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2023-2024学年湖南省常德市汉寿一中高二（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年湖南省常德市汉寿一中高二（下）期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={−1,0,1,2}，集合B={x∈R|1≤2x−1≤4}，则A∩B=( )
A. {−1,1}B. {0,1,2}C. {1,2,3}D. {1,2}
2.已知α、β是不同的平面，m、n是不同的直线，则下列命题不正确的是( )
A. 若m⊥α，m//n，n⊂β，则α⊥β
B. 若m⊥α，m//n，则n⊥α
C. 若m//α，m//n，则n//α
D. 若m⊥α，m⊥β，则α//β
3.已知x≠0，那么函数y=x2+1x2有( )
A. 最小值2B. 最大值2C. 最小值4D. 最大值4
4.已知f(x)为偶函数且02f(x)dx=4，则−22(2f(x)+xe|x|)dx等于( )
A. 0B. 4C. 8D. 16
5.(x2+x+14)5的展开式中，x7的系数为( )
A. 5B. 7C. 10D. 15
6.已知圆的方程x2+y2+2ax+9=0圆心坐标为(5,0)，则圆的半径为( )
A. 2B. 4C. 10D. 3
7.甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以A1，A2和A3表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是( )
A. P(B|A2)=411B. 事件A1与事件B相互独立
C. P(A3|B)=12D. P(B)=310
8.已知偶函数f(x)定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)且x1，x2∈(−∞,0)上有f(x1)−f(x2)x1−x2>0(x1≠x2)，若f(−1)=0，则不等式f(x)<0的解集是( )
A. (−∞,−1)∪(0,1)B. (−∞,−1)∪(1,+∞)
C. (−1,0)∪(0,1)D. (−1,0)∪(1,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某学校共有学生2000人，其中高一800人，高二高三各600人，学校为了了解学生在寒假期间每天的读书时间，按照分层随机抽样的方法从全校学生中抽取100人，其中高一学生，高二学生，高三学生每天读书时间的平均数分别为x1−=2.7，x2−=3.1，x3−=3.3，每天读书时间的方差分别为s12=1，s22=2，s32=3，则下列正确的是( )
A. 从高二年级抽取30人
B. 被抽取的学生中，高二年级每天的总读书时间比高一年级多15小时
C. 被抽取的学生每天的读书时间的平均数为3小时
D. 估计全体学生每天的读书时间的方差为s2=1.966
10.下列说法正确的是( )
A. f(x)=x与g(x)=lnex为同一函数
B. 已知a，b为非零实数，且a>b，则1ab2>1a2b恒成立
C. 若等式的左、右两边都有意义，则sin4α−cs4α=2sin2α−1恒成立
D. 函数f(x)=3x+x2−11有且仅有一个零点，在区间(1,2)内
11.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P满足DP=λDD1+μDA，λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，则下列结论正确的是( )
A. 当λ=μ时，BP//平面CB1D1
B. 当μ=12时，存在点P使得DP与直线CB1的夹角为π6
C. 当λ+μ=1时，存在点P使得C1P与平面ABC1D1所成的角为π4
D. 当λ+μ=1时，CP长度的最小值为 62
三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
12.若f(x)=ax+b(a>0)，且f(f(x))=4x+1，则f(3)=_________．
13.数学家斐波那契(1770～1250)，以兔子繁殖为例，引入“兔子数列“：即1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233.…，在实际生活中，很多花朵(如梅花，飞燕花，万寿简等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛的应用.已知斐波那契数列{an}满足a1=1，a2=1，an+2=an+1+an，若a2+a3+a5+a7+a9+⋯+a59=ak，则k= ______．
14.已知函数y=f(x)的图象如图所示，函数y=f(x)的导数为y=f′(x)，则f′(3)，f′(4)，f(4)−f(3)的大小关系为______.(由小到大顺序表示)
四、解答题：本题共5小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题14分)
已知直线l1：2x−y+1=0，l2：x+y−4=0，圆C以直线l1，l2的交点C为圆心，且过点A(3,3)．
(1)求圆C的方程；
(2)若直线l：2x−y+t=0与圆C相切，求t的值；
(3)求圆C上的点到直线l′：x−y+10=0的距离的最大值．
16.(本小题14分)
已知△ABC三个顶点是A(1,4)，B(−2,−1)，C(2,3)．
(1)求BC边上的垂直平分线的直线方程；
(2)求点A到BC边所在直线的距离及△ABC的面积．
17.(本小题14分)
