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2023-2024学年湖南省长沙市浏阳市高二（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年湖南省长沙市浏阳市高二（下）期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x∈Z|−3A. {0,1,2}B. {−2,0,1}C. {0}D. {0,1}
2.已知向量a=(−1,2)，b=(1,m)，且a//b，则a⋅b=( )
A. 0B. −5C. 4D. 3
3.函数f(x)=(1x−x)csx的部分图象大致是( )
A. B.
C. D.
4.函数f(x)=csωx(x∈R)在[0,π]内恰有两个对称中心，|f(π)|=1，将函数f(x)的图象向右平移π3个单位得到函数g(x)的图象.若f(α)+g(α)=35，则cs(4α+π3)=( )
A. 725B. 1625C. −925D. −1925
5.2023年第19届亚运会在杭州举行，亚运会的吉祥物琮琮、莲莲、宸宸深受大家喜爱，某商家统计了最近5个月销量，如下表所示：
若y与x线性相关，且线性回归方程为y =−0.6x+a ，则下列说法不正确的是( )
A. 由题中数据可知，变量y与x负相关
B. 当x=5时，残差为0.2
C. 可以预测当x=6时销量约为2.1万只
D. 线性回归方程y =−0.6x+a 中a =5.7
6.某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量Y(单位：克)服从正态分布N(600,4)，从这一批篮球中随机抽检300个，则被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为( )
A. 246B. 252C. 286D. 293
7.若a∈N，且502024+a能被17整除，则a的最小值为( )
A. 0B. 1C. 15D. 16
8.现有4名男生和3名女生计划利用假期到某地景区旅游，由于是旅游的旺季，他们在景区附近订购了一家酒店的5间风格不同的房间，并约定每个房间都要住人，每个房间最多住2人，且男女不能混住.则不同的安排方法有( )种．
A. 1960B. 2160C. 2520D. 2880
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中正确的是( )
A. 若z=1−2i，则|z|= 5
B. 若z=i+1，则z⋅z−=−2
C. 已知m，n∈R，i是关于x的方程x2+mx+n=0的一个根，则m+n=1
D. 若复数z满足|z−1|=2，则|z+i|的最大值为2+ 2
10.下列说法中，正确的是( )
A. 数据40，27，32，30，38，54，31，50的第50百分位数为32
B. 已知随机变量ξ服从正态分布N(2,δ2)，P(ξ<4)=0.84，则P(2<ξ<4)=0.34
C. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y =a +b x，若b =2，x−=1，y−=3，则a =1
D. 若样本数据x1，x2，…，x10的方差为2，则数据2x1−1，2x2−1，…，2x10−1的方差为4
11.对于任意的x∈R，[x]表示不超过x的最大整数.十八世纪，y=[x]被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”.下列说法正确的是( )
A. 函数y=[x]，x∈R的图象关于原点对称
B. 函数y=x−[x]，x∈R的值域为[0,1)
C. 对于任意的x，y∈R，不等式[x]+[y]≤[x+y]恒成立
D. 不等式2[x]2+[x]−1<0的解集为{x|0≤x<1}
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数y=lga(3x+2)+5(a>0且a≠1)的图象恒过定点______．
13.已知(2x−3)8=a0+a1(2−x)+a2(2−x)2+…+a8(2−x)8，则a3= ______．
14.已知在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC,tan∠BAC=34，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球与外接球的表面积之比为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知(2x+1 x)n(n∈N∗)．
(Ⅰ)若展开式的第3项和第5项的二项式系数相等，求n的值，并求常数项；
(Ⅱ)若展开式中所有项的系数之和为81，求展开式中二项式系数最大的项．
16.(本小题15分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为12a(csinC+bsinB−asinA)．
(1)求A；
(2)若a=2，且△ABC的周长为5，设D为边BC中点，求AD．
17.(本小题15分)
有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%．
(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；
(2)如果取到的零件是次品，计算它是第i(i=1,2,3)台车床加工的概率．
18.(本小题17分)
刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为π3，故其各个顶点的曲率均为2π−3×π3=π.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，点A的曲率为2π3，N，M分别为AB，CC1的中点，且AB=AC．
(1)证明：CN⊥平面ABB1A1．
(2)证明：平面AMB1⊥平面ABB1A1．
(3)若AA1=2AB，求二面角A−MB1−C1的正切值．
19.(本小题17分)
数列{an}中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列{an+1−an}称为{an}的一阶差数列，记为{an(1)}，依此类推，{an(1)}的一阶差数列称为{an}的二阶差数列，记为{an(2)}，…如果一个数列{an}的p阶差数列{an(p)}是等比数列，则称数列{an}为p阶等比数列(p∈N∗).
