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浙教版九年级上册4.3 相似三角形精品课后练习题
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这是一份浙教版九年级上册4.3 相似三角形精品课后练习题，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图，点P是等腰△ABC的腰AB上的一点，过点P作直线(不与直线AB重合)截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似．满足这样条件的直线最多有( )
A. 2条B. 3条C. 4条D. 5条
2.已知△ABC如图，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是 ( )
A. B. C. D.
3.如图，在正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接AE并延长至点F，使EF=AE，连接BF交CD于点G，若DE=1，BF=26，则正方形ABCD的边长为( )
A. 6B. 10C. 12D. 13
4.如图，在△ABC中，D、E为边AB的三等分点，EF//DG//AC，点H为AF与DG的交点.若AC=9，则DH为( )
A. 1
B. 2
C. 32
D. 3
5.如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是( )
A. ∠ABP=∠CB. ∠APB=∠ABC
C. APAB=ABACD. ABBP=ACCB
6.如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC的中点，S四边形BCED=15，则S△ABC=( )
A. 30B. 25C. 22.5D. 20
7.在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=6，BC=8，点D是平面上一点，且CD=4，连接AD、BD，则下列说法正确的是( )
A. AD长度的最大值是9B. 23AD+BD的最小值是83 10
C. ∠CBD=30∘D. △ABD面积的最大值是40
8.如图，矩形ABCD，AB=6，BC=3，点E是边AB上的动点，点F是射线BC上的动点，且BF=2AE，连接AF，CE.若12AF+CE=m，则m的最小值为( )
A. 3 2B. 3 5C. 6 2D. 6 5
9.如图，在正方形ABCD中，M为AB的中点，以CM为一边作正方形CMEF，连接AF交BC于G，交CM于H，连接BF.则下列结论中：①BF=EF；②BM=2BG；③CG=3BG；④AF=5GH，正确的是 【 】
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
10.如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )
A. B.
C. D.
11.如图，在Rt△ABC中，∠A=90∘，AB=AC，E是AC的中点，连接BE，过点E作ED⊥BE交BC于点D，若△EDC的面积为6，则△ABC的面积为( )
A. 144B. 150C. 288D. 72
12.如图，在边长为2 2的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB、BC的中点，连接EC、DF交于点O，点G、H分别是EC、FD的中点，连接GH，则GH的长度为( )
A. 1
B. 22
C. 102
D. 105
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，已知平行四边形ABCD，E是边BC的中点，联结DE并延长，与AB的延长线交于点F，设DA=a，DC=b，那么向量DF用向量a、 b表示为_____________．
14.如图，在矩形ABCD中，AD=8，连接BD，BD=10，点E是AB上一点，BE=2AE，点M是AD上一动点，连接EM，以EM为斜边向下作等腰直角△EMP，连接DP，当DP的值最小时，AM的长为______．
15.如图，在5×5的方格纸上建立直角坐标系，A(1,0)，B(0,2)，试在5×5的网格中，以格点为顶点作△ABC与△OAB相似(相似比不为1)，C点的坐标为______．
16.如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF.若点E、F、D在同一条直线上，若AE=2，则FD= ，BE= ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E．
(1)求证：△ADE∽△BCE；
(2)若AD2=AE·AC，求证：CD=CB．
18.(本小题8分)
如图，已知BDBE=ADCE=ABBC.求证：△ABC∽△DBE．
19.(本小题8分)
如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE、BC的延长线相交于点F，且EF⋅DF=CF⋅BF.求证：△CAB∽△DAE．
20.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，AC与DE交于点F．
(1)求证：AC2=AB⋅AD；
(2)若AC= 3，AB=2，求AFFC的值．
21.(本小题8分)
在△ABC中，AB=AC，D、E分别是BC、AB的点，且∠ADE=∠C．
(1)求证：△ACD∽△DBE；
(2)求证：4BE·AC≤BC2．
22.(本小题8分)
已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP.垂足分别是点E、F．
(1)求证：EF=AE−BE；
(2)联结BF，若AFBF=DFAD，求证：EF=EP．
23.(本小题8分)
校园内有一块三角形空地(如图中的△ABC)，经测量BC=8米，边BC上的高AD=6米．某综合实践小组要在这块空地上规划出一个区域(如图中的△EFD)种植月季花，其余部分种植牡丹花．根据设计要求，点E，F分别在边AB，AC上，且EF // BC.已知种植月季花和牡丹花每平方米分别需要50元、80元．设EF=x，△DEF的面积为S．
(1)求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)种植月季花和牡丹花的总费用是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由．
24.(本小题8分)
如图．在△ABC中．AB=4，D是AB上的一点(不与点A，B重合)，过点D作DE//BC，交AC于点E.连接DC，设△ABC的面积为S，△DEC的面积为S′．
(1)当D是AB的中点时，直接写出S′S=______．
(2)若AD=x，S′S=y，求y关于x的函数关系式以及自变量x的取值范围．
25.(本小题8分)
已知点C为△ABC和△CDE的公共顶点，将△CDE绕点C顺时针旋转α(0∘<α<360∘)，连接BD，AE．
(1)问题发现：如图1所示，若△ABC和△CDE均为等边三角形，则线段BD与线段AE的数量关系是 ;
(2)类比探究：如图2所示，若∠ABC=∠EDC=90∘，∠ACB=∠ECD=60∘，其他条件不变，请写出线段BD与线段AE的数量关系，并说明理由;
(3)拓展应用：如图3所示，若∠BAC=∠DEC=90∘，AB=AC，CE=DE，BC=2CD=4 2，当点B，D，E三点共线时，求AE的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查相似三角形的判定的运用．根据已知及相似三角形的判定作辅助线即可求得这样的直线有几条．
【解答】
解：(1)作∠APD=∠C，
∵∠A=∠A，
∴△APD∽△ACB，
(2)作PE//BC，
∴△APE∽△ABC，
(3)作∠BPF=∠C，
∵∠B=∠B，
∴△FBP∽△ABC，
(4)作PG//AC，
∴△PBG∽△ABC，
所以共4条，
故选C．
2.【答案】D
