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第2章 对称图形——圆 热题测试卷-2023-2024学年九年级数学上册（苏科版）
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第2章 对称图形——圆考察题型一 圆的认识及有关概念的辨析【1.1】圆的认识典例1-1．（2023·连云港月考）下列由实线组成的图形中，为半圆的是 A． B． C． D．【详解】解：根据半圆的定义可知，选项的图形是半圆．故本题选：．变式1-1．（2023·连云港月考）到点的距离等于4的点的集合是 ．【详解】解：到点的距离等于4的点的集合是：以点为圆心，以4为半径的圆．故本题答案为：以点为圆心，以4为半径的圆．【1.2】圆的有关概念的辨析典例1-2．（2023·南通月考）下列说法错误的是 A．直径是圆中最长的弦 B．长度相等的两条弧是等弧 C．面积相等的两个圆是等圆 D．半径相等的两个半圆是等弧【详解】解：、直径是圆中最长的弦，所以选项的说法正确；、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以选项的说法错误；、面积相等的两个圆的半径相等，则它们是等圆，所以选项的说法正确；、半径相等的两个半圆是等弧，所以选项的说法正确．故本题选：．变式1-2．（2023·南京开学）下列说法：（1）长度相等的弧是等弧，（2）相等的圆心角所对的弧相等，（3）劣弧一定比优弧短，（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【详解】解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故错误；（2）同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故错误；（3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故错误；（4）直径是圆中最长的弦，正确；综上，正确的只有1个．故本题选：．考察题型二 点与圆的位置关系【2.1】判断点与圆的位置关系典例2-1．（2023·苏州开学）若的直径为10，点到圆心的距离为6，那么点与的位置关系是 A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．不能确定【详解】解：的直径为10，的半径为5，而圆心的距离为6，点在外．故本题选：．变式2-1．如图，在矩形中，，，若以点为圆心，以4为半径作，则点，点，点，点四点中在外的是 ．【详解】解：，点在外；，点在上外；，点在内．故本题答案为：．【2.2】利用点与圆的位置关系求参典例2-2．（2023·无锡月考）若点在以为圆心，2为半径的圆内，则的取值范围为 A． B． C． D．且【详解】解：点在以点为圆心，以2为半径的圆内，，．故本题选：．变式2-2．（2023·盐城月考）如图，在矩形中，，，以顶点为圆心作半径为的圆，若要求另外三个顶点、、中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则的取值范围是 ．【详解】解：在直角中，，，则，由图可知：．故本题答案为：．【2.3】点与圆的位置关系中的最值问题典例2-3-1．（2023·南京开学）一个点到圆上的点的最小距离为，最大距离为，则圆的半径为 ．【详解】解：分为两种情况：①当点在圆内时，如图1，点到圆上的最小距离，最大距离，直径，半径；②当点在圆外时，如图2，点到圆上的最小距离，最大距离，直径，半径；综上，圆的半径为或．故本题答案为：8或2．变式2-3-1．（2023·南通月考）如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值为 A．3 B．4 C．6 D．8【详解】解：，，，，若要使取得最小值，则需取得最小值，如图，连接，交于点，当点位于位置时，取得最小值，过点作轴于点，则，，，又，，．故本题选：．【定点定长构造辅助圆】典例2-3-2(1)．（2023·苏州一模）已知点是半径为4的上一点，平面上一点到点的距离为2，则线段的长度的范围为 ．【详解】解：如图，当点在圆外且，，三点共线时，线段的长度的最大，最大值为；当点在圆内且，，三点共线时，线段的长度的最小，最小值为，综上，线段的长度的范围为．故本题答案为：．典例2-3-2(2)．（2023·扬州月考）如图，点、的坐标分别为、，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则的最大值为 ．【详解】解：点为坐标平面内一点，，在上，且半径为2，如图，取，连接，，，是的中位线，，当最大时，即最大，而，，三点共线时，当在的延长线上时，最大，，，，，，即的最大值为．故本题答案为：．变式2-3-2．（2023·南京月考）如图，在中，，，，点是平面内的一个动点，且，为的中点．设线段长度为，在点运动过程中，的取值范围是 ．【详解】解：如图，取的中点，连接、，， ，，，，点为的中点，，为的中点．为的中位线，，点在以为圆心，2为半径的圆上，，即，．故本题答案为：．考察题型三 圆心角、弧、弦之间的关系典例3．（2023·连云港月考）若一条弦把圆分成两部分，则劣弧所对的圆心角为 ．【详解】解：一条弦把圆周分成的两段弧，劣弧所对圆心角的度数．故本题答案为：．变式3-1．（2023·盐城月考）如图，已知是的直径，，，那么弧度数等于 ．【详解】解：，，，．故本题答案为：．变式3-2．（2023·扬州月考）如图，，，是上三个点，，则下列说法中正确的是 A． B．四边形内接于 C． D．【详解】解：如图，过作于交于，则，，，，，，，，故错误；，，，，故错误；点，，在上，而点在圆心，四边形不内接于，故错误；，，，故正确．故本题选：．变式3-3．（2023·盐城月考）如图，在扇形中，点、在上，，点、分别在半径、上，，联结、．（1）求证：；（2）设点为的中点，联结、、，线段交于点、交于点．如果，求证：四边形是矩形．【详解】证明：（1），，，，在和中，，，；（2）如图，连接，点为的中点，，，，，，，，，，，，，四边形为平行四边形，，四边形为矩形．考察题型四 垂径定理及其应用典例4．（2023·扬州月考）如图，是的直径，是的弦，，将沿着折叠后恰好经过点，则的长为 ．【详解】解：如图，过点作，垂足为，延长交于点，，由折叠得：，，，在中，，，解得：或（舍去），．故本题答案为：．变式4-1．