(1)已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1．
(ⅰ)求a1(1)，a2(1)，a3(1)；
(ⅱ)证明：{an}是一阶等比数列；
(2)已知数列{bn}为二阶等比数列，其前5项分别为1,209,379,789,2159，求bn及满足bn为整数的所有n值．
答案解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了描述法和列举法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．
进行交集的运算即可．
【解答】
解：∵A={x∈Z|−3∴A∩B={x∈Z|0≤x<2}={0,1}．
故选：D．
2.【答案】B
【解析】解：∵a//b，
∴−m−2=0，
∴m=−2，
∴b=(1,−2)，
∴a⋅b=−1−4=−5．
故选：B．
根据a//b即可得出m=−2，从而可得出向量b的坐标，然后进行向量数量积的坐标运算即可．
本题考查了向量平行时的坐标关系，向量数量积的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，
因为f(−x)=(−1x+x)cs(−x)=−(1x−x)csx=−f(x)，所以f(x)为奇函数，排除A；
易知f(1)=f(π2)=0，排除B；
当x>0且无限趋近于0时，1x−x>0,csx>0，即f(x)>0，排除C．
故选：D．
先利用奇函数定义判断函数f(x)为奇函数，排除A；再利用y轴右侧有两个零点排除B；在根据函数值的符号排除C，即可判断．
本题主要考查了函数性质在函数解析式求解中的应用，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：令ωx=3π2可得，x=3π2ω，令ωx=5π2可得x=5π2ω，
因为函数f(x)=csωx(x∈R)在[0,π]内恰有两个对称中心，
所以3π2ω≤π5π2ω<πω>0，
解得，32≤ω<52，
因为|f(π)|=|csωπ|=1，
所以ωπ=kπ，k∈Z，
故ω=k，k∈Z，
所以ω=2，f(x)=cs2x，
将函数f(x)的图象向右平移π3个单位得到函数g(x)的图象，则g(x)=cs(2x−2π3)，
若f(α)+g(α)=35，则cs2α+cs(2α−2π3)=cs2α−12cs2α+ 32sin2α=sin(2α+π6)=35，
则cs(4α+π3)=1−2sin2(2α+π6)=1−2×925=725．
故选：A．
由已知结合正弦函数的对称性及|f(π)|=1，然后结合三角函数图象的平移可求g(x)，对f(α)+g(α)=35进行化简，然后利用二倍角公式即可求解．
本题主要考查了余弦函数对称性及最值的求解，还考查了三角函数图象的平移及二倍角公式的应用，属于中档题．
5.【答案】B
【解析】解：对于选项A，从数据看y随x的增大而减小，所以变量y与x负相关，故A正确；
对于选项B，由表中数据知x−=1+2+3+4+55=3，5+4.5+4+3.5+2.55=3.9，
所以样本中心点为(3,3.9)，将样本中心点(3,3.9)代入y =−0.6x+a 中得3.9+1.8=5.7，
所以线性回归方程为y =−0.6x+5.7，
所以y 5=−0.6×5+5.7=2.7,e =2.5−2.7=−0.2，故B错误；
对于选项C，当x=6时销量约为y =−0.6×6+5.7=2.1(万只)，故C正确．
对于选项D，由上3.9+1.8=5.7，故D正确．
故选：B．
对于选项A，利用表中数据变化情况或看回归方程的正负均可求解；对于选项B，利用样本中心点求出线性回归方程，再利用回归方程即可求出预测值，进而可求出残差；对于选项C，利用回归方程即可求出预测值；对于选项D，利用回归方程一定过样本中心点即可求解．
本题主要考查了线性回归方程的求解和应用，属于中档题．
6.【答案】D
【解析】解：因为单个篮球的质量Y(单位：克)服从正态分布N(600,4)，
所以P(596所以P(Y<596)=12(1−0.9544)=0.0228，
所以P(Y≥596)=1−P(Y<596)=1−0.0228=0.9772，
被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为300×0.9772≈293．
故选：D．
利用正态分布曲线的对称性求解．
本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：502024+a=(51−1)2024+a
=C20240⋅512024×(−1)0+C20241⋅512023×(−1)1+⋯+C2024r⋅512024−r×(−1)r+⋯+C20242024⋅(−1)2024+a，
因为502024+a能被17整除，
所以上式中C20242024⋅(−1)2024+a能被17整除即可满足题意，
所以C20242024⋅(−1)2024+a=17k,k∈N，
即1+a=17k⇒a=17k−1，
所以a的最小值为16．
故选：D．
二项式定理整除问题，把502024+a改写成(51−1)2024+a，利用二项式定理展开，再令C20242024⋅(−1)2024+a能被17整除，求出a的最小值即可．
本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：若3名女生住2个房间，则4名男生其中有两人住一个房间，则不同的方法种数为C32C42A55，
若3名女生住3个房间，则4名男生每两人住一个房间，则不同的方法种数为12C42A55，
则不同的安排方法有C32C42A55+12C42A55=2520种．
故选：C．
按照3名女生需要住2个房间或3个房间分类讨论即可．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
9.【答案】ACD
【解析】解：对于A：若z=1−2i，则|z|= 1+4= 5，A正确；
对于B：若z=i+1，则z⋅z−=(i+1)(−i+1)=2，B错误；
对于C：由已知i2+mi+n=n−1+mi=0，所以n−1=0，m=0，
所以m=0，n=1，即m+n=1，C正确；
对于D：设z=x+yi，则|z−1|=|x−1+yi|=2，所以(x−1)2+y2=4，
