18，π，共2个．
故答案为：2．
无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
本题考查主要无理数，熟练掌握相关定义是解题的关键．
10.【答案】a(a−2)2
【解析】解：a3−4a2+4a，
=a(a2−4a+4)，
=a(a−2)2．
故答案为：a(a−2)2．
观察原式a3−4a2+4a，找到公因式a，提出公因式后发现a2−4a+4是完全平方公式，利用完全平方公式继续分解可得．
本题考查了对一个多项式因式分解的能力．一般地，因式分解有两种方法，提公因式法，公式法，能提公因式先提公因式，然后再考虑公式法(完全平方公式).要求灵活运用各种方法进行因式分解．
11.【答案】10
【解析】解：∵多边形是正五边形，
∴正五边形的每一个内角为：15×180°×(5−2)=108°，
∴∠O=180°−(180°−108°)×2=36°，
∴正五边形的个数是360°÷36°=10．
故答案为：10．
先求出多边形的每一个内角为108°，可得到∠O=36°，即可求解．
本题主要考查正多边形与圆，多边形内角和问题，熟练掌握相关知识点是解题关键．
12.【答案】2
【解析】解：如图，延长CD、BA交y轴于点E、F，延长DA、CB交x轴于点M、N，
由几何意义得，S矩形DEOM=S矩形BFON，
∴S矩形ADEF=S矩形ABNM，
∵AB=AD，
∴AF=AM，
∵点D的坐标是(b,a)，
∴OM=b=AF=AM，DM=a=BF，
∴DA=BA=a−b，
∵正方形ABCD的面积为4，
∴(a−b)2=4，
∴a−b=2．
故答案为：2．
由几何意义得S矩形DEOM=S矩形BFON，进而得S矩形ADEF=S矩形ABNM，证明出AF=AM，再由正方形ABCD的面积为4，求出a−b即可．
本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，反比例函数性质的应用，几何意义的应用是解题关键．
13.【答案】5 7
【解析】解：延长AD，BE交于M，过F作直线l//AB，如图：
∵△ACD和△BCE是等边三角形，
∴∠DCA=∠MBA=60°，∠ECB=∠MAB=60°，
∴DC//BM，CE//AM，
∴四边形DCEM是平行四边形，
∵F为DE中点，
∴F为MC中点，
∵C在线段AB上运动，
∴F在直线l上运动，
由AB=10知等边三角形ABM的高为5 3，
∴M到直线l的距离，F到直线AB的距离都为52 3，
作A关于直线l的对称点A′，连接A′B，当F运动到A′B与直线l的交点，即A′，F，B共线时，AF+BF=A′F+BF最小，
此时PA+PB最小值A′B= AA′2+AB2= (5 3)2+102=5 7，
故答案为：5 7．
延长AD，BE交于M，过F作直线l//AB，推出F是到AB的距离等于52 3的直线l上的动点，再利用将军饮马模型构造图形，利用勾股定理即可求出AF+BF的最小值．
本题考查轴对称−最短路线问题，涉及等边三角形的性质及应用，平行四边形的判定和性质，求出F的运动路线是直线l是解题的关键．
14.【答案】解：|1− 3|− 2× 6−(12)−2
= 3−1−2 3−4
=−5− 3．
【解析】根据绝对值的定义，负整数指数幂的性质以及二次根式混合运算的法则计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，负整数指数幂，熟练掌握二次根式的混合运算的法则是解题的关键．
15.【答案】解：1+2x3>x−1，
1+2x>3x−3，
2x−3x>−3−1，
−x>−4，
x<4．
【解析】去分母，移项，合并同类项，系数化成1即可．
本题考查了解一元一次不等式，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键．
16.【答案】解：原方程两边都乘x(x+2)，去分母得(x−2)(x+2)+3x=x(x+2)，
去括号得：x2−4+3x=x2+2x，
移项，合并同类项得：x=4，
检验：当x=4时，x(x+2)≠0，
故原方程的解为x=4．
【解析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
17.【答案】解：如下图：点D即为所求．
【解析】作线段AB的垂直平分线与BC的交点即为所求．
本题考查了复杂作图，掌握垂直平分线的性质及等腰三角形的判断是解题的关键．
18.【答案】证明：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，
即BF=CE，
∵OE=OF，
∴∠AFB=∠DEC，
在△ABF和△DCE中，
∠A=∠D∠AFB=∠DECBF=CE，
∴△ABF≌△DCE(AAS)．
【解析】利用等式的性质可以证得BF=CE，由等腰三角形的性质得到∠AFB=∠DEC，根据AAS即可证得三角形全等．
本题考查了全等三角形的判定以及等腰三角形的性质，根据BE=CF得到BF=CE是证明三角形全等的关键．
19.【答案】解：设这个问题中的牧童人数为x，
根据题意得：6x+14=8x，
解得：x=7．
答：这个问题中的牧童人数为7．