（2022·苏州月考）如图，在中，弦，点在上移动，连结，过点作交于点，则的最大值为 A．5 B．2.5 C．3 D．2【详解】解：如图，连接，，，，当的值最小时，的值最大，而时，最小，此时、两点重合，，即的最大值为2.5．故本题选：．变式4-2．（2023·南京月考）如图，是的弦，半径，垂足为，，交延长线于点．（1）求证：是的中点；（2）若，，求的半径．【详解】（1）证明：如图，连接，是的弦，半径，是 的中点，，，，，，，，，，，即为的中点；（2）如图，连接，半径，垂足为，，，是的中点，，，，设，则，在中，，，，即的半径为．变式4-3．（2023·扬州月考）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为，拱高为．（1）求拱桥的半径；（2）有一艘宽的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面，求此货船是否能顺利通过拱桥？【详解】解：（1）如图，设圆心为，连接，， ，为中点，，，又，设，则，在中，根据勾股定理得：，解得：；（2）如图，连接，，船舱顶部为长方形并高出水面，，，在中，，，，此货船不能顺利通过这座拱桥．考察题型五 确定圆的条件【5.1】确定圆的条件典例5-1．（2023·扬州月考）下列说法，错误的是 A．直径是弦 B．等弧所对的圆心角相等 C．弦的垂直平分线一定经过圆心 D．过三点可以确定一个圆【详解】解：、经过圆心的弦叫直径，直径是最长的弦，原说法正确；、等弧所对的圆心角相等，原说法正确；、由垂径定理知，弦的垂直平分线一定经过圆心，原说法正确；、过不在同一直线上的三点可以确定一个圆，原说法错误．故本题选：．变式5-1．（2023·泰州月考）如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【详解】解：根据经过不在同一直线上的三点确定一个圆得：经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为6个．故本题选：．【5.2】三角形的外接圆与外心典例5-2-1．（2023·南京月考）如图，的网格中的小正方形的边长都为1，小正方形的顶点叫格点，的三个顶点都在格点上，过点作外接圆的切线，则该切线经过的格点个数是 A．1 B．2 C．3 D．4【详解】解：如图，即为所求，观察图象可知：过点作外接圆的切线，则该切线经过的格点个数是3个．故本题选：．变式5-2-1．（2023·宿迁月考）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点，，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系，（1）画出过，，三点的圆的圆心，并求出圆心的坐标为 ．（2）求出圆的直径．【详解】解：（1）如图，连接，，分别作、的垂直平分线，两直线交于点，则点就是过，，三点的圆的圆心，有图形可知的坐标为，故本题答案为：；（2）如图，连接，设和过点的垂线的交点为，由勾股定理得：，故圆的直径为．典例5-2-2．（2023·连云港月考）中，，，，则的外接圆半径长是 ．【详解】解：在中，，，，，是直角三角形，且是斜边，的外接圆半径长为：．故本题答案为：．变式5-2-2．（2023·盐城月考）直角三角形的两条边长分别为5和12，那么这个三角形的外接圆半径等于 ．【详解】解：由勾股定理可知：①当直角三角形的斜边长为12，因此这个三角形的外接圆半径为6；②当两条直角边长分别为5和12，则直角三角形的斜边长为：，因此这个三角形的外接圆半径为6.5；综上：这个三角形的外接圆半径等于6或6.5．故本题答案为：6或6.5．考察题型六 圆周角定理典例6-1．（2023·南京月考）如图，在中，为弦与弦的交点．若，的度数为，则的度数为 ．【详解】解：如图，连接，，，，，的度数为，，，，，，，的度数为．故本题答案为：94．变式6-1．（2023·宿迁月考）如图，，是的弦，，点在内，点为上的动点，点，，分别是，，的中点．若的半径为6，则的长度的最大值是 A．6 B．12 C． D．【详解】解：如图，连接、、，作于，，，，，，，，，，，，，，当是直径时，的值最大，最大值为6，的最大值为．故本题选：．典例6-2．（2022·盐城期末）如图，是的外接圆，，，则的半径是 ．【详解】解：如图，作直径，连接，为直径，，，，，，即的半径是4．故本题答案为：4．变式6-2．（2023·扬州月考）如图，半圆的直径，弦，弦平分，的长为 A． B． C． D．【详解】解：如图，连接，，相交于点，连接，是半的直径，，，，，平分，，，，，，，是的中位线，，，，在中，，在中，．故本题选：．【定弦定角构造辅助圆】典例6-3．（2023·大庆模拟）如图，是的直径，，为的三等分点（更靠近点），点是上个动点，取弦的中点，则线段的最大值为 A．2 B． C． D．【详解】解：如图，连接，，，，，点的运动轨迹为以为直径的，连接，，当点在的延长线上时，的值最大，为的三等分点，，是等边三角形，，在中，，，，，，，的最大值为．故本题选：．变式6-3-1．（2023·宿迁月考）在已知线段，且、两点都在的外，圆上动点与点的最小距离为6，与点的最小距离为4，若为直角三角形，则的半径 ．【详解】解：设的半径为，①当点为直角顶点时，由题意可知：点在以的中点为圆心，为半径的圆上，如图，则，，，，，即此直角边大于斜边，不成立；②当点为直角顶点时，由题意可知：点在以的中点为圆心，为半径的圆上，如图，则，，，在中，由勾股定理得：，，解得：，（舍去）；③当点为直角顶点时，由题意可知：点在以的中点为圆心，为半径的圆上，如图，则，，，在中，由勾股定理得：，，解得：；综上，的半径或20．故本题答案为：2或20．变式6-3-2．（2023·鄂州期中）如图，矩形的边，，为的中点，是矩形内部一动点，且满足，为边上的一个动点，连接，，则的最小值为 ．【详解】解：四边形是矩形，，，，点的运动路线为以为直径的圆，如图，作以为直径的，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，，则，，，的最小值为；如图，连接，四边形是矩形，点是的中点，点为的中点，，，，四边形是矩形，，点关于直线的对称点，，在△中，由勾股定理得：，的最小值为．故本题答案为：7．考察题型七 圆内接四边形的性质典例7-1．（2023·盐城月考）如图，四边形内接于，为延长线上一点．若，则的度数是 A． B． C． D．【详解】解：，，四边形内接于，，，．故本题选：．变式7-1-1．（2023·南京月考）如图，点、、、、都是上的点，，，则的度数为 A． B． C． D．