所以x2+y2=3+2x，且4=(x−1)2+y2≥(x−1+y)22，即x+y≤2 2+1，当且仅当x= 2+1,y= 2时等号成立，
所以|z+i|= x2+(y+1)2= 3+2x+2y+1≤ 6+4 2=2+ 2，D正确．
故选：ACD．
A.直接求模判断；B.直接利用复数乘法运算求解；C.代入x=i，利用复数相等列式计算；D.设z=x+yi，求出x，y的关系并利用基本不等式求x+y的最大值，然后代入|z+i|计算即可．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：数据40，27，32，30，38，54，31，50按从小到大排列为：27，30，31，32，38，40，50，54，
改组数据的第50百分位数即为中位数，等于32+382=35，故A错误；
已知随机变量ξ服从正态分布N(2,δ2)，P(ξ<4)=0.84，
则P(2<ξ<4)=1−2×0.162=0.34，故B正确；
已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y =a +b x，若b =2，x−=1，y−=3，
则a =3−2×1=1，故C正确；
若样本数据x1，x2，…，x10的方差为2，则数据2x1−1，2x2−1，…，2x10−1的方差为222×2=8，
故D错误．
故选：BC．
求出样本的中位数判定A；利用正态分布的对称性求概率判定B；由线性回归方程恒过样本点的中心求解a判定C；利用方差公式求解判断D．
本题考查统计及其有关概念，熟记公式是关键，是基础题．
11.【答案】BCD
【解析】解：对于A，当0≤x<1时，y=[x]=0，当−1所以y=[x]，x∈R不是奇函数，即函数y=[x]的图象不关于原点对称，故A项错误；
对于B，由取整函数的定义知，[x]≤x<[x]+1，所以x−1<[x]≤x，
可得0≤x−[x]<1，函数y=x−[x](x∈R)的值域为[0,1)，故B项正确；
对于C，由取整函数的定义，对任意的x、y∈R，[x]≤x，[y]≤y，
所以[x]+[y]=[[x]+[y]]≤[x+y]，故C项正确；
对于D，由2[x]2+[x]−1<0，得(2[x]−1)([x]+1)<0，解得−1<[x]<12，
结合取整函数的定义可得[x]=0，即x∈[0,1)，故D项正确．
故选：BCD．
结合取整函数的定义，利用奇偶性的定义判断A选项的正误；根据取整函数的定义得到[x]≤x<[x]+1，从而判断出B、C两项的正误；先解一元二次不等式，然后由取整函数的定义判断D选项的正误，可得答案．
本题主要考查取整函数的定义、函数的奇偶性与图象的对称性、一元二次不等式的解法等知识，属于基础题．
12.【答案】(−13,5)
【解析】解：令3x+2=1，解得x=−13，又y=lga[3×(−13)+2]+5=5，
所以函数y=lga(3x+2)+5(a>0且a≠1)的图象恒过定点(−13,5)．
故答案为：(−13,5)．
令3x+2=1可求出过定点的横坐标，代入函数中可求出其纵坐标，从而可求得结果．
本题考查了对数函数的图像特征与底数的关系，属于基础题．
13.【答案】−448
【解析】解：(2x−3)8=(3−2x)8=[2(2−x)−1]8=a0+a1(2−x)+a2(2−x)2+…+a8(2−x)8，
则a3=C8323(−1)5=−56×8=−448．
故答案为：−448．
依题意，得(3−2x)8=[2(2−x)−1]8=a0+a1(2−x)+a2(2−x)2+…+a8(2−x)8，利用组合数的性质可求得答案．
本题考查二项式定理的应用，考查转化与化归思想，属于基础题．
14.【答案】429
【解析】解：设BC=3a，因为AB⊥BC,tan∠BAC=34，
所以AB=4a，AC=5a，
设△ABC的内切圆的半径为r，
则由三角形的面积相等得：12(AB+BC+AC)r=12AB⋅BC，
即12(4a+3a+5a)r=12×(4a)×(3a)，解得r=a，
因为三棱柱ABC−A1B1C1有内切球，所以AA1=2a，
因为AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，
所以直三棱柱ABC−A1B1C1的外接球就是以BA，BC，BB1为棱的长方体的外接球，
即直三棱柱ABC−A1B1C1的外接球的直径就是以BA，BC，BB1为棱的长方体的对角线，
且其长为 BB12+BA2+BC2= 4a2+16a2+9a2= 29a，
所以三棱锥ABC−A1B1C1的内切球的表面积为4πa2，
三棱锥的外接球的表面积为29πa2，
所以三棱柱ABC−A1B1C1的内切球与外接球的表面积之比为429．
故答案为：429．
设BC=3a，结合条件AB⊥BC,tan∠BAC=34可求AB，AC，根据三棱柱有内切球求出此三棱柱的内切球半径，再求外接球的半径，结合球的表面积公式求结论．
本题考查球表面积的求法，几何体的内切球问题，属于中档题．
15.【答案】解：(Ⅰ)二项式(2x+1 x)n的第3项和第5项的二项式系数相等，
故Cn2=Cn4，解得n=6；
根据(2x+1 x)6的展开式Tr+1=C6r⋅26−r⋅x6−32r(r=0,1,2,3,4,5,6)，
当r=4时，常数项为C64⋅=60．
(Ⅱ)由于展开式中所有项的系数之和为81，令x=1得：3n=81，解得n=4，展开式为Tk+1=C4k⋅24−k⋅x4−32k(k=0,1,2,3,4)，
二项式系数的最大项为第三项，T3=C42⋅22x1=24x．
【解析】(Ⅰ)首先利用第3项和第5项的二项式系数相等，求出n的值，进一步求常数项；
(Ⅱ)利用赋值法求出n的值，进一步利用二项式的展开式求出二项式系数的最大项．
本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
16.【答案】解：(1)依题意，12a(csinC+bsinB−asinA)=12absinC，
所以csinC+bsinB−asinA=bsinC，
由正弦定理可得，c2+b2−a2=bc，
由余弦定理，c2+b2−a2=2bccsA，解得csA=12，
因为A∈(0,π)，所以A=π3；
(2)依题意，b+c=5−a=3，
因为c2+b2−bc=(b+c)2−3bc=a2，解得bc=53，
