2022年贵州省铜仁市印江县中考数学一模试卷

这是一份2022年贵州省铜仁市印江县中考数学一模试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）中国疫苗撑起全球抗疫“生命线”中国外交部数据显示，截止2021年3月底，我国已无偿向80个国家和3个国际组织提供疫苗援助．预计2022年中国新冠疫苗产能有望达到5000000000剂，约占全球产能的一半，必将为全球抗疫作出重大贡献．数据“5000000000”用科学记数法表示为（ ）
A．5×104B．5×109C．5×1010D．50×104
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．x2+x＝x3
B．（﹣3x）2＝6x2
C．8x4÷2x2＝4x2
D．（x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣2y2
3．（4分）几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ）
A．B．
C．D．
4．（4分）某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班的学生，对他们一周的课外阅读时间进行了统计，统计数据如下表，则该班学生一周课外阅读时间的中位数和众数分别是（ ）
A．8，7B．8，8C．8.5，8D．8.5，7
5．（4分）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）
A．95°B．100°C．105°D．110°
6．（4分）如图，正五边形ABCDE的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．12πB．6πC．108πD．10.8π
7．（4分）已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（ ）
A．a＜2B．a≤2C．a＞2D．a≥2
8．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm．点P从点A出发，以2cm/s的速度在矩形的边上沿A→B→C→D运动，点P与点D重合时停止运动．设运动的时间为t（单位：s），△APD的面积为S（单位：cm2），则S随t变化的函数图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
9．（4分）若等腰三角形的一条边长为5，另外两条边的长为一元二次方程x2﹣7x+k＝0的两个根，则k的值为（ ）
A．10B．C．10或D．
10．（4分）如图，边长为2的正方形ABCD中，AE平分∠DAC，AE交CD于点F，CE⊥AE，垂足为点E，EG⊥CD，垂足为点G，点H在边BC上，BH＝DF，连接AH、FH，FH与AC交于点M，以下结论：①FH＝2BH；②AC⊥FH；③S△ACF＝1；④；⑤EG2＝FG•DG，其中正确结论为（ ）
A．①②③B．③④⑤C．①②④⑤D．①②③④⑤
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．（4分）有甲、乙两组数据，如下表所示：
甲、乙两组数据的方差分别为s甲2，s乙2，则s甲2 s乙2（填“＞”，“＜”或“＝”）．
13．（4分）分式方程＝1﹣的解为 ．
14．（4分）如图，点O是△ABC的外心，∠A＝40°，连接BO、CO，则∠BOC＝ ．
15．（4分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，则A′C的长的最小值是 ．
16．（4分）有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入的x为1，则第一次输出的结果是4，第二次输出的结果是5，…，那么第2022次输出的结果是 ．
三、解答题：（共8个大题，共86分，要有解题的主要过程）
17．（10分）在直角坐标系中，设函数（k1是常数，k1＞0，x＞0）与函数y2＝k2x（k2是常数，k2≠0）的图象交于点A，点A关于y轴的对称点为点B．
（1）若点B的坐标为（﹣1，2），
①求k1，k2的值；
②当y1＞y2时，直接写出x的取值范围；
（2）若点B在函数y3＝（k3是常数，k3≠0）的图象上，求k1+k3的值．
18．（10分）如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE、EF、AE．
（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；
（2）加上条件 后，能使得四边形ADEF为菱形，请从①∠BAC＝90°；②AE平分∠BAC；③AB＝AC这三个条件中选择1个条件填空（写序号），并加以证明．
19．（10分）某校开展了“禁毒”知识的宣传教育活动．为了解这次活动的效果，现随机抽取部分学生进行知识测试，并将所得数据绘制成不完整的统计图表．