【详解】解：如图，连接，，，，，．故本题选：．变式7-1-2．（2023·宿迁二模）如图，点、、在上，为上任意一点，，则等于 A． B． C． D．【详解】解：四边形是的内接四边形，，，，，，，．故本题选：．变式7-1-3．（2023·南京月考）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．（1）求证平分，并求的大小；（2）过点作交的延长线于点，若，，求此圆半径的长．【详解】（1）证明：，，，平分，平分，，四边形是圆内接四边形，，，，，；（2）解：，，，，，是圆的直径，垂直平分，，，是等边三角形，，，，，，，四边形是圆内接四边形，，，，，，，，是圆的直径，圆的半径长是4．【对角互补构造辅助圆】典例7-2．已知：在中，，，为上一点，，，，则的长 ．【详解】解：如图，连接，过点作于点，在中，，，利用勾股定理可得：，根据等腰三角形性质可知：，，，，在中，由勾股定理可求：，，，，四边形对角互补，点、、、四点共圆，，，，，，如图，过点作于点，则，在中，，．故本题答案为：．变式7-2．（1）如图1，四边形中，，，点，分别在边，上，且，求证：．（2）如图2，四边形中，，点在边上，连接，平分交于点，，，连接，．①找出图中与相等的线段，并加以证明；②求的度数（用含的式子表示）．【详解】（1）证明：如图1，延长到，使得，连接．，，，，，，，，，，，，，，，，；（2）解：①结论：，理由如下：如图2，平分，，，，，；②，，，，，，，，，四边形对角互补，，，，四点共圆，，，．考察题型八 直线与圆的位置关系【8.1】判断直线与圆的位置关系典例8-1．（2023·南京月考）的直径为，圆心到直线的距离为，则直线与有 个公共点．【详解】解：的直径为，的半径为点到直线的距离为，直线与的位置关系是相离，直线与没有公共点．故本题答案为：0．变式8-1．（2023·南京月考）如图，在中，，，以为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是 A．点在内 B．直线与相离 C．点在上 D．直线与相切【详解】解：如图，过点作于，，，在中，，，点在外，所以选项不合题意；，点在外，所以选项不合题意；，，直线与相切，所以选项符合题意，选项不合题意．故本题选：．【8.2】利用直线与圆的位置关系求参典例8-2．（2023·南京月考）已知的半径是3，，过点的直线记为，则圆心到直线的距离的取值范围是 ．【详解】解：的半径是3，，点在上，过点的直线与的位置关系是相交或相切，圆心到直线的距离的取值范围是．故本题答案为：．变式8-2．（2023·宿迁模拟）在中，，，．若以点为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，则的取值范围是 ．【详解】解：如图，，以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点．根据勾股定理求得：，分两种情况：（1）圆与相切时，即；（2）点在圆内部，点在圆上或圆外时，此时，即；综上，或．考察题型九 切线的判定与性质典例9-1．（2022·无锡期末）如图，是的内切圆，切点分别为、、，，，则的度数是 ．【详解】解：如图，连接，，，，，是圆的切线，，同理：，，，．故本题答案为：55．变式9-1．（2023·苏州月考）如图，在平面直角坐标系中，，，动点、从原点同时出发，分别以每秒1个单位和每秒2个单位长度的速度沿轴正方向运动，以点为圆心，的长为半径画圆；以为一边，在轴上方作等边．设运动的时间为秒，当与的边所在直线相切时，的值为 ．【详解】解：如图，作于，延长交轴于，与的边所在直线相切，，为等边三角形，，，，在中，，在中，，，，，，．故本题答案为：．典例9-2．（2023·盐城期中）如图，为的直径，为的一条弦，过点作直线，使．（1）求证：为的切线；（2）若，，，求的长．【详解】（1）证明：，，，为的直径，，，为的切线；（2）解：如图，连接，过作于，为的直径，，，，，，设，则，，，，解得：或（舍去），．变式9-2．（2023·南京月考）如图，在矩形中，为的中点，的外接圆分别交，于点，．（1）求证：与相切；（2）若，，求的半径．【详解】（1）证明：如图，连接，延长交于点，连接、，四边形是矩形，，，，为的中点，，，，，垂直平分，即，，，即，点在上，是的半径，与相切；（2）解：如图，过点作，垂足为，连接、，四边形是矩形，，切于点，，，四边形是矩形，，，是的中点，，在中，由勾股定理得：，即，解得：，故的半径为2.5．考察题型十 三角形的内切圆与内心典例10-1．（2023·泰州三模）如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点、、在直角坐标系中的坐标分别为，，，则内心的坐标为 ．【详解】解：如图，点即为的内心，所以内心的坐标为．故本题答案为：．典例10-2．（2022·渭南期末）如图，点是的内心，也是的外心．若，则的度数为 A． B． C． D．【详解】解：如图，连接，，点是的内心，，，是，的平分线，，，，点也是的外心，，则的度数为．故本题选：．变式10-2-1．（2023·南京期中）如图，内接于，为的直径，为的内心，连接，，．若，，则的长为 ．【详解】解：如图，延长交于点，连接，在中斜边经过圆心，，又，，为的中位线，，在中，为三个角平分线的交点，，即（三角形外角与内角的关系），为等腰直角三角形，，根据勾股定理可得：，即．故本题答案为：．变式10-2-2．（2023·扬州月考）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②若，则；③；④若点为的中点，则，其中一定正确的序号是 ．【详解】解：①是的内心，平分，，故结论①正确；②如图，连接，，是的内心，，，，，，故结论②正确；③如图，连接，，，，平分，，，，，，故结论③正确；④，，，，点为的中点，一定在上，，，故结论④正确；综上，一定正确的结论为①②③④．故本题答案为：①②③④．典例10-3．（2022·扬州期中）若三角形的面积是，周长是，则这个三角形内切圆的半径 ．【详解】解：设这个三角形的内切圆的半径是，则，解得：．故本题答案为：2．变式10-3．（2023·武汉模拟）《数书九章》是我国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边，，求面积的公式．若三角形的三边，，分别为7，6，3，则这个三角形内切圆的半径是 A． B． C． D．