如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，CE//AB．
(1)求证：CE⊥PD；
(2)若PA=1，AB=2，AD=3，且∠CDE=45°，求平面ABP与平面PCE所成锐二面角的大小．
18.(本小题14分)
一只口袋中装有形状、大小都相同的10个小球，其中有红球1个，黑球4个，白球5个．
(1)从中1次随机摸出3个球，记白球的个数为X，求随机变量X的概率分布；
(2)从袋子中任取两个小球，若其中一个小球是黑球，求另一个小球也是黑球的概率．
19.(本小题18分)
定义1进位制：进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满二进一，就是二进制：满十进一，就是十进制；满十二进一，就是十二进制；满六十进一，就是六十进制；等等.也就是说，“满几进一”就是几进制，几进制的基数就是几，一般地，若k是一个大于1的整数，那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字符号连写在一起的形式anan−1⋯a1a0(k)(an,an−1,⋯,a1,a0∈N,0定义2三角形数：形如1+2+3+⋯+m，即12m(m+1)(m∈N*)的数叫做三角形数．
(1)若 aa⋅⋅⋅a(9)9个a是三角形数，试写出一个满足条件的a的值；
(2)若11111(k)是完全平方数，求k的值；
(3)已知cn= 11⋯1(9)n个1，设数列{cn}的前n项和为Sn，证明：当n>3时，Sn>9n2−7n2．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵A={−1,0,1,2}，B={x∈R|1≤2x−1≤4}={x|1≤x≤3}，
∴A∩B={1,2}．
故选：D．
求出B中不等式的解确定出B，找出A与B的交集即可．
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A项：因为m⊥α，m//n，所以n⊥α，因为n⊂β，所以α⊥β，A正确；
B项：由m⊥α，m//n，根据线面垂直的性质能推出n⊥α，B正确；
C项：n有可能在平面α内，C错误；
D项：由垂直于同一条直线的两个平面互相平行知，D正确．
故选：C．
根据线面垂直与平行的判定，结合面面平行垂直的性质与判定逐个选项判断即可．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
3.【答案】A
【解析】解：∵x≠0，∴x2>0，∴y=x2+1x2≥2，当且仅当x2=1x2，即x=±1时取得“=”．
故选A．
可根据条件，利用基本不等式判断其最值．
本题考查基本不等式，关键在于对基本不等式成立的条件的检验，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：令h(x)=xe|x|，则h(−x)=−xe|−x|=−xe|x|=−h(x)，
则h(x)=xe|x|为奇函数，则−22xe|x|dx=0，
又f(x)为偶函数且02f(x)dx=4，
则−222f(x)dx=2−22f(x)dx=402f(x)dx=16，
则−22(2f(x)+xe|x|)dx=−222f(x)dx+−22xe|x|dx=16+0=16
故选：D．
利用奇偶函数的对称性，再结合定积分运算法则求解．
本题考查奇偶函数的对称性，定积分运算法则，属于中档题．
5.【答案】D
【解析】解：因为(x2+x+14)5=[(x+12)2]5=(x+12)10，
所以(x+12)10展开式的通项公式为Tr+1=C10rx10−r⋅(12)r，
当10−r=7时，r=3，T4=C103x7⋅(12)3，
则C103(12)3=15，x7的系数为15．
故选：D．
将原式化简，再根据二项定理的展开项通项公式确定x7的系数．
本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
6.【答案】B
【解析】解：由圆的一般方程可得圆的标准方程为：(x+a)2+y2=a2−9，
可得圆心坐标为(−a,0)，由题意可得a=−5，
可得半径r= a2−9= 25−9=4，
故选：B．
由圆的方程可得圆心坐标及半径，由题意可得a的值，进而求出半径的大小．
本题考查圆的一般方程与标准方程之间的互化，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：由题意得P(B|A2)=33+3+4+1=311，所以A错误；
因为P(B|A1)=411，
P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=310×411+210×311+510×311=310，
所以P(B)≠P(B|A1)，即P(B)P(A1)≠P(BA1)，
故事件事件A1与事件B不相互独立，所以B错误，D正确；
P(A3|B)=P(A3B)P(B)=P(A3)P(B|A3)P(B)=510×311310=511，所以C错误；
故选：D．
A选项，根据题意求出P(B|A2)=311，判断A选项；
B选项，利用全概率公式求出P(B)=310，进而得到P(B)P(A1)≠P(BA1)，判断事件事件A1与事件B不相互独立，得到D选项正确；
C选项，利用条件概率公式求解即可．
本题考查了条件概率、相互独立事件以及全概率的计算问题，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：由条件有当x∈(−∞,0)时，f(x)单调递增．因为f(x)为偶函数，
所以f(x)在(0,+∞)上单调递减．
当x<0时，f(x)递增且f(−1)=0，所以当x<−1时，f(x)<0；
