人教版6.3 实数综合训练题

这是一份人教版6.3 实数综合训练题，共41页。


1．若有理数x，y满足y=x−3+3−x+1，则x+y的值是（ ）
A．3B．±4C．4D．±2
2．当x等于（ ）时，−3−4−x2有最（ ）值．
A．2，小B．2，大C．±2，小D．±2，大
3．在实数范围内，代数式||−(x+5)2﹣2|﹣3|的值为（ ）
A．1B．2
C．3D．以上答案都不对
4．已知a、b、c满足a+b−4+a−c+2=b−c+c−b，则a+b+c的平方根为____________．
5．若2021−a+a−2025=a，则a−20212的值为______．
6．若2x−6+y−12=0，求xy的平方根是___________．
7．已知实数a、b、c满足b−4+|a+1|=b−c+c−b
(1)求证：b=c；
(2)求−a+b+c的平方根．
1．已知432=1849,442=1936,452=2025,462=2116．若n为整数且n<2021A．43B．44C．45D．46
2．若无理数x=4+5，则估计无理数x的范围正确的是（ ）
A．23．已知m是整数，当|m﹣40|取最小值时，m的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
4．[x]表示不大于x的最大整数，如[3.15]＝3，[﹣2.7]＝﹣3，[4]＝4，则1×2+2×3+⋯+2021×20221011的值为（ ）
A．1011B．2021C．2022D．1012
5．对于实数a，我们规定，用符号a表示不大于a的最大整数，称a为a的根整数，例如：9=3，10=3．我们可以对一个数连续求根整数，如对5连续两次求根整数：5=2→2=1．若对x连续求两次根整数后的结果为1，则满足条件的整数x的最大值为( )
A．5B．10C．15D．16
6．我们在初中已经学会了估算n的值，现在用an表示距离n最近的正整数．（n为正整数）比如：a1表示距离1最近的正整数，∴a1=1；a2表示距离2最近的正整数，∴a2=1；a3表示距离3最近的正整数，∴a3=2……利用这些发现得到以下结论：
①a6=2；②an=2时，n的值有3个；③a1−a2+a3−⋅⋅⋅+a9−a10=0；④1a1+1a2+⋅⋅⋅+1a100=20；⑤当1a1+1a2+⋅⋅⋅+1an=100时，n的值为2550．
五个结论中正确的结论有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
7．若整数x满足3+365≤x≤65+2，则x的值是______．
8．对于任何实数a，可用a表示不超过a的最大整数，如4=4，3=1．现对72进行如下操作：72第一次72=8第二次8=2第三次2=1，类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是______．
1．如下表，被开方数a和它的算术平方根a的小数点位置移动符合一定的规律，根据规律可得m，n的值分别为（ ）
A．m=0.025，n≈7.91 B．m=2.5，n≈7.91 C．m≈7.91，n=2.5D．m=2.5，n≈0.791
2．观察被开方数a的小数点与立方根3a的小数点的移动规律，填空：
已知36≈1.817，则36000≈_____．
3．我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如4等，有些数则不能直接求得，如5，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请你观察下表：
(1)表格中的三个值分别为：x＝ ；y＝ ；z＝ ；
(2)用公式表示这一规律：当a＝4×100n（n为整数）时，a＝ ；
(3)利用这一规律，解决下面的问题：
已知5.56≈2.358，则①0.0556≈ ；②55600≈ ．
4．为了进一步研究算术平方根的特点，闫老师用计算器计算出了一些数的算术平方根，并将结果填在了下表中．
(1)请你帮助闫老师将表格内容补充完整；
表1．
(2)请你仿照表1中的规律，将表2补充完整．
表2．
(3)通过表1和表2，你能发现什么规律？请用文字或符号概括你的发现．
（提示：如果没有思路，你可以先观察第1组、第3组、第5组、第7组中的被开方数和结果，再观察第2组、第4组、第6组中的被开方数和结果）．
5．求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如4，有些数则不能直接求得，如5，但可以通过计算器求．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表：
(1)表格中x＝ ；y＝ ；
(2)从表格中探究n与n数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知2.06≈1.435，则20600≈ ；
②已知3.3489＝1.83，若x＝0.183，则x＝ ．
6．【初步感知】
(1)直接写出计算结果．
①13=___________；
②13+23=_______；
③13+23+33=________；
④13+24+33+43=________；
…
【深入探究】观察下列等式．
①1+2=(1+2)×22；
②1+2+3=(1+3)×32；
③1+2+3+4=(1+4)×42；
④1+2+3+4+5=(1+5)×52；
…
根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容．
(2)_________=(1+2022)×20222；
(3)1+2+3+⋯+n+(n+1)=_______，
【拓展应用】计算：
(4)13+23+33+⋯+993+1003；
(5)113+123+133+⋯+193+203．
7．数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙．你知道怎样迅速地求出计算结果吗？请你按下面的步骤试一试．
第一步：∵31000=10，31000000=100，且1000＜59319＜1000000
∴10<359319<100，即59319的立方根是一个两位数．
第二步：∵59319的个位数字是9，而93=729．
∴能确定359319的个位数字是9．
第三步：如果划除59319后面的三位数，得到数59，而27＜59＜64．
∴327<359<364，可得30<359319<40．
∴59319的立方根的十位数字是3．
∴59319的立方根是39．
根据上面的材料解答下面的问题：
(1)填空：1728的立方根是一个______位数，其个位数字是______；
(2)仿照上面的方法求157464的立方根a，并验证a是157464的立方根．
8．求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如4，有些数则不能直接求得，如5，但可以通过计算器求. 还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表：
(1)表中所给的信息中，你能发现什么规律？（请将规律用文字表达出来）
(2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知2.06≈1.435，求下列各数的算术平方根：①0.0206≈ ；②206≈ ；
(3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根已知32≈1.260，则32000≈ ．
1．对于任意实数x，x均能写成其整数部分[x]与小数部分{x}的和，其中[x]称为x的整数部分，表示不超过x的最大整数，{x}称为x的小数部分，即x=[x]+{x}.比如1.7=[1.7]+{1.7}=1+0.7，[1.7]=1，{1.7}=0.7，−1.7=[−1.7]+{−1.7}=−2+0.3，[−1.7]=−2，{−1.7}=0.3，则下列结论正确的有（ ）
①{−13}=23；②0⩽{x}<1；③若{x−2}=0.3，则x=2.3；④{x}+{y}={x+y}+1对一切实数x、y均成立；⑤方程{x}+{1x}=1无解．
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．我们知道3是无理数，而无理数是无限不循环小数，它的小数部分我们不可能全部地写出来，但是由于1<3<2，所以3的整数部分为1，小数部分为3−1．根据以上的内容，解答下面的问题：若7的小数部分为a，26的整数部分为b，则a+b−7的值是______．
3．观察：因为4<5<9，即2<5<3，所以5的整数部分为2，小数部分为5−2．
请你观察上述规律后解决下面的问题：
(1)规定用符号m表示实数m的整数部分，例如：23=0，6=2．按此规定，那么10+1的值为___________．
(2)若11的整数部分为a，小数部分为b，c=11，求ca−b−6+12的值．
4．如图，每个小正方形的边长均为1．
(1)图中阴影部分的面积是______；阴影部分正方形的边长a是______．
(2)估计边长a的值在两个相邻整数______与______之间．
(3)我们知道π是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此π的小数部分我们不可能全部写出来，我们可以用3来表示它的整数部分，用π−3表示它的小数部分．设边长a的整数部分为x，小数部分为y，求x−y的相反数．
5．阅读材料：实数的整数部分与小数部分由于实数的小数部分一定要为正数，所以正、负实数的整数部分与小数部分确定方法存在区别：
①对于正实数，如实数9.23，在整数9~10之间，则整数部分为9，小数部分为9.23−9=0.23.