【解析】略
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查的是正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的有关知识，先根据正方形的性质得到∠C=90°，AB=DC=BC=AD，DC//AB，然后利用相似三角形的判定与性质，得到BG=13，EG=12AB，进而求出CG，再利用勾股定理求解即可．
【解答】
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠C=90°，AB=DC=BC=AD，DC//AB，
∵EF=AE，EF+AE=AF，
∴EF=12AF，
∵DC//AB，
∴△FEG∽△FAB
∴EGAB=FGFB=EFAF=12，
∴EG=12AB，FG=12BF=12×26=13，
∴BG=BF−FG=26−13=13，
∵DE=1，
∴CG=CD−DE−EG=AB−1−12AB=12AB−1，
在Rt△BCG中，BC2+CG2=BG2，
∴AB2+(12AB−1)2=132，
解得AB=12(负值不合题意，舍去)
则正方形ABCD的边长为12
4.【答案】C
【解析】解：∵D、E为边AB的三等分点，EF//DG//AC，
∴BE=DE=AD，BF=GF=CG，AH=HF，
∴AB=3BE，DH是△AEF的中位线，
∴DH=12EF，
∵EF//AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴EFAC=BEBA，即EF9=13，
解得：EF=3，
∴DH=12EF=12×3=32，
故选：C．
依据DH是△AEF的中位线，即可得出DH=12EF，再根据△BEF∽△BAC，即可得到EF的长，进而得出DH的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键.分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．
【解答】
解：A.当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
B.当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
C.当APAB=ABAC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
D.添加ABBP=ACCB，无法得到△ABP∽△ACB，故此选项符合题意．
故选D．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理．
由D、E分别是AB、AC的中点，可得DE//BC、DE=12BC，则有△ADE∽△ABC，S△ADES△ABC=(DEBC)2=14，即可得到答案．
【解答】
解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE//BC，DE=12BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=(DEBC)2=14，
∴S△ADE:S四边形BCED=1:3，
∵S四边形BCED=15，
∴S△ADE=5，∴S△ABC=5×4=20．
故选D．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查点与圆的位置关系，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积等知识，难度较大，由题知，点D的运动轨迹是一个圆，当D点在AC的延长线时，AD的长度最大，可判断A；在CA上截CE=23CD，证明△ACD∽△DCE，得到ED=23AD，当E、D、B三点共线时，23AD+BD取得最小值，长度为EB，利用勾股定理求出EB可判断B；根据∠CBD不是固定值可判断C；过圆心C作CF⊥AB于点F，延长FC交圆于点D，则此时△ABD的面积取得最大值，求出此时面积可判断D．
【解答】
解：由题知，点D的运动轨迹是一个圆．
对于选项A.如下图：
当D点在AC的延长线时，AD的长度最大，值为10．
故A不正确;
对于选项B.如下图：
在CA上截CE=23CD，
则在△ACD和△DCE中，
ACDC=DCEC=32∠ACD=∠DCE
∴△ACD∽△DCE(SAS)
∴ED=23AD，
当E、D、B三点共线时，23AD+BD取得最小值，长度为EB，
EB= CE2+CB2= (83)2+82=83 10，
故B正确;
对于选项C.因为点D的运动轨迹为圆，∠CBD不是固定值，
故C不正确;
对于选项D.如下图：
过圆心C作CF⊥AB于点F，延长FC交圆于点D，则此时△ABD的面积取得最大值．
∵AC=6，BC=8，
∴AB=10，
根据S△ABC=12AC×BC=12AB×CF
得CF=4.8，
进而DF=8.8，
所以，
故D不正确．
8.【答案】C
【解析】解：连接DE，如图：
∵ABAD=BFAE=12，∠ABF=∠DAE=90°，
∴△ABF∽△DAE，
∴DEAF=ADAB=12，
∴12AF+CE=DE+CE，
延长DA至点D′，使AD′=AD，连接DE，则DE=D′E，
∴DE+CE=D′E+CE=m，
∴当点E为CD′与AB的交点时，m取最小值，此时
m=CD′= (DD′)2+CD2= (2×3)2+62=6 2
即m的最小值为6 2，
故选：C．
本题的思路是先根据两条边对应成比例并且夹角相等证明三角形相似，将12AF转化为DE，然后做DE关于AB的对称线段D′E，结论自然可得．
本题考查了矩形的性质，掌握三角形相似的性质是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查正方形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，添加辅助线构造全等三角形和相似三角形是关键，过点F作FN⊥BC于N，先根据正方形的性质利用AAS证明△FCN≌△CMB得CN=BM，FN=BC，再根据中点定义证明FN垂直平分CB，根据线段垂直平分线的定义即可判定①正确；连接AN，根据对边平行且相等的三角形是平行四边形证明四边形ANFB是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可判定故②正确；根据BG=GN=12BN，CN=12BC，得BG=14BC，CG=34BC，即可判定故③正确；过点G作GP//AB交CM于P，证明△CGP∽△CBM，根据相似三角形的性质得GP=34BM，证明△HGP∽△HAM，得GHAH=GPAM=34，设GH=3k，则AH=4K，AF=2AG=14K即可判定④错误．
【解答】
解：如图，过点F作FN⊥BC于N，
、
∵四边形ABCD、CMEF是正方形，
∴∠MCF=∠DCB=90°，CM=CF，
∴∠MCB+∠FCB=90°，∠FCB+∠CFN=90°，
∴∠MCB=∠CFN，
∴△FCN≌△CMB(AAS)
∴CN=BM，FN=BC
∵M为AB的中点，
∴BM=12AB=12BC，
∴CN=12BC，
∴FN垂直平分CB，
∴FC=FB，
∵FC=EF，
∴BF=EF，故①正确；
连接AN，
∵∠FNB=∠ABC=90°，
∴AB//FN，
又∵FN=BC，BC=AB，
∴FN=AB，
∴四边形ANFB是平行四边形，
∴BG=GN=12BN=12BM，
∴BM=2BG，故②正确；
∵BG=GN=12BN，CN=12BC，
∴BG=14BC，CG=34BC，
∴CG=3BG，故③正确；
过点G作GP//AB交CM于P，
∴△CGP∽△CBM，
∴GPBM=CGCB=34，
∴GP=34BM，
∵GP//AB
∴△HGP∽△HAM，
∴GHAH=GPAM=34，
∴设GH=3k，则AH=4K，
∴AG=GH+AH=7K，
∴AF=2AG=14K，
∴AF=AF=143GH，故④错误．
综上所述正确的是①②③ ．
故选A．
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【解答】