【详解】解：三角形的三边，，分别为7，6，3，，如图，设这个三角形内切圆的半径为，则，即，三角形的三边，，分别为7，6，3，，解得：，这个三角形内切圆的半径为．故本题选：．典例10-4．（2022·昭通期末）已知中，，，，．是的内切圆，下列选项中，的半径为 A． B． C． D．【详解】解：设圆的半径是，圆切于，切于，切于，如图，，，，四边形是矩形，又，四边形是正方形，，，，，，的半径为．故本题选：．变式10-4-1．（2022·南通月考）如图，已知是的内切圆，切点为、、，如果，，，则内切圆的半径 ．【详解】解：是的内切圆，切点为、、，，，，，，，，，，，，，是直角三角形，内切圆的半径．故本题答案为：1．变式10-4-2．（2022·苏州自招）一直角三角形的斜边长为，它的内切圆的半径是，则内切圆的面积与三角形的面积的比是 ．【详解】解：设直角三角形的两条直角边是，，则有：，又，，直角三角形的面积是．又内切圆的面积是，它们的比是．故本题答案为：．考察题型十一 切线长定理典例11．（2022·苏州月考）如图，已知，分别切于、，切于，，，则周长为 ．【详解】解：如图，连接，是的切线，点是切点，；；、为圆的两条相交切线，，同理可得：，．的周长，的周长，的周长．故本题答案为：24．变式11-1．（2023·武汉一模）如图，为四边形的内切圆，，，，则的半径为 A．2 B． C． D．3【详解】解：如图，过点作于点，设与圆的切点为，与圆的切点为，与圆的切点为，与圆的切点为，连接，，，，四边形，四边形都是正方形，四边形是矩形，，，，，共线，点、、是切点，，，设圆半径为，则，，，，，，解得：．故本题选：．变式11-2．（2023·盐城月考）在中，，，，直线经过的内心，过点作，垂足为，连接，则的最小值是 ．【详解】解：如图，与三边的切点分别为、、，连接、、、，是内切圆，，，，，，，则四边形是正方形，，设正方形的边长为，则，，依题意得：，解得：，，，即，点在以为直径的上，如图，连接，过点作于点，当点运动到线段上时，取得最小值，，，的半径为，，的最小值为．故本题答案为：．考察题型十二 正多边形与圆典例12．（2023·南通月考）如图，正五边形内接于，与相切于点，连接并延长，交于点，则的度数是 A． B． C． D．【详解】解：如图，连接，是的切线，，五边形是正五边形，，．故本题选：．变式12-1．（2023·东莞二模）如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心．若，则这个正多边形的边数为 A．7 B．8 C．9 D．10【详解】解：如图，连接，，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，点、、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上，，，这个正多边形的边数．故本题选：．变式12-2．（2023·苏州三模）如图，在圆内接正六边形中，，分别交于点，，若该圆的半径为12，则线段的长为 A．6 B． C． D．8【详解】解：在圆内接正六边形中，，，，，，，，如图，连接，交于，则，，，，，．故本题选：．考察题型十三 弧长与扇形的面积【13.1】弧长公式典例13-1．（2023·苏州月考）如图，四边形内接于，，，则的长度是 A． B． C． D．【详解】解：对的圆周角是，对的圆心角是，，，，四边形是的内接四边形，，，解得：，，如图，过作于，则，过，，，，，，，，，的长度是．故本题选：．变式13-1-1．（2022·常州期末）如图，同一个圆中的两条弦、相交于点．若，，则与长度之和的最小值为 A． B． C． D．【详解】解：如图，以为边作等边，则，而，则在的外接圆上运动，记，所在的圆为，连接，，，，，，，结合三角形的三边关系可得：，（当，，三点共线时取等号），当时，半径最小，此时半径为，此时与的和最小，最小值为：．故本题选：．变式13-1-2．（2023·扬州月考）如图，半径为，圆心角为的扇形的上有一运动的点．从点向半径引垂线交于点．设的内心为，当点在上从点运动到点时，内心所经过的路径长为 ．【提示：涉及定角定弦构造辅助圆】【详解】解：如图，连，，，的内心为，，，，而，即，，又，公共，而，，，点在以为弦，并且所对的圆周角为的一段劣弧上，过、、三点作，如图，连，，在优弧取点，连接，，，，，而，，弧的长，所以内心所经过的路径长为．故本题答案为：．【13.2】扇形的面积公式典例13-2．（2023·盐城模拟）如图，是的直径，弦，垂足为点，连接，，如果，，那么图中阴影部分的面积是 ．【详解】解：如图，连接、，，，，，，，，，是等边三角形，，，，，，，，图中阴影部分的面积扇形的面积．故本题答案为：．变式13-2．（2023·无锡三模）如图，矩形中，，，以为圆心，为半径作弧，且，则阴影部分面积为 A． B． C． D．【详解】解：如图，过点作于，由题意得：，，由勾股定理得：，，，，，，，，，，，，，阴影部分的面积．故本题选：．考察题型十四 圆锥的侧面积【14.1】求圆锥底面圆的半径典例14-1．（2023·徐州中考）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长为，扇形的圆心角为，则圆锥的底面圆的半径为 ．【详解】解：由题意得：母线，，，．故本题答案为：2．变式14-1．（2023·昆明模拟）若矩形的一边长为1，对角线，以顶点为圆心，长为半径画弧交于点，将扇形剪下来围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆的半径为 ．【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为，①如图，当，时，，弧的长为，，；②如图，当，时，，，弧的长为，，．故本题答案为：或．【14.2】圆锥的侧面积公式典例14-2．（2023·宁波模拟）已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，把它绕着其中一条直角边旋转一周，其余各边所成的面围成的几何体的表面积为 ．【详解】解：由勾股定理得：斜边为，分为两种情况：①当绕着长度为4的直角边旋转一周时，其余各边所成的面围成的几何体的表面积为；②当绕着长度为3的直角边旋转一周时，其余各边所成的面围成的几何体的表面积为；综上，把它绕着其中一条直角边旋转一周，其余各边所成的面围成的几何体的表面积为或．故本题答案为：或．变式14-2．（2023·济宁二模）已知圆锥的侧面展开的扇形面积是，扇形的圆心角是，则这个圆锥的底面圆的半径是 ．【详解】解：设扇形的半径为，圆锥的底面半径为．由题意：，解得：或（舍去），扇形的弧长圆锥底面圆的周长，，．故本题答案为：2．