根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）补全条形统计图；
（3）该学校共有1600名学生，估计测试成绩等级在合格以上（包括合格）的学生约有多少人？
（4）在这次测试中，九年级（3）班的甲、乙、丙、丁四位同学的成绩均为“优秀”，现班主任准备从这四名同学中随机选取两名同学出一期“禁毒”知识的黑板报，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学同时被选中的概率．
20．（10分）如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑．宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”．某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：
方案设计：如图2，宝塔CD垂直于地面，在地面上选取A，B两处分别测得∠CAD和∠CBD的度数（A，D，B在同一条直线上）．
数据收集：通过实地测量：地面上A，B两点的距离为58m，∠CAD＝42°，∠CBD＝58°．
问题解决：求宝塔CD的高度（结果保留一位小数）．
参考数据：sin42°≈0.67，cs42°≈0.74，tan42°≈0.90，sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60．
根据上述方案及数据，请你完成求解过程．
21．（10分）印江县“精准扶贫“助农平台为朗溪镇农户销售水果，其中香甜可口的橘子在平台上的销售运营成本为每千克3元，除去运营成本余下的收入都归农户所有，在销售过程中要求农户的保底收入为3元/千克，且售价不超过15元/千克．市场调查发现，每周的橘子销售量y（千克）与售价x（元/千克）（x为正整数）之间满足某种函数关系，如表记录的是某三周的销售数据：
（1）请直接写出y与x之间符合哪种函数关系： ，请在横线上写出y与x之间的函数关系式，并在括号中注明x的取值范围： ，（ ）．
（2）若某一周橘子的销售量不少于6000千克，求本周朗溪镇农户获得的最大收入和橘子售价分别为多少元？
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上异于A、B的点，连接AC、BC，点D在BA的延长线上，且∠DCA＝∠ABC，点E在DC的延长线上，且BE⊥DC．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若＝，BE＝3，求DA的长．
23．（12分）如图，抛物线y＝a（x﹣2）2+3（a为常数且a≠0）与y轴交于点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）判断直线与抛物线的交点个数，并说明理由．
（3）当﹣4＜x≤m时，y有最大值，求m的值．
24．（14分）【问题发现】
（1）如图1所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的等边三角形，则的值是 （请直接写出答案）
【类比探究】
（2）如图2所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的含有30°角的直角三角形，求的值．
【拓展延伸】
如图3所示，△ADE和△ABC是有公共顶点且相似比为1：2的两个等腰直角三角形，将△ADE绕点A自由旋转，若，当B、D、E三点共线时，求BD的长．
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）中国疫苗撑起全球抗疫“生命线”中国外交部数据显示，截止2021年3月底，我国已无偿向80个国家和3个国际组织提供疫苗援助．预计2022年中国新冠疫苗产能有望达到5000000000剂，约占全球产能的一半，必将为全球抗疫作出重大贡献．数据“5000000000”用科学记数法表示为（ ）
A．5×104B．5×109C．5×1010D．50×104
【解答】解：5000000000＝5×109，
故选：B．
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．x2+x＝x3
B．（﹣3x）2＝6x2
C．8x4÷2x2＝4x2
D．（x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣2y2
【解答】解：x2+x不能合并，故选项A错误；
（﹣3x）2＝9x2，故选项B错误；
8x4÷2x2＝4x2，故选项C正确；
（x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣4y2，故选项D错误；
故选：C．
3．（4分）几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：根据该组合体的三视图发现该几何体为