②对于负实数，如实数−9.23，在整数−10−−9之间，则整数部分为−10，小数部分为−9.23−−10=0.77.
依照上面规定解决下面问题：
(1)已知7的整数部分为a，小数部分为b，求a、b的值.
(2)若x、y分别是10−17的整数部分与小数部分，求xy+17的值.
(3)设x=5+1，a是x的小数部分，b是−x的小数部分，求a+b2的值.
6．先阅读下面材料，再解答问题：
材料：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：若a+bm=0，其中a，b为有理数，m是无理数，则a=0,b=0．
证明：∵a+bm=0，a为有理数
∴bm是有理数
∵b为有理数，m是无理数
∴b=0
∴a+0m=0
∴a=0
(1)若a+b3=3+3，其中a、b为有理数，请猜想a=_________，b=_________，并根据以上材料证明你的猜想；
(2)已知11的整数部分为a，小数部分为b，且x，y为有理数，x，y，a，b满足11y+11(y−11x)=(b+2)11+a11，求x，y的值．
7．下面是小李同学探索107的近似数的过程：
∵面积为 107 的正方形边长是107，且10 107 11
∴设107 10  x ，其中0  x  1，画出如图示意图，
∵图中 S正方形 102 210  x  x2， S正方形 107
∴102 210  x  x2 107
当 x2较小时，省略 x2，得20x 100  107 ，得到 x  0.35 ，即107 10.35 ．
(1)76的整数部分是 ；
(2)仿照上述方法，探究76的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
1．计算下列各式：
（1）13+23＝ ；
（2）13+23+33＝ ；
（3）13+23+33+43＝ ；
（4）13+23+33+43+53＝ ；
（5）13+23+33+⋯+203＝ ；
（6）猜想13+23+33+⋯+n3＝ ．（用含n的代数式表示）
2．观察下列各等式及验证过程：
12−13=1223，验证12−13=12×3=222×3=1223；
12(13−14)=1338，验证12(13−14)=12×3×4=32×32×4=1338；
13(14−15)=14415，验证13(14−15)=13×4×5=43×42×5=14415．
针对上述各式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式_____．
3．观察下列等式，并回答问题：
①1−2=2−1；
②2−3=3−2；
③3−4=4−3；
④4−5=5−4；
……
(1)请写出第⑤个等式：______，化简：35−6=______；
(2)写出你猜想的第n个等式：______；（用含n的式子表示）
(3)比较24−14与1的大小．
4．先观察下列等式，再回答问题：
①1+112+122=1+11−11+1=112；
②1+122+132=1+12−12+1=116；
③1+132+142=1+13−13+1=1112．
(1)根据上而三个等式提供的信息，请你猜想1+142+152=______．
(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式：______．
对任何实数a可a表示不超过a的最大整数，如4=4，3=1，计算：1+112+122+1+122+132+1+132+142+⋅⋅⋅+1+1492+1502的值
5．【观察】请你观察下列式子．
第1个等式：1=1．
第2个等式：1+3=2．
第3个等式：1+3+5=3．
第4个等式：1+3+5+7=4．
第5个等式：1+3+5+7+9=5．
【发现】根据你的阅读回答下列问题：
(1)写出第7个等式 ．
(2)请根据上面式子的规律填空：1+3+5+⋯+(2n+1)＝ ．
(3)利用（2）中结论计算：4+12+20+28+⋯+44+52．
6．已知一列数：a1，a2，a3，a4，a5…an，满足对为一切正整数n都有
1a1=12a1a2，1a1+1a2=12a2a3，1a1+1a2+1a3=12a3a4，
1a1+1a2+1a3+1a4=12a4a5，1a1+1a2+1a3+1a4+⋅⋅⋅1an=12anan+1成立，且a1=1．
(1)求a2，a3的值；
(2)猜想第n个数an（用n表示）；
(3)求a1a2+a2a3+a3a4+⋅⋅⋅+a2021a2022的值．
7．观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：
（1）1×5+4=9=3，
（2）2×6+4=16=4，
（3）3×7+4=25=5，
（4）4×8+4=36=6．
(1)观察算式规律，计算5×9+4=______；19×23+4=______．
(2)用含正整数n的式子表示上述算式的规律：______．
(3)计算：1×5+4−2×6+4+3×7+4−4×8+4+⋯+2021×2025+4．
1．如图①，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．
（1）图②中A、B两点表示的数分别为_______，________；
（2）请你参照上面的方法：
把图③中5×1的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图③中画出裁剪线，并在图④的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长a=_______．（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙）
2．如图1，有5个边长为1的小正方形组成的纸片，可以把它剪拼成一个正方形．
（1）拼成的正方形的面积是 ，边长是 ；
（2）仿照上面的做法，你能把下面这十个小正方形组成的图形纸，剪开并拼成一个大正方形吗？若能，在图2中画出拼接后的正方形，并求边长；若不能，请说明理由．
3．观察图形，每个小正方形的边长为1．
(1)则图中阴影部分的面积是 ，边长是 ．
(2)已知阴影正方形的边长为x，且a(3)若设图中阴影正方形的边长为x，请在下面的数轴上准确地作出数x所表示的点，若还有一个点B与它的距离为1，则这个点B在数轴上所表示的数为 ．
4．动手试一试：
图1是由10个边长均为1的小正方形组成的图形，我们沿图中的虚线AB，BC将它剪开后，重新拼成一个大正方形ABCD．
基础巩固：
(1)在图1中，拼成的大正方形ABCD的面积为 ，边AD的长为 ；
(2)知识运用：现将图1水平放置在如图2所示的数轴上，使得大正方形的顶点B与数轴上表示－1的点重合，若以点B为圆心，BC边的长为半径画圆，与数轴交于点E，则点E表示的数是 ；
(3)变式拓展：图3是由25个边长均为1的小正方形组成的图形，