解：在选项A、B中，阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，则两三角形相似，故A、B选项不符合题意;
在C中，两三角形的对应边不成比例，则两三角形不相似，故C选项符合题意；
在D中，两三角形对应边成比例且夹角相等，则两三角形相似，故D选项不符合题意．
故选C．
11.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理以及三角形的面积．
过点E作EF⊥BC于F，先求出∠C=45∘，设AB=AC=4x，则AE=CE=2x，利用勾股定理求
出EF，BF的长，证明ΔBFE∽ΔEFD，求出DF= 23x′进而得到BC=6CD，则SΔABC=2SΔBCE=12SΔCDE=72．
【解答】
解：如图所示，过点E作EF⊥BC于F，
∵在RtΔABC中，∠A=90∘，AB=AC，
∴∠C=45∘，
设AB=AC=4x，
∵E是AC的中点，
∴AE=CE=2x，
∴BE2=AB2+AE2=20x2，
∴EF=CF= 22CE= 2x，
∴BF= BE2−EF2=3 2x，BC=4 2x，
∵BE⊥DE，
∴∠FEB+∠FBE=90∘=∠FEB+∠FED，
∴∠FBE=∠FED，
又∵∠BFE=∠EFD=90∘，
∴ΔBFE∽ΔEFD，
∴BFEF=EFDF，即3 2x 2x= 2xDF，
∴DF= 2x3，
∴CD=CF−FD=2 2x3，
∴BC=6CD，
∵△EDC的面积为6，
∴S△BCE=6S△EDC=36，
∵E是AC的中点，
∴SΔABC=2S△BCE=72．
12.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠BCD=90°，AB=BC=CD=2 2，
∵点E、F分别是边AB、BC的中点，
∴BE=12AB，CF=12BC，
∴BE=CF= 2，
在ΔCBE和ΔDCF中，BE=CF∠B=∠DCF=90°BC=CD
∴ΔCBE≌ΔDCF(SAS)
∴CE=DF= (2 2)2+( 2)2= 10．
∵点G、H分别是EC、FD的中点，
∴HF=CG= 102．
由△BEC≌△CFD知∠BCE=∠CDF，
∵∠CDF+∠CFD=90°，
∴∠CFD+∠BCE=90°，
∴∠FOC=90°，
∴CE⊥DF．
∵∠FCD=90°，
∴△FOC∽△FCD，
∴OFFC=OCCD=FCFD，
∴OF 2=OC2 2= 2 10，
∴OF= 105，OC=2 105，
∴OG=GC−OC= 1010，OH=HF−OF=3 1010，
∴GH= OG2+OH2= ( 1010)2+(3 1010)2=1．
故选：A．
利用正方形的性质和勾股定理求得CE=DF= 10，利用全等三角形的判定与性质和在直角三角形的性质得到CE⊥DF，利用相似三角形的判定与性质求出OF，OC，在Rt△OHG中，利用勾股定理即可求得结论．
本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用全等三角形的判定定理得到△BEC≌△CFD是解题的关键．
13.【答案】a+2b
【解析】【分析】
此题考查了平面向量的知识、相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．注意掌握三角形法则的应用是关键．根据平行四边形的判定与性质得到四边形DBFC是平行四边形，则DC=BF，故AF=2AB=2DC，结合三角形法则进行解答．
【解答】
解：如图，连接BD，FC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC//AB，DC=AB，
∴△DCE∽△FBE，
又E是边BC的中点，
∴DEEF=ECEB=11=1，
∴DE=FE，即点E是DF的中点，
∴四边形DBFC是平行四边形，
∴DC=BF，
∴AF=2AB=2DC，
∴DF=DA+AF=DA+2DC=a+2b．
故答案是：a+2b．
14.【答案】6
【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD=90°，
在Rt△ABD中，∵BD=10，AD=8，
∴AB= 102−82=6，
∵BE=2AE，
∴AE=2，
∵△PEM为等腰直角三角形，
∴PE=PM，∠EPM=90°，∠PME=∠PEM=45°，
∴点A、P在以EM为直径的圆上，
∴∠PAE=∠PME=45°，∠PAM=∠PEM=45°，
∴AP平分∠BAC，
即点P的轨迹在∠BAD的平分线上，
过D点作DP⊥AP于P点，此时DP的值最小，
∵∠PAD=45°，∠APD=90°，
∴∠PDA=45°，PA=PD，
∵∠EPA+∠APM=90°，∠APM+∠MPD=90°，
∴∠EPA=∠MPD，
在△EPA和△MPD中，
∠PAE=∠PDMPA=PD∠EPA=∠MPD，
∴△EPA≌△MPD(ASA)，
∴AE=DM=2，
∴AM=AD−DM=8−2=6．
故答案为：6．
先利用勾股定理计算出AB=6，则AE=2，再利用等腰直角三角形的性质得到PE=PM，∠EPM=90°，∠PME=∠PEM=45°，则根据圆周角定理可判断点A、P在以EM为直径的圆上，所以∠PAE=∠PME=45°，∠PAM=∠PEM=45°，从而可判断AP平分∠BAC，过D点作DP⊥AP于P点，利用垂线段最短得到DP的值最小，然后证明△EPA≌△MPD得到AE=DM=2，从而得到AM=6．
本题考查了矩形的性质：矩形的四个角都是直角．也考查了等腰直角三角形的性质、圆周角定理和全等三角形的判定与性质．
15.【答案】C(4,4)或C(5,2)
【解析】解：如图，
△OAB的两直角边之比为1：2，那么△ABC两直角边之比为1：2，
∵AB= 5，
∴当∠A=90°，AC=2 5，此时点C(5,2)，
当∠B=90°，BC=2 5，此时点C(4,4)，
故C点的坐标是C(4,4)或C(5,2)．
本题可根据图形得出AC与AB的长度比，再根据角A或角B为直角，来判断C点的位置．
本题考查了相似多边形的性质及点的坐标，此题需注意分情况讨论三角形哪一个角为直角的情况．
16.【答案】2
5−1
【解析】【分析】本题考查了翻折变换(折叠问题)，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键．根据矩形的性质得到AD=BC，∠ADC=∠B=∠DAE=90°，根据折叠的性质得到CF=BC，∠CFE=∠B=90°，EF=BE，根据全等三角形的判定与性质得到DF=AE=2，再根据相似三角形的判定与性质即可求出BE．
【解答】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠ADC=∠B=∠DAE=90°，
由折叠的性质知：CF=BC，∠CFE=∠B=90°，EF=BE，
∴CF=AD，∠CFD=90°，
∴∠ADE+∠CDF=∠CDF+∠DCF=90°，
∴∠ADE=∠DCF，
在△ADE与△FCD中，
∵∠ADE=∠DCF，AD=CF，∠EAD=∠DFC，
∴△ADE≌△FCD(ASA)，
∴DF=AE=2，DE=CD，
∵∠AFE=∠CFD=90°，
∴∠AFE=∠DAE=90°，
∵∠AEF=∠DEA，
∴△AEF∽△DEA，
∴AEDE=EFAE，
∴22+EF=EF2，
∴EF= 5−1(负值舍去)，
∴BE=EF= 5−1
17.【答案】【小题1】
证明：∵∠A与∠B都是CD⌢所对的圆周角，∴∠A=∠B. 又∵∠AED=∠BEC，∴△ADE∽△BCE．
【小题2】
∵AD2=AE·AC，∴AEAD=ADAC. 又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACD，∴∠AED=∠ADC.∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴∠AED=90°，∴直径AC⊥弦BD，∴CD⌢=CB⌢，∴CD=CB．
【解析】1. 略
2. 略
18.【答案】证明：∵ BDBE=ADCE=ABBC ，
∴△ABD∽△CBE，
∴∠ABD=∠CBE，
∴∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC，
即∠ABC=∠DBE.
