沪科版七年级数学下册专题10.6相交线、平行线与平移全章六类必考压轴题(沪科版)(原卷版+解析)

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1．（2023秋·辽宁大连·七年级校考期末）直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD于点O，作射线OE，且OC在∠AOE的内部．
(1)当点E，F在直线AB的同侧；
①如图1，若∠BOD=15°，∠BOE=120°，求∠EOF的度数；
②如图2，若OF平分∠BOE，请判断OC是否平分∠AOE，并说明理由；
(2)若∠AOF=2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．
2．（2023春·七年级课时练习）如图，直线CD，EF相交于点O，射线OA在∠COF的内部，∠DOF=13∠AOD．
(1)如图1，若∠AOC=120°，求∠EOC的度数；
(2)如图2，若∠AOC=α（60°<α<180°），将射线OA绕点O逆时针旋转60°，到OB，
①求∠EOB的度数（用含α的式子表示）；
②观察①中的结果，直接写出∠AOC，∠EOB之间的数量关系．
(3)如图3 ，0°<∠AOC <120°，将射线OA绕点O顺时针旋转60°，到OB，请直接写出∠AOC，∠EOB之间的数量关系．
3．（2023秋·湖南株洲·七年级统考期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OE，使∠BOE=40°，将一个三角板的直角顶点放在O处，一边OC在射线OA上，另一边OD在直线AB的上方．将图1中的三角板绕点O顺时针旋转：
(1)如图2，当OC旋转到OE的反向延长线上时，∠AOC=______；
(2)如图3，当OD平分∠AOE时，求∠BOC的度数；
(3)若OC在直线AB上方，∠BOC=α，请直接用含a的式子表示∠DOE．
4．（2023秋·重庆潼南·七年级统考期末）如图，点O是直线AB上一点，在直线AB的上方作射线OC，使∠BOC=30°，将一个直角三角板DOE的直角顶点放在点O处（注：∠DOE=90°），且直角三角板DOE始终保持在直线AB的上方．
(1)如图1，若直角三角板DOE的一边OD在射线OA上，则∠COE的度数=______；
(2)如图2，若直角三角板∠DOE的边OE在∠BOC的内部．当OE平分∠BOC时，试判断OD平分∠AOC吗？并说明理由．
(3)若∠AOD=4∠COE，求∠BOE的度数．
5．（2023秋·七年级课时练习）一副直角三角板按如图1所示的方式放置在直线l上，已知AB=160，BC=80，点P以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C的路线运动；同时，三角板ADE（含45°）绕点A顺时针旋转，速度为每秒3°，当点P运动至点C时，全部停止运动，设运动时间为t秒．图2是运动过程中某时刻的图形．
(1)当点P到达点B时，△ADE转动了 °．
(2)当0＜t＜60时，若∠FAE与∠B互为余角，则t= ．
(3)在运动过程中，当t＝ 时，使得AE、AD、AB三条射线中，其中一条是另外两条射线夹角（小于180°）的角平分线．
(4)当△ACP的面积大于△ABC面积的一半，且△ADE的边所在直线与直线AB的夹角为90度时，直接写出：所有满足条件的t的取值之和为 ．
1．已知，AB∥CD，F、G分别为直线AB、CD上的点，E为平面内任意一点，连接EF、EG．
(1)如图（1），请直接写出∠AFE、∠CGE与∠FEG之间的数量关系．