①你能从中剪出一个面积为13的大正方形（大正方形的顶点都在小正方形的顶点上）吗？若能，请在图中画出示意图；若不能，请说明理由；
②在①的条件下，在图3中的数轴上标出原点，请你利用直尺和圆规在数轴上找出表示该大正方形边长的点，并直接写出该点表示的数．
5．“说不完的2”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题．
(1)2到底有多大？
下面是小欣探索2的近似值的过程，请补充完整：
我们知道面积是2的正方形边长是2，且2>1.4．设2=1.4+x，画出如下示意图．
由面积公式，可得x2+______=2．
因为x值很小，所以x2更小，略去x2，得方程______，解得x≈____（保留到0.001），即2≈_____．
(2)怎样画出2？请一起参与小敏探索画2过程．
现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．
小敏同学的做法是：设新正方形的边长为xx>0．依题意，割补前后图形的面积相等，有x2=2，解得x=2．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形．
请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程．a
0.0625
0.625
6.25
62.5
625
6250
62500
625000
a
0.25
0.791
m
n
25
79.1
250
791
a
0.001
1
1000
1000000
3a
0.1
1
10
100
a
…
0.04
4
400
40000
…
a
…
x
2
y
z
…
第1组
第2组
第3组
第4组
第5组
第6组
第7组
……
0.01
0.1
1
10
100
1000
10000
……
……
0.1
0.316
______
3.16
______
31.6
______
……
第1组
第2组
第3组
第4组
第5组
第6组
……
0.03
0.3
3
30
300
3000
……
……
0.1732
0.5477
______
5.477
______
______
……
n
16
0.16
0.0016
1600
160000
…
n
4
x
0.04
y
400
…
n
16
0.16
0.0016
1600
160000
…
n
4
0.4
0.04
40
400
…
专题2.2 实数全章六类必考压轴题
【人教版】
1．若有理数x，y满足y=x−3+3−x+1，则x+y的值是（ ）
A．3B．±4C．4D．±2
【分析】根据算术平方根的非负性，计算得出x=3，从而得出y=1，然后把x、y的值相加，即可得出答案．
【详解】解：根据题意，可得：x−3≥03−x≥0，
解得x=3，
∴y=1，
∴x+y=3+1=4．
故选：C．
2．当x等于（ ）时，−3−4−x2有最（ ）值．
A．2，小B．2，大C．±2，小D．±2，大
【分析】根据算术平方根的非负性得到−3−4−x2≤−3即可得到答案．
【详解】解：∵4−x2≥0，
∴−4−x2≤0，
∴−3−4−x2≤−3，
∴当4−x2=0，即x=±2时，−3−4−x2有最大值，
故选D．
3．在实数范围内，代数式||−(x+5)2﹣2|﹣3|的值为（ ）
A．1B．2
C．3D．以上答案都不对
【分析】根据算术平方根的非负性，化简绝对值即可求解．
【详解】解：由二次根式被开方数大于等于0可知：﹣（x+5）2＝0，
∴原式＝||0﹣2|﹣3|＝|2﹣3|＝|﹣1|＝1．
故选：A．
4．已知a、b、c满足a+b−4+a−c+2=b−c+c−b，则a+b+c的平方根为____________．
【分析】利用非负数的性质求出a，b，c的值，根据开平方，可得答案．
【详解】解：由题意得，b−c≥0且c−b≥0，
∴b≥c且c≥b，
∴b=c，
∴a+b−4+a−c+2=b−c+c−b=0，
由非负数的性质，得a+b=4a−c=−2，即a+b=4a−c=−2b=c，
解得a=1b=3c=3，
a+b+c=7，
∴a+b+c的平方根是±7．
故答案为：±7
5．若2021−a+a−2025=a，则a−20212的值为______．
【分析】根据算术平方根的非负性求得a的范围，进而化简绝对值，根据算术平方根的意义即可求解．
【详解】解：∵2021−a+a−2025=a，a−2025≥0，即a≥2025，
∴2021−a=a−2021，
∴a−2021+a−2025=a，
即a−2025=2021，
∴a−2025=20212，
∴a−20212=2025，
故答案为：2025．
6．若2x−6+y−12=0，求xy的平方根是___________．
【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．
【详解】解：根据题意得：2x−6=0，y−12=0，
解得：x=3，y=12，
∴xy=3×12=36=6，
∴xy的平方根是±6．
故答案为：±6
7．已知实数a、b、c满足b−4+|a+1|=b−c+c−b
(1)求证：b=c；
(2)求−a+b+c的平方根．
【分析】根据算术平方根的非负性，即可得证；
（2）根据（1）的结论，以及非负数之和为0，求得a,b,c的值，进而求得−a+b+c的平方根．
【详解】（1）证明：∵b−c≥0，c−b≥0，b−c≥0,c−b≥0，
∴b=c；
（2）解：∵ b−4+|a+1|=b−c+c−b，b=c，
∴b−4+a−1=0，
∴a=−1,b=4，
∴c=b=4，
∴−a+b+c=1+4+4=9，
9的平方根是±3．
1．已知432=1849,442=1936,452=2025,462=2116．若n为整数且n<2021A．43B．44C．45D．46
【分析】由题意可直接进行求解．
【详解】解：∵432=1849,442=1936,452=2025,462=2116，
∴442<2021<452，
∴44<2021<45，
∴n=44；
故选B．
2．若无理数x=4+5，则估计无理数x的范围正确的是（ ）
A．2【分析】根据算术平方根的性质（被开方数越大，其算术平方根越大）解决此题．
【详解】解：∵4<5<9
∴4<5<9
∴2<5<3
∴4+2<4+5<4+9
∵4=2
∴4<2+5<5
∵x=4+5
∴4故选：C．
3．已知m是整数，当|m﹣40|取最小值时，m的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】根据绝对值是非负数，所以不考虑m为整数,则|m−40|取最小值是0，又0的绝对值为0，令m−40=0，得出m=40，再根据m是整数，找出最接近40的整数可得：m＝6．
【详解】解：因为|m−40|取最小值，
∴|m−40|=0，
∴m−40=0，
解得：m=40，
∵m2=40，
∴6∴当m=6时，|m−40|有最小值.
