2023-2024学年湖南省常德市汉寿一中高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省常德市汉寿一中高二（下）期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={−1,0,1,2}，集合B={x∈R|1≤2x−1≤4}，则A∩B=( )
A. {−1,1}B. {0,1,2}C. {1,2,3}D. {1,2}
2.已知α、β是不同的平面，m、n是不同的直线，则下列命题不正确的是( )
A. 若m⊥α，m/​/n，n⊂β，则α⊥β
B. 若m⊥α，m/​/n，则n⊥α
C. 若m/​/α，m/​/n，则n/​/α
D. 若m⊥α，m⊥β，则α/​/β
3.已知x≠0，那么函数y=x2+1x2有( )
A. 最小值2B. 最大值2C. 最小值4D. 最大值4
4.已知f(x)为偶函数且02f(x)dx=4，则−22(2f(x)+xe|x|)dx等于( )
A. 0B. 4C. 8D. 16
5.(x2+x+14)5的展开式中，x7的系数为( )
A. 5B. 7C. 10D. 15
6.已知圆的方程x2+y2+2ax+9=0圆心坐标为(5,0)，则圆的半径为( )
A. 2B. 4C. 10D. 3
7.甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以A1，A2和A3表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是( )
A. P(B|A2)=411B. 事件A1与事件B相互独立
C. P(A3|B)=12D. P(B)=310
8.已知偶函数f(x)定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)且x1，x2∈(−∞,0)上有f(x1)−f(x2)x1−x2>0(x1≠x2)，若f(−1)=0，则不等式f(x)b，则1ab2>1a2b恒成立
C. 若等式的左、右两边都有意义，则sin4α−cs4α=2sin2α−1恒成立
D. 函数f(x)=3x+x2−11有且仅有一个零点，在区间(1,2)内
11.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P满足DP=λDD1+μDA，λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，则下列结论正确的是( )
A. 当λ=μ时，BP/​/平面CB1D1
B. 当μ=12时，存在点P使得DP与直线CB1的夹角为π6
C. 当λ+μ=1时，存在点P使得C1P与平面ABC1D1所成的角为π4
D. 当λ+μ=1时，CP长度的最小值为 62
三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
12.若f(x)=ax+b(a>0)，且f(f(x))=4x+1，则f(3)=_________．
13.数学家斐波那契(1770～1250)，以兔子繁殖为例，引入“兔子数列“：即1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233.…，在实际生活中，很多花朵(如梅花，飞燕花，万寿简等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛的应用.已知斐波那契数列{an}满足a1=1，a2=1，an+2=an+1+an，若a2+a3+a5+a7+a9+⋯+a59=ak，则k= ______．
14.已知函数y=f(x)的图象如图所示，函数y=f(x)的导数为y=f′(x)，则f′(3)，f′(4)，f(4)−f(3)的大小关系为______.(由小到大顺序表示)
四、解答题：本题共5小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题14分)
已知直线l1：2x−y+1=0，l2：x+y−4=0，圆C以直线l1，l2的交点C为圆心，且过点A(3,3)．
(1)求圆C的方程；
(2)若直线l：2x−y+t=0与圆C相切，求t的值；
(3)求圆C上的点到直线l′：x−y+10=0的距离的最大值．
16.(本小题14分)
已知△ABC三个顶点是A(1,4)，B(−2,−1)，C(2,3)．
(1)求BC边上的垂直平分线的直线方程；
(2)求点A到BC边所在直线的距离及△ABC的面积．
17.(本小题14分)
如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，CE/​/AB．
(1)求证：CE⊥PD；
(2)若PA=1，AB=2，AD=3，且∠CDE=45°，求平面ABP与平面PCE所成锐二面角的大小．
18.(本小题14分)
一只口袋中装有形状、大小都相同的10个小球，其中有红球1个，黑球4个，白球5个．
(1)从中1次随机摸出3个球，记白球的个数为X，求随机变量X的概率分布；
(2)从袋子中任取两个小球，若其中一个小球是黑球，求另一个小球也是黑球的概率．
19.(本小题18分)
定义1进位制：进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满二进一，就是二进制：满十进一，就是十进制；满十二进一，就是十二进制；满六十进一，就是六十进制；等等.也就是说，“满几进一”就是几进制，几进制的基数就是几，一般地，若k是一个大于1的整数，那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字符号连写在一起的形式anan−1⋯a1a0(k)(an,an−1,⋯,a1,a0∈N,00，∴y=x2+1x2≥2，当且仅当x2=1x2，即x=±1时取得“=”．