(2)如图（2），过点E作EM⊥EF、EH⊥EG交直线AB上的点M、H，点N在EH上，过N作PQ∥EF，求证：∠HNQ=∠MEG．
(3)如图（3），在（2）的条件下，若∠ENQ=∠EMF，∠EGD=110°，求∠CQP的度数．
2．已知直线AB∥CD，点P，Q分别在直线AB，CD上．
(1)如图①，当点E在直线AB，CD之间时，连接PE，QE．探究∠PEQ与∠BPE+∠DQE之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图②，在①的条件下，PF平分∠BPE，QF平分∠DQE，交点为F．求∠PFQ与∠BPE+∠DQE之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图③，当点E在直线AB，CD的下方时，连接PE，QE．PF平分∠BPE，QH平分∠CQE，QH的反向延长线交PF于点F．若∠E=40°时，求∠F的度数．
3．已知：AB∥CD，E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，∠EGH=∠EFH．
(1)如图1，求证：EF∥GH；
(2)如图2，EN为∠BEF的角平分线，交GH于点P，连接FN，求证：∠N=∠HPN−∠NFH；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点F作FM⊥GH于点M，作∠AGH的角平分线交CD于点Q，若FN平分∠DFM，且∠GQH比∠N的13多3°，求∠AEF的度数．
4．已知：直线AB∥CD，点M、N分别在直线AB、直线CD上，点E为平面内一点，

(1)如图1，请写出∠AME、∠E、∠ENC之间的数量关系，并给出证明；
(2)如图2，利用（1）的结论解决问题，若∠AME=30°，EF平分∠MEN，NP平分∠ENC，EQ∥NP，求∠FEQ的度数；
(3)如图3，点G为CD上一点，∠AMN=m∠EMN，∠GEK=m∠GEM， EH∥MN交AB于点H，请写出∠GEK，∠BMN，∠GEH之间的数量关系（用含m的式子表示），并给出证明．
5．已知：直线AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，点P是平面内一个动点，且满足∠MPN=90°．过点N作射线NQ，使得∠PNQ=∠PNC．
(1)如图1所示，当射线NQ与NM重合，∠QND=50°时，则∠AMP= ；
(2)如图2所示，当射线NQ与NM不重合，∠QND=α°时，求∠AMP的度数；（用含α的代数式表示）
(3)在点P运动的过程中，请直接写出∠QND与∠AMP之间的数量关系．
6．如图，AB∥CD，点P为AB上方一点，E在直线AB上．
(1)如图1，求证：∠P=∠PEB-∠C；
(2)如图2，点F为直线CD上一点，∠PEB、∠CFP的角平分线所在直线交于点Q，求∠P与∠Q的数量关系；
(3)如图3，N为AB、CD之间一点，且在∠CPE内部，∠EPN=n∠CPN、∠DCN=n∠PCN，当2∠CNP-∠PEA=180°恒成立时，n= ．
7．如图：
(1)如图1，已知MN∥PQ，B在MN上，D在PQ上，点E在两平行线之间，求证：∠BED＝∠PDE+∠MBE；
(2)如图2，已知MN∥PQ，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE、BE交于点E，∠CBN＝110°.
①若∠ADQ＝130°，求∠BED的度数；
②将线段AD沿DC方向平移，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，如图3所示.若∠ADQ＝n°，则∠BED的度数是 度（用关于n的代数式表示）.