故选：B．
4．[x]表示不大于x的最大整数，如[3.15]＝3，[﹣2.7]＝﹣3，[4]＝4，则1×2+2×3+⋯+2021×20221011的值为（ ）
A．1011B．2021C．2022D．1012
【分析】根据[x]表示不大于x的最大整数可得到1×2=1，2×3=2，3×4=3，…，2021×2022=2021，然后计算即可．
【详解】解：∵1×2=1，2×3=2，3×4=3，…，2021×2022=2021，
∴1×2+2×3+⋯+2021×20221011
=1+2+3+…+20211011
＝12×(1+2021)×20211011
＝2021
故选：B．
5．对于实数a，我们规定，用符号a表示不大于a的最大整数，称a为a的根整数，例如：9=3，10=3．我们可以对一个数连续求根整数，如对5连续两次求根整数：5=2→2=1．若对x连续求两次根整数后的结果为1，则满足条件的整数x的最大值为( )
A．5B．10C．15D．16
【分析】对各选项中的数分别连续求根整数即可判断得出答案．
【详解】解：当x＝5时，5=2→2=1，满足条件；
当x＝10时，10=3→3=1，满足条件；
当x＝15时，15=3→3=1，满足条件；
当x＝16时，16=4→4=2，不满足条件；
∴满足条件的整数x的最大值为15，
故答案为：C．
6．我们在初中已经学会了估算n的值，现在用an表示距离n最近的正整数．（n为正整数）比如：a1表示距离1最近的正整数，∴a1=1；a2表示距离2最近的正整数，∴a2=1；a3表示距离3最近的正整数，∴a3=2……利用这些发现得到以下结论：
①a6=2；②an=2时，n的值有3个；③a1−a2+a3−⋅⋅⋅+a9−a10=0；④1a1+1a2+⋅⋅⋅+1a100=20；⑤当1a1+1a2+⋅⋅⋅+1an=100时，n的值为2550．
五个结论中正确的结论有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
【分析】①根据a6表示距离6最近的正整数，进行判断；②根据an=2，确定n的值；③分别求出a1,a2,a3,a4⋯a10，进行求解即可；④根据③中的数据，得到相应的数字规律，再进行计算即可；⑤根据规律进行倒推，即可得解．
【详解】解：①a6表示距离6最近的正整数，
∴a6=2；故①正确；
②an=2时，n=3，4，5，6，
∴n的值有4个；故②错误；
③∵a1=1,a2=1,a3=2,a4=2,a5=2,a6=2,a7=3,a8=3,a9=3,a10=3，
∴1−1+2−⋅⋅⋅+3−3=0；故③正确；
④∵a1=1,a2=1,a3=2,a4=2,a5=2,a6=2,a7=3,a8=3,a9=3,a10=3，…，
∴2个1，4个2，6个3，8个4，…，
∴1a1+1a2+⋯+1a100=1×2+4×12+6×13+8×14+⋯+18×19+10×110=19；故④错误；
⑤1a1+1a2+⋯+1an=100=50×2=2×1+4×12+6×13+⋯+100×150，
∴n=2+4+6+…+100=2+1002×50=2550；故⑤正确；
综上：正确的是①③⑤，共3个；
故选B．
7．若整数x满足3+365≤x≤65+2，则x的值是______．
【分析】根据算术平方根、立方根的定义估算无理数65和365的大小，进而得出3+365和65+2的大小即可．
【详解】解：∵43=64，53=125，而64<65<125，
∴4<365<5，
∴7<3+365<8，
又：∵82=64，92=81，而64<65<81，
∴8<65<9，
∴10<65+2<11，
又∵整数x满足3+365≤x≤65+2，
∴x=8或x=9或x=10，
故答案为：8或9或10．
8．对于任何实数a，可用a表示不超过a的最大整数，如4=4，3=1．现对72进行如下操作：72第一次72=8第二次8=2第三次2=1，类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是______．
【分析】根据规律可知，最后的取整是1，得出前面的一个数字最大的是3，再向前一步推取整式3的最大数为15，继续回得到取整是15的最大数为225；反之验证得出答案即可．
【详解】解：∵ 3=1，15=3，225=15；
所以只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是225
故答案为：225
1．如下表，被开方数a和它的算术平方根a的小数点位置移动符合一定的规律，根据规律可得m，n的值分别为（ ）
A．m=0.025，n≈7.91 B．m=2.5，n≈7.91 C．m≈7.91，n=2.5D．m=2.5，n≈0.791
【分析】根据算术平方根的定义解决此题．
【详解】解：由题意得：从0.0625开始，小数点每向右移动两位，对应算术平方根扩大10倍，
从0.625开始，小数点每向右移动两位，对应算术平方根扩大10倍，
∴可得：6.25的算术平方根为2.5,62.5的算术平方根约为7.91，
故选B．
2．观察被开方数a的小数点与立方根3a的小数点的移动规律，填空：
已知36≈1.817，则36000≈_____．
【分析】根据题中所给规律可直接进行求解．
【详解】解：由题意得：
∵36≈1.817，
∴36000≈18.17；
故答案为18.17．
3．我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如4等，有些数则不能直接求得，如5，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请你观察下表：
(1)表格中的三个值分别为：x＝ ；y＝ ；z＝ ；
(2)用公式表示这一规律：当a＝4×100n（n为整数）时，a＝ ；
(3)利用这一规律，解决下面的问题：
已知5.56≈2.358，则①0.0556≈ ；②55600≈ ．
【分析】（1）直接利用算术平方根定义计算填表即可；
（2）归纳总结得到一般性规律，然后求出a的值即可；
（3）利用（2）得出的规律即可解答．
【详解】（1）解：根据算术平方根定义可得：x=0.2；y=20；z=200．
故答案为0.2；20；200．
（2）解：当a=4×100n（n为整数）时，a=2×10n．
故答案为2×10n．
（3）解：若5.56≈2.358，则①0.0556≈0.2358；②55600≈235.8．
故答案为：0.2358；235.8．
4．为了进一步研究算术平方根的特点，闫老师用计算器计算出了一些数的算术平方根，并将结果填在了下表中．
(1)请你帮助闫老师将表格内容补充完整；
表1．
(2)请你仿照表1中的规律，将表2补充完整．
表2．
(3)通过表1和表2，你能发现什么规律？请用文字或符号概括你的发现．
（提示：如果没有思路，你可以先观察第1组、第3组、第5组、第7组中的被开方数和结果，再观察第2组、第4组、第6组中的被开方数和结果）．
【分析】（1）根据表中的数据，可以发现数字规律，即可求得答案
（2）观察第1组、第3组、第5组中的被开方数和结果以及第2组、第4组、第6组中的被开方数和结果，可得出答案
（3）根据（1）（2）中发现的规律解答即可
【详解】（1）解：根据题意，得1=1,100=10,10000=100．
故答案为：1；10；100．
（2）解：已知0.03=0.1732，
∴3=1.732，300=17.32．
∵已知30=5.477，
∴3000=54.77．
故答案为：1.732；17.32；54.77．
（3）解：通过观察表1和表2可发现，被开方数的小数点向左或向右移动2n位，算数平方根的小数点就随之向左或向右移动n位．
5．求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如4，有些数则不能直接求得，如5，但可以通过计算器求．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表：