【解析】设这个问题中的牧童人数为x，根据“每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”，结合竹竿的数量不变，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
20.【答案】14
【解析】解：(1)选中B的概率为14，
故答案为：14；
(2)画树状图分析如下：
由图可知，两人选择的方案共有16种等可能的结果，其中同时选中A和D的有2种结果，
所以同时选中A和D的概率为216=18．
(1)直接根据概率公式求解即可；
(2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与同时选中A和D的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】解：把PD向两方延长，交BE于点G，交AC的延长线于点F，
由题意得：BG=AF，AB=FG=53米，DG⊥BE，PF⊥AF，
设BG=AF=x米，
在Rt△DCF中，∠DCF=30°，CD=18米，
∴DF=12CD=9(米)，
在Rt△AFP中，∠PAF=45°，
∴PF=AF⋅tan45°=x(米)，
在Rt△BPG中，∠GBP=18°，
∴GP=BG⋅tan18°≈0.325x(米)，
∵GP+PF=GF，
∴0.325x+x=53，
解得：x=40，
∴PF=40米，
∴PD=PF−DF=40−9=31(米)，
∴该通信塔的塔杆PD的高度为31米．
【解析】把PD向两方延长，交BE于点G，交AC的延长线于点F，根据题意可得：BG=AF，AB=FG=53米，DG⊥BE，PF⊥AF，设BG=AF=x米，然后在Rt△DCF中，利用含30度角的直角三角形的性质求出DF的长，再分别在Rt△AFP和Rt△BPG中，利用锐角三角函数的定义求出PF和PG的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22.【答案】53
【解析】解：(1)(30−20)÷(9−3)
=10÷6
=53(cm/min)，
故答案为：53．
(2)设直线BC的解析式为y=kx+b，
将B(3,30)、C(9,20)代入y=kx+b，
30=3k+b 20=9k+b ，
解得：k=−53b=35，
则直线BC的解析式为y=−53x+35．
(3)当y=0时，即0=−53x+35，
解得：x=21
答：该容器注满水所用的时间21分钟．
(1)由图象可知从3分钟到9分钟这段时间注入水10cm，根据速度=注水量÷时间可得；
(2)利用待定系数法即可求得；
(3)当y=0时，即0=−53x+35，求出x的值即可得知．
本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质．
23.【答案】50 84.5 86
【解析】解：(1)由图得：B等级有10人，占20%，
∴m=10÷20%=50，
等级C的人数：50−20−10−5=15(人)，
补全条形统计图如图：
故答案为：50；
(2)把数据按从小到大排列后，80，80，81，82，84，85，86，86，86，89．
中间两个数是84、85，
∴中位数是=84.5(分)；
B等级的众数是86分，
故答案为：84.5，86；
(3)2000×20+1050=1200(人)，
答：估计学生的测试成绩不低于80分的有1200人．
(1)由图得B等级有10人，占20%，可求抽取的总人数m，从而可求出C等级的人数，即可补全条形统计图；
(2)根据众数、中位数的定义解答即可；
(3)用总人数乘A、B等级所占的百分比之和即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
24.【答案】(1)证明：连接OC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∵∠BCD=∠BAC，
∴∠OCB+∠DCB=90°，
∴OC⊥CD，
∵OC为⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
(2)解：过点O作OH⊥BC于点H．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵BC=4，AB=5，
∴AC= AB2−BC2= 52−42=3，
∵OH⊥BC，OC=OB，
∴CH=BH=2，
∵OA=OB=12AB=52，
∴CE=OA=52，
∴OH=12AC=32，
∴EH=CE−CH=12，
∴OE= OH2+HE2= 102．
【解析】(1)连接OC，证明OC⊥CD即可；
(2)过点O作OH⊥BC于点H，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据勾股定理得到AC= AB2−BC2= 52−42=3，根据垂径定理得到CH=BH=2，求得OA=OB=12AB=52，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确地找出辅助线是解题的关键．
25.【答案】解：(1)根据题意得：