故选A．
可根据条件，利用基本不等式判断其最值．
本题考查基本不等式，关键在于对基本不等式成立的条件的检验，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：令h(x)=xe|x|，则h(−x)=−xe|−x|=−xe|x|=−h(x)，
则h(x)=xe|x|为奇函数，则−22xe|x|dx=0，
又f(x)为偶函数且02f(x)dx=4，
则−222f(x)dx=2−22f(x)dx=402f(x)dx=16，
则−22(2f(x)+xe|x|)dx=−222f(x)dx+−22xe|x|dx=16+0=16
故选：D．
利用奇偶函数的对称性，再结合定积分运算法则求解．
本题考查奇偶函数的对称性，定积分运算法则，属于中档题．
5.【答案】D
【解析】解：因为(x2+x+14)5=[(x+12)2]5=(x+12)10，
所以(x+12)10展开式的通项公式为Tr+1=C10rx10−r⋅(12)r，
当10−r=7时，r=3，T4=C103x7⋅(12)3，
则C103(12)3=15，x7的系数为15．
故选：D．
将原式化简，再根据二项定理的展开项通项公式确定x7的系数．
本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
6.【答案】B
【解析】解：由圆的一般方程可得圆的标准方程为：(x+a)2+y2=a2−9，
可得圆心坐标为(−a,0)，由题意可得a=−5，
可得半径r= a2−9= 25−9=4，
故选：B．
由圆的方程可得圆心坐标及半径，由题意可得a的值，进而求出半径的大小．
本题考查圆的一般方程与标准方程之间的互化，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：由题意得P(B|A2)=33+3+4+1=311，所以A错误；
因为P(B|A1)=411，
P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=310×411+210×311+510×311=310，
所以P(B)≠P(B|A1)，即P(B)P(A1)≠P(BA1)，
故事件事件A1与事件B不相互独立，所以B错误，D正确；
P(A3|B)=P(A3B)P(B)=P(A3)P(B|A3)P(B)=510×311310=511，所以C错误；
故选：D．
A选项，根据题意求出P(B|A2)=311，判断A选项；
B选项，利用全概率公式求出P(B)=310，进而得到P(B)P(A1)≠P(BA1)，判断事件事件A1与事件B不相互独立，得到D选项正确；
C选项，利用条件概率公式求解即可．
本题考查了条件概率、相互独立事件以及全概率的计算问题，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：由条件有当x∈(−∞,0)时，f(x)单调递增．因为f(x)为偶函数，
所以f(x)在(0,+∞)上单调递减．
当xπ6，
最小为0，故存在点P使得DP与直线CB1的夹角为π6，故B正确；
对于C：当λ+μ=1时，因为DP=λDD1+μDA，所以A、P、D1三点共线，即 P的轨迹为线段D1A.如图(2)，
在正方体ABCD−A1B1C1D1中，对于平面ABC1D1，C1P⊂面ABC1D1，故不存在点P使得C1P与平面ABC1D1所成的角为π4，故C错误；
对于D：当λ+μ=1时，如图(2)，P的轨迹为线段D1A，当P为D1A的中点时，CP的长度最小．此时CP= 12+( 22)2= 62，故D正确．
故选：ABD．
对于A：先判断出P的轨迹为线段DA1，利用平面CB1D1//平面A1BD，证明出BP/​/平面CB1D1；
对于B：先判断出P的轨迹为线段EF，再判断出DP与直线CB1的夹角即为DP与直线DA1的夹角，根据角的范围进行判断；
对于C：先判断出P的轨迹为线段D1A，由C1P⊂平面ABC1D1，即可判断结论；
对于D：先判断出P的轨迹为线段D1A，求出CP的长度最小值．
本题考查立体几何中的动点轨迹问题一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型，有两种处理方法：
(1)很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义法)；
(2)要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式．
12.【答案】193
【解析】解：由f(f(x))=af(x)+b=a2x+ab+b=4x+1，
所以a2=4，ab+b=1(a>0)，
解得a=2，b=13，
所以f(x)=2x+13，
于是f(3)=193．
由f(f(x))=af(x)+b=a2x+ab+b=4x+1，所以a2=4，ab+b=1(a>0)，解得a=2，b=13，由此能够求出f(3)．
本题考查函数值的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意函数解析式的求解和常用方法的灵活运用．
13.【答案】60
【解析】【分析】
本题考查了数列递推公式的应用，解得关键是利用an+2=an+1+an将所求解的式子进行转化，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．
利用an+2=an+1+an将a2+a3+a5+a7+a9+⋯+a59=ak进行转化，即可得到答案．
【解答】
解：因为斐波那契数列{an}满足a1=1，a2=1，an+2=an+1+an，
所以a2+a3+a5+a7+a9+⋯+a59
=a4+a5+a7+a9+⋯+a59
=a6+a7+a9+⋯+a59
=⋅⋅⋅
=a58+a59
=a60
=ak，
所以k=60．
故答案为60．
14.【答案】f′(4)