2022年贵州省铜仁市中考数学一模试卷（含解析）

2022年贵州省铜仁市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1. 年月日，十三届全国人大五次会议顺利闭幕，据统计今年需要就业的城镇新增劳动力达到约人，多年来最高．用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

2. 如图所示的几何体是由五个相同的小正方体组合而成的，它的主视图是

A.
B.
C.
D.

3. 下列等式不正确的是

A.  B.
C.  D.

4. 已知一组数据，，，，，的众数是，则这组数据的中位数是

A.  B.  C.  D.

5. 若一个正比例函数的图象经过，两点，则的值为

A.  B.  C.  D.

6. 如图，直线、被直线所截，则，，经过下列哪项操作可以使

A. 使绕点顺时针旋转
B. 使绕点逆时针旋转
C. 使绕点顺时针旋转
D. 使绕点逆时针旋转
 

7. 如图，在菱形中，，为中点，过点作垂直于交于点，连接，则等于

A.
B.
C.
D.

8. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是

A.
B.
C.
D.
 

9. 如图，▱中，对角线与相交于点，，，将沿所在直线翻折到其原来所在的同一平面内，若点的落点记为，恰好，若点为上一点，则的最短距离是

A.  B.  C.  D.

10. 已知二次函数的图象过点，图象向右平移个单位以后轴为对称轴，图象向上平移个单位后与轴只有一个公共点，则这个二次函数的解析式为

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. 的倒数是______．
12. 甲、乙二人五次数学考试成绩如下：
    甲：，，，，；
    乙：，，，，．
    则甲、乙两人成绩比较稳定的是______．
13. 如图，▱，点，，，反比例函数的图象经过点，则______．

14. 一个圆锥的母线与高的夹角为，，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是______
15. 如图，在中，，按下列步骤作图：
    步骤：以点为圆心，小于的长为半径作弧分别交、于点、；
    步骤：分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；
    步骤：作射线交于点，若，则______．
16. 如图，在平面直角坐标系内，、的横坐标分别是和，线段，，，，都垂直于轴，且，，，等线段互相平行，若，，，都在直线上则的长度是______．

三、计算题（本大题共1小题，共8分）

17. 先化简，再求值：，其中，．
    
    
    
    
    
    
     

四、解答题（本大题共7小题，共78分）

18. 已知抛物线过、两点，且交于轴的负半轴．请证明抛物线的对称轴是直线其中点的坐标被污渍盖住了．
    请问能否根据题中信息求抛物线的解析式？若能，请写出解题过程；若不能，请说明理由；
    请把原题补充完整，并完成原题证明．
    
    
    
    
    
    
     
19. 某校在课后服务中，成立了以下社团：机器人，摄影，篮球，书法．每人只能加入一个社团．为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图中所占扇形的圆心角为．
    请结合图中所给信息解答下列问题：
    这次被调查的学生共有______人；
    请你将条形统计图补充完整；
    若该校共有学生加入了社团，请你估计这名学生中有多少人参加了篮球社团；
    在书法社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，恰好四位同学中有两名是男同学，两名是女同学．现决定从这四人中任选两名参加全市书法大赛，用列表法求恰好选中一男一女的概率．

20. 如图，某商家想在商场大楼上悬挂一块广告牌，广告牌高根据商场规定广告牌最高点不得高于地面，经测量，测角仪支架高，在处测得广告牌底部点的仰角为，在处测得标语牌顶部点的仰角为，，请计算说明，商家这样放广告牌是否符合规定？图中点，，，，，，，在同一平面内

21. 在正方形中，，点是中点，将沿翻折，点落在点处，延长交延长线于点，交于点，连接．
    求证：≌；
    求；
    求的长度．
    
    
    
    
    
    
     
22. 某网红直播间销售、两种新型饮料，已知饮料单价是饮料单价的倍，且用元购买饮料的数量比用元购买饮料的数量少箱．若饮料的进价为元箱，根据厂家规定饮料的销售利润不低于进价的且不高于进价的在销售过程中发现，饮料每天的销售量箱与销售单价元满足一次函数关系．当销售单价为元时，每天的销售量为箱；当销售单价为元时，每天的销售量为箱．
    求饮料和饮料的单价各是多少元？
    求与之间的函数关系式；
    当饮料销售单价为多少时，该直播间饮料的销售量最大．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，已知内接于，连接并延长到点交于点，交于点，连接、，此时．
    求证：是的切线；
    若，，，求的半径和的长．
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，正方形对角线、交于点，、分别为正方形边、上的点，交于点，且，为中点．
    请直接写出与的关系；
    若将绕点旋转到图所示位置时，中的结论是否成立，若成立请证明；若不成立，请说明理由；
    若，为中点，绕点旋转过程中，直接写出点与点的最大距离和最小距离的差．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

