54，湖南省常德市汉寿县第一中学2023-2024学年高二上学期期末数学试题

这是一份54，湖南省常德市汉寿县第一中学2023-2024学年高二上学期期末数学试题，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1. 一质点的运动方程是，则在时间内相应的平均速度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由平均变化率的定义计算．
【详解】
.
故选：D．
2. 已知倾斜角为直线与直线垂直，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，求出直线l的斜率，进而求出倾斜角即可计算作答.
【详解】直线的斜率为，而直线与直线垂直，
于是得，而，则，
所以.
故选：C
3. 若数列满足，且，则（ ）
A. －1B. 2C. D.
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【分析】根据递推公式求出 的周期即可.
【详解】由题意， ，
又 ，
是周期为3的周期数列， .
故选：A.
4. 已知空间四边形ABCO中，，，，M为OA中点，点N在BC上，且，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算法则，即可求解．
【详解】如图所示：
点N在BC上，且，∴，
由，，
，
为中点，，，
．
故选：D．
5. 已知抛物线的焦点为，点，线段与抛物线相交于点，且，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】画出图象，结合图象以及抛物线的定义，计算，由此确定正确选项.
【详解】如图：
由题意可知，设准线与轴的交点为，
不妨设在第四象限，
，
，
在线段上，
设，在中，，故，
作准线于，轴于，
，即，
，
，
，
故选：B
【点睛】有关抛物线的题目，可考虑结合抛物线的定义来进行求解.
6. 若直线与直线平行，则的值为（ ）
A. B.
C. 或D. 1或
【答案】C
【解析】
【分析】若直线∥直线，则，代入数值计算即可.
【详解】直线与直线平行，
,或.
故答案为：或
7. 如图，方格蜘蛛网是由一族正方形环绕而成的图形．每个正方形的四个顶点都在其外接正方形的四边上，且分边长为．现用米长的铁丝材料制作一个方格蜘蛛网，若最外边的正方形边长为米，由外到内顺序制作，则完整的正方形的个数最多为（参考数据:）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件可得由外到内的正方形的边长依次构成等比数列，再根据等比数列求和公式得这些正方形的周长，列不等式，解得结果.
【详解】记由外到内的第个正方形的边长为，则.
.
令，解得，故可制作完整的正方形的个数最多为个. 应选B.
【点睛】本题考查等比数列求和公式以及解指数不等式，考查基本分析化简求解能力，属中档题.
8. 是椭圆的两个焦点，P是椭圆C上异于顶点的一点，I是的内切圆圆心，若的面积等于的面积的3倍，则椭圆C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设出点的坐标，根据内切圆半径公式表示出，然后再根据两个三角形的面积关系求出.
【详解】设椭圆方程为：
如图，设三角形的周长为，
由椭圆的定义可得
，
又，解之：
故选：B
二、多选题
9. 已知等差数列和等比数列的各项均为正数，，且，则下列选项中一定成立的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】先根据条件得到，且，然后通过计算确定，的正负即可.
【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
因为等差数列和等比数列的各项均为正数，且，
所以，
又，
所以，所以，
又，解得
所以，
所以，A错误，B正确；
又
所以，C正确，D错误.
故选：BC.
10. 下列导数运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用基本函数和复合函数的求导法则求解即可.
【详解】选项A，，故A正确；
选项B，，故B错误；
选项C，，故C正确；
选项D，，故D错误.
故选：AC.
11. 在《九章算术》中，底面为矩形的棱台被称为“刍童”．已知棱台是一个侧棱相等、高为2的“刍童”，其中，则（ ）
A. 该“刍童”的表面积为
B. 该“刍童”中平面
C. 该“刍童”外接球的球心到平面的距离为
D. 该“刍童”侧棱与平面所成角的正弦值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，把两个相邻的侧高求出来，然后就可以求侧面积，最终求表面积验算即可；对于B，可以证明与不垂直，即可推翻结论（结合线面垂直的性质）；对于C，建立适当的空间直角坐标系，可设，由，即，求出的值即可；对于D，由线面角的正弦值的向量公式进行验算即可.