第2章 对称图形——圆考察题型一 圆的认识及有关概念的辨析【1.1】圆的认识典例1-1．（2023·连云港月考）下列由实线组成的图形中，为半圆的是 A． B． C． D．【详解】解：根据半圆的定义可知，选项的图形是半圆．故本题选：．变式1-1．（2023·连云港月考）到点的距离等于4的点的集合是 ．【详解】解：到点的距离等于4的点的集合是：以点为圆心，以4为半径的圆．故本题答案为：以点为圆心，以4为半径的圆．【1.2】圆的有关概念的辨析典例1-2．（2023·南通月考）下列说法错误的是 A．直径是圆中最长的弦 B．长度相等的两条弧是等弧 C．面积相等的两个圆是等圆 D．半径相等的两个半圆是等弧【详解】解：、直径是圆中最长的弦，所以选项的说法正确；、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以选项的说法错误；、面积相等的两个圆的半径相等，则它们是等圆，所以选项的说法正确；、半径相等的两个半圆是等弧，所以选项的说法正确．故本题选：．变式1-2．（2023·南京开学）下列说法：（1）长度相等的弧是等弧，（2）相等的圆心角所对的弧相等，（3）劣弧一定比优弧短，（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【详解】解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故错误；（2）同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故错误；（3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故错误；（4）直径是圆中最长的弦，正确；综上，正确的只有1个．故本题选：．考察题型二 点与圆的位置关系【2.1】判断点与圆的位置关系典例2-1．（2023·苏州开学）若的直径为10，点到圆心的距离为6，那么点与的位置关系是 A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．不能确定【详解】解：的直径为10，的半径为5，而圆心的距离为6，点在外．故本题选：．变式2-1．如图，在矩形中，，，若以点为圆心，以4为半径作，则点，点，点，点四点中在外的是 ．【详解】解：，点在外；，点在上外；，点在内．故本题答案为：．【2.2】利用点与圆的位置关系求参典例2-2．（2023·无锡月考）若点在以为圆心，2为半径的圆内，则的取值范围为 A． B． C． D．且【详解】解：点在以点为圆心，以2为半径的圆内，，．故本题选：．变式2-2．（2023·盐城月考）如图，在矩形中，，，以顶点为圆心作半径为的圆，若要求另外三个顶点、、中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则的取值范围是 ．【详解】解：在直角中，，，则，由图可知：．故本题答案为：．【2.3】点与圆的位置关系中的最值问题典例2-3-1．（2023·南京开学）一个点到圆上的点的最小距离为，最大距离为，则圆的半径为 ．【详解】解：分为两种情况：①当点在圆内时，如图1，点到圆上的最小距离，最大距离，直径，半径；②当点在圆外时，如图2，点到圆上的最小距离，最大距离，直径，半径；综上，圆的半径为或．故本题答案为：8或2．变式2-3-1．（2023·南通月考）如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值为 A．3 B．4 C．6 D．8【详解】解：，，，，若要使取得最小值，则需取得最小值，如图，连接，交于点，当点位于位置时，取得最小值，过点作轴于点，则，，，又，，．故本题选：．【定点定长构造辅助圆】典例2-3-2(1)．（2023·苏州一模）已知点是半径为4的上一点，平面上一点到点的距离为2，则线段的长度的范围为 ．【详解】解：如图，当点在圆外且，，三点共线时，线段的长度的最大，最大值为；当点在圆内且，，三点共线时，线段的长度的最小，最小值为，综上，线段的长度的范围为．故本题答案为：．典例2-3-2(2)．（2023·扬州月考）如图，点、的坐标分别为、，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则的最大值为 ．【详解】解：点为坐标平面内一点，，在上，且半径为2，如图，取，连接，，，是的中位线，，当最大时，即最大，而，，三点共线时，当在的延长线上时，最大，，，，，，即的最大值为．故本题答案为：．变式2-3-2．（2023·南京月考）如图，在中，，，，点是平面内的一个动点，且，为的中点．设线段长度为，在点运动过程中，的取值范围是 ．【详解】解：如图，取的中点，连接、，， ，，，，点为的中点，，为的中点．为的中位线，，点在以为圆心，2为半径的圆上，，即，．故本题答案为：．考察题型三 圆心角、弧、弦之间的关系典例3．（2023·连云港月考）若一条弦把圆分成两部分，则劣弧所对的圆心角为 ．【详解】解：一条弦把圆周分成的两段弧，劣弧所对圆心角的度数．故本题答案为：．变式3-1．（2023·盐城月考）如图，已知是的直径，，，那么弧度数等于 ．【详解】解：，，，．故本题答案为：．变式3-2．（2023·扬州月考）如图，，，是上三个点，，则下列说法中正确的是 A． B．四边形内接于 C． D．【详解】解：如图，过作于交于，则，，，，，，，，故错误；，，，，故错误；点，，在上，而点在圆心，四边形不内接于，故错误；，，，故正确．故本题选：．变式3-3．（2023·盐城月考）如图，在扇形中，点、在上，，点、分别在半径、上，，联结、．（1）求证：；（2）设点为的中点，联结、、，线段交于点、交于点．如果，求证：四边形是矩形．【详解】证明：（1），，，，在和中，，，；（2）如图，连接，点为的中点，，，，，，，，，，，，，四边形为平行四边形，，四边形为矩形．考察题型四 垂径定理及其应用典例4．（2023·扬州月考）如图，是的直径，是的弦，，将沿着折叠后恰好经过点，则的长为 ．【详解】解：如图，过点作，垂足为，延长交于点，，由折叠得：，，，在中，，，解得：或（舍去），．故本题答案为：．变式4-1．（2022·苏州月考）如图，在中，弦，点在上移动，连结，过点作交于点，则的最大值为 A．5 B．2.5 C．3 D．2【详解】解：如图，连接，，，，当的值最小时，的值最大，而时，最小，此时、两点重合，，即的最大值为2.5．故本题选：．