因为AD=12(AB+AC)，
所以AD2=14(AB+AC)2=b2+c2+bc4=(b+c)2−bc4=32−534=116，
所以AD= 666．
【解析】(1)根据三角形的面积公式结合正弦定理化角为边，再利用余弦定理即可得解；
(2)根据三角形的周长，结合余弦定理求出bc，再向量化即可得解．
本题考查正弦定理，及余弦定理的应用，向量的运算性质的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)记事件A为任取一个零件，计算它是次品，
P(A)=0.06×0.25+0.05×0.3+0.05×0.45=0.0525；
(2)如果取到的零件是次品，计算它是第(i=123)台车床加工的概率，就是计算在A发生的条件下，事件B发生的概率，
P(AB1)=0.06×0.25=0.015，
P(B1|A)=P(AB1)P(A)=，
同理得，P(B2|A)=27，P(B3|A)=37．
【解析】(1)根据相互独立事件的概率公式计算即可；
(2)分别计算第i台车床的次品率，再根据条件概率公式计算即可．
本题考查相互独立事件的概率公式以及条件概率，是基础题．
18.【答案】(1)证明：在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC，AB⊂平面ABC，
则AA1⊥AC，AA1⊥AB，所以点A的曲率为2π−2×π2−∠BAC=2π3，
所以∠BAC=π3，因为AB=AC，所以△ABC为正三角形，
因为N为AB的中点，所以CN⊥AB，
又AA1⊥平面ABC，CN⊂平面ABC，所以AA1⊥CN，
因为AA1∩AB=A，AA1、AB⊂平面ABB1A1，
所以CN⊥平面ABB1A1．
(2)证明：取AB1的中点D，连接DM，DN，
因为N为AB的中点，所以DN//BB1且DN=12BB1，
又CM//BB1且CM=12BB1，所以DN//CM且DN=CM，
所以四边形CNDM为平行四边形，则DM//CN，
由(1)知CN⊥平面ABB1A1，则DM⊥平面ABB1A1，
又DM⊂平面AMB1，所以平面AMB1⊥平面ABB1A1．
(3)解：取BC的中点F，连接AF，则AF⊥BC，
因为BB1⊥平面ABC，AF⊂平面ABC，所以BB1⊥AF，
因为BB1∩BC=B，BB1、BC⊂平面BB1C1C，
所以AF⊥平面BB1C1C，又B1M⊂平面BB1C1C，所以AF⊥B1M，
过F作B1M的垂线，垂足为H，连接AH，则B1M⊥FH，
又AF∩FH=F，AF、FH⊂平面AFH，所以B1M⊥平面AFH，
又AH⊂平面AFH，AH⊥B1M，
所以∠AHF为二面角A−MB1−C1的平面角的补角，
设B1M∩BC=E，AB=2，则AF= 3，EF=1+2=3，ME=2 2，
由等面积法可得12ME⋅FH=12EF⋅CM，则FH=EF⋅CMME=3×22 2=3 2，
则tan∠AHF=AFFH= 63，故二面角A−MB1−C1的正切值为− 63．
【解析】(1)由题意可得CN⊥AB，根据线面垂直的性质可得AA1⊥CN，结合线面垂直的判定定理即可证明；
(2)如图，易证DM//CN，由(1)得DM⊥平面ABB1A1，结合面面垂直的判定定理即可证明；
(3)如图，根据线面垂直的判定定理可得AF⊥平面BB1C1C，则AF⊥B1M，易证AH⊥B1M，则∠AHF为二面角A−MB1−C1的平面角的补角，结合等面积法求得FH，即可求解．
本题考查线面垂直及面面垂直的判定，考查二面角的正切值求法，属中档题．
19.【答案】解：(1)(ⅰ)由a1=1，an+1=2an+1易得a2=3，a3=7，a4=15，……
由一阶等差数列的定义得：a1(1)=a2−a1=2，a2(1)=a3−a2=4，a3(1)=a4−a3=8．
证明：(ⅱ)因为an+1=2an+1，所以当n≥2时有an−2an−1=1，
所以an+1−2an=an−2an−1，即an+1−an=2(an−an−1)，
即an(1)=2an−1(1),n≥2，又因为a1=1，故{an(1)}是以1为首项，2为公比的等比数列，
即{an}是一阶等比数列．
解：(2)由题意{bn}的二阶等差数列{bn(2)}为等比数列，设公比为q，
则b1(2)=23，q=4，所以bn(2)=23×4n−1．
由题意b1(1)=119，所以bn(1)=b1(1)+k=1n−1(bk+1(1)−bk(1))=119+k=1n−1bk(2)=29×4n−1+1，
所以bn=b1+k=1n−1(bk+1−bk)=1+k=1n−1bk(1)=227×(4n−1−1)+n，
即bn=227×(4n−1−1)+n．
所以bn为整数当且仅当4n−1−127为整数．
由已知n=1时符合题意，n=2，3，4，5时不合题意，
当n≥6时，=Cn−11×3+Cn−12×32+Cn−13×33+⋯+Cn−1n−1×3n−1，
所以原题等价于3Cn−11+9Cn−1227为整数，
因为3Cn−11+9Cn−1227=(3n−4)(n−1)18=[3(n−1)−1](n−1)2×9①，
显然3(n−1)−1含质因子3，所以n−1必为9的倍数，
设n−1=9k，(k∈N)，则n=9k+1，将n=9k+1代入①式，
当k为奇数时，3(n−1)−1为偶数，①式为2的倍数；
当k为偶数时，n为奇数，n−1为偶数，①式为2的倍数，
又因为2与9互质，所以①为整数．
综上，当n=9k+1，(k∈N)时，bn为整数．
【解析】(1)(ⅰ)根据{an(1)}的定义，结合通项公式求解即可；(ⅱ)根据递推公式构造an+1−an=2(an−an−1)即可证明；
(2)由题意{bn}的二阶等差数列{bn(2)}为等比数列，设公比为q，可得bn(2)=23×4n−1，结合b1(1)=119进而可得bn=227×(4n−1−1)+n，从而分析bn为整数当且仅当4n−1−127为整数，再根据二项展开式，结合整除的性质分析即可．
本题以新定义为载体，主要考查了数列的递推关系，等差数列的通项公式的应用，还考查了逻辑推理的能力，属于难题．时间x
1
2
3
4
5
销售量y/万只
5
4.5
4
3.5
2.5
1.已知集合A={x∈Z|−3
2.已知向量a=(−1,2)，b=(1,m)，且a//b，则a⋅b=( )
A. 0B. −5C. 4D. 3
3.函数f(x)=(1x−x)csx的部分图象大致是( )