又∵ ABBC=BDBE ，
即 ABBD=BCBE ，
∴△ABC∽△DBE．
【解析】略
19.【答案】证明：∵EF⋅DF=CF⋅BF．
∴EFBF=CFDF，
∵∠EFC=∠BFD，
∴△EFC∽△BFD，
∴∠CEF=∠B，
∴∠B=∠AED，
∵∠CAB=∠DAE，
∴△CAB∽△DAE．
【解析】根据相似三角形的判定得出△EFC∽△BFD，得出∠CEF=∠B，进而证明△CAB∽△DAE即可．
本题考查相似三角形的判定和性质知识，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定解答．
20.【答案】解：(1)证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠CAB，
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴ADAC=ACAB，
∴AC2=AB⋅AD；
(2)∵AC2=AB⋅AD，AC= 3，AB=2，
∴AD=AC2AB=( 3)22=32，
∵∠ACB=90°，E为AB的中点，
∴EA=EC=EB=12AB=12×2=1，
∴∠EAC=∠ECA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAE，
∴∠DAC=∠ECA，
∵∠AFD=∠CFE，
∴△AFD∽△CFE，
∴AFFC=ADEC=321=32．
【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质及直角三角形斜边上直线的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
(1)由AC平分∠BAD，得出∠DAC=∠CAB，再由∠ADC=∠ACB=90°，得出△ADC∽△ACB，进而得出ADAC=ACAB，即可证明AC2=AB⋅AD；
(2)由(1)可知AC2=AB⋅AD结合已知条件AC= 3，AB=2，可求出AD=32，EA=EC=EB=12AB=12×2=1，∠EAC=∠ECA，再根据AC平分∠DAB，得出∠DAC=∠CAE，得出∠DAC=∠ECA，由∠AFD=∠CFE，得出△AFD∽△CFE，即可得出AFFC=ADEC=32．
21.【答案】(1)证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠BDA=∠DAC+∠C=∠ADE+∠BDE，∠ADE=∠C，
∴∠BDE=∠DAC，
∴△ACD∽△DBE；
(2)证明：∵△ACD∽△DBE，
∴BECD=BDAC，
即BE⋅AC=BD⋅CD，
设BC=m，BD=x，则CD=m−x，
∴4BE⋅AC=4BD⋅CD=4x(m−x)=−(2x−m)2+m2，
∴4BE⋅AC≤m2，即4BE⋅AC≤BC2．
【解析】本题考查的是等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形外角的性质有关知识．
(1)利用等腰三角形的性质得出∠B=∠C，再结合三角形外角性质得出∠BDE=∠DAC，最后利用相似三角形的判定定理解答;
(2)根据相似三角形的性质得出BECD=BDAC，然后再解答．
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°，
∵BE⊥AP，DF⊥AP，
∴∠BEA=∠AFD=90°，
∵∠BAE+∠FAD=90°，∠FAD+∠ADF=90°，
∴∠BAE=∠ADF，
在△ABE和△DAF中
∠BEA=∠AFD∠BAE=∠ADFAB=AD，
∴△ABE≌△DAF(AAS)，
∴BE=AF，
∴EF=AE−AF=AE−BE；
(2)连接BF，如图所示：
∵AFBF=DFAD，AF=BE，
∴BEBF=DFAD，
∴BEDF=BFAD，
∴Rt△BEF∽Rt△DFA，
∴∠FBE=∠ADF，
∵∠ADF=∠BAE，
∴∠FBE=∠BAE，
又∵∠ABE+∠EBP=90°，∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠EBP=∠BAE=∠FBE，
在△BEF和△BEP中
∠EBP=∠EBFBE=BE∠BEP=∠BEF=90°，
∴△BEF≌△BEP(ASA)，
∴EF=EP．
【解析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，利用已知条件及角、边的等量关系的转换，结合问题来解题即可．
(1)证明△ABE≌△DAF，得出AF=BE，利用等量代换即可证明EF=AE−BE；
(2)利用AFBF=DFAD以及AF=BE通过等量代换，得到Rt△BEF∽Rt△DFA，即可得到∠FBE=∠ADF，通过利用角的等量代换得△BEF≌△BEP即可得到EF=EP．
23.【答案】解：(1)设AD与EF交于点M．
∵EF//BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AD⊥BC，
∴AM⊥EF，
∴EFBC=AMAD，
设DM=y，则x8=6−y6，
解得y=−34x+6．
∴S=12xy=−38(x−4)2+6(0(2)设总费用为W，则W=50S+80(12×8×6−S)
=−30S+1920
=−30×[−38(x−4)2+6]+1920
=454(x−4)2+1740．
∵454>0，
∴当x=4时，W最小，最小值为1740．
答：种植月季花和牡丹花的总费用的最小值为1740元．
【解析】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，二次函数的应用．
(1)证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形对应高的比等于相似比可得EFBC=AMAD，设DM=y，由相似可得y=−34x+6，再根据三角形面积公式列出S关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
(2)设总费用为W，然后列出W关于x的二次函数关系式，并根据二次函数的性质解答即可．
24.【答案】14
【解析】解：(1)∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=(DECB)2，
∵D是AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DECB=12，AE=EC
∴S△ADES△ABC=14，
∵△ADE与△CED等底同高，
∴S△ADE=S△CED，
∵设△ABC的面积为S，△DEC的面积为S′，
∴S′S=14．
故答案为：14．
(2)∵AB=4，AD=x，DE//BC，
∴△ADE∽△ABC
∴S△ADES△ABC=(ADAB)2=116x2①，
ADAB=AEAC=x4，
∴AEEC=x4−x，
∵△ADE与△CED，AE、EC边同高，
∴S△ADES△DEC=x4−x②，
∴①÷②得S△DECS△ABC=x(4−x)16，
∵设△ABC的面积为S，△DEC的面积为S′，S′S=y，
∴y=−116x2+14x，
∵AB=4，
∴自变量x的取值范围是0(1)先根据DE//BC推△ADE∽△ABC，再进一步推S△ADES△ABC=(DECB)2，再根据△ADE与△CED等底同高，求S△ADE=S△CED，等量代换最后求出S′S；
(2)求S△ADES△ABC=(ADAB)2=116x2①，再求S△ADES△DEC=x4−x②，①÷②得最后结果．
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，三角形面积求法，掌握判定和性质的熟练应用是解题关键．
25.【答案】解：(1)BD=AE；
(2)BD=12AE．
理由：∵∠ABC=∠EDC=90∘，∠ACB=∠ECD=60∘，
∴∠BAC=∠DEC=30∘，
∴BCAC=CDCE=12，∠BCD=∠ECA．
∴△BCD∽△ACE，
∴BDAE=12，
∴BD=12AE;
(3)①如图3，当点D落在线段BE上时．
∵∠BAC=∠DEC=90∘，AB=AC，CE=DE，BC=2CD=4 2，
∴BC= 2AC=4 2，CD= 2EC=2 2，
∴AC=4，CE=DE=2．
∵∠E=90∘，
∴BE= BC2−CE2=2 7，
∴BD=BE−DE=2 7−2:
∵△BCD∽△ACE，
∴BDAE= 2，
∴AE= 22BD= 14− 2；
②如图4，当点E落在线段BD上时，
同理可得，BD=BE+DE=2 7+2，
∴AE= 22BD= 14+ 2．
综上所述，AE的长为 14− 2或 14+ 2．
【解析】解：(1)∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=60°．
∴∠BCD=∠ACE．
∴△BCD≌△ACE(SAS)．
∴BD=AE，
故答案为：BD=AE；
(2)见答案；
(3)见答案．
此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题．
(1)根据等边三角形的性质得AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=60∘.求出∠BCD=∠ACE.得出△BCD≌△ACE(SAS)，即可得出答案;
(2)延长BD交AE的延长线于点F，得出BCAC=CDCE=12，进而得出△BCD∽△ACE，即可得出答案;
(3)分两种情况，①当点D落在线段BE上时；②当点E落在线段BD上时，根据相似三角形的判定及性质作答即可．
1.如图，点P是等腰△ABC的腰AB上的一点，过点P作直线(不与直线AB重合)截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似．满足这样条件的直线最多有( )
A. 2条B. 3条C. 4条D. 5条
2.已知△ABC如图，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是 ( )
