2022年贵州省铜仁市碧江区中考数学一模试卷（含解析）

2022年贵州省铜仁市碧江区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1. 在，，，，，，中，无理数有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

2. 如图所示的主视图对应的几何体是

A.
B.
C.
D.

3. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

4. 我国古代著作四元玉鉴记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为文．如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是

A.  B.
C.  D.

5. 如图，在矩形纸片中，，，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点，且，则的长度是

A.
B.
C.
D.

6. 反比例函数的图象是双曲线，在每一个象限内，随的增大而减小，若点，，都在双曲线上，则，，的大小关系为

A.  B.  C.  D.

7. 若一个三角形的两边长分别是和，第三边的边长是方程的一个根，则这个三角形的周长为

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在中，，，，动点从点沿，以的速度向点运动，同时动点从点沿，以的速度向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动．则运动过程中所构成的的面积与运动时间之间的函数图象大致是

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在四边形中，，，，，分别以和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，直线与延长线交于点，连接，则的内切圆半径是

A.  B.  C.  D.

10. 如图，正方形的边长为，点是的中点，与交于点，是上一点，连接分别交，于点，，且，连接，则以下结论中：；；；∽，正确的是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. 分解因式：______．
12. 函数的自变量的取值范围是______．
13. 如果样本方差，那么这个样本的平均数是______ ，样本容量是______ ．
14. 若关于的方程无解，则的值是______．
15. 如图，在中，，，，直线是中边的垂直平分线，是直线上的一动点，则的周长的最小值为______．
     

16. 如图，直线与轴交于，按如图方式作正方形，，，，点，，在直线上，点，，，在轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为，，，，则的值为______ 用含的代数式表示，为正整数．

三、解答题（本大题共8小题，共86分）

17. 【读一读】
    欧拉，是世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都作出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数、棱数、面数之间存在一定的数量关系，并研究出了著名的欧拉公式．
    【数一数】观察下列多面体，并把表格补充完整：

【想一想】分析表中的数据，你能发现，，之间有什么关系吗？请用一个等式表示出它们之间的数量关系：______．

18. 如图，在四边形中，，连接，点在上，连接，若，．
    求证：．
    若，，求的度数．
19. 某校为了解九年级同学学习“青年大学习”的情况，进行了问卷调查，按照调查结果，将学习情况分为优秀、良好、合格、较差，绘制了如图不完整的统计图，根据图中信息解答下列问题：
    
    将条形统计图补充完整；
    若该校九年级有名学生，请估计九年级学生“青年大学习”学习情况为“优秀”和“良好”的一共有多少名？
    该校某班有名同学名男同学、名女同学在调查中获得“优秀”等级，班主任将从这名同学中随机选取名同学，代表班级参加学校组织的“青年大学习”演讲大赛．请用列表或画树状图的方法，求所选两位同学恰好是名男同学和名女同学的概率．
20. 在疫情防控工作中，某学校在校门口的大门上方安装了一个人体测温摄像头．如图，学校大门高米，为体温监测有效识别区域的长度，小明身高米，他站在点处测得摄像头的仰角为，站在点处测得摄像头的仰角为，求体温监测有效识别区域的长度．

21. 某公司生产的某种商品每件成本为元，经过市场调研发现，这种商品在未来天内的日销售量件与时间天的关系如下表：

未来天内，前天每天的价格元件与时间天的函数关系式为且为整数，后天每天的价格元件与时间天的函数关系式为且为整数．
       下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：
认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的件与天之间的表达式；
请预测未来天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？

22. 如图，已知是的直径，是上的一点，是上的一点，于，交于，且．
    求证：是的切线；
    求证：∽；
    若，，圆的半径，求的长．
     

23. 如图，已知抛物线与一直线相交于，两点，与轴交于点，其顶点为．
    
    填空：抛物线的解析式为______ ；
    若是抛物线上位于直线上方的一个动点，设点的横坐标为，过点作轴的平行线交与，当为何值时，线段的长最大，并求其最大值；
    若抛物线的对称轴与直线相交于点，为直线上的任意一点，过点作交抛物线于点，以，，，为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请直接写出点的坐标；若不能，请说明理由．
24. 如图，在中，点与点分别为，上的点，现将绕点顺时针方向旋转，连接，．
    在图中，求证：∽；
    若，，点与点分别为，的中点．
    如图，当旋转到，，三点一线且在，之间时，求的长度；
    求在旋转过程中面积的最大值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，是分数，属于有理数；
，是整数，属于有理数；
无理数有，，，共个．
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
本题考查了无理数，算术平方根，立方根，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：、主视图为，故此选项错误；
B、主视图为，故此选项正确；
C、主视图为，故此选项错误；
D、主视图为，故此选项错误．
故选：．
根据主视图是在正面内得到的由前向后观察物体的视图，逐一判断即可．
本题主要考查了三视图，理解主视图的特点和熟记看的见部分的轮廓线画成实线，因被其他部分遮挡而看不见部分的轮廓线画成虚线是解题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：原式，故A错误；
原式，故B错误；
原式，故D错误；
故选：．
根据整式的运算法则以及分式的运算法则即可求出答案．
本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．
 