变式4-2．（2023·南京月考）如图，是的弦，半径，垂足为，，交延长线于点．（1）求证：是的中点；（2）若，，求的半径．【详解】（1）证明：如图，连接，是的弦，半径，是 的中点，，，，，，，，，，，即为的中点；（2）如图，连接，半径，垂足为，，，是的中点，，，，设，则，在中，，，，即的半径为．变式4-3．（2023·扬州月考）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为，拱高为．（1）求拱桥的半径；（2）有一艘宽的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面，求此货船是否能顺利通过拱桥？【详解】解：（1）如图，设圆心为，连接，， ，为中点，，，又，设，则，在中，根据勾股定理得：，解得：；（2）如图，连接，，船舱顶部为长方形并高出水面，，，在中，，，，此货船不能顺利通过这座拱桥．考察题型五 确定圆的条件【5.1】确定圆的条件典例5-1．（2023·扬州月考）下列说法，错误的是 A．直径是弦 B．等弧所对的圆心角相等 C．弦的垂直平分线一定经过圆心 D．过三点可以确定一个圆【详解】解：、经过圆心的弦叫直径，直径是最长的弦，原说法正确；、等弧所对的圆心角相等，原说法正确；、由垂径定理知，弦的垂直平分线一定经过圆心，原说法正确；、过不在同一直线上的三点可以确定一个圆，原说法错误．故本题选：．变式5-1．（2023·泰州月考）如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【详解】解：根据经过不在同一直线上的三点确定一个圆得：经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为6个．故本题选：．【5.2】三角形的外接圆与外心典例5-2-1．（2023·南京月考）如图，的网格中的小正方形的边长都为1，小正方形的顶点叫格点，的三个顶点都在格点上，过点作外接圆的切线，则该切线经过的格点个数是 A．1 B．2 C．3 D．4【详解】解：如图，即为所求，观察图象可知：过点作外接圆的切线，则该切线经过的格点个数是3个．故本题选：．变式5-2-1．（2023·宿迁月考）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点，，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系，（1）画出过，，三点的圆的圆心，并求出圆心的坐标为 ．（2）求出圆的直径．【详解】解：（1）如图，连接，，分别作、的垂直平分线，两直线交于点，则点就是过，，三点的圆的圆心，有图形可知的坐标为，故本题答案为：；（2）如图，连接，设和过点的垂线的交点为，由勾股定理得：，故圆的直径为．典例5-2-2．（2023·连云港月考）中，，，，则的外接圆半径长是 ．【详解】解：在中，，，，，是直角三角形，且是斜边，的外接圆半径长为：．故本题答案为：．变式5-2-2．（2023·盐城月考）直角三角形的两条边长分别为5和12，那么这个三角形的外接圆半径等于 ．【详解】解：由勾股定理可知：①当直角三角形的斜边长为12，因此这个三角形的外接圆半径为6；②当两条直角边长分别为5和12，则直角三角形的斜边长为：，因此这个三角形的外接圆半径为6.5；综上：这个三角形的外接圆半径等于6或6.5．故本题答案为：6或6.5．考察题型六 圆周角定理典例6-1．（2023·南京月考）如图，在中，为弦与弦的交点．若，的度数为，则的度数为 ．【详解】解：如图，连接，，，，，的度数为，，，，，，，的度数为．故本题答案为：94．变式6-1．（2023·宿迁月考）如图，，是的弦，，点在内，点为上的动点，点，，分别是，，的中点．若的半径为6，则的长度的最大值是 A．6 B．12 C． D．【详解】解：如图，连接、、，作于，，，，，，，，，，，，，，当是直径时，的值最大，最大值为6，的最大值为．故本题选：．典例6-2．（2022·盐城期末）如图，是的外接圆，，，则的半径是 ．【详解】解：如图，作直径，连接，为直径，，，，，，即的半径是4．故本题答案为：4．变式6-2．（2023·扬州月考）如图，半圆的直径，弦，弦平分，的长为 A． B． C． D．【详解】解：如图，连接，，相交于点，连接，是半的直径，，，，，平分，，，，，，，是的中位线，，，，在中，，在中，．故本题选：．【定弦定角构造辅助圆】典例6-3．（2023·大庆模拟）如图，是的直径，，为的三等分点（更靠近点），点是上个动点，取弦的中点，则线段的最大值为 A．2 B． C． D．【详解】解：如图，连接，，，，，点的运动轨迹为以为直径的，连接，，当点在的延长线上时，的值最大，为的三等分点，，是等边三角形，，在中，，，，，，，的最大值为．故本题选：．变式6-3-1．（2023·宿迁月考）在已知线段，且、两点都在的外，圆上动点与点的最小距离为6，与点的最小距离为4，若为直角三角形，则的半径 ．【详解】解：设的半径为，①当点为直角顶点时，由题意可知：点在以的中点为圆心，为半径的圆上，如图，则，，，，，即此直角边大于斜边，不成立；②当点为直角顶点时，由题意可知：点在以的中点为圆心，为半径的圆上，如图，则，，，在中，由勾股定理得：，，解得：，（舍去）；③当点为直角顶点时，由题意可知：点在以的中点为圆心，为半径的圆上，如图，则，，，在中，由勾股定理得：，，解得：；综上，的半径或20．故本题答案为：2或20．变式6-3-2．（2023·鄂州期中）如图，矩形的边，，为的中点，是矩形内部一动点，且满足，为边上的一个动点，连接，，则的最小值为 ．【详解】解：四边形是矩形，，，，点的运动路线为以为直径的圆，如图，作以为直径的，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，，则，，，的最小值为；如图，连接，四边形是矩形，点是的中点，点为的中点，，，，四边形是矩形，，点关于直线的对称点，，在△中，由勾股定理得：，的最小值为．故本题答案为：7．考察题型七 圆内接四边形的性质典例7-1．（2023·盐城月考）如图，四边形内接于，为延长线上一点．若，则的度数是 A． B． C． D．【详解】解：，，四边形内接于，，，．故本题选：．变式7-1-1．（2023·南京月考）如图，点、、、、都是上的点，，，则的度数为 A． B． C． D．【详解】解：如图，连接，，，，，．故本题选：．变式7-1-2．（2023·宿迁二模）如图，点、、在上，为上任意一点，，则等于 A． B． C． D．