【详解】设上下两底面的中心分别为，的中点为，的中点为，
由题意面，
设分别为的中点，则，
而面，所以，
所以两两垂直，
所以以点为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示：
对于A，因为，
过点作于点，则，，
所以，
同理过点作于点，则，，
所以，
所以侧面面积之和为，
而上下底面之和为，
所以该“刍童”的表面积为，故A正确；
对于B，由题意知四边形为矩形，，
，
但，这表明了与不垂直，
所以不垂直平面（否则由线面垂直的性质得，导出矛盾），故B错误；
对于C，由对称性可知该“刍童”外接球的球心在直线上，不妨设它为，
而，
所以，
由，即得，，
解得，所以该“刍童”外接球的球心到平面的距离为，故C正确；
对于D，因为，
所以，
又面，故取平面法向量为，
不妨设该“刍童”侧棱与平面所成角为，
则该“刍童”侧棱与平面所成角的正弦值为，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点睛：关键是对于A选项的判断，先求相邻面的侧高，对于CD选项的判断可以关键是用空间向量来验算.
12. 已知椭圆，双曲线（，），椭圆与双曲线有共同的焦点，离心率分别为，，椭圆与双曲线在第一象限的交点为且，则（ ）
A. 若，则
B. 的最小值为
C. 的内心为，到轴的距离为
D. 的内心为，过右焦点做直线的垂线，垂足为，点的轨迹为圆
【答案】AC
【解析】
【分析】由椭圆、双曲线定义及余弦定理得到，即可判断A；再由离心率公式及基本不等式“1”的代换求最小值判断B；根据圆切线的性质及双曲线定义求双曲线与轴切点横坐标判断C；延长交于，若为中点，连接，根据已知易得为平行四边形，令有，结合已知条件判断D.
【详解】若椭圆、双曲线半焦距为，则，且分别为左右焦点，
中，令，则，
，
所以，则，
上式消去，得，而，
若，即，则，A对；
由上知，故，
当且仅当，即时取等号，B错；
若为内切圆与各边切点，如下图，则，
又，
所以，即切点为双曲线右顶点，有轴，
所以到轴的距离为，C对；
延长交于，若为中点，连接，
由题意且平分，故为等腰三角形且，
所以，在中为中位线，则，
且，故为平行四边形，令，则，
所以，又在第一象限且不定，故点的轨迹不为圆，D错.

故选：AC
【点睛】关键点点睛：利用椭圆、双曲线定义、余弦定理得到判断A、B的关键，由圆切线性质和双曲线定义判断C的关键，找到点与某定点的距离并写出方程为关键.
三、填空题
13. 设是可导函数，且，则__________．
【答案】6
【解析】
【详解】=3 =.
故答案为6.
14. 在平面直角坐标系xOy中，已知点，点，P为圆上一动点(异于点B)，求的最大值___________.
【答案】2
【解析】
【分析】设点，列出的表达式并整理，令，转化成直线与圆有公共点即可计算作答.
【详解】设点，则，
于是得，令，即有，
显然直线与圆有公共点，则，整理得，解得，得，
所以的最大值为2.
故答案为：2
15. 已知＝(0,－5,10)，＝(1,－2,－2)，＝4，＝12，则＝________.
【答案】120°##
【解析】
【分析】利用空间向量数量级的运算律可得，再由已知及空间向量数量积的定义求即可
【详解】由题设，，
∴，又＝(1,－2,－2)，＝12，
∴，又∈[0°,180°]，
∴＝120°.
故答案为：120°
16. 已知数列，满足，则______
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件可得，，进而求结果.
【详解】由，
则,，
两式作差，得,，
所以，故
故答案为：
四、解答题
17. 已知正数数列前项和为，且任意，与2的等差中项等于与2的正的等比中项．
（1）求，，；
（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明．
【答案】（1），，；（2）．见解析
【解析】
【分析】（1）化简得到，分别取，，代入计算得到答案.