当x>0时，f(x)递减且f(1)=0，所以当x>1时，f(x)<0；
故选：B．
由条件可知当x∈(−∞,0)时，f(x)单调递增，结合f(x)为偶函数，所以f(x)在(0,+∞)上单调递减．利用单调性解f(x)<0．
本题考查函数的单调性与奇偶性的联系，属于基础题．
9.【答案】ACD
【解析】解：对于选项A，根据分层抽样，分别从高一学生，高二学生，高三学生中抽取40人，30人，30人，故A正确；
对于选项B，抽取的高二年级每天的总读书时间为x2−×30=93，
抽取的高一年级每天的总读书时间为x1−×40=108，
高二年级每天的总读书时间比高一年级少15小时，故B错误；
对于选项C，被抽取的学生每天的读书时间的平均数为40100×2.7+30100×3.1+30100×3.3=3(小时)，故C正确；
对于选项D，被抽取的学生每天的读书时间的方差为：
40100×[1+(2.7−3)2]+30100×[2+(3.1−3)2]+30100×[3+(3.3−3)2]=1.966，
∴估计全体学生每天的读书时间的方差为s2=1.966，故D正确．
故选：ACD．
根据分层抽样、平均数、方差等知识对选项进行分析，从而确定正确答案．
本题主要考查了分层抽样的定义，考查了平均数和方差的计算，属于基础题．
10.【答案】ABC
【解析】解：对于A，因为函数f(x)=x与g(x)=lnex=x的定义域相同，
对应法则相同，所以是同一个函数，故选项A正确；
对于B，因为a，b为非零实数，且a>b，
所以1ab2−1a2b=a−ba2b2>0，故选项B成立；
对于C，因为sin4α−cs4α=(sin2α+cs2α)(sin2α−cs2α)=sin2α−cs2α=2sin2α−1，故选项C正确；
对于D，因为函数f(x)=3x+x2−11的零点个数等价于g(x)=3x与h(x)=11−x2图象交点的个数，作出图象易知，交点的个数为2，
所以函数f(x)=3x+x2−11有两个零点，故选项D错误．
故选：ABC．
根据题意，分别利用函数的概念，不等式的性质，同角三角函数的基本关系和零点存在性定理逐项进行检验即可判断．
本题考查函数的简单性质的应用，函数的零点的求法，考查发现问题解决问题的能力，是中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：对于A：当λ=μ时，因为DP=λDD1+μDA，由向量的加法可知，P的轨迹为线段DA1，
如图(1)所示，由正方体的结构特征可知，平面CB1D1//平面A1BD，BP⊂平面A1BD，
∴BP//平面CB1D1，故A正确；
对于B：当μ=12时，如图(1)，点P的轨迹为线段EF，因为直线CB1//直线DA1，
所以DP与直线CB1的夹角即为DP与直线DA1的夹角，
当P与E重合时，DP与直线DA1所成角最大，即DP与直线CB1所成角最大，最大为π4>π6，
最小为0，故存在点P使得DP与直线CB1的夹角为π6，故B正确；
对于C：当λ+μ=1时，因为DP=λDD1+μDA，所以A、P、D1三点共线，即 P的轨迹为线段D1A.如图(2)，
在正方体ABCD−A1B1C1D1中，对于平面ABC1D1，C1P⊂面ABC1D1，故不存在点P使得C1P与平面ABC1D1所成的角为π4，故C错误；
对于D：当λ+μ=1时，如图(2)，P的轨迹为线段D1A，当P为D1A的中点时，CP的长度最小．此时CP= 12+( 22)2= 62，故D正确．
故选：ABD．
对于A：先判断出P的轨迹为线段DA1，利用平面CB1D1//平面A1BD，证明出BP//平面CB1D1；
对于B：先判断出P的轨迹为线段EF，再判断出DP与直线CB1的夹角即为DP与直线DA1的夹角，根据角的范围进行判断；
对于C：先判断出P的轨迹为线段D1A，由C1P⊂平面ABC1D1，即可判断结论；
对于D：先判断出P的轨迹为线段D1A，求出CP的长度最小值．
本题考查立体几何中的动点轨迹问题一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型，有两种处理方法：
(1)很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义法)；
(2)要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式．
12.【答案】193
【解析】解：由f(f(x))=af(x)+b=a2x+ab+b=4x+1，
所以a2=4，ab+b=1(a>0)，
解得a=2，b=13，
所以f(x)=2x+13，
于是f(3)=193．
由f(f(x))=af(x)+b=a2x+ab+b=4x+1，所以a2=4，ab+b=1(a>0)，解得a=2，b=13，由此能够求出f(3)．
本题考查函数值的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意函数解析式的求解和常用方法的灵活运用．
13.【答案】60
【解析】【分析】
本题考查了数列递推公式的应用，解得关键是利用an+2=an+1+an将所求解的式子进行转化，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．
利用an+2=an+1+an将a2+a3+a5+a7+a9+⋯+a59=ak进行转化，即可得到答案．
【解答】
解：因为斐波那契数列{an}满足a1=1，a2=1，an+2=an+1+an，
所以a2+a3+a5+a7+a9+⋯+a59
=a4+a5+a7+a9+⋯+a59
=a6+a7+a9+⋯+a59
=⋅⋅⋅
=a58+a59
=a60
=ak，
所以k=60．
故答案为60．