(1)表格中x＝ ；y＝ ；
(2)从表格中探究n与n数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知2.06≈1.435，则20600≈ ；
②已知3.3489＝1.83，若x＝0.183，则x＝ ．
【分析】（1）把n=0.16代入x=n求解即可；把n=1600代入y=n求解即可；
（2）①根据被开方数小数点向右移动了4位，则算术平方根小数点向右移动两位求解；
②根据算术平方根小数点向左移动1位；则被开方数小数点向左移动了2位求解．
【详解】（1）解：当n=0.16时，x=n=0.16=0.4，
当n=1006时，x=n=1600=40，
故答案为：0.4，40；
（2）解：①已知2.06≈1.435，则20600≈143.5；
故答案为：143.5；
②已知3.3489＝1.83，若x＝0.183，则x＝0.03489．
故答案为：0.03489．
6．【初步感知】
(1)直接写出计算结果．
①13=___________；
②13+23=_______；
③13+23+33=________；
④13+24+33+43=________；
…
【深入探究】观察下列等式．
①1+2=(1+2)×22；
②1+2+3=(1+3)×32；
③1+2+3+4=(1+4)×42；
④1+2+3+4+5=(1+5)×52；
…
根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容．
(2)_________=(1+2022)×20222；
(3)1+2+3+⋯+n+(n+1)=_______，
【拓展应用】计算：
(4)13+23+33+⋯+993+1003；
(5)113+123+133+⋯+193+203．
【分析】（1）直接计算即可；
（2）根据前4个式子的规律填空即可；
（3）根据规律可得1+2+3+⋯+n+（n+1）=(n+1)(n+2)2；
（4）根据（1）的计算可得原式=1+2+3+…+100；
（5）根据规律可得原式=（13+23+33+⋯+193+203）-（13+23+33+⋯+93+103），再根据规律计算即可．
【详解】（1）解：①13=1；
②13+23=3；
③13+23+33=6；
④13+24+33+43=10；
故答案为：①1 ②3 ③6 ④10
（2）解：由规律可得：1+2+3+…+2022=(1+2022)×20222，
故答案为：1+2+3+…+2022；
（3）解：1+2+3+⋯+n+（n+1）=(n+1)(n+2)2．
故答案为：(n+1)(n+2)2；
（4）解：原式=1+2+3+…+100=(100+1)×1002=5050；
（5）解：原式=（13+23+33+⋯+193+203）-（13+23+33+⋯+93+103）
=（13+23+…+203）2-（13+23+...+103）2
=（1+2+…+20）2-（1+2+…+10）2
=（21×202）2-（11×102）2
=2102-552
=41075．
7．数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙．你知道怎样迅速地求出计算结果吗？请你按下面的步骤试一试．
第一步：∵31000=10，31000000=100，且1000＜59319＜1000000
∴10<359319<100，即59319的立方根是一个两位数．
第二步：∵59319的个位数字是9，而93=729．
∴能确定359319的个位数字是9．
第三步：如果划除59319后面的三位数，得到数59，而27＜59＜64．
∴327<359<364，可得30<359319<40．
∴59319的立方根的十位数字是3．
∴59319的立方根是39．
根据上面的材料解答下面的问题：
(1)填空：1728的立方根是一个______位数，其个位数字是______；
(2)仿照上面的方法求157464的立方根a，并验证a是157464的立方根．
【分析】（1）根据上面的材料所给的方法确定1728的立方根的位数及个位数字即可.
（2）仿照上面材料所给的方法先确定a的位数，再确定个位数字，再确定十位数字即可求出a的值.
【详解】（1）解：∵31000=10，31000000=100，且1000＜1728＜1000000
∴10<31728<100，即1728的立方根是一个两位数．
∵1728的个位数字是8，而23=8，
∴能确定31728的个位数字是2.
故答案为：两，2
（2）解：∵31000=10，31000000=100，且1000＜157464＜1000000
∴10<3157464<100，即157464的立方根是一个两位数．
∵157464的个位数字是4，而43=64，
∴能确定3157464的个位数字是4.
如果划除157464后面的三位数，得到数157，而125＜157＜216．
∴3125<3157<3216，可得50<3157464<60．
∴157464的立方根的十位数字是5．
∴157464的立方根是54．
即a=54
经过验证543=157464
8．求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如4，有些数则不能直接求得，如5，但可以通过计算器求. 还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表：
(1)表中所给的信息中，你能发现什么规律？（请将规律用文字表达出来）
(2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知2.06≈1.435，求下列各数的算术平方根：①0.0206≈ ；②206≈ ；
(3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根已知32≈1.260，则32000≈ ．
【分析】（1）观察被开方数和算术平方根小数点的位置，即可求解；
（2）根据（1）中的规律，从被开方数和算术平方根小数点的移动位置考虑，即可求解；
（3）根据前面的规律，被开立方数与立方根之间的关系，即可求解．
【详解】（1）解：探究发现：观察被开方数和算术平方根小数点的位置，可以的得到：被开方数的小数点向左或向右移动2n位，其算术平方根的小数点就向左或向右移动n位．
（2）解：①∵2.06≈1.435
∴0.0206≈0.1435
②∵2.06≈1.435
∴206≈14.35；
故答案为：0.1435；14.35；
（3）解：∵32≈1.260
∴ 32000≈12.60，
故答案为：12.60．
1．对于任意实数x，x均能写成其整数部分[x]与小数部分{x}的和，其中[x]称为x的整数部分，表示不超过x的最大整数，{x}称为x的小数部分，即x=[x]+{x}.比如1.7=[1.7]+{1.7}=1+0.7，[1.7]=1，{1.7}=0.7，−1.7=[−1.7]+{−1.7}=−2+0.3，[−1.7]=−2，{−1.7}=0.3，则下列结论正确的有（ ）
①{−13}=23；②0⩽{x}<1；③若{x−2}=0.3，则x=2.3；④{x}+{y}={x+y}+1对一切实数x、y均成立；⑤方程{x}+{1x}=1无解．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据x=[x]+{x}，{x}称为x的小数部分依次判断即可．
【详解】解：①、∵{x}称为x的小数部分，{−13}=1−13=23，故①正确；
②、∵{x}称为x的小数部分，∴0⩽{x}<1，故②正确；