A. B. C. D.
3.如图，在正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接AE并延长至点F，使EF=AE，连接BF交CD于点G，若DE=1，BF=26，则正方形ABCD的边长为( )
A. 6B. 10C. 12D. 13
4.如图，在△ABC中，D、E为边AB的三等分点，EF//DG//AC，点H为AF与DG的交点.若AC=9，则DH为( )
A. 1
B. 2
C. 32
D. 3
5.如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是( )
A. ∠ABP=∠CB. ∠APB=∠ABC
C. APAB=ABACD. ABBP=ACCB
6.如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC的中点，S四边形BCED=15，则S△ABC=( )
A. 30B. 25C. 22.5D. 20
7.在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=6，BC=8，点D是平面上一点，且CD=4，连接AD、BD，则下列说法正确的是( )
A. AD长度的最大值是9B. 23AD+BD的最小值是83 10
C. ∠CBD=30∘D. △ABD面积的最大值是40
8.如图，矩形ABCD，AB=6，BC=3，点E是边AB上的动点，点F是射线BC上的动点，且BF=2AE，连接AF，CE.若12AF+CE=m，则m的最小值为( )
A. 3 2B. 3 5C. 6 2D. 6 5
9.如图，在正方形ABCD中，M为AB的中点，以CM为一边作正方形CMEF，连接AF交BC于G，交CM于H，连接BF.则下列结论中：①BF=EF；②BM=2BG；③CG=3BG；④AF=5GH，正确的是 【 】
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
10.如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )
A. B.
C. D.
11.如图，在Rt△ABC中，∠A=90∘，AB=AC，E是AC的中点，连接BE，过点E作ED⊥BE交BC于点D，若△EDC的面积为6，则△ABC的面积为( )
A. 144B. 150C. 288D. 72
12.如图，在边长为2 2的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB、BC的中点，连接EC、DF交于点O，点G、H分别是EC、FD的中点，连接GH，则GH的长度为( )
A. 1
B. 22
C. 102
D. 105
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，已知平行四边形ABCD，E是边BC的中点，联结DE并延长，与AB的延长线交于点F，设DA=a，DC=b，那么向量DF用向量a、 b表示为_____________．
14.如图，在矩形ABCD中，AD=8，连接BD，BD=10，点E是AB上一点，BE=2AE，点M是AD上一动点，连接EM，以EM为斜边向下作等腰直角△EMP，连接DP，当DP的值最小时，AM的长为______．
15.如图，在5×5的方格纸上建立直角坐标系，A(1,0)，B(0,2)，试在5×5的网格中，以格点为顶点作△ABC与△OAB相似(相似比不为1)，C点的坐标为______．
16.如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF.若点E、F、D在同一条直线上，若AE=2，则FD= ，BE= ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E．
(1)求证：△ADE∽△BCE；
(2)若AD2=AE·AC，求证：CD=CB．
18.(本小题8分)
如图，已知BDBE=ADCE=ABBC.求证：△ABC∽△DBE．
19.(本小题8分)
如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE、BC的延长线相交于点F，且EF⋅DF=CF⋅BF.求证：△CAB∽△DAE．
20.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，AC与DE交于点F．
(1)求证：AC2=AB⋅AD；
(2)若AC= 3，AB=2，求AFFC的值．
21.(本小题8分)
在△ABC中，AB=AC，D、E分别是BC、AB的点，且∠ADE=∠C．
(1)求证：△ACD∽△DBE；
(2)求证：4BE·AC≤BC2．
22.(本小题8分)
已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP.垂足分别是点E、F．
(1)求证：EF=AE−BE；
(2)联结BF，若AFBF=DFAD，求证：EF=EP．
23.(本小题8分)
校园内有一块三角形空地(如图中的△ABC)，经测量BC=8米，边BC上的高AD=6米．某综合实践小组要在这块空地上规划出一个区域(如图中的△EFD)种植月季花，其余部分种植牡丹花．根据设计要求，点E，F分别在边AB，AC上，且EF // BC.已知种植月季花和牡丹花每平方米分别需要50元、80元．设EF=x，△DEF的面积为S．
(1)求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)种植月季花和牡丹花的总费用是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由．
24.(本小题8分)
如图．在△ABC中．AB=4，D是AB上的一点(不与点A，B重合)，过点D作DE//BC，交AC于点E.连接DC，设△ABC的面积为S，△DEC的面积为S′．
(1)当D是AB的中点时，直接写出S′S=______．
(2)若AD=x，S′S=y，求y关于x的函数关系式以及自变量x的取值范围．
25.(本小题8分)
已知点C为△ABC和△CDE的公共顶点，将△CDE绕点C顺时针旋转α(0∘<α<360∘)，连接BD，AE．
(1)问题发现：如图1所示，若△ABC和△CDE均为等边三角形，则线段BD与线段AE的数量关系是 ;
(2)类比探究：如图2所示，若∠ABC=∠EDC=90∘，∠ACB=∠ECD=60∘，其他条件不变，请写出线段BD与线段AE的数量关系，并说明理由;
(3)拓展应用：如图3所示，若∠BAC=∠DEC=90∘，AB=AC，CE=DE，BC=2CD=4 2，当点B，D，E三点共线时，求AE的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查相似三角形的判定的运用．根据已知及相似三角形的判定作辅助线即可求得这样的直线有几条．
【解答】
解：(1)作∠APD=∠C，
∵∠A=∠A，
∴△APD∽△ACB，
(2)作PE//BC，
∴△APE∽△ABC，
(3)作∠BPF=∠C，
∵∠B=∠B，
∴△FBP∽△ABC，
(4)作PG//AC，
∴△PBG∽△ABC，
所以共4条，
故选C．
2.【答案】D
【解析】略
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查的是正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的有关知识，先根据正方形的性质得到∠C=90°，AB=DC=BC=AD，DC//AB，然后利用相似三角形的判定与性质，得到BG=13，EG=12AB，进而求出CG，再利用勾股定理求解即可．
【解答】
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠C=90°，AB=DC=BC=AD，DC//AB，