A. B.
C. D.
4.函数f(x)=csωx(x∈R)在[0,π]内恰有两个对称中心，|f(π)|=1，将函数f(x)的图象向右平移π3个单位得到函数g(x)的图象.若f(α)+g(α)=35，则cs(4α+π3)=( )
A. 725B. 1625C. −925D. −1925
5.2023年第19届亚运会在杭州举行，亚运会的吉祥物琮琮、莲莲、宸宸深受大家喜爱，某商家统计了最近5个月销量，如下表所示：
若y与x线性相关，且线性回归方程为y =−0.6x+a ，则下列说法不正确的是( )
A. 由题中数据可知，变量y与x负相关
B. 当x=5时，残差为0.2
C. 可以预测当x=6时销量约为2.1万只
D. 线性回归方程y =−0.6x+a 中a =5.7
6.某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量Y(单位：克)服从正态分布N(600,4)，从这一批篮球中随机抽检300个，则被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为( )
A. 246B. 252C. 286D. 293
7.若a∈N，且502024+a能被17整除，则a的最小值为( )
A. 0B. 1C. 15D. 16
8.现有4名男生和3名女生计划利用假期到某地景区旅游，由于是旅游的旺季，他们在景区附近订购了一家酒店的5间风格不同的房间，并约定每个房间都要住人，每个房间最多住2人，且男女不能混住.则不同的安排方法有( )种．
A. 1960B. 2160C. 2520D. 2880
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中正确的是( )
A. 若z=1−2i，则|z|= 5
B. 若z=i+1，则z⋅z−=−2
C. 已知m，n∈R，i是关于x的方程x2+mx+n=0的一个根，则m+n=1
D. 若复数z满足|z−1|=2，则|z+i|的最大值为2+ 2
10.下列说法中，正确的是( )
A. 数据40，27，32，30，38，54，31，50的第50百分位数为32
B. 已知随机变量ξ服从正态分布N(2,δ2)，P(ξ<4)=0.84，则P(2<ξ<4)=0.34
C. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y =a +b x，若b =2，x−=1，y−=3，则a =1
D. 若样本数据x1，x2，…，x10的方差为2，则数据2x1−1，2x2−1，…，2x10−1的方差为4
11.对于任意的x∈R，[x]表示不超过x的最大整数.十八世纪，y=[x]被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”.下列说法正确的是( )
A. 函数y=[x]，x∈R的图象关于原点对称
B. 函数y=x−[x]，x∈R的值域为[0,1)
C. 对于任意的x，y∈R，不等式[x]+[y]≤[x+y]恒成立
D. 不等式2[x]2+[x]−1<0的解集为{x|0≤x<1}
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数y=lga(3x+2)+5(a>0且a≠1)的图象恒过定点______．
13.已知(2x−3)8=a0+a1(2−x)+a2(2−x)2+…+a8(2−x)8，则a3= ______．
14.已知在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC,tan∠BAC=34，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球与外接球的表面积之比为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知(2x+1 x)n(n∈N∗)．
(Ⅰ)若展开式的第3项和第5项的二项式系数相等，求n的值，并求常数项；
(Ⅱ)若展开式中所有项的系数之和为81，求展开式中二项式系数最大的项．
16.(本小题15分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为12a(csinC+bsinB−asinA)．
(1)求A；
(2)若a=2，且△ABC的周长为5，设D为边BC中点，求AD．
17.(本小题15分)
有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%．
(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；
(2)如果取到的零件是次品，计算它是第i(i=1,2,3)台车床加工的概率．
18.(本小题17分)
刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为π3，故其各个顶点的曲率均为2π−3×π3=π.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，点A的曲率为2π3，N，M分别为AB，CC1的中点，且AB=AC．
(1)证明：CN⊥平面ABB1A1．
(2)证明：平面AMB1⊥平面ABB1A1．
(3)若AA1=2AB，求二面角A−MB1−C1的正切值．
19.(本小题17分)
数列{an}中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列{an+1−an}称为{an}的一阶差数列，记为{an(1)}，依此类推，{an(1)}的一阶差数列称为{an}的二阶差数列，记为{an(2)}，…如果一个数列{an}的p阶差数列{an(p)}是等比数列，则称数列{an}为p阶等比数列(p∈N∗).