③由题中条件可知{−1.7}=0.3，即当x=0.3时，{0.3−2}={−1.7}=0.3，答案不唯一，故③错误；
④、当x=1.3,y=0.3时，{x}+{y}=0.3+0.3=0.6，{x+y}+1={1.6}+1=1.6，即{x}+{y}≠{x+y}+1，故④错误；
⑤、当x=2+3时，{x}+{1x}=1，方程有解，故⑤错误
综上，正确的有①和②，
故选：A．
2．我们知道3是无理数，而无理数是无限不循环小数，它的小数部分我们不可能全部地写出来，但是由于1<3<2，所以3的整数部分为1，小数部分为3−1．根据以上的内容，解答下面的问题：若7的小数部分为a，26的整数部分为b，则a+b−7的值是______．
【分析】先求出7的整数部分，进而得出小数部分，即a的值，再通过计算得出26的整数部分，最后代入计算即可．
【详解】解：∵2<7<3，
∴7的整数部分为2，
∴小数部分为7−2，
即a=7−2，
∵5<26<6，
∴26的整数部分为5，
∴b=5，
∴a+b−7=7−2+5−7=3，
故答案为：3．
3．观察：因为4<5<9，即2<5<3，所以5的整数部分为2，小数部分为5−2．
请你观察上述规律后解决下面的问题：
(1)规定用符号m表示实数m的整数部分，例如：23=0，6=2．按此规定，那么10+1的值为___________．
(2)若11的整数部分为a，小数部分为b，c=11，求ca−b−6+12的值．
【分析】（1）根据二次根式大小的估算方法，估算10+1的范围，即可求出答案；
（2）根据题意分别写出a、b的值，然后带入代数式求值即可；
【详解】（1）解：9<10<16
∴3<10<4，
∴4<10+1<5
故答案为：4；
（2）解：∵9<11<16
∴3<11<4
∴11=3
∴a=3，b=11−3
∵c=11
∴c=±11
当c=11时，ca−b−6+12=113−11+3−6+12=−11+12=1
当c=−11时，ca−b−6+12=−113−11+3−6+12=11+12=23
综上所述：ca−b−6+12的值为：1或23．
4．如图，每个小正方形的边长均为1．
(1)图中阴影部分的面积是______；阴影部分正方形的边长a是______．
(2)估计边长a的值在两个相邻整数______与______之间．
(3)我们知道π是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此π的小数部分我们不可能全部写出来，我们可以用3来表示它的整数部分，用π−3表示它的小数部分．设边长a的整数部分为x，小数部分为y，求x−y的相反数．
【分析】（1）阴影部分的面积=总面积−4个直角三角形的面积，再根据正方形的面积公式以及算术平方根的定义可得阴影部分正方形的边长；
（2）根据无理数的估算方法解答即可；
（3）结合（2）的结论解答即可．
【详解】（1）解：图中阴影部分的面积是：5×5−4×12×2×3=25−12=13；
阴影部分正方形的边长a是13，
故答案为：13；13；
（2）∵9<13<16，
∴3<13<4；
故答案为：3；4；
（3）∵3<13<4；
∴a的整数部分为x=3，小数部分为y=13−3，
∴x−y=3−13−3=6−13，
∴x−y的相反数13−6．
5．阅读材料：实数的整数部分与小数部分由于实数的小数部分一定要为正数，所以正、负实数的整数部分与小数部分确定方法存在区别：
①对于正实数，如实数9.23，在整数9~10之间，则整数部分为9，小数部分为9.23−9=0.23.
②对于负实数，如实数−9.23，在整数−10−−9之间，则整数部分为−10，小数部分为−9.23−−10=0.77.
依照上面规定解决下面问题：
(1)已知7的整数部分为a，小数部分为b，求a、b的值.
(2)若x、y分别是10−17的整数部分与小数部分，求xy+17的值.
(3)设x=5+1，a是x的小数部分，b是−x的小数部分，求a+b2的值.
【分析】（1）先估算7，继而求得a,b的值；
（2）先估算17，继而求得x,y的值，代入代数式进行计算即可求解；
（3）先估算5+1，−5−1的大小，然后根据题意写出a,b的值，代入代数式即可求解．
【详解】（1）解：∵2<7<3，
∴a=2,b=7−2；
（2）解：∵4<17<5，
∴5<10−17<6，
∴x=5，y=10−17−5=5−17，
∴xy+17 =5×5−17+17=25；
（3）∵x=5+1，a是x的小数部分，b是−x的小数部分，
∵2<5<3，
∴3<5+1<4，
∴a=5+1−3=5−2，
∵2<5<3，
∴−3<−5<−2，
∴−4<−5−1<−3，
∴b=−5−1−−4=3−5，
∴a+b2=5−2+3−52=1．
6．先阅读下面材料，再解答问题：
材料：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：若a+bm=0，其中a，b为有理数，m是无理数，则a=0,b=0．
证明：∵a+bm=0，a为有理数
∴bm是有理数
∵b为有理数，m是无理数
∴b=0
∴a+0m=0
∴a=0
(1)若a+b3=3+3，其中a、b为有理数，请猜想a=_________，b=_________，并根据以上材料证明你的猜想；
(2)已知11的整数部分为a，小数部分为b，且x，y为有理数，x，y，a，b满足11y+11(y−11x)=(b+2)11+a11，求x，y的值．
【分析】（1）猜想有理数和有理数相等，无理数和无理数相等，根据若a+bm=0，其中a，b为有理数，m是无理数，则a=0，b=0进行证明；
（2）估算无理数的大小，代入方程，化简即可得出答案．
【详解】（1）解： 猜想a=3，b=1；
证明∵a+b3=3+3，其中a、b为有理数，
∴a-3+（b-1）3=0，
∴a−3+(b−1)3=0，
∵a为有理数，
∴a−3为有理数，
∴(b−1)3是有理数，
又∵b−1为有理数，3是无理数，
∴b−1=0即b=1，
∴a−3+03=0，
∴a−3=0即a=3，
∴a=3，b=1；
故答案为：3，1；
（2）解：∵9＜11＜16，∴3＜11＜4，∴a=3，b=11−3，
代入得11y+11(y−11x)=(11−3+2)11+311 ，
11y+11y−11x=11−11+311，
整理得11y−11x−11+(y−2)11=0 ，
∴11y−11x−11=0y−2=0，解得x=1y=2．
7．下面是小李同学探索107的近似数的过程：
∵面积为 107 的正方形边长是107，且10 107 11
∴设107 10  x ，其中0  x  1，画出如图示意图，
∵图中 S正方形 102 210  x  x2， S正方形 107
∴102 210  x  x2 107
当 x2较小时，省略 x2，得20x 100  107 ，得到 x  0.35 ，即107 10.35 ．
(1)76的整数部分是 ；
(2)仿照上述方法，探究76的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
【分析】（1）估算76即可求解；
（2）仿照例题，画出示意图，标明数据，即可求解．
【详解】（1）∵82<76<92∴8<76<9
故答案为：8
（2）∵面积为76 的正方形边长是76，且876 9
∴设768  x ，其中0  x  1，画出如图示意图，
∵图中 S正方形 82 28  x  x2， S正方形76
∴82 28  x  x276
当 x2较小时，省略 x2，得16x 64  76 ，得到 x  0.75，即76 8.75．
1．计算下列各式：
（1）13+23＝ ；
（2）13+23+33＝ ；
（3）13+23+33+43＝ ；
（4）13+23+33+43+53＝ ；
（5）13+23+33+⋯+203＝ ；
（6）猜想13+23+33+⋯+n3＝ ．（用含n的代数式表示）
【分析】（1）利用立方运算及算术平方根运算即可；
