2023-2024学年湖南省常德市汉寿一中高二（下）入学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省常德市汉寿一中高二（下）入学数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.函数f(x)=x+sinx在区间[0,π]上的平均变化率为( )
A. 1B. 2C. πD. 0
2.(sin15°+cs15°)2的值为( )
A. 32B. 12C. 32D. 34
3.若数列{an}满足a1=1，anan−1=2⋅n−1n(n≥2)，则a10=( )
A. 2910B. 289C. 278D. 267
4.已知三棱锥O−ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且OA=a，OB=b，OC=c用a，b，c表示MN，则MN等于( )
A. 12(b+c−a)
B. 12(a+b+c)
C. 12(a−b+c)
D. 12(c−a−b)
5.设抛物线y2=4x上一点P到y轴的距离为d1，到直线l:3x+4y+12=0的距离为d2，则d1+d2的最小值为
( )
A. 2B. 153C. 163D. 3
6.若直线ax+2y+1=0与直线a2x+y−2=0互相平行，那么a的值等于( )
A. 1或0B. 12C. 0D. 0或12
7.如图，三角形蜘蛛网是由一些正三角形环绕而成的图形，每个正三角形的顶点都是其外接正三角形各边的中点.现有17米长的铁丝材料用来制作一个网格数最多的三角形蜘蛛网，若该三角形蜘蛛网中最大的正三角形的边长为3米，则最小的正三角形的边长为( )
A. 34米B. 38米C. 316米D. 332米
8.已知椭圆C：x22+y2=1的左、右焦点分别是F1，F2，过F1的直线l：y=x+m与椭圆C交于A，B两点，则△ABF2的面积是( )
A. 43B. 83C. 169D. 329
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，且S4=8，S8=−32，以下命题正确的是( )
A. Sn的最大值为212B. 数列{Snn}是公差为−32的等差数列
C. an是4的倍数D. S5<0
10.下列求导运算正确的是( )
A. (ln2)′=12B. (x−1x)′=1+1x2
C. (2x)′=2x⋅ln2D. (xex)′=ex
11.已知正四棱台ABCD−A1B1C1D1(上下底面都是正方形的四棱台)，下底面ABCD边长为2，上底面边长为1，侧棱长为 2，则( )
A. 它的表面积为5+3 7B. 它的外接球的表面积为8 23π
C. 侧棱与下底面所成的角为60°D. 它的体积比棱长为 2的正方体的体积大
12.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左．右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与双曲线交于A，B两点，A在第一象限，若△ABF1为等边三角形，则下列结论一定正确的是( )
A. 双曲线C的离心率为 3B. △AF1F2的面积为2 3a2
C. △AF1F2内切圆半径为( 3−1)aD. △BF1F2的内心在直线x=±a上
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知f(x+h)−f(x)=2hx+5h+h2，用割线逼近切线的方法可以求得f′(x)=______．
14.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ>0且λ≠1)的点所形成的图形是圆，后来，人们把这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点M(x,y)到两个定点A(1,0)，B(−2,0)的距离之比为2，则yx−1的取值范围为______．
15.已知空间三点A(0,2,3)，B(2,5,2)，C(−2,3,6)，则以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为 ．
16.设数列{an}满足a1=12，an+1=an+(an)22023(n∈N*)，记Tn=(1−a1)(1−a2)⋯(1−an)，则使得Tn<0成立的最小正整数n是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
在正项等比数列{an}中，a4=16，且a2，a3的等差中项为a1+a2．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an+n}的前n项和为Sn．