2.【答案】
 

【解析】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层中间是一个小正方形，
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图．解题的关键是理解简单组合体的三视图的定义，明确从正面看得到的图形是主视图．
 

3.【答案】
 

【解析】解：、原式，故此选项不符合题意；
B、原式，故此选项符合题意；
C、原式，故此选项不符合题意；
D、原式，故此选项不符合题意；
故选：．
利用二次根式的性质判断，根据完全平方公式判断，根据分式的基本性质判断，根据提取公因式和平方差公式判断．
本题考查二次根式的化简，分式的化简，理解二次根式的性质，掌握完全平方公式和平方差公式是解题关键．
 

4.【答案】
 

【解析】解：根据题意，．
把这组数据从小到大排列为：，，，，，所以中位数为．
故选：．
根据众数的定义确定，然后把数据按大小关系排列确定中位数．
考查了众数及中位数的定义，众数是数据中出现次数最多的数，注意众数可以不止一个．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
 

5.【答案】
 

【解析】解：一个正比例函数的图象经过，两点，
，
解得：．
故选：．
由点，在同一个正比例函数的图象上，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：，
，
，
要使，则使绕点顺时针旋转，
故选：．
由补角的定义可求得，再利用平行线的判定：同位角相等，两直线平行，对各项进行分析即可．
本题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定条件：同位角相等，两直线平行．
 

7.【答案】
 

【解析】解：连接，

为中点，，
，
，
，
四边形是菱形，
，，
在和中，
，
≌，
，
故选：．
连接，求出，由菱形的性质得出，，证明≌，由全等三角形的性质得出，则可得出答案．
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：由二次函数的图象可得，，，
一次函数的图象经过第一、二、三象限，
故选：．
根据二次函数的图象可以得到、的正负，从而可以得到一次函数的图象，本题得以解决．
本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

9.【答案】
 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
如图，连接，过点作于点，

由折叠性质可知：
，．
，
．
，
是等腰直角三角形．
．
，
，
由折叠性质可知：，，
是等边三角形，
，
．
则的最短距离是．
故选：．
连接，过点作于点，由翻折的性质可证明是等腰直角三角形．可得然后证明是等边三角形，可得，进而可以解决问题．
本题主要考查了折叠的对称性以及平行四边形的性质，解决折叠问题的关键是找到对应相等的边和角，构造新的三角形求解．
 

10.【答案】
 

【解析】解：设二次函数的解析式为，
图象向右平移个单位后的解析式为，
图象向右平移个单位以后轴为对称轴，
，
，
图象向上平移个单位后与轴只有一个公共点，
，
，
把点代入得，
，
，
，
故选：．
设二次函数的解析式为，根据图象向右平移个单位以后轴为对称轴，得出，再根据图象向上平移个单位后与轴只有一个公共点得出，再把点代入解析式即可得出结论．
本题主要考查二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，关键是掌握二次函数的几何变换．
 

11.【答案】
 

【解析】解：的倒数是，
故答案为：．
根据倒数的定义，可得答案．
本题考查了实数的性质，分子分母交换位置是求一个数的倒数．
 

12.【答案】乙
 

【解析】解：甲的平均数是：，
则甲的方差是：，
乙的平均数是：，
则乙的方差是：，
，
乙的成绩比较稳定．
故答案为：乙．
根据平均数的定义先求出甲和乙的平均数，再根据方差公式求出甲和乙的方差，然后进行比较，即可得出答案．
本题考查方差的定义与意义，牢记方差的计算公式是解答本题的关键，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
 

13.【答案】
 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，，
轴，，
而点坐标为，
点的坐标为，
反比例函数的图象经过点，
，
故答案为：．
由，，得到轴，，根据平行四边形的性质得，而点坐标为，可得到点的坐标为，然后把代入即可得到．
本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握平行四边形的性质和待定系数法求函数解析式．
 

14.【答案】
 

【解析】解：如图，，
设，则，这个圆锥的侧面展开图的圆心角是，
根据题意得，
解得，
即这个圆锥的侧面展开图的圆心角是．
故答案为：．
先画出几何图形，利用正弦的定义得到，则设，则，这个圆锥的侧面展开图的圆心角是，利用弧长公式得到，然后求出即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

15.【答案】
 

【解析】解：由作法得平分，
点到和的距离相等，
：：，
：：，
：：，
即：：，
，
．
故答案为：．
由作法得平分，根据角平分线的性质得到点到和的距离相等，则利用三角形面积公式得到：：，然后利用比例性质求出，最后计算即可．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质．
 

16.【答案】
 

【解析】解：当时，，

．
当时，．

．
，
．
，
．
，
当时，，
，
，
．
故答案为：．
利用直线的解析式分别解得线段，的长度，利用平行线的性质求得对应的数值，并计算的长度，通过观察结论的规律性即可得出结论．
本题主要考查了一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，点的坐标的变化的规律，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式