(1)已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1．
(ⅰ)求a1(1)，a2(1)，a3(1)；
(ⅱ)证明：{an}是一阶等比数列；
(2)已知数列{bn}为二阶等比数列，其前5项分别为1,209,379,789,2159，求bn及满足bn为整数的所有n值．
答案解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了描述法和列举法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．
进行交集的运算即可．
【解答】
解：∵A={x∈Z|−3
故选：D．
2.【答案】B
【解析】解：∵a//b，
∴−m−2=0，
∴m=−2，
∴b=(1,−2)，
∴a⋅b=−1−4=−5．
故选：B．
根据a//b即可得出m=−2，从而可得出向量b的坐标，然后进行向量数量积的坐标运算即可．
本题考查了向量平行时的坐标关系，向量数量积的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，
因为f(−x)=(−1x+x)cs(−x)=−(1x−x)csx=−f(x)，所以f(x)为奇函数，排除A；
易知f(1)=f(π2)=0，排除B；
当x>0且无限趋近于0时，1x−x>0,csx>0，即f(x)>0，排除C．
故选：D．
先利用奇函数定义判断函数f(x)为奇函数，排除A；再利用y轴右侧有两个零点排除B；在根据函数值的符号排除C，即可判断．
本题主要考查了函数性质在函数解析式求解中的应用，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：令ωx=3π2可得，x=3π2ω，令ωx=5π2可得x=5π2ω，
因为函数f(x)=csωx(x∈R)在[0,π]内恰有两个对称中心，
所以3π2ω≤π5π2ω<πω>0，
解得，32≤ω<52，
因为|f(π)|=|csωπ|=1，
所以ωπ=kπ，k∈Z，
故ω=k，k∈Z，
所以ω=2，f(x)=cs2x，
将函数f(x)的图象向右平移π3个单位得到函数g(x)的图象，则g(x)=cs(2x−2π3)，
若f(α)+g(α)=35，则cs2α+cs(2α−2π3)=cs2α−12cs2α+ 32sin2α=sin(2α+π6)=35，
则cs(4α+π3)=1−2sin2(2α+π6)=1−2×925=725．
故选：A．
由已知结合正弦函数的对称性及|f(π)|=1，然后结合三角函数图象的平移可求g(x)，对f(α)+g(α)=35进行化简，然后利用二倍角公式即可求解．
本题主要考查了余弦函数对称性及最值的求解，还考查了三角函数图象的平移及二倍角公式的应用，属于中档题．
5.【答案】B
【解析】解：对于选项A，从数据看y随x的增大而减小，所以变量y与x负相关，故A正确；
对于选项B，由表中数据知x−=1+2+3+4+55=3，5+4.5+4+3.5+2.55=3.9，
所以样本中心点为(3,3.9)，将样本中心点(3,3.9)代入y =−0.6x+a 中得3.9+1.8=5.7，
所以线性回归方程为y =−0.6x+5.7，
所以y 5=−0.6×5+5.7=2.7,e =2.5−2.7=−0.2，故B错误；
对于选项C，当x=6时销量约为y =−0.6×6+5.7=2.1(万只)，故C正确．
对于选项D，由上3.9+1.8=5.7，故D正确．
故选：B．
对于选项A，利用表中数据变化情况或看回归方程的正负均可求解；对于选项B，利用样本中心点求出线性回归方程，再利用回归方程即可求出预测值，进而可求出残差；对于选项C，利用回归方程即可求出预测值；对于选项D，利用回归方程一定过样本中心点即可求解．
本题主要考查了线性回归方程的求解和应用，属于中档题．
6.【答案】D
【解析】解：因为单个篮球的质量Y(单位：克)服从正态分布N(600,4)，
所以P(596
所以P(Y≥596)=1−P(Y<596)=1−0.0228=0.9772，
被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为300×0.9772≈293．
故选：D．
利用正态分布曲线的对称性求解．
本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：502024+a=(51−1)2024+a
=C20240⋅512024×(−1)0+C20241⋅512023×(−1)1+⋯+C2024r⋅512024−r×(−1)r+⋯+C20242024⋅(−1)2024+a，
因为502024+a能被17整除，
所以上式中C20242024⋅(−1)2024+a能被17整除即可满足题意，
所以C20242024⋅(−1)2024+a=17k,k∈N，
即1+a=17k⇒a=17k−1，
所以a的最小值为16．
故选：D．
二项式定理整除问题，把502024+a改写成(51−1)2024+a，利用二项式定理展开，再令C20242024⋅(−1)2024+a能被17整除，求出a的最小值即可．
本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：若3名女生住2个房间，则4名男生其中有两人住一个房间，则不同的方法种数为C32C42A55，
若3名女生住3个房间，则4名男生每两人住一个房间，则不同的方法种数为12C42A55，
则不同的安排方法有C32C42A55+12C42A55=2520种．
故选：C．
按照3名女生需要住2个房间或3个房间分类讨论即可．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
9.【答案】ACD
【解析】解：对于A：若z=1−2i，则|z|= 1+4= 5，A正确；
对于B：若z=i+1，则z⋅z−=(i+1)(−i+1)=2，B错误；
对于C：由已知i2+mi+n=n−1+mi=0，所以n−1=0，m=0，
所以m=0，n=1，即m+n=1，C正确；
对于D：设z=x+yi，则|z−1|=|x−1+yi|=2，所以(x−1)2+y2=4，