18.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 32，左、右焦点分别是F1，F2，以F1为圆心、3为半径的圆与以F2为圆心、1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点H(0,2)的直线l交椭圆于A，B两点，点D为椭圆上一点，且四边形OADB为平行四边形，求△AOB的面积．
19.(本小题12分)
设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，过F且斜率为k的直线l交抛物线C于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，且y1y2=−4．
(Ⅰ)求抛物线C的标准方程；
(Ⅱ)已知点P(−1,k)，且△PAB的面积为6 3，求k的值．
20.(本小题12分)
刍甍(chumeng)是中国古代数学书中提到的一种几何体，《九章算术》中对其有记载：“下有袤有广，而上有袤无广”，可翻译为：”底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.”，如图，在刍甍ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，平面BAE和平面CDE交于EF．
(1)求证：AB/​/EF；
(2)若平面CDE⊥平面ABCD，AB=4,EF=2,ED=FC,AF=3 3，求平面ADE和平面BAE夹角的余弦值．
21.(本小题12分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2+a3=12，S3=15．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若Sk=120，求k的值．
22.(本小题12分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点为A(−2,0)，不与x轴平行的直线l过C的右焦点F且与C交于M，N两点.当直线l垂直于x轴时，|MN|=12．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线AM，AN分别交直线x=1于P，Q两点，求证：A，P，F，Q四点共圆．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：f(x)=x+sinx在区间[0,π]上的平均变化率为f(π)−f(0)π−0=π+sinπ−0−sin0π=1．
故选：A．
根据平均变化率的计算即可求解．
本题主要考查平均变化率的求解，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：(sin15°+cs15°)2=1+2sin15°cs15°=1+sin30°=1+12=32，
故选：C．
利用诱导公式、二倍角公式进行化简三角函数式，可得结果．
本题主要考查利用诱导公式、二倍角公式进行化简三角函数式，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：∵数列{an}满足a1=1，anan−1=2⋅n−1n(n≥2)，
∴an=2⋅n−1nan−1，
∴a10=2×910a9=2×910×2×89a8=×910×2×89××12a1=29×110×a1=2910，
故选：A．
根据数列的递推关系式得到an=2⋅n−1nan−1，再依次代入即可．
本题主要考查数列递推关系式的应用，考查推理能力和计算能力，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：∵点M为AB的中点，∴OM=12(OA+OB)=12a+12b，
∵点N为OC的中点，∴ON=12OC=12c，
∴MN=ON−OM=12c−12a−12b=12(c−a−b).
故选：D．
利用向量三角形法则、向量共线定理、平行四边形法则即可得出．
本题考查空间向量的线性运算，考查了数形结合，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了抛物线的简单性质，点到直线距离公式的应用，将d1+d2的最小值转化为点到直线的距离是关键．
利用抛物线的定义，将d1+d2的最小值转化为点到直线的距离即可求得结论．
【解答】
解：∵点P到y轴的距离等于点P到焦点F的距离减去1，
过焦点F作直线3x+4y+12=0的垂线，垂足为N，
垂线与抛物线的交点为P时，此时d1+d2最小，为FN−1，
∵F(1,0)，直线3x+4y+12=0，
则d1+d2的最小值为3+12 32+42−1=2．
故选A．
6.【答案】D