4.【答案】

【解析】解：依题意，得：．
故选：．
根据单价总价数量结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：设，
由折叠的性质得：，
在和中，
，
≌，

，，
，，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
．
故选：．
由证明≌，得出，，，因此，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
本题考查了翻折变换，矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和全等三角形的判定与性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：反比例函数的图象是双曲线，在每一个象限内，随的增大而减小，
图象在一、三象限，
，
，
，
，
，
故选：．
根据反比例函数的性质，图象在一、三象限，在双曲线的同一支上，随的增大而减小，则，而，则可比较三者的大小．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，在反比函数中，已知各点的横坐标，比较纵坐标的大小，首先应区分各点是否在同一象限内．在同一象限内，按同一象限内点的特点来比较，不在同一象限内，按坐标系内点的特点来比较．
 

7.【答案】

【解析】解：，
，
或，
当时，
，
、、不能组成三角形，
当时，
，
、、能够组成三角形，
这个三角形的周长为，
故选：．
根据一元二次方程的解法可求出第三边，然后根据三角形三边关系即可求出答案．
本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及三角形三边关系，本题属于基础题型．
 

8.【答案】

【解析】解：运动时间，则，；
．
则的面积与运动时间之间的函数关系式是：，
故选：．
解决本题的关键是正确确定与之间的函数解析式．
解决本题的关键是读懂图意，确定函数关系式．
 

9.【答案】

【解析】解：在四边形中，，，
四边形是平行四边形，
，
由作图过程可得，
，
是等边三角形，
的内切圆半径是．
故选：．
先根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，根据作图过程可得，根据等边三角形的判定可得是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可求解．
本题考查的是平行四边形的判定与性质，三角形的内切圆与内心，作图基本作图，熟知垂直平分线的作法是解答此题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：正方形的边长为，点是的中点，
，，，
，
，
，
在与中，，
≌，
，
，
∽，
，
；故正确；
由勾股定理可知：，
，
，
，，
，故正确，
作于．
，
，
，
，
，
，，
，故正确，
，
，
与不相似，故错误．
故选：．
正确．利用相似三角形的性质解决问题即可．
正确．作于，求出，即可解决问题．
正确．求出，即可判断．
错误．证明即可．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
 

11.【答案】

【解析】解：原式，
故答案为：
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

12.【答案】且

【解析】解：由题意得：，，
解得：且，
故答案为：且．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：在公式中，平均数是，样本容量是，
在中，这个样本的平均数为，样本容量为．
故答案为：；．
先根据方差公式中所有字母所代表的意义，是样本容量，是样本中的平均数，再结合给出的式子即可得出答案．
本题考查方差的定义：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
 

14.【答案】或

【解析】解：，
，
，
分两种情况：
当时，，
当时，，
把代入中可得：
，
值不存在，
把代入中可得：
，
，
综上所述：的值是：或，
故答案为：或．
分两种情况，整式方程无解，分式方程产生增根无解．
本题考查了分式方程的解，分两种情况是解题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：直线是中边的垂直平分线，
，
的周长，
当、、三点共线时，的周长最小，
，，，
的周长，
的周长最小值为，
故答案为．
当、、三点共线时，的周长最小，最小值为的长．
本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：直线的，
直线与轴的夹角为，
直线与坐标轴相交构成的三角形是等腰直角三角形，
当时，，
所以，，
即第一个正方形的边长为，
所以，第二个正方形的边长为，
第三个正方形的边长为，
，
第个正方形的边长为，
，
，
，
，
．
故答案为．
根据直线解析式判断出直线与坐标轴相交构成的三角形是等腰直角三角形，再求出，即第一个正方形的边长，同理依次求出第二个、第三个正方形的边长，然后根据规律写出第个正方形的边长，如果根据阴影部分的面积等于相应正方形的面积的一半列式计算即可得解．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，根据直线解析式判断出等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．
 