14.【答案】f′(4)【解析】解：由函数f(x)的图象可知函数单调递增，但是增长速度越来越慢，
f′(4)表示函数在(4,f(4))处切线的斜率，f′(3)表示函数在(3,f(3))处切线的斜率，
f(4)−f(3)4−3表示(4,f(4))和(3,f(3))两点连线的斜率，
所以f′(4)即f′(4)故答案为：f′(4)结合函数f(x)的图象以及导数的几何意义判断集合．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
15.【答案】解：(1)联立直线方程2x−y+1=0x+y−4=0，即可得交点C(1,3)，
圆C的半径r=|AC|= (3−1)2+(3−3)2=2，
∴圆C的方程为：(x−1)2+(y−3)2=4．
(2)由C点到直线l的距离d=|2−3+t| 4+1=2，
∴t=1±2 5．
(3)由C点到直线l′的距离d=|1−3+10| 1+1=4 2，
圆C上点到直线距离的最大值为4 2+2．
【解析】(1)求得两直线的交点C的坐标，可求圆C的半径，从而可求圆C的方程；
(2)利用圆心到直线的距离等于圆的半径可求t；
(3)求得圆心C到直线的距离，可求圆C上的点到直线l′：x−y+10=0的距离的最大值．
本题考查求圆的方程，考查点到直线的距离，考查圆上的点到直线距离的最大值的求法，属中档题．
16.【答案】解：(1)∵B(−2,−1)，C(2,3)，
∴kBC=3+12+2=1，
则BC边上的垂直平分线的斜率为：k=−1，
又BC的中点D的坐标为(0,1)，
所以BC边的中垂线所在的直线方程为：y−1=−(x−0)，即为x+y−1=0；
(2)直线BC的方程为：y+1=x+2，即x−y+1=0，
则点A(1,4)到直线BC：x−y+1=0的距离为：d=|1−4+1| 2= 2，
|BC|= (2+2)2+(3+1)2=4 2，
故△ABC面积为12×4 2× 2=4．
【解析】(1)先利用坐标求解kBC=1，利用垂直关系求得BC边上的垂直平分线的斜率为：k=−1，再求解BC的中点D的坐标，即得解；
(2)利用点到直线距离公式求解点A到BC边所在直线的距离，即为△ABC的高，△ABC的底边长为|BC|，求解即可．
本题考查了直线的方程，点到直线的距离，是中档题．
17.【答案】(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，BA⊂平面ABCD，
∴BA⊥PA．
∵BA⊥AD，AD、PA⊂平面PAD且AD∩PA=A，
∴BA⊥平面PAD，
∵CE//BA，∴CE⊥平面PAD，
又PD⊂平面PAD，
∴CE⊥PD；
(2)解：∵∠CDE=π4，
又CE=AB=2,∠CED=π2，
∴DE=CE=AB=2，AE=1，
以A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，连结PE，
则A(0,0,0)，B(2,0,0)，E(0,1,0)，P(0,0,1)，C(2,1,0)，
则PC=(2,1,−1),PE=(0,1,−1)，
由题意知平面PAB的一个法向量为m=(0,1,0)，
设平面PCE的法向量为n=(x,y,z)，
由n⊥PE,n⊥PC，
得y−z=02x+y−z=0，取y=1，则n=(0,1,1)，
设所求二面角为θ,θ∈(0,π2)，
则csθ=|m⋅n||m|⋅|n|=11× 2= 22，
所以θ=π4．
【解析】(1)根据线面垂直的性质与判定定理可得BA⊥平面PAD，再利用线面垂直的性质即可证明；
(2)根据题意建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求出平面PCE的法向量，结合空间向量数量积的定义即可求出二面角．
本题考查了线线垂直的证明以及二面角的求解，属于中档题．
18.【答案】解：(1)由题意可知，X可能的取值为0，1，2，3，
P(X=0)=C53C103=112，P(X=1)=C51C52C103=512，P(X=2)=C52C51C103=512，P(X=3)=C53C103=112，
随机变量X的分布列为：
(2)设“从袋子中任取两个小球，其中一个小球是黑球”为事件A，“另一个小球也是黑球”为事件B，
则P(A)=C41C61+C42C102=23，P(AB)=C42C102=215，
由条件概率公式可得P(B|A)=P(AB)P(A)=21523=15，
所以从袋子中任取两个小球，若其中一个小球是黑球，另一个小球也是黑球的概率为15．
【解析】(1)求出X的可能值，并求出各个值对应的概率，列出分布列作答．
(2)根据给定条件，利用条件概率公式计算作答．
本题主要考查离散型随机变量分布列的求解，考查转化能力，属于基础题．
19.【答案】解：(1)aa⋯a(9)=a(9n−1)8=a⋅12⋅3n−12(3n−12+1)，
当a=1时，aa⋯a(9)就是一个三角形数．
(2)11111(k)=k4+k3+k2+k+1，
(k2+k2)2若k是偶数，则k2+k2和k2+k2+1是两个连续正整数，所以上式不成立，得k是奇数．
所以11111(k)=(k2+k+12)2=k4+k3+k2+k+1．
解得k=3，即11111(3)=34+33+32+3+=121=112．
(3)由题意可知：cn=9n−18，且n>3，
则Sn=9+92+93+⋯+9n8−n8=964(9n−1)−n8=964[(1+8)n−1]−n8
>964[Cn0+Cn1⋅8+Cn2⋅82−1]−n8=964[8n+32n(n−1)]−n8=9n2−7n2．
∴Sn>9n2−7n2．
【解析】(1)根据9进制的概念，先计算aa⋯a(9)=a(9n−1)8，然后把a(9n−1)8因数分解成12m(m+1)的形式，观察可得a的值．