∵EF=AE，EF+AE=AF，
∴EF=12AF，
∵DC//AB，
∴△FEG∽△FAB
∴EGAB=FGFB=EFAF=12，
∴EG=12AB，FG=12BF=12×26=13，
∴BG=BF−FG=26−13=13，
∵DE=1，
∴CG=CD−DE−EG=AB−1−12AB=12AB−1，
在Rt△BCG中，BC2+CG2=BG2，
∴AB2+(12AB−1)2=132，
解得AB=12(负值不合题意，舍去)
则正方形ABCD的边长为12
4.【答案】C
【解析】解：∵D、E为边AB的三等分点，EF//DG//AC，
∴BE=DE=AD，BF=GF=CG，AH=HF，
∴AB=3BE，DH是△AEF的中位线，
∴DH=12EF，
∵EF//AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴EFAC=BEBA，即EF9=13，
解得：EF=3，
∴DH=12EF=12×3=32，
故选：C．
依据DH是△AEF的中位线，即可得出DH=12EF，再根据△BEF∽△BAC，即可得到EF的长，进而得出DH的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键.分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．
【解答】
解：A.当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
B.当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
C.当APAB=ABAC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
D.添加ABBP=ACCB，无法得到△ABP∽△ACB，故此选项符合题意．
故选D．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理．
由D、E分别是AB、AC的中点，可得DE//BC、DE=12BC，则有△ADE∽△ABC，S△ADES△ABC=(DEBC)2=14，即可得到答案．
【解答】
解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE//BC，DE=12BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=(DEBC)2=14，
∴S△ADE:S四边形BCED=1:3，
∵S四边形BCED=15，
∴S△ADE=5，∴S△ABC=5×4=20．
故选D．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查点与圆的位置关系，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积等知识，难度较大，由题知，点D的运动轨迹是一个圆，当D点在AC的延长线时，AD的长度最大，可判断A；在CA上截CE=23CD，证明△ACD∽△DCE，得到ED=23AD，当E、D、B三点共线时，23AD+BD取得最小值，长度为EB，利用勾股定理求出EB可判断B；根据∠CBD不是固定值可判断C；过圆心C作CF⊥AB于点F，延长FC交圆于点D，则此时△ABD的面积取得最大值，求出此时面积可判断D．
【解答】
解：由题知，点D的运动轨迹是一个圆．
对于选项A.如下图：
当D点在AC的延长线时，AD的长度最大，值为10．
故A不正确;
对于选项B.如下图：
在CA上截CE=23CD，
则在△ACD和△DCE中，
ACDC=DCEC=32∠ACD=∠DCE
∴△ACD∽△DCE(SAS)
∴ED=23AD，
当E、D、B三点共线时，23AD+BD取得最小值，长度为EB，
EB= CE2+CB2= (83)2+82=83 10，
故B正确;
对于选项C.因为点D的运动轨迹为圆，∠CBD不是固定值，
故C不正确;
对于选项D.如下图：
过圆心C作CF⊥AB于点F，延长FC交圆于点D，则此时△ABD的面积取得最大值．
∵AC=6，BC=8，
∴AB=10，
根据S△ABC=12AC×BC=12AB×CF
得CF=4.8，
进而DF=8.8，
所以，
故D不正确．
8.【答案】C
【解析】解：连接DE，如图：
∵ABAD=BFAE=12，∠ABF=∠DAE=90°，
∴△ABF∽△DAE，
∴DEAF=ADAB=12，
∴12AF+CE=DE+CE，
延长DA至点D′，使AD′=AD，连接DE，则DE=D′E，
∴DE+CE=D′E+CE=m，
∴当点E为CD′与AB的交点时，m取最小值，此时
m=CD′= (DD′)2+CD2= (2×3)2+62=6 2
即m的最小值为6 2，
故选：C．
本题的思路是先根据两条边对应成比例并且夹角相等证明三角形相似，将12AF转化为DE，然后做DE关于AB的对称线段D′E，结论自然可得．
本题考查了矩形的性质，掌握三角形相似的性质是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查正方形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，添加辅助线构造全等三角形和相似三角形是关键，过点F作FN⊥BC于N，先根据正方形的性质利用AAS证明△FCN≌△CMB得CN=BM，FN=BC，再根据中点定义证明FN垂直平分CB，根据线段垂直平分线的定义即可判定①正确；连接AN，根据对边平行且相等的三角形是平行四边形证明四边形ANFB是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可判定故②正确；根据BG=GN=12BN，CN=12BC，得BG=14BC，CG=34BC，即可判定故③正确；过点G作GP//AB交CM于P，证明△CGP∽△CBM，根据相似三角形的性质得GP=34BM，证明△HGP∽△HAM，得GHAH=GPAM=34，设GH=3k，则AH=4K，AF=2AG=14K即可判定④错误．
【解答】
解：如图，过点F作FN⊥BC于N，
、
∵四边形ABCD、CMEF是正方形，
∴∠MCF=∠DCB=90°，CM=CF，
∴∠MCB+∠FCB=90°，∠FCB+∠CFN=90°，
∴∠MCB=∠CFN，
∴△FCN≌△CMB(AAS)
∴CN=BM，FN=BC
∵M为AB的中点，
∴BM=12AB=12BC，
∴CN=12BC，
∴FN垂直平分CB，
∴FC=FB，
∵FC=EF，
∴BF=EF，故①正确；
连接AN，
∵∠FNB=∠ABC=90°，
∴AB//FN，
又∵FN=BC，BC=AB，
∴FN=AB，
∴四边形ANFB是平行四边形，
∴BG=GN=12BN=12BM，
∴BM=2BG，故②正确；
∵BG=GN=12BN，CN=12BC，
∴BG=14BC，CG=34BC，
∴CG=3BG，故③正确；
过点G作GP//AB交CM于P，
∴△CGP∽△CBM，
∴GPBM=CGCB=34，
∴GP=34BM，
∵GP//AB
∴△HGP∽△HAM，
∴GHAH=GPAM=34，
∴设GH=3k，则AH=4K，
∴AG=GH+AH=7K，
∴AF=2AG=14K，
∴AF=AF=143GH，故④错误．
综上所述正确的是①②③ ．
故选A．
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【解答】
解：在选项A、B中，阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，则两三角形相似，故A、B选项不符合题意;
在C中，两三角形的对应边不成比例，则两三角形不相似，故C选项符合题意；
在D中，两三角形对应边成比例且夹角相等，则两三角形相似，故D选项不符合题意．
故选C．