．
故选：C．
4．（4分）某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班的学生，对他们一周的课外阅读时间进行了统计，统计数据如下表，则该班学生一周课外阅读时间的中位数和众数分别是（ ）
A．8，7B．8，8C．8.5，8D．8.5，7
【解答】解：学生一周课外阅读时间的出现次数最多的是7小时，因此众数是7；
将40名学生的读书时间从小到大排列后处在中间位置的两个数都是8小时，因此中位数是8，
故选：A．
5．（4分）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）
A．95°B．100°C．105°D．110°
【解答】解：如图：
∵∠2＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠2＝105°，
故选：C．
6．（4分）如图，正五边形ABCDE的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．12πB．6πC．108πD．10.8π
【解答】解：∵正五边形的外角和为360°，
∴每一个外角的度数为360°÷5＝72°，
∴正五边形的每个内角为180°﹣72°＝108°，
∵正五边形的边长为6，
∴S阴影＝＝10.8π，
故选：D．
7．（4分）已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（ ）
A．a＜2B．a≤2C．a＞2D．a≥2
【解答】解：∵，
∴，
∵关于x的不等式组无解，
∴a≥2，
故选：D．
8．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm．点P从点A出发，以2cm/s的速度在矩形的边上沿A→B→C→D运动，点P与点D重合时停止运动．设运动的时间为t（单位：s），△APD的面积为S（单位：cm2），则S随t变化的函数图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：当点P在线段AB上运动时，AP＝2t cm，S＝×6×2t＝6t cm2，是正比例函数，排除B选项；
当点P在线段BC上运动时，S＝×6×8＝24cm2；
当点P在线段CD上运动时，DP＝8+6+8﹣2t＝22﹣2t，S＝×AD×DP＝×6×（22﹣2t）＝（66﹣6t）cm，是一次函数的图象，排除A，C选项，D选项符合题意；
故选：D．
9．（4分）若等腰三角形的一条边长为5，另外两条边的长为一元二次方程x2﹣7x+k＝0的两个根，则k的值为（ ）
A．10B．C．10或D．
【解答】解：当5为腰长时，将x＝5代入原方程得25﹣7×5+k＝0，
解得：k＝10，
∴原方程为x2﹣7x+10＝0，
∴x1＝2，x2＝5，
长度为2，5，5的三条边能围成三角形，
∴k＝10符合题意；
当5为底边长时，Δ＝（﹣7）2﹣4k＝0，
解得：k＝，
∴原方程为x2﹣7x+＝0，
∴x1＝x2＝，
长度为，，5的三条边能围成三角形，
∴k＝符合题意；
综上，k的值为10或，
故选：C．
10．（4分）如图，边长为2的正方形ABCD中，AE平分∠DAC，AE交CD于点F，CE⊥AE，垂足为点E，EG⊥CD，垂足为点G，点H在边BC上，BH＝DF，连接AH、FH，FH与AC交于点M，以下结论：①FH＝2BH；②AC⊥FH；③S△ACF＝1；④；⑤EG2＝FG•DG，其中正确结论为（ ）
A．①②③B．③④⑤C．①②④⑤D．①②③④⑤
【解答】解：如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝90°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠FAD＝∠CAF＝22.5°，
在△ABH和△ADF中，
，
∴△ABH≌△ADF（SAS），
∴AH＝AF，∠BAH＝∠FAD＝22.5°，
∴∠HAC＝∠FAC，
∴HM＝FM，AC⊥FH，
∵AE平分∠DAC，
∴DF＝FM，
∴FH＝2DF＝2BH，
故①②正确，符合题意；
在Rt△FMC中，∠FCM＝45°，
∴△FMC是等腰直角三角形，
∵正方形的边长为2，
∴AC＝2，MC＝DF＝2﹣2，
∴FC＝2﹣DF＝2﹣（2﹣2）＝4﹣2，
∴S△ACF＝CF•AD＝4﹣2≠1，
故③不正确，不符合题意；
在Rt△ADF中，AF＝＝2，
∵∠ADF＝∠CEF＝90°，∠AFD＝∠CFE，
∴△ADF∽△CEF，
∴＝，
∴CE＝，
∴CE＝AF，
故④正确，符合题意；
⑤延长CE和AD的延长线交于N，如图2，
∵AE⊥CE，AE平分∠CAD，
∴CE＝EN，
∵EG∥DN，
∴CG＝DG，
在Rt△FEC中，EG⊥FC，
∴∠GEF＝∠GCE，
∴△EFG∽△CEG，
∴＝，
∴EG2＝FG•CG，
∴EG2＝FG•DG，