12a−2 3b+c=0c=2−b2a=−56 3，
解得a=−1b=−5 33c=2，
∴抛物线的表达式为y=−x2−5 33x+2；
(2)过M作MT⊥x轴于T，交AC于K，如图：
∵A(−2 3,0)、C(0,2)，
∴OA=2 3，OC=2，直线AC解析式为y= 33x+2，
∴tan∠OAC=OCOA=22 3= 33，
∴∠OAC=30°，
∵∠ATK=90°=∠MNK，∠AKT=∠MKN，
∴∠M=∠OAC=30°，
∴AK=2KT，KN=12MK，MN= 32MK，
设M(m,−m2−5 33m+2)，则K(m, 33m+2)，
∴KT= 33m+2，MK=−m2−5 33m+2−( 33m+2)=−m2−2 3m，
∴AK=2KT=2 33m+4，KN=12MK=−12m2− 3m，MN= 32MK=− 32m2−3m，
∴AN+ 3MN
=AK+KN+ 3MN
=2 33m+4−12m2− 3m−32m2−3 3m
=−2m2−10 33m+4
=−2(m+5 36)2+496，
∵−32<0，
∴当m=−5 36时，AN+ 3MN的最大值为496．
【解析】(1)用待定系数法可得抛物线的表达式为y=−x2−5 33x+2；
(2)过M作MT⊥x轴于T，交AC于K，由A(−2 3,0)、C(0,2)，可得∠M=∠OAC=30°，故AK=2KT，KN=12MK，MN= 32MK，设M(m,−m2−5 33m+2)，则K(m, 33m+2)，即得KT= 33m+2，MK=−m2−5 33m+2−( 33m+2)=−m2−2 3m，故AN+ 3MN=AK+KN+ 3MN=−2m2−10 33m+4=−2(m+5 36)2+496，根据二次函数性质可得答案．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，含30°的直角三角形三边关系，二次函数的最大值等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
26.【答案】3
【解析】解：(1)以A为圆心，AC为半径，交AB于C′，则AC=AC′=2，
当C与C′重合时，BC的值最小，BC最小=AB−AC′=3，
故答案为：3；
(2)连接AD，
∵∠BAC=90°，AB=AC，点D为BC的中点，
∴∠ADC=90°，∠DAC=∠ACD=45°，
在Rt△ACD中，cs∠ACD=CDAC= 22．
∵EF⊥CE，EF=CE．
∴∠ECF=45°，
在Rt△CFE中，cs∠ECF=CECF= 22，
∴CDAC=CECF= 22，
∵∠ACD=∠ECF=45°，
∴△DEC∽△AFC，
∴DEAF=CECF= 22，
∴AF=DE 22=2 2；
(3)存在，作△ABC的外接圆，圆心为E，连接AE，CE.BE，过B作BF⊥BC交PB的垂直平分线于D，交以D为圆心，BD为半径的圆于F，连接PD，PF，DC，
∵∠BAC=30°，
∴∠BEC=2∠BAC=60°．
∵CE=BE，
∴△BEC是等边三角形，．
∴CE=BC=6，
∵AC=AC，
∴∠AEC=2∠ABC．
∵BF⊥BC，
∴∠CBF=90°，
∴∠ABC+∠FBP=90°，
∵BF是⊙D的直径，
∴∠BPF=90°，
∴∠FBP+∠F=90，
∴∠ABC=∠F，
∵∠BDP=2∠F=2∠ABC，
∴∠AEC=∠BDP，
∵AE=CE，DP=BD，
∴∠ACE=∠CAE.∠DBP=∠DPB，
∴∠ACE=12(180°−∠AEC)=90°−12∠AEC，∠DBP=12(180°−∠BDP)=90°−12BDP，
∴∠ACE=∠DBP，
∴△ACE∽△PBD，
∴PDCE=BPAC，
∵BP=13AC，
∴PDCE=13，
∴PD=BD=13CE=2，
∴P在⊙D上运动，
当P在CD上时，CP最小，
在Rt△BCD中，CD= BC2+BD2=2 10，
∴CP的最小值为CD−PD=2 10−2．
(1)当C在线段AB上时，BC最短，从而可得答案；
(2)连接AD，由等腰直角三角形的性质和三角函数可得CDAC=CECF= 22，∠DCE=∠ACF，进而可证△DEC∽△AFC，再由相似的性质求解即可；
(3)作△ABC的外接圆，圆心为E，连接AE，CE，BE，过B作BF⊥BC交PB的垂直平分线于D，交以D为圆心，BD为半径的圆于F，连接PD，PF，DC，由圆周角定理，等边三角形的性质和判定，可证△ACE∽△PBD，进而可得BD=PD=13CE=2，则P在⊙D上运动，根据点圆最值求解即可；
本题考查了相似三角形的性质和判定，隐圆问题，解直角三角形，等边三角形的性质和判定，圆周角定理等，根据题意找到动点的轨迹是解题的关键；活动目的
测量风力发电机的塔杆高度
测量工具
无人机、皮尺等
测量示意图
说明：塔杆PD安装在斜坡CD上且垂直于地面，用皮尺测量出CD的长度，利用无人机分别在A点、B点(B点在A点的正上方)测量出塔杆顶端P的仰角和俯角
测量数据
斜坡CD的坡角
30°
CD的长度
18米
AB的长度
53米
点A处测量的仰角
45°
点B处测量的俯角
18°
1.−13的倒数为( )
A. 13B. 3C. −3D. −1
2.如图放置的几何体中，其主视图为长方形的是( )