（2）猜测，再利用数列归纳法证明：时成立，假设时成立，再利用时，得到，计算得到答案.
【详解】（1）与2的等差中项等于与2的正的等比中项，即
当时，；当时，
当时，
（2）猜想
当时，，满足
假设时满足，即则
当时，
解得，故时也成立.
综上所述：
【点睛】本题考查了数列的通项公式，数学归纳法，意在考查学生对于数学归纳法的掌握情况.
18. 已知圆，圆．
（1）证明：圆与圆相交，并求出圆与圆公共弦所在直线l的方程；
（2）过直线l上一点作圆的切线，切点分别为A，B，求四边形的面积．
【答案】（1）证明见解析；
（2）8
【解析】
【分析】（1）将两圆化成标准式，判断圆心距与半径的关系可证相交，两圆的方程直接作差可求公共弦方程；
（2）由（1）求得，判断在圆外，先求出，结合勾股定理求出，再由即可求解.
【小问1详解】
圆的方程配方可得，圆心，半径，
圆的方程配方可得，圆心，半径，
所以两圆心的距离，
，，
所以，
所以，圆与圆相交．
将方程与相减，
得：，
所以圆与圆的公共弦所在直线的方程为；
【小问2详解】
由（1）可得，代入圆的方程，
，
因为所以，
所以，，
即四边形的面积为8．
19. 已知点是抛物线C：上点，F为抛物线的焦点，且，过焦点F的直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若，求直线l的斜率.
【答案】（1）；（2）1或.
【解析】
【分析】
（1）由焦半径公式求得，得抛物线方程；
（2）设，直线方程为，代入抛物线方程后由韦达定理得，然后由焦点弦长公式可求得．
【详解】（1）由题意，，∴抛物线方程为；
（2）由（1）知焦点为，
若直线斜率不存在，则，不合题意，因此设直线方程为，
由得，
设，则，
，解得或．
【点睛】本题考查抛物线的焦半径公式，焦点弦长，掌握抛物线的定义是解题关键．
20. 如图，在空间直角坐标系中，是圆的直径，，求二面角的余弦值.
【答案】.
【解析】
【分析】根据空间直角坐标系得出各点坐标，向量坐标，由二面角的向量求解方法可求得答案．
【详解】由题意可知.，
，
.
设平面的一个法向量为，
则即.
，令，则，
∴平面的一个法向量为.
设平面的一个法向量为，
则即
，令，则，平面的一个法向量为.
.
由题图可以判断二面角的平面角为钝角，
∴二面角的余弦值为.
【点睛】本题考查二面角的空间向量求解方法，属于中档题．
21. 已知在数列中，
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的通项公式在和之间插入k个数，使这个数组成等差数列，将插入的k个数之和记为，其中，2，…，n，求数列的前n项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）方法1：根据递推关系式，先变形；再采用累积法求数列通项公式；方法2：根据递推关系式，先构造出等比数列，再求数列通项公式.
（2）先求出数列的通项公式，再根据通项公式的特点利用错位相减法求前n项和.
【小问1详解】
方法1：
，∴，
∴当时，
∴
又也适合上式，∴；
方法2：∵，∴，
又，故，
∴为公比为2，首项为1的等比数列．
∴，∴．
【小问2详解】
，，∴.
由题知，
设数列的前n项和为﹐
则
所以
，
故.
22. 已知双曲线的离心率为，A、F分别为左顶点和右焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于第一象限的点B，的面积为
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点，与双曲线的两条渐近线分别交于P，Q两点，，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由离心率为可得，然后算出，然后可求出答案；
（2）设，，联立消元，弦长公式算出，设，，联立得，同理，然后算出，然后可得，即可得到答案.
【小问1详解】
因为双曲线的离心率为，
则，，可得，
由已知，将代入，可得，
由，即，
所以，故双曲线的方程为；
【小问2详解】
依题意，设，，
由可得，
所以解得，且
所以，
设，，
由得，同理，
所以，
所以，其中，
因为，故的取值范围是