11.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理以及三角形的面积．
过点E作EF⊥BC于F，先求出∠C=45∘，设AB=AC=4x，则AE=CE=2x，利用勾股定理求
出EF，BF的长，证明ΔBFE∽ΔEFD，求出DF= 23x′进而得到BC=6CD，则SΔABC=2SΔBCE=12SΔCDE=72．
【解答】
解：如图所示，过点E作EF⊥BC于F，
∵在RtΔABC中，∠A=90∘，AB=AC，
∴∠C=45∘，
设AB=AC=4x，
∵E是AC的中点，
∴AE=CE=2x，
∴BE2=AB2+AE2=20x2，
∴EF=CF= 22CE= 2x，
∴BF= BE2−EF2=3 2x，BC=4 2x，
∵BE⊥DE，
∴∠FEB+∠FBE=90∘=∠FEB+∠FED，
∴∠FBE=∠FED，
又∵∠BFE=∠EFD=90∘，
∴ΔBFE∽ΔEFD，
∴BFEF=EFDF，即3 2x 2x= 2xDF，
∴DF= 2x3，
∴CD=CF−FD=2 2x3，
∴BC=6CD，
∵△EDC的面积为6，
∴S△BCE=6S△EDC=36，
∵E是AC的中点，
∴SΔABC=2S△BCE=72．
12.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠BCD=90°，AB=BC=CD=2 2，
∵点E、F分别是边AB、BC的中点，
∴BE=12AB，CF=12BC，
∴BE=CF= 2，
在ΔCBE和ΔDCF中，BE=CF∠B=∠DCF=90°BC=CD
∴ΔCBE≌ΔDCF(SAS)
∴CE=DF= (2 2)2+( 2)2= 10．
∵点G、H分别是EC、FD的中点，
∴HF=CG= 102．
由△BEC≌△CFD知∠BCE=∠CDF，
∵∠CDF+∠CFD=90°，
∴∠CFD+∠BCE=90°，
∴∠FOC=90°，
∴CE⊥DF．
∵∠FCD=90°，
∴△FOC∽△FCD，
∴OFFC=OCCD=FCFD，
∴OF 2=OC2 2= 2 10，
∴OF= 105，OC=2 105，
∴OG=GC−OC= 1010，OH=HF−OF=3 1010，
∴GH= OG2+OH2= ( 1010)2+(3 1010)2=1．
故选：A．
利用正方形的性质和勾股定理求得CE=DF= 10，利用全等三角形的判定与性质和在直角三角形的性质得到CE⊥DF，利用相似三角形的判定与性质求出OF，OC，在Rt△OHG中，利用勾股定理即可求得结论．
本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用全等三角形的判定定理得到△BEC≌△CFD是解题的关键．
13.【答案】a+2b
【解析】【分析】
此题考查了平面向量的知识、相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．注意掌握三角形法则的应用是关键．根据平行四边形的判定与性质得到四边形DBFC是平行四边形，则DC=BF，故AF=2AB=2DC，结合三角形法则进行解答．
【解答】
解：如图，连接BD，FC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC//AB，DC=AB，
∴△DCE∽△FBE，
又E是边BC的中点，
∴DEEF=ECEB=11=1，
∴DE=FE，即点E是DF的中点，
∴四边形DBFC是平行四边形，
∴DC=BF，
∴AF=2AB=2DC，
∴DF=DA+AF=DA+2DC=a+2b．
故答案是：a+2b．
14.【答案】6
【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD=90°，
在Rt△ABD中，∵BD=10，AD=8，
∴AB= 102−82=6，
∵BE=2AE，
∴AE=2，
∵△PEM为等腰直角三角形，
∴PE=PM，∠EPM=90°，∠PME=∠PEM=45°，
∴点A、P在以EM为直径的圆上，
∴∠PAE=∠PME=45°，∠PAM=∠PEM=45°，
∴AP平分∠BAC，
即点P的轨迹在∠BAD的平分线上，
过D点作DP⊥AP于P点，此时DP的值最小，
∵∠PAD=45°，∠APD=90°，
∴∠PDA=45°，PA=PD，
∵∠EPA+∠APM=90°，∠APM+∠MPD=90°，
∴∠EPA=∠MPD，
在△EPA和△MPD中，
∠PAE=∠PDMPA=PD∠EPA=∠MPD，
∴△EPA≌△MPD(ASA)，
∴AE=DM=2，
∴AM=AD−DM=8−2=6．
故答案为：6．
先利用勾股定理计算出AB=6，则AE=2，再利用等腰直角三角形的性质得到PE=PM，∠EPM=90°，∠PME=∠PEM=45°，则根据圆周角定理可判断点A、P在以EM为直径的圆上，所以∠PAE=∠PME=45°，∠PAM=∠PEM=45°，从而可判断AP平分∠BAC，过D点作DP⊥AP于P点，利用垂线段最短得到DP的值最小，然后证明△EPA≌△MPD得到AE=DM=2，从而得到AM=6．
本题考查了矩形的性质：矩形的四个角都是直角．也考查了等腰直角三角形的性质、圆周角定理和全等三角形的判定与性质．
15.【答案】C(4,4)或C(5,2)
【解析】解：如图，
△OAB的两直角边之比为1：2，那么△ABC两直角边之比为1：2，
∵AB= 5，
∴当∠A=90°，AC=2 5，此时点C(5,2)，
当∠B=90°，BC=2 5，此时点C(4,4)，
故C点的坐标是C(4,4)或C(5,2)．
本题可根据图形得出AC与AB的长度比，再根据角A或角B为直角，来判断C点的位置．
本题考查了相似多边形的性质及点的坐标，此题需注意分情况讨论三角形哪一个角为直角的情况．
16.【答案】2
5−1
【解析】【分析】本题考查了翻折变换(折叠问题)，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键．根据矩形的性质得到AD=BC，∠ADC=∠B=∠DAE=90°，根据折叠的性质得到CF=BC，∠CFE=∠B=90°，EF=BE，根据全等三角形的判定与性质得到DF=AE=2，再根据相似三角形的判定与性质即可求出BE．
【解答】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠ADC=∠B=∠DAE=90°，
由折叠的性质知：CF=BC，∠CFE=∠B=90°，EF=BE，
∴CF=AD，∠CFD=90°，
∴∠ADE+∠CDF=∠CDF+∠DCF=90°，
∴∠ADE=∠DCF，
在△ADE与△FCD中，
∵∠ADE=∠DCF，AD=CF，∠EAD=∠DFC，
∴△ADE≌△FCD(ASA)，
∴DF=AE=2，DE=CD，
∵∠AFE=∠CFD=90°，
∴∠AFE=∠DAE=90°，
∵∠AEF=∠DEA，
∴△AEF∽△DEA，
∴AEDE=EFAE，
∴22+EF=EF2，
∴EF= 5−1(负值舍去)，
∴BE=EF= 5−1
17.【答案】【小题1】
证明：∵∠A与∠B都是CD⌢所对的圆周角，∴∠A=∠B. 又∵∠AED=∠BEC，∴△ADE∽△BCE．
【小题2】
∵AD2=AE·AC，∴AEAD=ADAC. 又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACD，∴∠AED=∠ADC.∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴∠AED=90°，∴直径AC⊥弦BD，∴CD⌢=CB⌢，∴CD=CB．
【解析】1. 略
2. 略
18.【答案】证明：∵ BDBE=ADCE=ABBC ，
∴△ABD∽△CBE，
∴∠ABD=∠CBE，
∴∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC，
即∠ABC=∠DBE.