17.【答案】     

【解析】解：由图可知，三棱锥有个面；三棱柱有个顶点；八面体有条棱．
故答案为：，，．
三棱锥：；
三棱柱：；
正方体：；
八面体：．
根据以上规律，我们发现．
故答案为：．
直接根据图形，数出结果；
针对各个几何体，分别计算，再总结一般规律．
本题考查欧拉公式．解题的关键是能够根据题目中所给数据，从特殊到一般，找出规律．
 

18.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌，
；
解：，
，
，
，
，
．

【解析】由，得，再利用证明≌，从而证明结论；
由，得，从而得出，再根据，利用三角形内角和定理解决问题．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，证明≌是解题的关键．
 

19.【答案】解：抽取的学生数为：人；
则抽取的学生中良好的人数为：人，
将条形统计图补充完整如下：

名，
即估计九年级学生“青年大学习”学习情况为“优秀”和“良好”的一共有名；
画树状图如图：

共有种等可能的结果，其中所选两位同学恰好是名男同学和名女同学的结果有种，
所选两位同学恰好是名男同学和名女同学的概率为．

【解析】利用优秀的人数除以优秀的人数所占的百分比可得抽查的人数，再求出良好的人数，然后将条形统计图补充完整即可；
由九年级总人数乘以“优秀”和“良好”的人数所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中所选两位同学恰好是名男同学和名女同学的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查了树状图法求概率、扇形统计图和条形统计图等知识，正确画出树状图是解题关键．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

20.【答案】解：根据题意可知：四边形和是矩形，米，
米，，
设，
在中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
解得：，
米，
答：体温监测有效识别区域的长为米．

【解析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造三角关系，进而可求出答案．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，熟练掌握以上知识是解答此题的关键．
 

21.【答案】解：经分析知：与成一次函数关系．设，
将，，，
代入，
解得，
；

前天日销售利润为元，后天日销售利润为元，
则，
当时，有最大值，为元．
，
当时，随的增大而减小，
时，有最大值，为元．
，
第天日销售利润最大，最大利润为元．

【解析】从表格可看出每天比前一天少销售件，所以判断为一次函数关系式；
日利润日销售量每件利润，据此分别表示前天和后天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论．
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：熟练掌握各函数的性质和图象特征，针对所给条件作出初步判断后需验证其正确性；最值问题需由函数的性质求解时，正确表达关系式是关键．同时注意自变量的取值范围．
 

22.【答案】证明：，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
证明：是的直径，
，
，，
，
，
，
，
∽；
解：是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
．

【解析】由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得，可证出是的切线；
由圆周角定理得出，由等腰三角形的性质得出，根据相似三角形的判定可得出结论；
由勾股定理可求，由锐角三角函数可求，可求，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．
本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，切线的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，证明∽是本题的关键．
 

23.【答案】

【解析】解：将，代入抛物线的解析式得：
，
解得：，
抛物线的解析式为，
故答案为：；
是抛物线上位于直线上方的一个动点，横坐标为，
点的坐标为；
设直线的解析式为，
将，代入得：
，
解得：，
直线的解析式为；
轴，点在上，
点的坐标为，


，
当时，的长最大，最大值为；
以，，，为顶点的四边形能为平行四边形，理由如下：

，
顶点，
直线的解析式为，抛物线的对称轴与直线相交于点，
，
，
设点，则，

，
，
，
，
或，
解得：，舍，，．
点的坐标为：或或

利用待定系数法求解即可；
设直线的解析式为，利用待定系数法求得其解析式，用含的式子表示点和点的坐标，从而用含的式子表示出线段，根据二次函数的性质可得答案；
将抛物线写成顶点式，求得顶点的坐标，由以，，，为顶点的四边形能为平行四边形，且，可得，设点，则，，根据得出关于的方程，求解即可．
本题属于二次函数综合题，综合考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式、二次函数的性质及平行四边形的性质等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
 

24.【答案】证明：，
∽，
，，
在图中，，，
∽；
解：，，点与点分别为，的中点．
，，
由旋转得：，
，，，
≌，
，，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，舍去，
；
过点作于，过点作于，过点作于，

四边形是矩形，
，
，，
，
，
，
，
当、、三点共线时取最大值，
，，点与点分别为，的中点．
，，
，
，
，
面积的最大值．

【解析】由可得∽，根据相似三角形的性质得，，可得，即可得∽；
由已知可得和是等腰直角三角形，由证明≌，根据全等三角形的性质可得，则，根据购股定理求出，，设，则，在中，由勾股定理可求出，即可得出的长度；
过点作于，过点作于，过点作于，则四边形是矩形，，由，可得出当、、三点共线时取最大值，根据等腰直角三角形的性质求出，即可求解．
此题是相似形综合题，主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识点，作出辅助线得出、、三点共线时取最大值是解本题的关键．