【解析】解：由题意可得，a−2a2=0，
解可得a=0或a=12，
当a=12时，直线方程分别为12x+2y+1=0，14x+y−2=0满足平行，
当a=0时，直线方程分别为2y+1=0，y−2=0，满足平行，
故选：D．
结合已知直线方程及直线平行的一般式方程即可建立关于a的方程，从而可求．
本题主要考查了直线平行的条件的简单应用，属于基础试题．
7.【答案】B
【解析】解：如图，三角形蜘蛛网是由一些正三角形环绕而成的图形，
每个正三角形的顶点都是其外接正三角形各边的中点，
现有17米长的铁丝材料用来制作一个网格数最多的三角形蜘蛛网，
该三角形蜘蛛网中最大的正三角形的边长为3米，
由题可知，该三角形蜘蛛网中三角形的周长从大到小是以9为首项，12为公比的等比数列，
设最小的正三角形的边长为3×(12)n−1米，则9[1−(12)n]1−12≤17，则(12)n≥118，得n≤4，
故最小的正三角形的边长为3×(12)3=38米．
故选：B．
利用等比数列的性质求解．
本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8.【答案】A
【解析】解：由题意可得F1(−1,0)，F2(1,0)，则直线l：y=x+1，
联立方程y=x+1x22+y2=1，消去x得3y2−2y−1=0，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则y1+y2=23，y1y2=−13，
∴|y1−y2|= (y1+y2)2−4y1y2=43，
又∵|F1F2|=2，
∴△ABF2的面积是12|F1F2||y1−y2|=12×2×43=43，
故选：A．
由题意知F1(−1,0)，直线l：y=x+1，联立直线l与椭圆方程可得y1+y2=23，y1y2=−13，进而根据S△ABF2=12|F1F2||y1−y2|计算即可．
本题主要考查了椭圆的性质，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
9.【答案】AB
【解析】解：根据题意，等差数列{an}，由于S4=8，S8=−32，
则有4a1+4×32d=88a1+8×72d=−32，解得a1=132,d=−3；
所以a1=132不是4的倍数，故C不正确；
则该数列的通项公式为an=a1+(n−1)d=132+(n−1)×(−3)=−3n+192，
其前n项和为Sn=n(a1+an)2=n(132−3n+192)2=−3(n−83)2+6432，
故当n取与83最接近的整数即3时，Sn取最大值为S3=−3(3−83)2+6432=212，故A正确；
S5=−3(5−83)2+6432=52>0，故D不正确；
Snn=−3n+162=−32n+8，
所以Sn+1n+1−Snn=[−32(n+1)+8]−(−32n+8)=−32，
所以数列{Snn}是公差为−32的等差数列，故B正确
故选：AB．
根据题意，已知结合等差数列的通项公式和前n项和公式及性质分析各选项即可判断．
本题考查函数与数列的综合应用，涉及等差数列的性质，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：对于A选项，(ln2)′=0，A错；
对于B选项，(x−1x)′=1+1x2，B对；
对于C选项，(2x)′=2x⋅ln2，C对；
对于D选项，(xex)′=ex+xex，D错．
故选：BC．
利用基本初等函数的导数公式可判断AC选项；利用导数的四则运算可判断BD选项．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：由题意得：上底面A1B1C1D1的面积S1=1×1=1，下底面ABCD的面积S2=2×2=4，
侧面ABB1A1为等腰梯形，过A1、B1分别做AB的垂线，垂足为E、F，如图所示，
所以EF=A1B1=1，则AE=BF=12，
所以B1F= BB12−BF2= 72，
所以梯形ABB1A1的面积为S3=12×(1+2)× 72=3 74，
所以正四棱台ABCD−A1B1C1D1的表面积S2=S1+S2+4×S3=5+3 7，故A正确；
连接A1C1，B1D1，且交于点O1，连接AC，BD交于点O2，连接O1O2，
则O1O2垂直底面ABCD，
过A1作A1G⊥AO2于G，则A1G⊥底面ABCD，则四边形A1GO2O1为矩形，
由题意得A1C1= A1B12+B1C12= 2，所以A1O1= 22，
同理AC=2 2,AO2= 2，
又_A1O1，所以AG= 22，
在Rt△A1GA中，cs∠A1AG=AGA1A= 22 2=12，
所以∠A1AG=60°，即侧棱与下底面所成的角为60°，故C正确
所以A1G= AA12−AG2= 62．
连接C1O2，在RtΔC1O1O2中，C1O2= O1O22+C1O12= 2，