A. B. C. D.
3.如图，AB//CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，∠1=70°，则∠3的度数为( )
A. 70°
B. 80°
C. 40°
D. 30°
4.下列计算正确的是( )
A. −4a2⋅2a3=−8a6B. 3a2−4a2=a2
C. (a−3)2=a2−9D. (2a3)2÷(2a)2=a4
5.在平面直角坐标系中，若将一次函数y=2x+b向左平移3个单位长度后，恰好经过点(−1,−2)，则b的值为( )
A. 2B. 3C. −4D. −6
6.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D在小正方形的顶点处，AC与BD相交于点O，则AO的长等于( )
A. 293
B. 263
C. 292
D. 262
7.如图，AB是⊙O的直径，点C、D、E在⊙O上，AE=DE，若∠BDE=110°，则∠ABD的度数为( )
A. 20°
B. 30°
C. 40°
D. 50°
8.已知抛物线y=x2−2mx−4(m>0)的顶点M关于坐标原点O的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M的坐标为( )
A. (1,−5)B. (3,−13)C. (2,−8)D. (4,−20)
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.在实数53、−5、 18、0、π中，无理数有______个.
10.分解因式：a3−4a2+4a=______．
11.如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置.要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是______．
12.如图，已知正方形ABCD的面积为4，它的两个顶点B，D是反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象上两点.若点D的坐标是(b,a)，则a−b的值为______．
13.如图，AB=10，C是线段AB上一点，△ADC和△BCE是位于直线AB同侧的两个等边三角形，连接DE，若F为DE的中点，则AF+BF的最小值为______．
三、解答题：本题共13小题，共104分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题8分)
计算：|1− 3|− 2× 6−(12)−2．
15.(本小题8分)
解不等式：1+2x3>x−1．
16.(本小题8分)
解方程：x−2x+3x+2=1．
17.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=30°，请用尺规作图法在边CB上求作一点D，使得AD将△ABC分为两个等腰三角形.(保留作图痕迹，不写作法)
18.(本小题8分)
如图，点E，F在BC上，BE=CF，AF与DE交于点O，且OE=OF，∠A=∠D.求证：△ABF≌△DCE．
19.(本小题8分)
我国古代名著《增删算法统宗》中有一题：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹.每人六竿多十四，每人八竿恰齐足.其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴的玩耍，不知有多少人和竹竿.每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完.”请用列方程的方法求出这个问题中的牧童人数．
20.(本小题8分)
长安(今西安)在李白的一生中有着重要的地位，诗仙寓居终南，寻访骊山，在此期间，留下了不少壮丽诗篇，如《望终南山寄紫阁隐者》《侍从游宿温泉宫作》《阳春哥》《杜陵绝句》等.小红一家准备劳动节期间亲临诗仙笔下的长安盛景，到终南山世界地质公园(记为A)、华清宫景区(记为B)、汉长安城未央宫遗址(记为C)、杜陵遗址公园(记为D)游玩．
(1)若劳动节当天小红一家从A，B，C，D四处景点随机任选一处去游玩，则选中B的概率为______；
(2)若劳动节当天小红一家从A，B，C，D四处景区随机选择两处去游玩，请用列表或画树状图的方法，求同时选中A和D的概率．
21.(本小题8分)
“风电”是未来全球最重要的清洁能源之一，在我们的身边也经常能见到“风电”的身影.某数学兴趣小组测量一架风力发电机塔杆高度的活动报告如下：
请利用表中提供的信息，求风力发电机的塔杆高度PD．
(参考数据：sin18°≈0.309，cs18°≈0.951，tan18°≈0.325)
22.(本小题8分)
如图，深50cm的圆柱形容器，底部放入一个长方体的铁块，现在以一定的速度向容器内注水，3分钟后水面上升的速度是之前速度的14.如图为容器顶部离水面的距离y(cm)随时间t(分钟)的变化图象．
(1)3分钟后水面上升的速度为______；
(2)求直线BC的解析式；
(3)求该容器注满水所用的时间．
23.(本小题8分)
近年来，诈骗分子较为猖狂，诈骗手段不断更新，为有效提高学生防诈反诈能力，学校开展了“防诈反诈”讲座，讲座后进行了“防诈反诈”知识竞赛，并随机抽取m名学生的竞赛成绩进行了整理：将成绩划分为A(90≤x≤100)，B(80≤x<90)，C(70≤x<80)，D(60≤x<70)四个等级，并绘制出不完整的统计图．