(2)先计算11111(k)=k4+k3+k2+k+1，利用(k2+k2)2<11111(k)<(k2+k2+1)2，分k为偶数和奇数讨论求k的值．
(3)先求利用等比数列的求和公式求Sn，结合二项式定理证明不等式．
本题以新定义为载体，主要考查了数列的求和，考查了逻辑推理能力的应用，属于中档题．X
0
1
2
3
P
112
512
512
112
1.已知集合A={−1,0,1,2}，集合B={x∈R|1≤2x−1≤4}，则A∩B=( )
A. {−1,1}B. {0,1,2}C. {1,2,3}D. {1,2}
2.已知α、β是不同的平面，m、n是不同的直线，则下列命题不正确的是( )
A. 若m⊥α，m//n，n⊂β，则α⊥β
B. 若m⊥α，m//n，则n⊥α
C. 若m//α，m//n，则n//α
D. 若m⊥α，m⊥β，则α//β
3.已知x≠0，那么函数y=x2+1x2有( )
A. 最小值2B. 最大值2C. 最小值4D. 最大值4
4.已知f(x)为偶函数且02f(x)dx=4，则−22(2f(x)+xe|x|)dx等于( )
A. 0B. 4C. 8D. 16
5.(x2+x+14)5的展开式中，x7的系数为( )
A. 5B. 7C. 10D. 15
6.已知圆的方程x2+y2+2ax+9=0圆心坐标为(5,0)，则圆的半径为( )
A. 2B. 4C. 10D. 3
7.甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以A1，A2和A3表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是( )
A. P(B|A2)=411B. 事件A1与事件B相互独立
C. P(A3|B)=12D. P(B)=310
8.已知偶函数f(x)定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)且x1，x2∈(−∞,0)上有f(x1)−f(x2)x1−x2>0(x1≠x2)，若f(−1)=0，则不等式f(x)<0的解集是( )
A. (−∞,−1)∪(0,1)B. (−∞,−1)∪(1,+∞)
C. (−1,0)∪(0,1)D. (−1,0)∪(1,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某学校共有学生2000人，其中高一800人，高二高三各600人，学校为了了解学生在寒假期间每天的读书时间，按照分层随机抽样的方法从全校学生中抽取100人，其中高一学生，高二学生，高三学生每天读书时间的平均数分别为x1−=2.7，x2−=3.1，x3−=3.3，每天读书时间的方差分别为s12=1，s22=2，s32=3，则下列正确的是( )
A. 从高二年级抽取30人
B. 被抽取的学生中，高二年级每天的总读书时间比高一年级多15小时
C. 被抽取的学生每天的读书时间的平均数为3小时
D. 估计全体学生每天的读书时间的方差为s2=1.966
10.下列说法正确的是( )
A. f(x)=x与g(x)=lnex为同一函数
B. 已知a，b为非零实数，且a>b，则1ab2>1a2b恒成立
C. 若等式的左、右两边都有意义，则sin4α−cs4α=2sin2α−1恒成立
D. 函数f(x)=3x+x2−11有且仅有一个零点，在区间(1,2)内
11.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P满足DP=λDD1+μDA，λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，则下列结论正确的是( )
A. 当λ=μ时，BP//平面CB1D1
B. 当μ=12时，存在点P使得DP与直线CB1的夹角为π6
C. 当λ+μ=1时，存在点P使得C1P与平面ABC1D1所成的角为π4
D. 当λ+μ=1时，CP长度的最小值为 62
三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
12.若f(x)=ax+b(a>0)，且f(f(x))=4x+1，则f(3)=_________．
13.数学家斐波那契(1770～1250)，以兔子繁殖为例，引入“兔子数列“：即1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233.…，在实际生活中，很多花朵(如梅花，飞燕花，万寿简等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛的应用.已知斐波那契数列{an}满足a1=1，a2=1，an+2=an+1+an，若a2+a3+a5+a7+a9+⋯+a59=ak，则k= ______．
14.已知函数y=f(x)的图象如图所示，函数y=f(x)的导数为y=f′(x)，则f′(3)，f′(4)，f(4)−f(3)的大小关系为______.(由小到大顺序表示)
四、解答题：本题共5小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题14分)
已知直线l1：2x−y+1=0，l2：x+y−4=0，圆C以直线l1，l2的交点C为圆心，且过点A(3,3)．
(1)求圆C的方程；
(2)若直线l：2x−y+t=0与圆C相切，求t的值；
(3)求圆C上的点到直线l′：x−y+10=0的距离的最大值．
16.(本小题14分)
已知△ABC三个顶点是A(1,4)，B(−2,−1)，C(2,3)．
(1)求BC边上的垂直平分线的直线方程；
(2)求点A到BC边所在直线的距离及△ABC的面积．
17.(本小题14分)
如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，CE//AB．