故选项⑤正确，符合题意；
故选：C．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 x≥﹣1且x≠0 ．
【解答】解：由题意得：x+1≥0且x≠0，
解得：x≥﹣1且x≠0，
故答案为：x≥﹣1且x≠0．
12．（4分）有甲、乙两组数据，如下表所示：
甲、乙两组数据的方差分别为s甲2，s乙2，则s甲2 ＞ s乙2（填“＞”，“＜”或“＝”）．
【解答】解：＝×（11+12+13+14+15）＝13，
s甲2＝[（11﹣13）2+（12﹣13）2+（13﹣13）2+（14﹣13）2+（15﹣13）2]＝2，
＝×（12+12+13+14+14）＝13，
s乙2＝[（12﹣13）2+（12﹣13）2+（13﹣13）2+（14﹣13）2+（14﹣13）2]＝0.8，
∵2＞0.8，
∴s甲2＞s乙2；
故答案为：＞．
13．（4分）分式方程＝1﹣的解为 x＝3 ．
【解答】解：去分母得：3＝x2+x﹣3x，
整理得：（x﹣3）（x+1）＝0，
解得：x＝3或x＝﹣1，
经检验x＝﹣1是增根，分式方程的解为x＝3，
故答案为：x＝3
14．（4分）如图，点O是△ABC的外心，∠A＝40°，连接BO、CO，则∠BOC＝ 80° ．
【解答】解：∵点O为△ABC的外心，∠A＝40°，
∴∠A＝∠BOC，
∴∠BOC＝2∠A＝80°，
故答案为：80°．
15．（4分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，则A′C的长的最小值是 ﹣1 ．
【解答】解：以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点A′在线段CE上时，A′C的长取最小值，如图所示．
根据折叠可知：A′E＝AE＝AB＝1．
在Rt△BCE中，BE＝AB＝1，BC＝3，∠B＝90°，
∴CE＝＝，
∴A′C的最小值＝CE﹣A′E＝﹣1．
故答案为：﹣1．
16．（4分）有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入的x为1，则第一次输出的结果是4，第二次输出的结果是5，…，那么第2022次输出的结果是 8 ．
【解答】解：第一次输出的结果是：1+3＝4，
第二次输出的结果是：×4+3＝5，
第三次输出的结果是：5+3＝8，
第四次输出的结果是：×8+3＝7，
第五次输出的结果是：7+3＝10，
第六次输出的结果是：×10+3＝8，
第七次输出的结果是：×8+3＝7，
第八次输出的结果是：7+3＝10，
…，
∴从第三次开始，输出的结果分别是8、7、10、8、7、10、…，
（2022﹣2）÷3
＝2020÷3
＝673…1
∴2022次输出的结果是8．
故答案为：8．
三、解答题：（共8个大题，共86分，要有解题的主要过程）
17．（10分）在直角坐标系中，设函数（k1是常数，k1＞0，x＞0）与函数y2＝k2x（k2是常数，k2≠0）的图象交于点A，点A关于y轴的对称点为点B．
（1）若点B的坐标为（﹣1，2），
①求k1，k2的值；
②当y1＞y2时，直接写出x的取值范围；
（2）若点B在函数y3＝（k3是常数，k3≠0）的图象上，求k1+k3的值．
【解答】解：（1）①由题意得，点A的坐标是（1，2），
∵函数y1＝（k1是常数，k1＞0，x＞0）与函数y2＝k2x（k2是常数，k2≠0）的图象交于点A，
∴2＝，2＝k2，
∴k1＝2，k2＝2；
②由图象可知，当y1＞y2时，x的取值范围是x＜1；
（2）设点A的坐标是（x0，y），则点B的坐标是（﹣x0，y），
∴k1＝x0•y，k3＝﹣x0•y，
∴k1+k3＝0．
18．（10分）如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE、EF、AE．
（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；
（2）加上条件 ② 后，能使得四边形ADEF为菱形，请从①∠BAC＝90°；②AE平分∠BAC；③AB＝AC这三个条件中选择1个条件填空（写序号），并加以证明．
【解答】解：（1）证明：已知D、E、F为AB、BC、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，
∴DE∥AC，且DE＝＝AF．
即DE∥AF，DE＝AF，
∴四边形ADEF为平行四边形．
（2）证明：选②AE平分∠BAC，
∵AE平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠FAE，
又∵四边形ADEF为平行四边形，
∴EF∥DA，
∴∠DAE＝∠AEF，
∴∠FAE＝∠AEF，
∴AF＝EF，
∴平行四边形ADEF为菱形．
选③AB＝AC，
∵EF∥AB且EF＝，DE∥AC且DE＝，
又∵AB＝AC，
∴EF＝DE，
∴平行四边形ADEF为菱形．