【详解】解：四边形是的内接四边形，，，，，，，．故本题选：．变式7-1-3．（2023·南京月考）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．（1）求证平分，并求的大小；（2）过点作交的延长线于点，若，，求此圆半径的长．【详解】（1）证明：，，，平分，平分，，四边形是圆内接四边形，，，，，；（2）解：，，，，，是圆的直径，垂直平分，，，是等边三角形，，，，，，，四边形是圆内接四边形，，，，，，，，是圆的直径，圆的半径长是4．【对角互补构造辅助圆】典例7-2．已知：在中，，，为上一点，，，，则的长 ．【详解】解：如图，连接，过点作于点，在中，，，利用勾股定理可得：，根据等腰三角形性质可知：，，，，在中，由勾股定理可求：，，，，四边形对角互补，点、、、四点共圆，，，，，，如图，过点作于点，则，在中，，．故本题答案为：．变式7-2．（1）如图1，四边形中，，，点，分别在边，上，且，求证：．（2）如图2，四边形中，，点在边上，连接，平分交于点，，，连接，．①找出图中与相等的线段，并加以证明；②求的度数（用含的式子表示）．【详解】（1）证明：如图1，延长到，使得，连接．，，，，，，，，，，，，，，，，；（2）解：①结论：，理由如下：如图2，平分，，，，，；②，，，，，，，，，四边形对角互补，，，，四点共圆，，，．考察题型八 直线与圆的位置关系【8.1】判断直线与圆的位置关系典例8-1．（2023·南京月考）的直径为，圆心到直线的距离为，则直线与有 个公共点．【详解】解：的直径为，的半径为点到直线的距离为，直线与的位置关系是相离，直线与没有公共点．故本题答案为：0．变式8-1．（2023·南京月考）如图，在中，，，以为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是 A．点在内 B．直线与相离 C．点在上 D．直线与相切【详解】解：如图，过点作于，，，在中，，，点在外，所以选项不合题意；，点在外，所以选项不合题意；，，直线与相切，所以选项符合题意，选项不合题意．故本题选：．【8.2】利用直线与圆的位置关系求参典例8-2．（2023·南京月考）已知的半径是3，，过点的直线记为，则圆心到直线的距离的取值范围是 ．【详解】解：的半径是3，，点在上，过点的直线与的位置关系是相交或相切，圆心到直线的距离的取值范围是．故本题答案为：．变式8-2．（2023·宿迁模拟）在中，，，．若以点为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，则的取值范围是 ．【详解】解：如图，，以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点．根据勾股定理求得：，分两种情况：（1）圆与相切时，即；（2）点在圆内部，点在圆上或圆外时，此时，即；综上，或．考察题型九 切线的判定与性质典例9-1．（2022·无锡期末）如图，是的内切圆，切点分别为、、，，，则的度数是 ．【详解】解：如图，连接，，，，，是圆的切线，，同理：，，，．故本题答案为：55．变式9-1．（2023·苏州月考）如图，在平面直角坐标系中，，，动点、从原点同时出发，分别以每秒1个单位和每秒2个单位长度的速度沿轴正方向运动，以点为圆心，的长为半径画圆；以为一边，在轴上方作等边．设运动的时间为秒，当与的边所在直线相切时，的值为 ．【详解】解：如图，作于，延长交轴于，与的边所在直线相切，，为等边三角形，，，，在中，，在中，，，，，，．故本题答案为：．典例9-2．（2023·盐城期中）如图，为的直径，为的一条弦，过点作直线，使．（1）求证：为的切线；（2）若，，，求的长．【详解】（1）证明：，，，为的直径，，，为的切线；（2）解：如图，连接，过作于，为的直径，，，，，，设，则，，，，解得：或（舍去），．变式9-2．（2023·南京月考）如图，在矩形中，为的中点，的外接圆分别交，于点，．（1）求证：与相切；（2）若，，求的半径．【详解】（1）证明：如图，连接，延长交于点，连接、，四边形是矩形，，，，为的中点，，，，，垂直平分，即，，，即，点在上，是的半径，与相切；（2）解：如图，过点作，垂足为，连接、，四边形是矩形，，切于点，，，四边形是矩形，，，是的中点，，在中，由勾股定理得：，即，解得：，故的半径为2.5．考察题型十 三角形的内切圆与内心典例10-1．（2023·泰州三模）如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点、、在直角坐标系中的坐标分别为，，，则内心的坐标为 ．【详解】解：如图，点即为的内心，所以内心的坐标为．故本题答案为：．典例10-2．（2022·渭南期末）如图，点是的内心，也是的外心．若，则的度数为 A． B． C． D．【详解】解：如图，连接，，点是的内心，，，是，的平分线，，，，点也是的外心，，则的度数为．故本题选：．变式10-2-1．（2023·南京期中）如图，内接于，为的直径，为的内心，连接，，．若，，则的长为 ．【详解】解：如图，延长交于点，连接，在中斜边经过圆心，，又，，为的中位线，，在中，为三个角平分线的交点，，即（三角形外角与内角的关系），为等腰直角三角形，，根据勾股定理可得：，即．故本题答案为：．变式10-2-2．（2023·扬州月考）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②若，则；③；④若点为的中点，则，其中一定正确的序号是 ．【详解】解：①是的内心，平分，，故结论①正确；②如图，连接，，是的内心，，，，，，故结论②正确；③如图，连接，，，，平分，，，，，，故结论③正确；④，，，，点为的中点，一定在上，，，故结论④正确；综上，一定正确的结论为①②③④．故本题答案为：①②③④．典例10-3．（2022·扬州期中）若三角形的面积是，周长是，则这个三角形内切圆的半径 ．【详解】解：设这个三角形的内切圆的半径是，则，解得：．故本题答案为：2．变式10-3．（2023·武汉模拟）《数书九章》是我国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边，，求面积的公式．若三角形的三边，，分别为7，6，3，则这个三角形内切圆的半径是 A． B． C． D．【详解】解：三角形的三边，，分别为7，6，3，，如图，设这个三角形内切圆的半径为，则，即，三角形的三边，，分别为7，6，3，，解得：，这个三角形内切圆的半径为．故本题选：．典例10-4．（2022·昭通期末）已知中，，，，．