(1)求证：CE⊥PD；
(2)若PA=1，AB=2，AD=3，且∠CDE=45°，求平面ABP与平面PCE所成锐二面角的大小．
18.(本小题14分)
一只口袋中装有形状、大小都相同的10个小球，其中有红球1个，黑球4个，白球5个．
(1)从中1次随机摸出3个球，记白球的个数为X，求随机变量X的概率分布；
(2)从袋子中任取两个小球，若其中一个小球是黑球，求另一个小球也是黑球的概率．
19.(本小题18分)
定义1进位制：进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满二进一，就是二进制：满十进一，就是十进制；满十二进一，就是十二进制；满六十进一，就是六十进制；等等.也就是说，“满几进一”就是几进制，几进制的基数就是几，一般地，若k是一个大于1的整数，那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字符号连写在一起的形式anan−1⋯a1a0(k)(an,an−1,⋯,a1,a0∈N,0
(1)若 aa⋅⋅⋅a(9)9个a是三角形数，试写出一个满足条件的a的值；
(2)若11111(k)是完全平方数，求k的值；
(3)已知cn= 11⋯1(9)n个1，设数列{cn}的前n项和为Sn，证明：当n>3时，Sn>9n2−7n2．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵A={−1,0,1,2}，B={x∈R|1≤2x−1≤4}={x|1≤x≤3}，
∴A∩B={1,2}．
故选：D．
求出B中不等式的解确定出B，找出A与B的交集即可．
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A项：因为m⊥α，m//n，所以n⊥α，因为n⊂β，所以α⊥β，A正确；
B项：由m⊥α，m//n，根据线面垂直的性质能推出n⊥α，B正确；
C项：n有可能在平面α内，C错误；
D项：由垂直于同一条直线的两个平面互相平行知，D正确．
故选：C．
根据线面垂直与平行的判定，结合面面平行垂直的性质与判定逐个选项判断即可．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
3.【答案】A
【解析】解：∵x≠0，∴x2>0，∴y=x2+1x2≥2，当且仅当x2=1x2，即x=±1时取得“=”．
故选A．
可根据条件，利用基本不等式判断其最值．
本题考查基本不等式，关键在于对基本不等式成立的条件的检验，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：令h(x)=xe|x|，则h(−x)=−xe|−x|=−xe|x|=−h(x)，
则h(x)=xe|x|为奇函数，则−22xe|x|dx=0，
又f(x)为偶函数且02f(x)dx=4，
则−222f(x)dx=2−22f(x)dx=402f(x)dx=16，
则−22(2f(x)+xe|x|)dx=−222f(x)dx+−22xe|x|dx=16+0=16
故选：D．
利用奇偶函数的对称性，再结合定积分运算法则求解．
本题考查奇偶函数的对称性，定积分运算法则，属于中档题．
5.【答案】D
【解析】解：因为(x2+x+14)5=[(x+12)2]5=(x+12)10，
所以(x+12)10展开式的通项公式为Tr+1=C10rx10−r⋅(12)r，
当10−r=7时，r=3，T4=C103x7⋅(12)3，
则C103(12)3=15，x7的系数为15．
故选：D．
将原式化简，再根据二项定理的展开项通项公式确定x7的系数．
本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
6.【答案】B
【解析】解：由圆的一般方程可得圆的标准方程为：(x+a)2+y2=a2−9，
可得圆心坐标为(−a,0)，由题意可得a=−5，
可得半径r= a2−9= 25−9=4，
故选：B．
由圆的方程可得圆心坐标及半径，由题意可得a的值，进而求出半径的大小．
本题考查圆的一般方程与标准方程之间的互化，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：由题意得P(B|A2)=33+3+4+1=311，所以A错误；
因为P(B|A1)=411，
P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=310×411+210×311+510×311=310，
所以P(B)≠P(B|A1)，即P(B)P(A1)≠P(BA1)，
故事件事件A1与事件B不相互独立，所以B错误，D正确；
P(A3|B)=P(A3B)P(B)=P(A3)P(B|A3)P(B)=510×311310=511，所以C错误；
故选：D．
A选项，根据题意求出P(B|A2)=311，判断A选项；
B选项，利用全概率公式求出P(B)=310，进而得到P(B)P(A1)≠P(BA1)，判断事件事件A1与事件B不相互独立，得到D选项正确；
C选项，利用条件概率公式求解即可．
本题考查了条件概率、相互独立事件以及全概率的计算问题，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：由条件有当x∈(−∞,0)时，f(x)单调递增．因为f(x)为偶函数，
所以f(x)在(0,+∞)上单调递减．
当x<0时，f(x)递增且f(−1)=0，所以当x<−1时，f(x)<0；
当x>0时，f(x)递减且f(1)=0，所以当x>1时，f(x)<0；
故选：B．
由条件可知当x∈(−∞,0)时，f(x)单调递增，结合f(x)为偶函数，所以f(x)在(0,+∞)上单调递减．利用单调性解f(x)<0．