所以x2+y2=3+2x，且4=(x−1)2+y2≥(x−1+y)22，即x+y≤2 2+1，当且仅当x= 2+1,y= 2时等号成立，
所以|z+i|= x2+(y+1)2= 3+2x+2y+1≤ 6+4 2=2+ 2，D正确．
故选：ACD．
A.直接求模判断；B.直接利用复数乘法运算求解；C.代入x=i，利用复数相等列式计算；D.设z=x+yi，求出x，y的关系并利用基本不等式求x+y的最大值，然后代入|z+i|计算即可．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：数据40，27，32，30，38，54，31，50按从小到大排列为：27，30，31，32，38，40，50，54，
改组数据的第50百分位数即为中位数，等于32+382=35，故A错误；
已知随机变量ξ服从正态分布N(2,δ2)，P(ξ<4)=0.84，
则P(2<ξ<4)=1−2×0.162=0.34，故B正确；
已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y =a +b x，若b =2，x−=1，y−=3，
则a =3−2×1=1，故C正确；
若样本数据x1，x2，…，x10的方差为2，则数据2x1−1，2x2−1，…，2x10−1的方差为222×2=8，
故D错误．
故选：BC．
求出样本的中位数判定A；利用正态分布的对称性求概率判定B；由线性回归方程恒过样本点的中心求解a判定C；利用方差公式求解判断D．
本题考查统计及其有关概念，熟记公式是关键，是基础题．
11.【答案】BCD
【解析】解：对于A，当0≤x<1时，y=[x]=0，当−1
对于B，由取整函数的定义知，[x]≤x<[x]+1，所以x−1<[x]≤x，
可得0≤x−[x]<1，函数y=x−[x](x∈R)的值域为[0,1)，故B项正确；
对于C，由取整函数的定义，对任意的x、y∈R，[x]≤x，[y]≤y，
所以[x]+[y]=[[x]+[y]]≤[x+y]，故C项正确；
对于D，由2[x]2+[x]−1<0，得(2[x]−1)([x]+1)<0，解得−1<[x]<12，
结合取整函数的定义可得[x]=0，即x∈[0,1)，故D项正确．
故选：BCD．
结合取整函数的定义，利用奇偶性的定义判断A选项的正误；根据取整函数的定义得到[x]≤x<[x]+1，从而判断出B、C两项的正误；先解一元二次不等式，然后由取整函数的定义判断D选项的正误，可得答案．
本题主要考查取整函数的定义、函数的奇偶性与图象的对称性、一元二次不等式的解法等知识，属于基础题．
12.【答案】(−13,5)
【解析】解：令3x+2=1，解得x=−13，又y=lga[3×(−13)+2]+5=5，
所以函数y=lga(3x+2)+5(a>0且a≠1)的图象恒过定点(−13,5)．
故答案为：(−13,5)．
令3x+2=1可求出过定点的横坐标，代入函数中可求出其纵坐标，从而可求得结果．
本题考查了对数函数的图像特征与底数的关系，属于基础题．
13.【答案】−448
【解析】解：(2x−3)8=(3−2x)8=[2(2−x)−1]8=a0+a1(2−x)+a2(2−x)2+…+a8(2−x)8，
则a3=C8323(−1)5=−56×8=−448．
故答案为：−448．
依题意，得(3−2x)8=[2(2−x)−1]8=a0+a1(2−x)+a2(2−x)2+…+a8(2−x)8，利用组合数的性质可求得答案．
本题考查二项式定理的应用，考查转化与化归思想，属于基础题．
14.【答案】429
【解析】解：设BC=3a，因为AB⊥BC,tan∠BAC=34，
所以AB=4a，AC=5a，
设△ABC的内切圆的半径为r，
则由三角形的面积相等得：12(AB+BC+AC)r=12AB⋅BC，
即12(4a+3a+5a)r=12×(4a)×(3a)，解得r=a，
因为三棱柱ABC−A1B1C1有内切球，所以AA1=2a，
因为AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，
所以直三棱柱ABC−A1B1C1的外接球就是以BA，BC，BB1为棱的长方体的外接球，
即直三棱柱ABC−A1B1C1的外接球的直径就是以BA，BC，BB1为棱的长方体的对角线，
且其长为 BB12+BA2+BC2= 4a2+16a2+9a2= 29a，
所以三棱锥ABC−A1B1C1的内切球的表面积为4πa2，
三棱锥的外接球的表面积为29πa2，
所以三棱柱ABC−A1B1C1的内切球与外接球的表面积之比为429．
故答案为：429．
设BC=3a，结合条件AB⊥BC,tan∠BAC=34可求AB，AC，根据三棱柱有内切球求出此三棱柱的内切球半径，再求外接球的半径，结合球的表面积公式求结论．
本题考查球表面积的求法，几何体的内切球问题，属于中档题．
15.【答案】解：(Ⅰ)二项式(2x+1 x)n的第3项和第5项的二项式系数相等，
故Cn2=Cn4，解得n=6；
根据(2x+1 x)6的展开式Tr+1=C6r⋅26−r⋅x6−32r(r=0,1,2,3,4,5,6)，
当r=4时，常数项为C64⋅=60．
(Ⅱ)由于展开式中所有项的系数之和为81，令x=1得：3n=81，解得n=4，展开式为Tk+1=C4k⋅24−k⋅x4−32k(k=0,1,2,3,4)，
二项式系数的最大项为第三项，T3=C42⋅22x1=24x．
【解析】(Ⅰ)首先利用第3项和第5项的二项式系数相等，求出n的值，进一步求常数项；
(Ⅱ)利用赋值法求出n的值，进一步利用二项式的展开式求出二项式系数的最大项．
本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
16.【答案】解：(1)依题意，12a(csinC+bsinB−asinA)=12absinC，
所以csinC+bsinB−asinA=bsinC，
由正弦定理可得，c2+b2−a2=bc，
由余弦定理，c2+b2−a2=2bccsA，解得csA=12，
因为A∈(0,π)，所以A=π3；
(2)依题意，b+c=5−a=3，
因为c2+b2−bc=(b+c)2−3bc=a2，解得bc=53，