其中B等级的成绩数据(单位：分)：80，86，80，82，84，86，86，89，81，85．
根据以上信息，回答下列问题．
(1)抽取的总人数m= ______，并补全条形统计图；
(2)在所抽取的m名学生的竞赛成绩中，中位数是______分，B等级的众数是______分；
(3)若该中学共有2000名学生，且全部参加这次竞赛，请估计学生的竞赛成绩不低于80分的总人数．
24.(本小题8分)
如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D是⊙O外一点，∠BCD=∠BAC，连接OD交BC于点E．
(1)求证：CD是⊙O的切线．
(2)若CE=OA，BC=4，AB=5，求OE的长度．
25.(本小题8分)
已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)与x轴交于点A(−2 3,0)、点B两点，与y轴交于点C(0,2)，对称轴为x=−56 3．
(1)求抛物线的表达式；
(2)M是抛物线上的点且在第二象限，过M作MN⊥AC于N，求AN+ 3MN的最大值．
26.(本小题8分)
(1)如图1，已知线段AB=5，平面内有一动点C，且CA=2，则BC的最小值为______．
(2)如图2，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为BC的中点，点E为△ABC内一动点，DE=2，连接CE，过点E作EF⊥CE，且EF=CE，连接AF，求AF的长．
(3)某工厂计划加工如图3所示的△ABC零件，要求BC=6分米，∠A=30°，在AB上有一点P,BP=13AC，连接CP，请你帮工人师傅计算CP是否存在最小值，若存在，请求出CP的最小值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵(−13)×(−3)=1，
∴−13的倒数为−3．
故选C．
直接根据倒数的定义即可得出结论．
本题考查的是倒数的定义，熟知乘积是1的两数互为倒数是解答此题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、主视图为三角形，故本选项不符合题意；
B、主视图为三角形，故本选项不符合题意；
C、主视图为长方形，故本选项符合题意；
D、主视图为圆，故本选项不符合题意．
故选：C．
找到从正面看所得到的图形，作出判断即可．
本题考查了简单几何体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3.【答案】C
【解析】解：∵EG平分∠BEF，
∴∠BEF=2∠1=140°，
∵AB//CD，
∴∠3=180°−∠BEF=40°，
故选：C．
先利用角平分线的定义可得∠BEF=140°，然后利用平行线的性质进行计算，即可解答．
本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、−4a2⋅2a3=−8a5，故A不符合题意；
B、3a2−4a2=−a2，故B不符合题意；
C、(a−3)2=a2−6a+9，故C不符合题意；
D、(2a3)2÷(2a)2=4a6÷4a2=a4，故D符合题意；
故选：D．
根据完全平方公式，合并同类项，单项式乘单项式的法则，单项式除以单项式的法则进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：由题知，
将点(−1,−2)向右平移3个单位长度所得点的坐标为(2,−2)，
则此点在函数y=2x+b的图象上，
所以2×2+b=−2，
解得b=−6．
故选：D．
将点(−1,−2)向右平移3个单位，将所得的点的坐标代入函数解析式即可．
本题考查一次函数图象与几何变化，通过平移求出函数y=2x+b上点的坐标是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：连接AB，CD，如图，
由网格图可知：AG=2，BG=1，DH=4，CH=2，
∴AGGB=CHDH=2，AG= AG2+BG2= 5，CD= DH2+CH2= 20=2 5，
∵∠AGB=∠CHD=90°，
∴△AGB∽△CHD，
∴∠BAG=∠DCH．
∵AE//CF，
∴∠GAC=∠HCA，
∴∠BAO=∠DCO．
∵∠AOB=∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∴AOOC=ABCD=12，
∴AO=12OC，
∴AO=13AC．
∵AC= 22+52= 29，
∴AO= 293．
故选：A．
利用勾股定理，相似三角形的判定定理解答即可．
本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，本题是网格题目，利用网格线的特征，熟练应用平行线的性质和勾股定理是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：连接AD，BE，
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠BDE=110°，
∴∠ADE=110°−90°=20°，
∵AE=DE，
∴AE =DE，
∴∠ABE=∠DBE=∠ADE=20°，
∴∠ABD=20°+20°=40°．
故选：C．