19．（10分）某校开展了“禁毒”知识的宣传教育活动．为了解这次活动的效果，现随机抽取部分学生进行知识测试，并将所得数据绘制成不完整的统计图表．
根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
（1）a＝ 25 ，b＝ 0.1 ，c＝ 100 ；
（2）补全条形统计图；
（3）该学校共有1600名学生，估计测试成绩等级在合格以上（包括合格）的学生约有多少人？
（4）在这次测试中，九年级（3）班的甲、乙、丙、丁四位同学的成绩均为“优秀”，现班主任准备从这四名同学中随机选取两名同学出一期“禁毒”知识的黑板报，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学同时被选中的概率．
【解答】解：（1）抽取的学生人数为：60÷0.6＝100（人），
∴c＝100，
∴a＝100﹣60﹣10﹣5＝25，b＝10÷100＝0.1，
故答案为：25，0.1，100；
（2）补全条形统计图：
（3）估计测试成绩等级在合格以上（包括合格）的学生约有人数为：1600×（0.6+0.25+0.1）＝1520（人）；
（4）画树状图如图：
共有12种等可能的结果，甲、乙两名同学同时被选中的结果有2种，
∴甲、乙两名同学同时被选中的概率为＝．
20．（10分）如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑．宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”．某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：
方案设计：如图2，宝塔CD垂直于地面，在地面上选取A，B两处分别测得∠CAD和∠CBD的度数（A，D，B在同一条直线上）．
数据收集：通过实地测量：地面上A，B两点的距离为58m，∠CAD＝42°，∠CBD＝58°．
问题解决：求宝塔CD的高度（结果保留一位小数）．
参考数据：sin42°≈0.67，cs42°≈0.74，tan42°≈0.90，sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60．
根据上述方案及数据，请你完成求解过程．
【解答】解：设CD＝x m，
在Rt△ACD中，AD＝，
在Rt△BCD中，BD＝，
∵AD+BD＝AB，
∴，
解得，x≈33.4．
答：宝塔的高度约为33.4m．
21．（10分）印江县“精准扶贫“助农平台为朗溪镇农户销售水果，其中香甜可口的橘子在平台上的销售运营成本为每千克3元，除去运营成本余下的收入都归农户所有，在销售过程中要求农户的保底收入为3元/千克，且售价不超过15元/千克．市场调查发现，每周的橘子销售量y（千克）与售价x（元/千克）（x为正整数）之间满足某种函数关系，如表记录的是某三周的销售数据：
（1）请直接写出y与x之间符合哪种函数关系： 一次函数 ，请在横线上写出y与x之间的函数关系式，并在括号中注明x的取值范围： y＝﹣500x+12000 ，（ 6≤x≤15 ）．
（2）若某一周橘子的销售量不少于6000千克，求本周朗溪镇农户获得的最大收入和橘子售价分别为多少元？
【解答】解：（1）∵x增加1，y减少500，
∴符合一次函数关系．
设y＝kx+b（k≠0）．
∵经过点（6，9000），（8，8000），
∴．
解得：．
∴y＝﹣500x+12000．
∵橘子在平台上的销售运营成本为每千克3元，除去运营成本余下的收入都归农户所有，在销售过程中要求农户的保底收入为3元/千克，且售价不超过15元/千克，
∴6≤x≤15．
故答案为：一次函数，y＝﹣500x+12000，6≤x≤15；
（1）设销售收入为w元．
w＝（x﹣3）（﹣500x+12000）＝﹣500x2+13500x﹣36000．
∵﹣500＜0，
∴w有最大值．
∴抛物线的对称轴是直线：x＝﹣＝13.5．
∵销售量不少于6000千克，
∴﹣500x+12000≥6000．
解得：x≤12．
∴6≤x≤12．
∴x＝12时，w有最大值，最大值＝（12﹣3）（﹣500×12+12000）＝54000（元）．
答：本周朗溪镇农户获得的最大收入为54000元，橘子售价为12元/千克．
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上异于A、B的点，连接AC、BC，点D在BA的延长线上，且∠DCA＝∠ABC，点E在DC的延长线上，且BE⊥DC．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若＝，BE＝3，求DA的长．
【解答】(1)证明:连接OC,
∵OC＝OB,
∴∠OCB＝∠OBC,
∵∠ABC＝∠DCA,
∴∠OCB＝∠DCA,
又∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB＝90°,
∴∠ACO+∠OCB＝90°,
∴∠DCA+∠ACO＝90°,
即∠DCO＝90°,