所以点O2到A、B、C、D、A1、B1、C1、D1的距离相等，均为 2，
所以点O2即为正四棱台ABCD−A1B1C1D1外接球的球心，且外接球半径R= 2，
所以外接球的表面积S=4π×( 2)2=8π，故B错误；
正四棱台的体积V1=13×(S1+S2+ S1S2)×O1O2=13×(1+4+ 1×4)× 62=7 66，
棱长为 2的正方体的体积V2=( 2)3=2 2，
所以V1V2=7 662 2=7 312= 147144>1，所以V1>V2，
所以正四棱台ABCD−A1B1C1D1的体积比棱长为 2的正方体的体积大，故D正确：
故选：ACD．
分别求得上、下底面面积，再求得侧面等腰梯形ABB1A1的面积，即可判断A的正误；如图作辅助线，可求得各个长度，根据三角函数的定义，可判断C的正误；求得C1O2的长，分析可得O2即为正四棱台ABCD−A1B1C1D1外接球的球心，且外接球半径的正误，即可得答案．
本题考查棱台的体积，考查学生的运算能力，属于难题．
12.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查了双曲线的定义及其性质，学生的数学运算能力，数据处理能力，属于中档题．
按照A、B两点在同支或两支讨论，结合余弦定理及离心率的定义可判断A，结合三角形面积公式可判断B；利用等面积法可判断C，由双曲线的定义结合切线长定理可判断D．
【解答】
解：对于D，设△BF1F2的内心为I，过I作BF1，BF2，F1F2的垂线，垂足分别为H，G，P，不妨如图所示：
则||PF1|−|PF2||=||F1B|−|F2B||=2a，所以|OP|=a，则△BF1F2的内心在直线x=±a上，
故D正确；
因为△ABF1为等边三角形，当A，B都在同一支上时，则AB垂直于x轴，可得A(c,b2a)，
由题意可得tan30°=b2a2c= 33，又b2=c2−a2，e=ca，
所以可得e2−2 33e−1=0，e∈(1,+∞)，解得：e= 3；
△AF1F2的面积S=12×2c×b2a=b2ca=2 33c²=2 33×3a²=2 3a²，
设△AF1F2内切圆的半径为r，
则由等面积法可得12r(6a+2 3a)=2 3a²，∴r=( 3−1)a；
当A，B分别在双曲线的左，右两支上时，设AB=BF1=AF1=m，
AF2=2a，由双曲线的定义可知AF1−AF2=2a，得m=4a，
在△AF1F2中由余弦定理，cs120°=4a2+16a2−4c22×2a×4a，得e=ca= 7，
△AF1F2的面积S=12×2a×4asin120°=2 3a²，
设内切圆的半径为r′，则12⋅(6a+2 7a)r′=12⋅2a⋅4a⋅ 32，得r′=2 3a3+ 7，故AC错误；
而不论什么情况下△AF1F2的面积为2 3a²，故B正确．
故选：BD．
13.【答案】2x+5
【解析】解：f′(x)=h→0limf(x+h)−f(x)h
=h→0lim2hx+5h+h2h
=h→0lim(2x+5+h)
=2x+5．
故答案为：2x+5．
由已知直接利用导数的定义即可求得f′(x)．
本题考查导数的定义及应用，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】[− 33, 33]
【解析】解：由题意可知，|MA||MB|=2，即 (x−1)2+y2 (x+2)2+y2=2，
整理为(x+3)2+y2=4，
所以点M的轨迹是以(−3,0)为圆心，2为半径的圆，
因为yx−1表示圆上的点与定点(1,0)连线的斜率，
设k=yx−1，即kx−y−k=0，
如图可知，直线kx−y−k=0与圆有交点，
则d=|−3k−k| k2+1≤2，解得− 33≤k≤ 33．
故答案为：[− 33, 33]．
首先求点M的轨迹方程，再根据yx−1的几何意义，转化为直线与圆有交点，即可求解．
本题考查直线与圆的位置关系，动点的轨迹方程的求法，属于中档题．
15.【答案】6 5
【解析】【分析】
本题考查了向量数量积运算性质、向量夹角公式、平行四边形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
由AB=(2,3,−1)，AC=(−2,1,3)，可得AB⋅AC，|AB|，|AC|，cs∠BAC=AB⋅AC|AB|⋅|AC|，sin∠BAC的值，则以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为S=|AB|⋅|AC|⋅sin∠BAC，计算即可．
【解答】
解：AB=(2,3,−1)，AC=(−2,1,3)，
∴AB⋅AC=−4+3−3=−4，
|AB|= 22+32+(−1)2= 14，
|AC|= (−2)2+12+32= 14，