因为AD=12(AB+AC)，
所以AD2=14(AB+AC)2=b2+c2+bc4=(b+c)2−bc4=32−534=116，
所以AD= 666．
【解析】(1)根据三角形的面积公式结合正弦定理化角为边，再利用余弦定理即可得解；
(2)根据三角形的周长，结合余弦定理求出bc，再向量化即可得解．
本题考查正弦定理，及余弦定理的应用，向量的运算性质的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)记事件A为任取一个零件，计算它是次品，
P(A)=0.06×0.25+0.05×0.3+0.05×0.45=0.0525；
(2)如果取到的零件是次品，计算它是第(i=123)台车床加工的概率，就是计算在A发生的条件下，事件B发生的概率，
P(AB1)=0.06×0.25=0.015，
P(B1|A)=P(AB1)P(A)=，
同理得，P(B2|A)=27，P(B3|A)=37．
【解析】(1)根据相互独立事件的概率公式计算即可；
(2)分别计算第i台车床的次品率，再根据条件概率公式计算即可．
本题考查相互独立事件的概率公式以及条件概率，是基础题．
18.【答案】(1)证明：在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC，AB⊂平面ABC，
则AA1⊥AC，AA1⊥AB，所以点A的曲率为2π−2×π2−∠BAC=2π3，
所以∠BAC=π3，因为AB=AC，所以△ABC为正三角形，
因为N为AB的中点，所以CN⊥AB，
又AA1⊥平面ABC，CN⊂平面ABC，所以AA1⊥CN，
因为AA1∩AB=A，AA1、AB⊂平面ABB1A1，
所以CN⊥平面ABB1A1．
(2)证明：取AB1的中点D，连接DM，DN，
因为N为AB的中点，所以DN//BB1且DN=12BB1，
又CM//BB1且CM=12BB1，所以DN//CM且DN=CM，
所以四边形CNDM为平行四边形，则DM//CN，
由(1)知CN⊥平面ABB1A1，则DM⊥平面ABB1A1，
又DM⊂平面AMB1，所以平面AMB1⊥平面ABB1A1．
(3)解：取BC的中点F，连接AF，则AF⊥BC，
因为BB1⊥平面ABC，AF⊂平面ABC，所以BB1⊥AF，
因为BB1∩BC=B，BB1、BC⊂平面BB1C1C，
所以AF⊥平面BB1C1C，又B1M⊂平面BB1C1C，所以AF⊥B1M，
过F作B1M的垂线，垂足为H，连接AH，则B1M⊥FH，
又AF∩FH=F，AF、FH⊂平面AFH，所以B1M⊥平面AFH，
又AH⊂平面AFH，AH⊥B1M，
所以∠AHF为二面角A−MB1−C1的平面角的补角，
设B1M∩BC=E，AB=2，则AF= 3，EF=1+2=3，ME=2 2，
由等面积法可得12ME⋅FH=12EF⋅CM，则FH=EF⋅CMME=3×22 2=3 2，
则tan∠AHF=AFFH= 63，故二面角A−MB1−C1的正切值为− 63．
【解析】(1)由题意可得CN⊥AB，根据线面垂直的性质可得AA1⊥CN，结合线面垂直的判定定理即可证明；
(2)如图，易证DM//CN，由(1)得DM⊥平面ABB1A1，结合面面垂直的判定定理即可证明；
(3)如图，根据线面垂直的判定定理可得AF⊥平面BB1C1C，则AF⊥B1M，易证AH⊥B1M，则∠AHF为二面角A−MB1−C1的平面角的补角，结合等面积法求得FH，即可求解．
本题考查线面垂直及面面垂直的判定，考查二面角的正切值求法，属中档题．
19.【答案】解：(1)(ⅰ)由a1=1，an+1=2an+1易得a2=3，a3=7，a4=15，……
由一阶等差数列的定义得：a1(1)=a2−a1=2，a2(1)=a3−a2=4，a3(1)=a4−a3=8．
证明：(ⅱ)因为an+1=2an+1，所以当n≥2时有an−2an−1=1，
所以an+1−2an=an−2an−1，即an+1−an=2(an−an−1)，
即an(1)=2an−1(1),n≥2，又因为a1=1，故{an(1)}是以1为首项，2为公比的等比数列，
即{an}是一阶等比数列．
解：(2)由题意{bn}的二阶等差数列{bn(2)}为等比数列，设公比为q，
则b1(2)=23，q=4，所以bn(2)=23×4n−1．
由题意b1(1)=119，所以bn(1)=b1(1)+k=1n−1(bk+1(1)−bk(1))=119+k=1n−1bk(2)=29×4n−1+1，
所以bn=b1+k=1n−1(bk+1−bk)=1+k=1n−1bk(1)=227×(4n−1−1)+n，
即bn=227×(4n−1−1)+n．
所以bn为整数当且仅当4n−1−127为整数．
由已知n=1时符合题意，n=2，3，4，5时不合题意，
当n≥6时，=Cn−11×3+Cn−12×32+Cn−13×33+⋯+Cn−1n−1×3n−1，
所以原题等价于3Cn−11+9Cn−1227为整数，
因为3Cn−11+9Cn−1227=(3n−4)(n−1)18=[3(n−1)−1](n−1)2×9①，
显然3(n−1)−1含质因子3，所以n−1必为9的倍数，
设n−1=9k，(k∈N)，则n=9k+1，将n=9k+1代入①式，
当k为奇数时，3(n−1)−1为偶数，①式为2的倍数；
当k为偶数时，n为奇数，n−1为偶数，①式为2的倍数，
又因为2与9互质，所以①为整数．
综上，当n=9k+1，(k∈N)时，bn为整数．
【解析】(1)(ⅰ)根据{an(1)}的定义，结合通项公式求解即可；(ⅱ)根据递推公式构造an+1−an=2(an−an−1)即可证明；
(2)由题意{bn}的二阶等差数列{bn(2)}为等比数列，设公比为q，可得bn(2)=23×4n−1，结合b1(1)=119进而可得bn=227×(4n−1−1)+n，从而分析bn为整数当且仅当4n−1−127为整数，再根据二项展开式，结合整除的性质分析即可．
本题以新定义为载体，主要考查了数列的递推关系，等差数列的通项公式的应用，还考查了逻辑推理的能力，属于难题．时间x
1
2
3
4
5
销售量y/万只
5
4.5
4
3.5
2.5
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