（2）利用立方运算及算术平方根运算即可；
（3）利用立方运算及算术平方根运算即可；
（4）利用立方运算及算术平方根运算即可；
（5）利用立方运算及算术平方根运算即可；
（6）通过前五个计算可发现规律结果为n(n+1)2．
【详解】解：（1）13+23＝9＝3，故答案为3；
（2）13+23+33＝36＝6，故答案为6；
（3）13+23+33+43＝100＝10，故答案为10；
（4）13+23+33+43+53＝225＝15，故答案为15；
（5）13+23+33+⋯+203＝210，故答案为210；
（6）13+23+33+⋯+n3＝n(n+1)2，故答案为n(n+1)2．
2．观察下列各等式及验证过程：
12−13=1223，验证12−13=12×3=222×3=1223；
12(13−14)=1338，验证12(13−14)=12×3×4=32×32×4=1338；
13(14−15)=14415，验证13(14−15)=13×4×5=43×42×5=14415．
针对上述各式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式_____．
【分析】归纳总结得到一般性规律，写出结果，验证即可．
【详解】解：观察下列各等式及验证过程：
12−13=1223，验证12−13=12×3=222×3=1223；
12(13−14)=1338，验证12(13−14)=12×3×4=32×32×4=1338；
13(14−15)=14415，验证13(14−15)=13×4×5=43×42×5=14415．
..．
用n（n为正整数）表示的等式为：1n1n+1−1n+2=1n+1n+1nn+2，
验证等式左边＝1nn+1n+2，
右边＝1n+1n+12nn+1n+2=1nn+1n+2．
故答案为：1n1n+1−1n+2=1n+1n+1nn+2．
3．观察下列等式，并回答问题：
①1−2=2−1；
②2−3=3−2；
③3−4=4−3；
④4−5=5−4；
……
(1)请写出第⑤个等式：______，化简：35−6=______；
(2)写出你猜想的第n个等式：______；（用含n的式子表示）
(3)比较24−14与1的大小．
【分析】（1）根据已知等式的规律可以得到第⑤个等式，由于35−6=35−36，可以根据规律得到结果；
（2）由前4个等式可以猜想第n个等式为n−n+1=n+1−n；
（3）利用作差法比较大小．
【详解】（1）解：根据前4个式子可得第⑤个等式为：5−6=6−5，
35−6=35−36=36−35=6−35，
故答案为：5−6=6−5；6−35．
（2）解：由前4个等式可以猜想第n个等式为n−n+1=n+1−n，
故答案为：n−n+1=n+1−n．
（3）解：∵24−14−1=24−14−44=24−54=24−254<0，
∴24−14<1．
4．先观察下列等式，再回答问题：
①1+112+122=1+11−11+1=112；
②1+122+132=1+12−12+1=116；
③1+132+142=1+13−13+1=1112．
(1)根据上而三个等式提供的信息，请你猜想1+142+152=______．
(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式：______．
对任何实数a可a表示不超过a的最大整数，如4=4，3=1，计算：1+112+122+1+122+132+1+132+142+⋅⋅⋅+1+1492+1502的值
【分析】（1）根据题干例举的等式，总结规律可得答案；
（2）先总结规律可得1+1n2+1n+12=1+1n−1n+1=1+1nn+1，再利用规律进行计算即可．
【详解】（1）解：1+142+152= 1+14−14+1=1120；
（2）由题干信息归纳可得：
1+1n2+1n+12=1+1n−1n+1=1+1nn+1，
∴1+112+122+1+122+132+1+132+142+⋅⋅⋅+1+1492+1502
=1+11−12+1+12−13+⋅⋅⋅1+149−150
=49+11−150
=494950
=49．
5．【观察】请你观察下列式子．
第1个等式：1=1．
第2个等式：1+3=2．
第3个等式：1+3+5=3．
第4个等式：1+3+5+7=4．
第5个等式：1+3+5+7+9=5．
【发现】根据你的阅读回答下列问题：
(1)写出第7个等式 ．
(2)请根据上面式子的规律填空：1+3+5+⋯+(2n+1)＝ ．
(3)利用（2）中结论计算：4+12+20+28+⋯+44+52．
【分析】（1）根据规律直接写出式子即可；
（2）所给1+3+5+⋯+(2n+1)是n+1个式子，根据规律即可得；
（3）根据得出的结论可知4+12+20+28+36+44+52=4(1+3+5+7+8+9+11+13)，利用规律即可得．
【详解】（1）解：根据材料可知，第七个式子的被开方数为1+3+5+7+9+11+13，
∴第7个等式为：1+3+5+7+11+13=7，
故答案为：1+3+5+7+11+13=7；
（2）解：根据材料中给出的规律可知：1+3+5+⋯+(2n+1)=(2n+1)+12=n+1，
故答案为：n+1；
（3）解：根据（2）中的规律知，
4+12+20+28+36+44+52=4(1+3+5+7+8+9+11+13)=4×1+132=14．
6．已知一列数：a1，a2，a3，a4，a5…an，满足对为一切正整数n都有
1a1=12a1a2，1a1+1a2=12a2a3，1a1+1a2+1a3=12a3a4，
1a1+1a2+1a3+1a4=12a4a5，1a1+1a2+1a3+1a4+⋅⋅⋅1an=12anan+1成立，且a1=1．
(1)求a2，a3的值；
(2)猜想第n个数an（用n表示）；
(3)求a1a2+a2a3+a3a4+⋅⋅⋅+a2021a2022的值．
【分析】（1）根据所给公式进行求解即可；
（2）先计算出a4即可发现，an=1n2=1n2；
（3）先推出an⋅an+1=1n−1n+1据此求解即可．
【详解】（1）解：∵a1=1，1a1=12a1a2，
∴11=12a2，
∴a2=14，
∵1a1+1a2=12a2a3，
∴11+114=1214a3，
∴1+2=1a3，
∴a3=19；
（2）解：∵1a1+1a2+1a3=12a3a4
∴11+114+119=1219a4，
∴1+2+3=123a4，
∴a4=116，
∵a1=112，a2=122，a3=132，a4=142，
∴an=1n2=1n2；
（3）解：∵an=1n2，
∴an⋅an+1=1n2n+12，
∴an⋅an+1=1n2n+12=1nn+1=1n−1n+1，
∴a1a2+a2a3+a3a4+⋅⋅⋅+a2021a2022
=1−12+12−13+⋯+12021−12022
=1−12022
=20212022．
7．观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：
（1）1×5+4=9=3，
（2）2×6+4=16=4，
（3）3×7+4=25=5，
（4）4×8+4=36=6．
(1)观察算式规律，计算5×9+4=______；19×23+4=______．
(2)用含正整数n的式子表示上述算式的规律：______．
(3)计算：1×5+4−2×6+4+3×7+4−4×8+4+⋯+2021×2025+4．
【分析】（1）从数字找规律，即可解答；
（2）从数字找规律，即可解答；
（3）从数字找规律，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：5×9+4=49=7，19×23+4=441=21，
故答案为：7，21；
（2）解：用含正整数n的式子表示上述算式的规律：n(n+4)+4=(n+2)2=n+2；