又∵ ABBC=BDBE ，
即 ABBD=BCBE ，
∴△ABC∽△DBE．
【解析】略
19.【答案】证明：∵EF⋅DF=CF⋅BF．
∴EFBF=CFDF，
∵∠EFC=∠BFD，
∴△EFC∽△BFD，
∴∠CEF=∠B，
∴∠B=∠AED，
∵∠CAB=∠DAE，
∴△CAB∽△DAE．
【解析】根据相似三角形的判定得出△EFC∽△BFD，得出∠CEF=∠B，进而证明△CAB∽△DAE即可．
本题考查相似三角形的判定和性质知识，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定解答．
20.【答案】解：(1)证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠CAB，
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴ADAC=ACAB，
∴AC2=AB⋅AD；
(2)∵AC2=AB⋅AD，AC= 3，AB=2，
∴AD=AC2AB=( 3)22=32，
∵∠ACB=90°，E为AB的中点，
∴EA=EC=EB=12AB=12×2=1，
∴∠EAC=∠ECA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAE，
∴∠DAC=∠ECA，
∵∠AFD=∠CFE，
∴△AFD∽△CFE，
∴AFFC=ADEC=321=32．
【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质及直角三角形斜边上直线的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
(1)由AC平分∠BAD，得出∠DAC=∠CAB，再由∠ADC=∠ACB=90°，得出△ADC∽△ACB，进而得出ADAC=ACAB，即可证明AC2=AB⋅AD；
(2)由(1)可知AC2=AB⋅AD结合已知条件AC= 3，AB=2，可求出AD=32，EA=EC=EB=12AB=12×2=1，∠EAC=∠ECA，再根据AC平分∠DAB，得出∠DAC=∠CAE，得出∠DAC=∠ECA，由∠AFD=∠CFE，得出△AFD∽△CFE，即可得出AFFC=ADEC=32．
21.【答案】(1)证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠BDA=∠DAC+∠C=∠ADE+∠BDE，∠ADE=∠C，
∴∠BDE=∠DAC，
∴△ACD∽△DBE；
(2)证明：∵△ACD∽△DBE，
∴BECD=BDAC，
即BE⋅AC=BD⋅CD，
设BC=m，BD=x，则CD=m−x，
∴4BE⋅AC=4BD⋅CD=4x(m−x)=−(2x−m)2+m2，
∴4BE⋅AC≤m2，即4BE⋅AC≤BC2．
【解析】本题考查的是等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形外角的性质有关知识．
(1)利用等腰三角形的性质得出∠B=∠C，再结合三角形外角性质得出∠BDE=∠DAC，最后利用相似三角形的判定定理解答;
(2)根据相似三角形的性质得出BECD=BDAC，然后再解答．
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°，
∵BE⊥AP，DF⊥AP，
∴∠BEA=∠AFD=90°，
∵∠BAE+∠FAD=90°，∠FAD+∠ADF=90°，
∴∠BAE=∠ADF，
在△ABE和△DAF中
∠BEA=∠AFD∠BAE=∠ADFAB=AD，
∴△ABE≌△DAF(AAS)，
∴BE=AF，
∴EF=AE−AF=AE−BE；
(2)连接BF，如图所示：
∵AFBF=DFAD，AF=BE，
∴BEBF=DFAD，
∴BEDF=BFAD，
∴Rt△BEF∽Rt△DFA，
∴∠FBE=∠ADF，
∵∠ADF=∠BAE，
∴∠FBE=∠BAE，
又∵∠ABE+∠EBP=90°，∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠EBP=∠BAE=∠FBE，
在△BEF和△BEP中
∠EBP=∠EBFBE=BE∠BEP=∠BEF=90°，
∴△BEF≌△BEP(ASA)，
∴EF=EP．
【解析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，利用已知条件及角、边的等量关系的转换，结合问题来解题即可．
(1)证明△ABE≌△DAF，得出AF=BE，利用等量代换即可证明EF=AE−BE；
(2)利用AFBF=DFAD以及AF=BE通过等量代换，得到Rt△BEF∽Rt△DFA，即可得到∠FBE=∠ADF，通过利用角的等量代换得△BEF≌△BEP即可得到EF=EP．
23.【答案】解：(1)设AD与EF交于点M．
∵EF//BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AD⊥BC，
∴AM⊥EF，
∴EFBC=AMAD，
设DM=y，则x8=6−y6，
解得y=−34x+6．
∴S=12xy=−38(x−4)2+6(0
=−30S+1920
=−30×[−38(x−4)2+6]+1920
=454(x−4)2+1740．
∵454>0，
∴当x=4时，W最小，最小值为1740．
答：种植月季花和牡丹花的总费用的最小值为1740元．
【解析】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，二次函数的应用．
(1)证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形对应高的比等于相似比可得EFBC=AMAD，设DM=y，由相似可得y=−34x+6，再根据三角形面积公式列出S关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
(2)设总费用为W，然后列出W关于x的二次函数关系式，并根据二次函数的性质解答即可．
24.【答案】14
【解析】解：(1)∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=(DECB)2，
∵D是AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DECB=12，AE=EC
∴S△ADES△ABC=14，
∵△ADE与△CED等底同高，
∴S△ADE=S△CED，
∵设△ABC的面积为S，△DEC的面积为S′，
∴S′S=14．
故答案为：14．
(2)∵AB=4，AD=x，DE//BC，
∴△ADE∽△ABC
∴S△ADES△ABC=(ADAB)2=116x2①，
ADAB=AEAC=x4，
∴AEEC=x4−x，
∵△ADE与△CED，AE、EC边同高，
∴S△ADES△DEC=x4−x②，
∴①÷②得S△DECS△ABC=x(4−x)16，
∵设△ABC的面积为S，△DEC的面积为S′，S′S=y，
∴y=−116x2+14x，
∵AB=4，
∴自变量x的取值范围是0
(2)求S△ADES△ABC=(ADAB)2=116x2①，再求S△ADES△DEC=x4−x②，①÷②得最后结果．
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，三角形面积求法，掌握判定和性质的熟练应用是解题关键．
25.【答案】解：(1)BD=AE；
(2)BD=12AE．
理由：∵∠ABC=∠EDC=90∘，∠ACB=∠ECD=60∘，
∴∠BAC=∠DEC=30∘，
∴BCAC=CDCE=12，∠BCD=∠ECA．
∴△BCD∽△ACE，
∴BDAE=12，
∴BD=12AE;
(3)①如图3，当点D落在线段BE上时．
∵∠BAC=∠DEC=90∘，AB=AC，CE=DE，BC=2CD=4 2，
∴BC= 2AC=4 2，CD= 2EC=2 2，
∴AC=4，CE=DE=2．
∵∠E=90∘，
∴BE= BC2−CE2=2 7，
∴BD=BE−DE=2 7−2:
∵△BCD∽△ACE，
∴BDAE= 2，
∴AE= 22BD= 14− 2；
②如图4，当点E落在线段BD上时，
同理可得，BD=BE+DE=2 7+2，
∴AE= 22BD= 14+ 2．
综上所述，AE的长为 14− 2或 14+ 2．
【解析】解：(1)∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=60°．
∴∠BCD=∠ACE．
∴△BCD≌△ACE(SAS)．
∴BD=AE，
故答案为：BD=AE；
(2)见答案；
(3)见答案．
此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题．
(1)根据等边三角形的性质得AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=60∘.求出∠BCD=∠ACE.得出△BCD≌△ACE(SAS)，即可得出答案;
(2)延长BD交AE的延长线于点F，得出BCAC=CDCE=12，进而得出△BCD∽△ACE，即可得出答案;
(3)分两种情况，①当点D落在线段BE上时；②当点E落在线段BD上时，根据相似三角形的判定及性质作答即可．
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