∴cs∠BAC=AB⋅AC|AB|⋅|AC|=−4 14× 14=−27．
∴sin∠BAC= 1−cs2∠BAC=3 57，
∴以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为
S=|AB|⋅|AC|⋅sin∠BAC
= 14× 14×3 57=6 5，
故答案为6 5．
16.【答案】2025
【解析】解：因为an+1=an+(an)22023(n∈N*)，所以an+1=an(an+2023)2023，
所以1an+1=1an−1an+2023，即1an−1an+1=1an+2023，
所以1a1−1an+1=1a1+2023+1a2+2023+...+1an+2023，
又an+1=an+(an)22023(n∈N*)，所以数列{an}为递增数列，
所以1a1−1a2024<2023a1+2023<1，所以2−1a2024<1，所以a2024<1，
所以2−1a2025>2024a2024+2023>20241+2023=1，
所以a2025>1，
当1≤n≤2024时，1−an>0，
当n≥2025时，1−an<0，
故使Tn<0成立的最小正整数n是2025，
故答案为：2025．
由数列的递推式推得1an−1an+1=1an+2023，由数列的裂项相消求和可得1a1−1an+1=1a1+2023+1a2+2023+...+1an+2023，利用数列{an}为递增数列，可得a2024<1，a2025>1，即可得到所求值．
本题考查数列的递推式，以及数列的裂项求和、放缩法，考查运算能力和推理能力，属于难题．
17.【答案】解：(1)设正项等比数列{an}的公比为q(q>0)，
由题意可得a1q3=16a1q+a1q2=2(a1+a1q)，解得a1=2q=2．
∴数列{an}的通项公式为an=2×2n−1=2n；
(2)Sn=(1+n)⋅n2+2(1−2n)1−2=(1+n)⋅n2+2n+1−2．
【解析】(1)利用已知条件列出方程组，求出首项与公比，然后求解通项公式．
(2)利用分组求和的方法，求解数列的和即可．
本题考查等比数列的求和，等差数列的求和公式的应用，等差数列的性质的应用，是基础题．
18.【答案】解：(1)设圆F1与圆F2的一个交点为P，
则|PF1|+|PF2|=2a，
由点P在椭圆C上知2a=4，即a=2，
由e=ca= 32，则c= 3，即b2=1，
所以椭圆C的方程：x24+y2=1；
(2)已知直线l的斜率存在，
设直线l的方程：y=kx+2，
A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由y=kx+2x2+4y2−4=0，消去y，整理得(1+4k2)x2+16kx+12=0，
则Δ=64k2−48>0，即k2>34，因此x1+x2=−16k1+4k2，x1x2=121+4k2，
y1+y2=k(x1+x2)+4=41+4k2，
因为OADB为平行四边形，所以OD=OA+OB，所以D(x1+x2,y1+y2)，
所以点D在椭圆C上，所以(x1+x2)2+4(y1+y2)2=4，即(−16k1+4k2)2+4(41+4k2)2=4，
即16k4−56k2−15=0，即(4k2−15)(4k2+1)=0，解得k2=154，
所以|x1−x2|= (x1+x2)2−4x1x2= 64k2−481+4k2= 32，
所以S△AOB=SAOH−S△BOH=12×2×|x1−x2|= 32，
所以△AOB的面积 32．
【解析】(1)根据椭圆的定义及离心率公式，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
(2)设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，表示D点坐标，代入椭圆方程，即可求得k的值，即可求得|x1−x2|，即可求得△AOB的面积．
本题考查椭圆的定义，椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及三角形的面积公式，考查转化思想，计算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(Ⅰ)F(p2，0)，设直线AB的方程为y=k(x−p2)，
代入抛物线，消去x得：ky2−2py−kp2=0，
∴y1y2=−p2=−4，从而p=2，
∴抛物线C的方程为y2=4x．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，F(1,0)，直线AB的方程为y=k(x−1)，
代入抛物线方程，消x，得ky2−4y−4k=0，
∴y1+y2=4k，y1y2=−4，
∴|AB|= 1+1k2⋅ 16k2−4×(−4)=4(1+1k2).