，
，
，
原式．
 

【解析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的，结合零指数幂，特殊角的三角函数值，有理数的乘方运算法则确定和的值，从而代入求值．
本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的和计算法则是解题关键．
 

18.【答案】解：能，
抛物线的对称轴是直线，
，
，
抛物线过，
，
，
，
舍，，
抛物线的解析式为：；
补充：或；
证明：抛物线过，，
，
，
将代入中得：，
，
抛物线的对称轴是直线．
 

【解析】先根据抛物线的对称轴是直线列方程可得的值，再把代入中，可得的值，根据抛物线交轴的负半轴可知，写出抛物线的解析式即可；
补充：或；分别将和两点的坐标代入解析式可解答．
本题运用了待定系数法求函数解析式，二次函数的对称轴及性质，掌握二次函数的性质是关键．
 

19.【答案】
 

【解析】解：这次被调查的学生共有：人，
故答案为：；
篮球社团的人数为：人，
将条形统计图补充完整如下：

人，
答：估计这名学生中有人参加了篮球社团；
设甲、乙为男同学，丙、丁为女同学，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中恰好选中一男一女的结果有种
恰好选中一男一女的概率为．
由的人数除以所占比例即可；
求出的人数，即可解决问题；
由该校共有学生人数除以参加篮球社团的学生所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中恰好选中一男一女的结果有种再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率、扇形统计图、条形统计图以及用样本估计总体．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

20.【答案】解：不符合，理由如下：
由题意知，四边形，是矩形，
，
，
，
，
设，则，
在中，，，，
，
，
解得：，
，
，
，
答：商家这样放广告牌不符合规定．
 

【解析】根据等腰直角三角形的性质得到，根据正切的定义求出，进而求出，与比较即可．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

21.【答案】证明：四边形是正方形，，
，，
由折叠得，，，
，，
在和中，
，
≌．
解：，，
，，
，
，
，
，
．
解：设，则，
≌，
，
是中点，
，
，
，
，
解得，
，，
，
∽，
，
，
的长度为．
 

【解析】由四边形是正方形，，，由折叠得，，则，而是和的公共边，根据直角三角形全等的判定定理“”即可证明≌；
由，得，则；
设，正方形的边长为，则，由是中点得，则，在中根据勾股定理列方程求出的值，得到的长和的长，此证明∽，即可根据相似三角形的对应边成比例求出的长即可．
此题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数、解直角三角形等知识与方法，证明≌及∽是解题的关键．
 

22.【答案】解：设饮料的单价为元，则饮料的单价为元，
由题意可得：，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
，
答：饮料的单价是元，饮料的单价是元；
设与之间的函数关系式是，
当销售单价为元时，每天的销售量为箱；当销售单价为元时，每天的销售量为箱，
，
解得，
即与之间的函数关系式是；
厂家规定饮料的销售利润不低于进价的且不高于进价的
，
解得，
，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，此时，
答：当饮料销售单价为元时，该直播间饮料的销售量最大．
 

【解析】根据饮料单价是饮料单价的倍，且用元购买饮料的数量比用元购买饮料的数量少箱，可以列出相应的分式方程，然后求解即可；
根据在销售过程中发现，饮料每天的销售量箱与销售单价元满足一次函数关系．当销售单价为元时，每天的销售量为箱；当销售单价为元时，每天的销售量为箱，可以求得与的函数解析式；
根据中的函数解析式和厂家规定饮料的销售利润不低于进价的且不高于进价的，可以得到的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到当饮料销售单价为多少时，该直播间饮料的销售量最大．
本题考查一次函数的应用、分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
 

23.【答案】证明：连接，

是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
是半径，
是的切线；
解：为的直径，
，
，，
，
，
，
，
，，
∽，
，
，
，
，
，
设，，
，
，
，
．
 

【解析】连接，由圆周角定理得出，由等腰三角形的性质得出，证出，则可得出结论；
证明∽，由相似三角形的性质得出，设，，由勾股定理得出，求出则可得出答案．
本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
 

24.【答案】解：，
理由：如图，连接，
四边形是正方形，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
．
成立，
证明：如图，，，
，
，，
，
，
如图，连接、、，交于点，交于点，交于点，
由旋转得，
，
≌，
，，
，
，
，，
，，
，
，，
，
，，
，
．
如图，，为中点，
，
如图，连接、，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
的最大值为，的最小值为，
，
的最大值和最小值的差为，
点与点的最大距离和最小距离的差为．
 

【解析】连接，由四边形是正方形可证明，，根据三角形的中位线定理可证明，，进而证得，，则，所以；
先证明≌，得，，再证明，根据三角形的中位线定理证明，，，，则，再证明，所以；
先根据勾股定理求得，，则，因为两点之间，线段最短，所以，则，整理得，即可求出点与点的最大距离和最小距离的差．
此题考查正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、勾股定理、“两点之间，线段最短”等知识，此题难度较大，属于考试压轴题．