本题考查函数的单调性与奇偶性的联系，属于基础题．
9.【答案】ACD
【解析】解：对于选项A，根据分层抽样，分别从高一学生，高二学生，高三学生中抽取40人，30人，30人，故A正确；
对于选项B，抽取的高二年级每天的总读书时间为x2−×30=93，
抽取的高一年级每天的总读书时间为x1−×40=108，
高二年级每天的总读书时间比高一年级少15小时，故B错误；
对于选项C，被抽取的学生每天的读书时间的平均数为40100×2.7+30100×3.1+30100×3.3=3(小时)，故C正确；
对于选项D，被抽取的学生每天的读书时间的方差为：
40100×[1+(2.7−3)2]+30100×[2+(3.1−3)2]+30100×[3+(3.3−3)2]=1.966，
∴估计全体学生每天的读书时间的方差为s2=1.966，故D正确．
故选：ACD．
根据分层抽样、平均数、方差等知识对选项进行分析，从而确定正确答案．
本题主要考查了分层抽样的定义，考查了平均数和方差的计算，属于基础题．
10.【答案】ABC
【解析】解：对于A，因为函数f(x)=x与g(x)=lnex=x的定义域相同，
对应法则相同，所以是同一个函数，故选项A正确；
对于B，因为a，b为非零实数，且a>b，
所以1ab2−1a2b=a−ba2b2>0，故选项B成立；
对于C，因为sin4α−cs4α=(sin2α+cs2α)(sin2α−cs2α)=sin2α−cs2α=2sin2α−1，故选项C正确；
对于D，因为函数f(x)=3x+x2−11的零点个数等价于g(x)=3x与h(x)=11−x2图象交点的个数，作出图象易知，交点的个数为2，
所以函数f(x)=3x+x2−11有两个零点，故选项D错误．
故选：ABC．
根据题意，分别利用函数的概念，不等式的性质，同角三角函数的基本关系和零点存在性定理逐项进行检验即可判断．
本题考查函数的简单性质的应用，函数的零点的求法，考查发现问题解决问题的能力，是中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：对于A：当λ=μ时，因为DP=λDD1+μDA，由向量的加法可知，P的轨迹为线段DA1，
如图(1)所示，由正方体的结构特征可知，平面CB1D1//平面A1BD，BP⊂平面A1BD，
∴BP//平面CB1D1，故A正确；
对于B：当μ=12时，如图(1)，点P的轨迹为线段EF，因为直线CB1//直线DA1，
所以DP与直线CB1的夹角即为DP与直线DA1的夹角，
当P与E重合时，DP与直线DA1所成角最大，即DP与直线CB1所成角最大，最大为π4>π6，
最小为0，故存在点P使得DP与直线CB1的夹角为π6，故B正确；
对于C：当λ+μ=1时，因为DP=λDD1+μDA，所以A、P、D1三点共线，即 P的轨迹为线段D1A.如图(2)，
在正方体ABCD−A1B1C1D1中，对于平面ABC1D1，C1P⊂面ABC1D1，故不存在点P使得C1P与平面ABC1D1所成的角为π4，故C错误；
对于D：当λ+μ=1时，如图(2)，P的轨迹为线段D1A，当P为D1A的中点时，CP的长度最小．此时CP= 12+( 22)2= 62，故D正确．
故选：ABD．
对于A：先判断出P的轨迹为线段DA1，利用平面CB1D1//平面A1BD，证明出BP//平面CB1D1；
对于B：先判断出P的轨迹为线段EF，再判断出DP与直线CB1的夹角即为DP与直线DA1的夹角，根据角的范围进行判断；
对于C：先判断出P的轨迹为线段D1A，由C1P⊂平面ABC1D1，即可判断结论；
对于D：先判断出P的轨迹为线段D1A，求出CP的长度最小值．
本题考查立体几何中的动点轨迹问题一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型，有两种处理方法：
(1)很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义法)；
(2)要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式．
12.【答案】193
【解析】解：由f(f(x))=af(x)+b=a2x+ab+b=4x+1，
所以a2=4，ab+b=1(a>0)，
解得a=2，b=13，
所以f(x)=2x+13，
于是f(3)=193．
由f(f(x))=af(x)+b=a2x+ab+b=4x+1，所以a2=4，ab+b=1(a>0)，解得a=2，b=13，由此能够求出f(3)．
本题考查函数值的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意函数解析式的求解和常用方法的灵活运用．
13.【答案】60
【解析】【分析】
本题考查了数列递推公式的应用，解得关键是利用an+2=an+1+an将所求解的式子进行转化，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．
利用an+2=an+1+an将a2+a3+a5+a7+a9+⋯+a59=ak进行转化，即可得到答案．
【解答】
解：因为斐波那契数列{an}满足a1=1，a2=1，an+2=an+1+an，
所以a2+a3+a5+a7+a9+⋯+a59
=a4+a5+a7+a9+⋯+a59
=a6+a7+a9+⋯+a59
=⋅⋅⋅
=a58+a59
=a60
=ak，
所以k=60．
故答案为60．
14.【答案】f′(4)
f′(4)表示函数在(4,f(4))处切线的斜率，f′(3)表示函数在(3,f(3))处切线的斜率，
f(4)−f(3)4−3表示(4,f(4))和(3,f(3))两点连线的斜率，
所以f′(4)