由圆周角定理得到∠ADB=90°，求出∠ADE=110°−90°=20°，由圆心角、弧、弦的关系得到AE =DE，由圆周角定理推出∠ABE=∠DBE=∠ADE=20°，即可求出∠ABD=20°+20°=40°．
本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，关键是由圆周角定理得到∠ABE=∠DBE=∠ADE．
8.【答案】C
【解析】解：y=x2−2mx−4=x2−2mx+m2−m2−4=(x−m)2−m2−4．
∴点M(m,−m2−4)．
∴点M′(−m,m2+4)．
∴m2+2m2−4=m2+4．
解得m=±2．
∵m>0，
∴m=2．
∴M(2,−8)．
故选：C．
先利用配方法求得点M的坐标，然后利用关于原点对称点的特点得到点M′的坐标，然后将点M′的坐标代入抛物线的解析式求解即可．
本题主要考查的是二次函数的性质、关于原点对称的点的坐标特点，求得点M′的坐标是解题的关键．
9.【答案】2
【解析】解：无理数有 18，π，共2个．
故答案为：2．
无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
本题考查主要无理数，熟练掌握相关定义是解题的关键．
10.【答案】a(a−2)2
【解析】解：a3−4a2+4a，
=a(a2−4a+4)，
=a(a−2)2．
故答案为：a(a−2)2．
观察原式a3−4a2+4a，找到公因式a，提出公因式后发现a2−4a+4是完全平方公式，利用完全平方公式继续分解可得．
本题考查了对一个多项式因式分解的能力．一般地，因式分解有两种方法，提公因式法，公式法，能提公因式先提公因式，然后再考虑公式法(完全平方公式).要求灵活运用各种方法进行因式分解．
11.【答案】10
【解析】解：∵多边形是正五边形，
∴正五边形的每一个内角为：15×180°×(5−2)=108°，
∴∠O=180°−(180°−108°)×2=36°，
∴正五边形的个数是360°÷36°=10．
故答案为：10．
先求出多边形的每一个内角为108°，可得到∠O=36°，即可求解．
本题主要考查正多边形与圆，多边形内角和问题，熟练掌握相关知识点是解题关键．
12.【答案】2
【解析】解：如图，延长CD、BA交y轴于点E、F，延长DA、CB交x轴于点M、N，
由几何意义得，S矩形DEOM=S矩形BFON，
∴S矩形ADEF=S矩形ABNM，
∵AB=AD，
∴AF=AM，
∵点D的坐标是(b,a)，
∴OM=b=AF=AM，DM=a=BF，
∴DA=BA=a−b，
∵正方形ABCD的面积为4，
∴(a−b)2=4，
∴a−b=2．
故答案为：2．
由几何意义得S矩形DEOM=S矩形BFON，进而得S矩形ADEF=S矩形ABNM，证明出AF=AM，再由正方形ABCD的面积为4，求出a−b即可．
本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，反比例函数性质的应用，几何意义的应用是解题关键．
13.【答案】5 7
【解析】解：延长AD，BE交于M，过F作直线l//AB，如图：
∵△ACD和△BCE是等边三角形，
∴∠DCA=∠MBA=60°，∠ECB=∠MAB=60°，
∴DC//BM，CE//AM，
∴四边形DCEM是平行四边形，
∵F为DE中点，
∴F为MC中点，
∵C在线段AB上运动，
∴F在直线l上运动，
由AB=10知等边三角形ABM的高为5 3，
∴M到直线l的距离，F到直线AB的距离都为52 3，
作A关于直线l的对称点A′，连接A′B，当F运动到A′B与直线l的交点，即A′，F，B共线时，AF+BF=A′F+BF最小，
此时PA+PB最小值A′B= AA′2+AB2= (5 3)2+102=5 7，
故答案为：5 7．
延长AD，BE交于M，过F作直线l//AB，推出F是到AB的距离等于52 3的直线l上的动点，再利用将军饮马模型构造图形，利用勾股定理即可求出AF+BF的最小值．
本题考查轴对称−最短路线问题，涉及等边三角形的性质及应用，平行四边形的判定和性质，求出F的运动路线是直线l是解题的关键．
14.【答案】解：|1− 3|− 2× 6−(12)−2
= 3−1−2 3−4
=−5− 3．
【解析】根据绝对值的定义，负整数指数幂的性质以及二次根式混合运算的法则计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，负整数指数幂，熟练掌握二次根式的混合运算的法则是解题的关键．
15.【答案】解：1+2x3>x−1，
1+2x>3x−3，
2x−3x>−3−1，
−x>−4，
x<4．
【解析】去分母，移项，合并同类项，系数化成1即可．
本题考查了解一元一次不等式，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键．
16.【答案】解：原方程两边都乘x(x+2)，去分母得(x−2)(x+2)+3x=x(x+2)，
去括号得：x2−4+3x=x2+2x，
移项，合并同类项得：x=4，
检验：当x=4时，x(x+2)≠0，
故原方程的解为x=4．
【解析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
17.【答案】解：如下图：点D即为所求．
【解析】作线段AB的垂直平分线与BC的交点即为所求．
本题考查了复杂作图，掌握垂直平分线的性质及等腰三角形的判断是解题的关键．
18.【答案】证明：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，