是的内切圆，下列选项中，的半径为 A． B． C． D．【详解】解：设圆的半径是，圆切于，切于，切于，如图，，，，四边形是矩形，又，四边形是正方形，，，，，，的半径为．故本题选：．变式10-4-1．（2022·南通月考）如图，已知是的内切圆，切点为、、，如果，，，则内切圆的半径 ．【详解】解：是的内切圆，切点为、、，，，，，，，，，，，，，是直角三角形，内切圆的半径．故本题答案为：1．变式10-4-2．（2022·苏州自招）一直角三角形的斜边长为，它的内切圆的半径是，则内切圆的面积与三角形的面积的比是 ．【详解】解：设直角三角形的两条直角边是，，则有：，又，，直角三角形的面积是．又内切圆的面积是，它们的比是．故本题答案为：．考察题型十一 切线长定理典例11．（2022·苏州月考）如图，已知，分别切于、，切于，，，则周长为 ．【详解】解：如图，连接，是的切线，点是切点，；；、为圆的两条相交切线，，同理可得：，．的周长，的周长，的周长．故本题答案为：24．变式11-1．（2023·武汉一模）如图，为四边形的内切圆，，，，则的半径为 A．2 B． C． D．3【详解】解：如图，过点作于点，设与圆的切点为，与圆的切点为，与圆的切点为，与圆的切点为，连接，，，，四边形，四边形都是正方形，四边形是矩形，，，，，共线，点、、是切点，，，设圆半径为，则，，，，，，解得：．故本题选：．变式11-2．（2023·盐城月考）在中，，，，直线经过的内心，过点作，垂足为，连接，则的最小值是 ．【详解】解：如图，与三边的切点分别为、、，连接、、、，是内切圆，，，，，，，则四边形是正方形，，设正方形的边长为，则，，依题意得：，解得：，，，即，点在以为直径的上，如图，连接，过点作于点，当点运动到线段上时，取得最小值，，，的半径为，，的最小值为．故本题答案为：．考察题型十二 正多边形与圆典例12．（2023·南通月考）如图，正五边形内接于，与相切于点，连接并延长，交于点，则的度数是 A． B． C． D．【详解】解：如图，连接，是的切线，，五边形是正五边形，，．故本题选：．变式12-1．（2023·东莞二模）如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心．若，则这个正多边形的边数为 A．7 B．8 C．9 D．10【详解】解：如图，连接，，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，点、、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上，，，这个正多边形的边数．故本题选：．变式12-2．（2023·苏州三模）如图，在圆内接正六边形中，，分别交于点，，若该圆的半径为12，则线段的长为 A．6 B． C． D．8【详解】解：在圆内接正六边形中，，，，，，，，如图，连接，交于，则，，，，，．故本题选：．考察题型十三 弧长与扇形的面积【13.1】弧长公式典例13-1．（2023·苏州月考）如图，四边形内接于，，，则的长度是 A． B． C． D．【详解】解：对的圆周角是，对的圆心角是，，，，四边形是的内接四边形，，，解得：，，如图，过作于，则，过，，，，，，，，，的长度是．故本题选：．变式13-1-1．（2022·常州期末）如图，同一个圆中的两条弦、相交于点．若，，则与长度之和的最小值为 A． B． C． D．【详解】解：如图，以为边作等边，则，而，则在的外接圆上运动，记，所在的圆为，连接，，，，，，，结合三角形的三边关系可得：，（当，，三点共线时取等号），当时，半径最小，此时半径为，此时与的和最小，最小值为：．故本题选：．变式13-1-2．（2023·扬州月考）如图，半径为，圆心角为的扇形的上有一运动的点．从点向半径引垂线交于点．设的内心为，当点在上从点运动到点时，内心所经过的路径长为 ．【提示：涉及定角定弦构造辅助圆】【详解】解：如图，连，，，的内心为，，，，而，即，，又，公共，而，，，点在以为弦，并且所对的圆周角为的一段劣弧上，过、、三点作，如图，连，，在优弧取点，连接，，，，，而，，弧的长，所以内心所经过的路径长为．故本题答案为：．【13.2】扇形的面积公式典例13-2．（2023·盐城模拟）如图，是的直径，弦，垂足为点，连接，，如果，，那么图中阴影部分的面积是 ．【详解】解：如图，连接、，，，，，，，，，是等边三角形，，，，，，，，图中阴影部分的面积扇形的面积．故本题答案为：．变式13-2．（2023·无锡三模）如图，矩形中，，，以为圆心，为半径作弧，且，则阴影部分面积为 A． B． C． D．【详解】解：如图，过点作于，由题意得：，，由勾股定理得：，，，，，，，，，，，，，阴影部分的面积．故本题选：．考察题型十四 圆锥的侧面积【14.1】求圆锥底面圆的半径典例14-1．（2023·徐州中考）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长为，扇形的圆心角为，则圆锥的底面圆的半径为 ．【详解】解：由题意得：母线，，，．故本题答案为：2．变式14-1．（2023·昆明模拟）若矩形的一边长为1，对角线，以顶点为圆心，长为半径画弧交于点，将扇形剪下来围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆的半径为 ．【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为，①如图，当，时，，弧的长为，，；②如图，当，时，，，弧的长为，，．故本题答案为：或．【14.2】圆锥的侧面积公式典例14-2．（2023·宁波模拟）已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，把它绕着其中一条直角边旋转一周，其余各边所成的面围成的几何体的表面积为 ．【详解】解：由勾股定理得：斜边为，分为两种情况：①当绕着长度为4的直角边旋转一周时，其余各边所成的面围成的几何体的表面积为；②当绕着长度为3的直角边旋转一周时，其余各边所成的面围成的几何体的表面积为；综上，把它绕着其中一条直角边旋转一周，其余各边所成的面围成的几何体的表面积为或．故本题答案为：或．变式14-2．（2023·济宁二模）已知圆锥的侧面展开的扇形面积是，扇形的圆心角是，则这个圆锥的底面圆的半径是 ．【详解】解：设扇形的半径为，圆锥的底面半径为．由题意：，解得：或（舍去），扇形的弧长圆锥底面圆的周长，，．故本题答案为：2．
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