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
15.【答案】解：(1)联立直线方程2x−y+1=0x+y−4=0，即可得交点C(1,3)，
圆C的半径r=|AC|= (3−1)2+(3−3)2=2，
∴圆C的方程为：(x−1)2+(y−3)2=4．
(2)由C点到直线l的距离d=|2−3+t| 4+1=2，
∴t=1±2 5．
(3)由C点到直线l′的距离d=|1−3+10| 1+1=4 2，
圆C上点到直线距离的最大值为4 2+2．
【解析】(1)求得两直线的交点C的坐标，可求圆C的半径，从而可求圆C的方程；
(2)利用圆心到直线的距离等于圆的半径可求t；
(3)求得圆心C到直线的距离，可求圆C上的点到直线l′：x−y+10=0的距离的最大值．
本题考查求圆的方程，考查点到直线的距离，考查圆上的点到直线距离的最大值的求法，属中档题．
16.【答案】解：(1)∵B(−2,−1)，C(2,3)，
∴kBC=3+12+2=1，
则BC边上的垂直平分线的斜率为：k=−1，
又BC的中点D的坐标为(0,1)，
所以BC边的中垂线所在的直线方程为：y−1=−(x−0)，即为x+y−1=0；
(2)直线BC的方程为：y+1=x+2，即x−y+1=0，
则点A(1,4)到直线BC：x−y+1=0的距离为：d=|1−4+1| 2= 2，
|BC|= (2+2)2+(3+1)2=4 2，
故△ABC面积为12×4 2× 2=4．
【解析】(1)先利用坐标求解kBC=1，利用垂直关系求得BC边上的垂直平分线的斜率为：k=−1，再求解BC的中点D的坐标，即得解；
(2)利用点到直线距离公式求解点A到BC边所在直线的距离，即为△ABC的高，△ABC的底边长为|BC|，求解即可．
本题考查了直线的方程，点到直线的距离，是中档题．
17.【答案】(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，BA⊂平面ABCD，
∴BA⊥PA．
∵BA⊥AD，AD、PA⊂平面PAD且AD∩PA=A，
∴BA⊥平面PAD，
∵CE//BA，∴CE⊥平面PAD，
又PD⊂平面PAD，
∴CE⊥PD；
(2)解：∵∠CDE=π4，
又CE=AB=2,∠CED=π2，
∴DE=CE=AB=2，AE=1，
以A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，连结PE，
则A(0,0,0)，B(2,0,0)，E(0,1,0)，P(0,0,1)，C(2,1,0)，
则PC=(2,1,−1),PE=(0,1,−1)，
由题意知平面PAB的一个法向量为m=(0,1,0)，
设平面PCE的法向量为n=(x,y,z)，
由n⊥PE,n⊥PC，
得y−z=02x+y−z=0，取y=1，则n=(0,1,1)，
设所求二面角为θ,θ∈(0,π2)，
则csθ=|m⋅n||m|⋅|n|=11× 2= 22，
所以θ=π4．
【解析】(1)根据线面垂直的性质与判定定理可得BA⊥平面PAD，再利用线面垂直的性质即可证明；
(2)根据题意建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求出平面PCE的法向量，结合空间向量数量积的定义即可求出二面角．
本题考查了线线垂直的证明以及二面角的求解，属于中档题．
18.【答案】解：(1)由题意可知，X可能的取值为0，1，2，3，
P(X=0)=C53C103=112，P(X=1)=C51C52C103=512，P(X=2)=C52C51C103=512，P(X=3)=C53C103=112，
随机变量X的分布列为：
(2)设“从袋子中任取两个小球，其中一个小球是黑球”为事件A，“另一个小球也是黑球”为事件B，
则P(A)=C41C61+C42C102=23，P(AB)=C42C102=215，
由条件概率公式可得P(B|A)=P(AB)P(A)=21523=15，
所以从袋子中任取两个小球，若其中一个小球是黑球，另一个小球也是黑球的概率为15．
【解析】(1)求出X的可能值，并求出各个值对应的概率，列出分布列作答．
(2)根据给定条件，利用条件概率公式计算作答．
本题主要考查离散型随机变量分布列的求解，考查转化能力，属于基础题．
19.【答案】解：(1)aa⋯a(9)=a(9n−1)8=a⋅12⋅3n−12(3n−12+1)，
当a=1时，aa⋯a(9)就是一个三角形数．
(2)11111(k)=k4+k3+k2+k+1，
(k2+k2)2
所以11111(k)=(k2+k+12)2=k4+k3+k2+k+1．
解得k=3，即11111(3)=34+33+32+3+=121=112．
(3)由题意可知：cn=9n−18，且n>3，
则Sn=9+92+93+⋯+9n8−n8=964(9n−1)−n8=964[(1+8)n−1]−n8
>964[Cn0+Cn1⋅8+Cn2⋅82−1]−n8=964[8n+32n(n−1)]−n8=9n2−7n2．
∴Sn>9n2−7n2．
【解析】(1)根据9进制的概念，先计算aa⋯a(9)=a(9n−1)8，然后把a(9n−1)8因数分解成12m(m+1)的形式，观察可得a的值．
(2)先计算11111(k)=k4+k3+k2+k+1，利用(k2+k2)2<11111(k)<(k2+k2+1)2，分k为偶数和奇数讨论求k的值．
(3)先求利用等比数列的求和公式求Sn，结合二项式定理证明不等式．
本题以新定义为载体，主要考查了数列的求和，考查了逻辑推理能力的应用，属于中档题．X
0
1
2
3
P
112
512
512
112
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