即BF=CE，
∵OE=OF，
∴∠AFB=∠DEC，
在△ABF和△DCE中，
∠A=∠D∠AFB=∠DECBF=CE，
∴△ABF≌△DCE(AAS)．
【解析】利用等式的性质可以证得BF=CE，由等腰三角形的性质得到∠AFB=∠DEC，根据AAS即可证得三角形全等．
本题考查了全等三角形的判定以及等腰三角形的性质，根据BE=CF得到BF=CE是证明三角形全等的关键．
19.【答案】解：设这个问题中的牧童人数为x，
根据题意得：6x+14=8x，
解得：x=7．
答：这个问题中的牧童人数为7．
【解析】设这个问题中的牧童人数为x，根据“每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”，结合竹竿的数量不变，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
20.【答案】14
【解析】解：(1)选中B的概率为14，
故答案为：14；
(2)画树状图分析如下：
由图可知，两人选择的方案共有16种等可能的结果，其中同时选中A和D的有2种结果，
所以同时选中A和D的概率为216=18．
(1)直接根据概率公式求解即可；
(2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与同时选中A和D的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】解：把PD向两方延长，交BE于点G，交AC的延长线于点F，
由题意得：BG=AF，AB=FG=53米，DG⊥BE，PF⊥AF，
设BG=AF=x米，
在Rt△DCF中，∠DCF=30°，CD=18米，
∴DF=12CD=9(米)，
在Rt△AFP中，∠PAF=45°，
∴PF=AF⋅tan45°=x(米)，
在Rt△BPG中，∠GBP=18°，
∴GP=BG⋅tan18°≈0.325x(米)，
∵GP+PF=GF，
∴0.325x+x=53，
解得：x=40，
∴PF=40米，
∴PD=PF−DF=40−9=31(米)，
∴该通信塔的塔杆PD的高度为31米．
【解析】把PD向两方延长，交BE于点G，交AC的延长线于点F，根据题意可得：BG=AF，AB=FG=53米，DG⊥BE，PF⊥AF，设BG=AF=x米，然后在Rt△DCF中，利用含30度角的直角三角形的性质求出DF的长，再分别在Rt△AFP和Rt△BPG中，利用锐角三角函数的定义求出PF和PG的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22.【答案】53
【解析】解：(1)(30−20)÷(9−3)
=10÷6
=53(cm/min)，
故答案为：53．
(2)设直线BC的解析式为y=kx+b，
将B(3,30)、C(9,20)代入y=kx+b，
30=3k+b 20=9k+b ，
解得：k=−53b=35，
则直线BC的解析式为y=−53x+35．
(3)当y=0时，即0=−53x+35，
解得：x=21
答：该容器注满水所用的时间21分钟．
(1)由图象可知从3分钟到9分钟这段时间注入水10cm，根据速度=注水量÷时间可得；
(2)利用待定系数法即可求得；
(3)当y=0时，即0=−53x+35，求出x的值即可得知．
本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质．
23.【答案】50 84.5 86
【解析】解：(1)由图得：B等级有10人，占20%，
∴m=10÷20%=50，
等级C的人数：50−20−10−5=15(人)，
补全条形统计图如图：
故答案为：50；
(2)把数据按从小到大排列后，80，80，81，82，84，85，86，86，86，89．
中间两个数是84、85，
∴中位数是=84.5(分)；
B等级的众数是86分，
故答案为：84.5，86；
(3)2000×20+1050=1200(人)，
答：估计学生的测试成绩不低于80分的有1200人．
(1)由图得B等级有10人，占20%，可求抽取的总人数m，从而可求出C等级的人数，即可补全条形统计图；
(2)根据众数、中位数的定义解答即可；
(3)用总人数乘A、B等级所占的百分比之和即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
24.【答案】(1)证明：连接OC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∵∠BCD=∠BAC，
∴∠OCB+∠DCB=90°，
∴OC⊥CD，
∵OC为⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
(2)解：过点O作OH⊥BC于点H．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵BC=4，AB=5，
∴AC= AB2−BC2= 52−42=3，
∵OH⊥BC，OC=OB，
∴CH=BH=2，
∵OA=OB=12AB=52，
∴CE=OA=52，
∴OH=12AC=32，
∴EH=CE−CH=12，
∴OE= OH2+HE2= 102．
【解析】(1)连接OC，证明OC⊥CD即可；