∴DC⊥OC,
∵OC是半径,
∴DC是⊙O的切线;
(2)解:∵,且OA＝OB,
设OA＝OB＝2x,OD＝3x,
∴DB＝OD+OB＝5x,
∴,
又∵BE⊥DC,DC⊥OC,
∴OC∥BE,
∴△DCO∽△DEB,
∴,
∵BE＝3,
∴OC＝,
∴2x＝,
∴x＝,
∴AD＝OD﹣OA＝x＝,
即AD的长为．
23．（12分）如图，抛物线y＝a（x﹣2）2+3（a为常数且a≠0）与y轴交于点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）判断直线与抛物线的交点个数，并说明理由．
（3）当﹣4＜x≤m时，y有最大值，求m的值．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣2）2+3与y轴交于点A（0，），
∴4a+3＝，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣2）2+3；
（2）联立解析式得kx+＝﹣（x﹣2）2+3，
整理得x2+（3k﹣4）x﹣3＝0，
∴Δ＝（3k﹣4）2+12＞0，
∴直线与抛物线有两个交点；
（3）∵函数的对称轴为直线x＝2，
当m＜2时，当x＝m时，y有最大值，
＝﹣（m﹣2）2+3，
解得解得m＝，
∴m＝﹣，
当m≥2时，当x＝2时，y有最大值，
＝3，
解得m＝，
综上所述，m的值为﹣或．
24．（14分）【问题发现】
（1）如图1所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的等边三角形，则的值是 1 （请直接写出答案）
【类比探究】
（2）如图2所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的含有30°角的直角三角形，求的值．
【拓展延伸】
（3）如图3所示，△ADE和△ABC是有公共顶点且相似比为1：2的两个等腰直角三角形，将△ADE绕点A自由旋转，若，当B、D、E三点共线时，求BD的长．
【解答】解：（1）∵△ADE和△ABC均为等边三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，
∴，
故答案为：1；
（2）在Rt△ADE和Rt△ABC中，∠DAE＝∠BAC＝30°，
∴∠DAE+∠BAE＝∠BAC+∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在Rt△ADE中，∠DAE＝30°，
∴cs∠ADE＝cs30°＝，
∴，
同理：，
∴，
∵∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△ACE，
∴；
（3）①如图所示，
∵△ADE和△ABC均为等腰直角三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ADB＝∠AEC＝45°，
∴∠DEC＝90°，
∴CE⊥BD，
由题意可知：DE＝BC＝，
设BD＝CE＝x，则BE＝BD﹣DE＝x﹣，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：CE2+BE2＝BC2，
∴x2+（x﹣）2＝（2）2，
∴x＝或x＝（舍去），
∴BD＝；
②如图所示，
同①的方法得，△ABD≌△ACE（SAS），CE⊥BD，
设BD＝CE＝x，则BE＝x+，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：CE2+BE2＝BC2，
∴x2+（x+）2＝（2）2，
∴x＝或x＝（舍去），
∴BD＝；
综上所述，BD＝或．
读书时间
6小时及以下
7小时
8小时
9小时
10小时及以上
学生人数
6
11
8
8
7
甲
11
12
13
14
15
乙
12
12
13
14
14
等级
频数（人数）
频率
优秀
60
0.6
良好
a
0.25
合格
10
b
基本合格
5
0.05
合计
c
1
x（元/千克）
6
7
8
9
y（千克）
9000
8500
8000
7500
读书时间
6小时及以下
7小时
8小时
9小时
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学生人数
6
11
8
8
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甲
11
12
13
14
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乙
12
12
13
14
14
等级
频数（人数）
频率
优秀
60
0.6
良好
a
0.25
合格
10
b
基本合格
5
0.05
合计
c
1
x（元/千克）
6
7
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y（千克）
9000
8500
8000
7500