故答案为：n(n+4)+4=(n+2)2=n+2；
（3）解：1×5+4−2×6+4+3×7+4−4×8+4+⋯+2021×2025+4
=3−4+5−6+…+2023
=(−1)×1010+2023
=−1010+2023
=1013．
1．如图①，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．
（1）图②中A、B两点表示的数分别为_______，________；
（2）请你参照上面的方法：
把图③中5×1的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图③中画出裁剪线，并在图④的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长a=_______．（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙）
【分析】（1）根据图①得出小正方形对角线长即可；
（2）根据长方形面积即可得出正方形面积，从而求出正方形边长；
【详解】解：（1）设边长为1的小正方形沿对角线长为x，由图①得：x2=2，
∴对角线为x=2，
∴图②中A、B两点表示的数分别−2,2，
故答案为：−2,2，
（2）∵长方形面积为5，
∴正方形边长为5，如图所示：
故答案为：5．
2．如图1，有5个边长为1的小正方形组成的纸片，可以把它剪拼成一个正方形．
（1）拼成的正方形的面积是 ，边长是 ；
（2）仿照上面的做法，你能把下面这十个小正方形组成的图形纸，剪开并拼成一个大正方形吗？若能，在图2中画出拼接后的正方形，并求边长；若不能，请说明理由．
【分析】（1）一共有5个小正方形，那么组成的大正方形的面积为5，边长为5的算术平方根；
（2）一共有10个小正方形，那么组成的大正方形的面积为10，边长为10的算术平方根，在所给图形中截取两条长为10的且互相垂直的线段，进而拼合即可．
【详解】（1）拼成的正方形的面积是：5，边长为：5．
（2）如图所示，能，正方形的边长为10．
3．观察图形，每个小正方形的边长为1．
(1)则图中阴影部分的面积是 ，边长是 ．
(2)已知阴影正方形的边长为x，且a(3)若设图中阴影正方形的边长为x，请在下面的数轴上准确地作出数x所表示的点，若还有一个点B与它的距离为1，则这个点B在数轴上所表示的数为 ．
【分析】（1）先利用大正方形的面积减去四个小直角三角形的面积即可计算得出阴影部分的面积，再计算其算术平方根即可得出阴影部分的边长；
（2）利用无理数的估算得出3<10<4，即可求得a、b的值；
（3）由题意知，阴影部分的边长是边长为3和1的直角三角形的斜边长，作边长为3和1的直角三角形，再以原点为圆心，斜边长为半径画弧交数轴的正半轴于点A，由于斜边长为10，则A点表示的数为10，然后把10加上或减去1得到B点表示的数．
【详解】（1）解：∵图中阴影部分的面积为4×4−4×12×1×3=10，
所以图中阴影部分的边长为10；
故答案为：10；10；
（2）解：∵9<10<16，
∴3<10<4，
∵a∴a=3，b=4；
故答案为：3，4；
（3）解：如图，点A为所作，
B点表示的数为10−1或10+1．
4．动手试一试：
图1是由10个边长均为1的小正方形组成的图形，我们沿图中的虚线AB，BC将它剪开后，重新拼成一个大正方形ABCD．
基础巩固：
(1)在图1中，拼成的大正方形ABCD的面积为 ，边AD的长为 ；
(2)知识运用：现将图1水平放置在如图2所示的数轴上，使得大正方形的顶点B与数轴上表示－1的点重合，若以点B为圆心，BC边的长为半径画圆，与数轴交于点E，则点E表示的数是 ；
(3)变式拓展：图3是由25个边长均为1的小正方形组成的图形，
①你能从中剪出一个面积为13的大正方形（大正方形的顶点都在小正方形的顶点上）吗？若能，请在图中画出示意图；若不能，请说明理由；
②在①的条件下，在图3中的数轴上标出原点，请你利用直尺和圆规在数轴上找出表示该大正方形边长的点，并直接写出该点表示的数．
【分析】（1）易得10个小正方形的面积的和，即可得到大正方形面积，求得面积的算术平方根即可为大正方形的边长；
（2）根据大正方形的边长结合实数与数轴的关系可得结果；
（3）①以2×3的长方形的对角线为边长即可画出图形；②得到正方形的边长，再利用实数与数轴的关系画图．
【详解】（1）解：图1中有10个小正形，
∴大正方形ABCD的面积为10，边长AD为10，
故答案为：10，10；
（2）解：∵BC=10，点B表示的数为−1，
∴BE=10，
当E到点B的右边时，点E表示的数为10−1；
当E到点B的左边时，点E表示的数为−1−10；
∴点E表示的数为10−1或−1−10，
故答案为：10−1或−1−10；
（3）解：①能，作图如下图，
②在图3中的数轴上标出原点，请你利用直尺和圆规在数轴上找出表示该大正方形边长的点，并直接写出该点表示的数．
该大正方形边长的点为E，点E表示的数为13．
5．“说不完的2”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题．
(1)2到底有多大？
下面是小欣探索2的近似值的过程，请补充完整：
我们知道面积是2的正方形边长是2，且2>1.4．设2=1.4+x，画出如下示意图．
由面积公式，可得x2+______=2．
因为x值很小，所以x2更小，略去x2，得方程______，解得x≈____（保留到0.001），即2≈_____．
(2)怎样画出2？请一起参与小敏探索画2过程．
现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．
小敏同学的做法是：设新正方形的边长为xx>0．依题意，割补前后图形的面积相等，有x2=2，解得x=2．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形．
请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程．
【分析】（1）根据图形中大正方形的面积列方程即可；
（2）在网格中分别找到1×1和1×2的长方形，依次连接顶点即可．
【详解】（1）由面积公式，可得x2+2.8x+1.96=2
∵x值很小，所以x2更小，略去x2，得方程2.8x+1.96=2，解得x≈0.014（保留到0.001），即2≈1.4+x≈1.414．
故答案为：2.8x+1.96，2.8x+1.96=2，0.014，1.414；
（2）小敏同学的做法，如图：
排列形式如图（3），如图：
画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形，如图所示
a
0.0625
0.625
6.25
62.5
625
6250
62500
625000
a
0.25
0.791
m
n
25
79.1
250
791
a
0.001
1
1000
1000000
3a
0.1
1
10
100
a
…
0.04
4
400
40000
…
a
…
x
2
y
z
…
第1组
第2组
第3组
第4组
第5组
第6组
第7组
……
0.01
0.1
1
10
100
1000
10000
……
……
0.1
0.316
______
3.16
______
31.6
______
……
第1组
第2组
第3组
第4组
第5组
第6组
……
0.03
0.3
3
30
300
3000
……
……
0.1732
0.5477
______
5.477
______
______
……
n
16
0.16
0.0016
1600
160000
…
n
4
x
0.04
y
400
…
n
16
0.16
0.0016
1600
160000
…
n
4
0.4
0.04
40
400
…