(2)过点O作OH⊥BC于点H，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据勾股定理得到AC= AB2−BC2= 52−42=3，根据垂径定理得到CH=BH=2，求得OA=OB=12AB=52，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确地找出辅助线是解题的关键．
25.【答案】解：(1)根据题意得：
12a−2 3b+c=0c=2−b2a=−56 3，
解得a=−1b=−5 33c=2，
∴抛物线的表达式为y=−x2−5 33x+2；
(2)过M作MT⊥x轴于T，交AC于K，如图：
∵A(−2 3,0)、C(0,2)，
∴OA=2 3，OC=2，直线AC解析式为y= 33x+2，
∴tan∠OAC=OCOA=22 3= 33，
∴∠OAC=30°，
∵∠ATK=90°=∠MNK，∠AKT=∠MKN，
∴∠M=∠OAC=30°，
∴AK=2KT，KN=12MK，MN= 32MK，
设M(m,−m2−5 33m+2)，则K(m, 33m+2)，
∴KT= 33m+2，MK=−m2−5 33m+2−( 33m+2)=−m2−2 3m，
∴AK=2KT=2 33m+4，KN=12MK=−12m2− 3m，MN= 32MK=− 32m2−3m，
∴AN+ 3MN
=AK+KN+ 3MN
=2 33m+4−12m2− 3m−32m2−3 3m
=−2m2−10 33m+4
=−2(m+5 36)2+496，
∵−32<0，
∴当m=−5 36时，AN+ 3MN的最大值为496．
【解析】(1)用待定系数法可得抛物线的表达式为y=−x2−5 33x+2；
(2)过M作MT⊥x轴于T，交AC于K，由A(−2 3,0)、C(0,2)，可得∠M=∠OAC=30°，故AK=2KT，KN=12MK，MN= 32MK，设M(m,−m2−5 33m+2)，则K(m, 33m+2)，即得KT= 33m+2，MK=−m2−5 33m+2−( 33m+2)=−m2−2 3m，故AN+ 3MN=AK+KN+ 3MN=−2m2−10 33m+4=−2(m+5 36)2+496，根据二次函数性质可得答案．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，含30°的直角三角形三边关系，二次函数的最大值等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
26.【答案】3
【解析】解：(1)以A为圆心，AC为半径，交AB于C′，则AC=AC′=2，
当C与C′重合时，BC的值最小，BC最小=AB−AC′=3，
故答案为：3；
(2)连接AD，
∵∠BAC=90°，AB=AC，点D为BC的中点，
∴∠ADC=90°，∠DAC=∠ACD=45°，
在Rt△ACD中，cs∠ACD=CDAC= 22．
∵EF⊥CE，EF=CE．
∴∠ECF=45°，
在Rt△CFE中，cs∠ECF=CECF= 22，
∴CDAC=CECF= 22，
∵∠ACD=∠ECF=45°，
∴△DEC∽△AFC，
∴DEAF=CECF= 22，
∴AF=DE 22=2 2；
(3)存在，作△ABC的外接圆，圆心为E，连接AE，CE.BE，过B作BF⊥BC交PB的垂直平分线于D，交以D为圆心，BD为半径的圆于F，连接PD，PF，DC，
∵∠BAC=30°，
∴∠BEC=2∠BAC=60°．
∵CE=BE，
∴△BEC是等边三角形，．
∴CE=BC=6，
∵AC=AC，
∴∠AEC=2∠ABC．
∵BF⊥BC，
∴∠CBF=90°，
∴∠ABC+∠FBP=90°，
∵BF是⊙D的直径，
∴∠BPF=90°，
∴∠FBP+∠F=90，
∴∠ABC=∠F，
∵∠BDP=2∠F=2∠ABC，
∴∠AEC=∠BDP，
∵AE=CE，DP=BD，
∴∠ACE=∠CAE.∠DBP=∠DPB，
∴∠ACE=12(180°−∠AEC)=90°−12∠AEC，∠DBP=12(180°−∠BDP)=90°−12BDP，
∴∠ACE=∠DBP，
∴△ACE∽△PBD，
∴PDCE=BPAC，
∵BP=13AC，
∴PDCE=13，
∴PD=BD=13CE=2，
∴P在⊙D上运动，
当P在CD上时，CP最小，
在Rt△BCD中，CD= BC2+BD2=2 10，
∴CP的最小值为CD−PD=2 10−2．
(1)当C在线段AB上时，BC最短，从而可得答案；
(2)连接AD，由等腰直角三角形的性质和三角函数可得CDAC=CECF= 22，∠DCE=∠ACF，进而可证△DEC∽△AFC，再由相似的性质求解即可；
(3)作△ABC的外接圆，圆心为E，连接AE，CE，BE，过B作BF⊥BC交PB的垂直平分线于D，交以D为圆心，BD为半径的圆于F，连接PD，PF，DC，由圆周角定理，等边三角形的性质和判定，可证△ACE∽△PBD，进而可得BD=PD=13CE=2，则P在⊙D上运动，根据点圆最值求解即可；
本题考查了相似三角形的性质和判定，隐圆问题，解直角三角形，等边三角形的性质和判定，圆周角定理等，根据题意找到动点的轨迹是解题的关键；活动目的
测量风力发电机的塔杆高度
测量工具
无人机、皮尺等
测量示意图
说明：塔杆PD安装在斜坡CD上且垂直于地面，用皮尺测量出CD的长度，利用无人机分别在A点、B点(B点在A点的正上方)测量出塔杆顶端P的仰角和俯角
测量数据
斜坡CD的坡角
30°
CD的长度
18米
AB的长度
53米
点A处测量的仰角
45°
点B处测量的俯角
18°
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