又∵P到直线AB的距离d=3|k| k2+1．
故△PAB的面积S=12⋅|AB|⋅d=6 1+1k2=6．
故得k=± 22．
【解析】本题考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，属于中档题．
(Ⅰ)设直线AB的方程为y=k(x−p2)，代入抛物线，消去x，利用y1y2=−4，求出p，即可求抛物线C的标准方程；
(Ⅱ)利用弦长公式表示出|AB|，求出P到直线AB的距离，根据S△PAB=12⋅|AB|⋅d，△PAB的面积为6 3，求k的值．
20.【答案】解：(1)证明：在正方形ABCD中，AB//DC，
因为AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，
所以AB/​/平面CDE，
因为AB⊂平面BAE，平面BAE和平面CDE交于EF，
所以AB/​/EF；
(2)过点F作FO⊥DC于点O，过点O作OH⊥DC于点H，连接AO，
因为平面CDE⊥平面ABCD，平面CDE∩平面ABCD=CD，FO⊂平面CDE，
所以FO⊥平面ABCD，
因为OH⊂平面ABCD，所以FO⊥OH，
所以以O为坐标原点，OD，OH，OF所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
因为AB/​/EF，AB//DC，所以EF/​/DC，
在四边形CDEF中，CD=AB=4，EF=2，ED=FC，所以OC=1，OD=3，
在正方形ABCD中，AB=4，所以AO= AD2+OD2= 42+32=5，
因为AO⊥FO，AF=3 3，所以FO= AF2−AO2= 27−25= 2，
所以H(0,4,0),D(3,0,0),A(3,4,0),E(2,0, 2),F(0,0, 2)，
所以DA=(0,4,0),DE=(−1,0, 2),AE=(−1,−4, 2),FE=(2,0,0)，
设平面ADE的法向量为n=(x,y,z)，则n⊥DA，n⊥DE，
则n⋅DA=4y=0n⋅DE=−x+ 2z=0，解得y=0，
令z=1，得x= 2，则n=( 2,0,1)，
设平面BAE的法向量为m=(a,b,c)，则m⊥AE，m⊥FE，
则m⋅AE=−a−4b+ 2c=0m⋅FE=2a=0，解得x=0，
令b=1，得z=2 2，则m=(0,1,2 2)，
设平面ADE和平面BAE所成角为θ，
则|csθ|=|cs〈m,n〉|=|m⋅n||m||n|=2 23× 3=2 69，
所以平面ADE和平面BAE夹角的余弦值为2 69．
【解析】(1)根据题意证明AB/​/平面CDE，再根据线面平行的性质即可得证；
(2)过点F作FO⊥DC于点O，过点O作OH⊥DC于点H，连接AO，根据面面垂直的性质可得FO⊥平面ABCD，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可．
本题主要考查二面角的平面角及其求法，考查转化能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
由已知a2+a3=12，S3=15得2a1+3d=123a1+3d=15，解得a1=3d=2，
则an=2n+1．
(2)由(1)得an=2n+1，则Sk=(3+2k+1)k2=k2+2k，
Sk=k2+2k=120，得k=10或k=−12(舍去)，
所以k的值为10．
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，利用已知建立方程组，即可求解首项与方差，即可求解．
(2)利用等差数列的前n项和公式，即可求解．
本题主要考查等差数列的前n项和公式，属于基础题．
22.【答案】解：(1)因为椭圆C的左顶点为A(−2,0)，当直线l垂直于x轴时，|MN|=12，
所以a=22b2a=12，
解得a=2b=2 3，
则双曲线C的方程为x24−y212=1；
(2)证明：当直线l斜率存在时，
不妨设直线l的方程为y=k(x−4)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
联立x24−y212=1y=k(x−4)，消去y并整理得(3−k2)x2+8k2x−16k2−12=0，
此时Δ=64k4+16(3−k2)(4k2+3)>0，
解得1+k2>0，
由韦达定理得x1+x2=8k2k2−3，x1x2=16k2+12k2−3，
所以y1y2=k2(x1−4)(x2−4)=k2[x1x2−4(x1+x2)+16]=k2(16k2+12k2−3−32k2k2−3+16)=−36k2k2−3，
此时直线AM：y=y1x1+2(x+2)，
可得P(1,3y1x1+2)，
同理得Q(1,3y2x2+2)，
记直线x=1交x轴于点G，
所以|GP|⋅|GQ|=|3y1x1+2|⋅|3y2x2+2|=|9y1y2(x1+2)(x2+2)|=|9y1y2x1x2+2(x1+x2)+4|=|9⋅−36k2k2−316k2+12k2−3+2⋅8k2k2−3+4|=9，
因为|GA|⋅|GF|=9，
所以|GA|⋅|GF|=|GP|⋅|GQ|，

当直线l斜率不存在时，
不妨设M(4,6)，N(4,−6)，
可得P(1,3)，Q(1,−3)，
所以|GA|⋅|GF|=|GP|⋅|GQ|，

所以A，P，F，Q四点共圆．
【解析】(1)由题意，可得a=22b2a=12，求出a，b的值，进而可得椭圆方程；
(2)对直线l斜率是否存在进行讨论，设直线l的方程为y=k(x−4)，将直线l的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得x1+x2=8k2k2−3，x1x2=16k2+12k2−3，得到直线AM，AN，求出P，Q两点坐标，结合韦达公式求出|GP|⋅|GQ|，判断|GA|⋅|GF|=|GP|⋅|GQ|是否成立即可证结论．
本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力．