1．先阅读再解答：
(1)如图1，AB∥CD，试说明：∠B+∠D=∠BED；
(2)已知：如图2，AB∥CD，求证：∠B+∠BED=360°；
(3)已知：如图3，AB∥CD，∠ABF=∠DCE．求证：∠BFE=∠FEC．
2．综合与实践
(1)问题情境：图1中，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．
小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．按小明的思路，易求得∠APC的度数为______；（直接写出答案）
(2)问题迁移：图2中，直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．若∠A=50°，∠D=150°，试求∠APD的度数；
(3)问题拓展：图3中，直线AB∥CD，则∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为______．
3．如图1，小明和小亮在研究一个数学问题：
(1)已知：AB∥CD，AB和CD都不经过点P，探索∠P与∠A，∠C的数量关系．
小明是这样证明的：请填写理由
证明：过点P作PQ∥AB
∴∠APQ=∠A（ ）
∵PQ∥AB，AB∥CD．
∴PQ∥CD（ ）
∴∠CPQ=∠C（ ）
∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C
即∠APC=∠A+∠C
(2)在图2中，AB∥CD，若∠A=120°，∠C=140°，则∠APC的度数为 ；
(3)在图3中，AB∥CD，若∠A=40°，∠C=70°，则∠APC的度数为 ；
(4)在图4中，AB∥CD，探索∠P与∠C，∠PAB的数量关系，并说明理由．
4．直线AB∥CE，BE—EC是一条折线段，BP平分∠ABE．
(1)如图1，若BP∥CE，求证：∠BEC+∠DCE=180°；
(2)CQ平分∠DCE，直线BP，CQ交于点F．
①如图2，写出∠BEC和∠BFC的数量关系，并证明；
②当点E在直线AB，CD之间时，若∠BEC=40°，直接写出∠BFC的大小．
8．课题学习：平行线的“等角转化”功能．
(1)阅读理解：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB、AC，求∠B+∠BAC+∠C的度数．阅读并补充下面推理过程．
解：过点A作ED∥BC，
∴ ∠B= ，∠C ，
∵ ∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°，
∴ ∠B+∠BAC+∠C=180°．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC、∠B、∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
(2)方法运用：如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数；
(3)深化拓展：已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC=50°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在直线AB与CD之间．
①如图3，点B在点A的左侧，若∠ABC=36°，求∠BED的度数．
②如图4，点B在点A的右侧，且AB1．（1）如图1，点E、F分别在直线AB、CD上，点P为平面内AB、CD间一点，若∠EPF=∠PEB+∠PFD，证明：AB∥CD；
（2）如图2，AB∥CD，点E在直线AB上，点F、G分别在直线CD上，GP平分∠EGF，∠PEG=∠PFG，请探究∠EPF、∠PEG、∠DGE之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，AB∥CD，∠EPF=120°，∠PEG=n∠BEG，∠PFK=n∠CFK．直线MN交FK、EG分别于点M、N，若∠FMN−∠ENM=25°，求n的值．
2．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．
(1)如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数．
(2)如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG=30°，求∠MGN+∠MPN的度数．
(3)如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN=120°，求∠AME的度数．
3．如图，直线AB、CD被EF所截，直线EF分别交AB、CD于G、H两点，∠AGE=∠FHD．

(1)如图1，求证：AB∥CD；
(2)如图2，HQ、GN分别为夹在AB、CD中的两条直线，∠AGN=∠QHD，求证：GN∥QH；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接HN，M为AB上一点，连接MN，V为AB上一点，连接VN，∠GNV=36°，NP平分∠VNM交AB于点K，∠HNK=2∠GNK，VP∥MN，∠NHD=∠VNK+6°，∠QHN=2∠KVN，求∠VPN的度数．
4．问题探究：
如图①，已知AB∥CD，我们发现∠E＝∠B+∠D．我们怎么证明这个结论呢？
张山同学：如图②，过点E作EF∥AB，把∠BED分成∠BEF与∠DEF的和，然后分别证明∠BEF＝∠B，∠DEF＝∠D．
李思同学：如图③，过点B作BF∥DE，则∠E＝∠EBF，再证明∠ABF＝∠D．
问题解答：
(1)请按张山同学的思路，写出证明过程；
(2)请按李思同学的思路，写出证明过程；
问题迁移：
(3)如图④，已知AB∥CD，EF平分∠AEC，FD平分∠EDC．若∠CED＝3∠F，求∠F的度数．
5．如图，已知AB∥CD，点E在直线AB，CD之间．
(1)求证：∠AEC=∠BAE+∠ECD；
(2)若AH平分∠BAE，将线段CE沿CD平移至FG．
①如图2，若∠AEC=90°，HF平分∠DFG，求∠AHF的度数；
②如图3，若HF平分∠CFG，请直接写出∠AHF与∠AEC的数量关系．
6．已知：AB∥CD，点P、Q分别在AB、CD上，在两直线间取一点E．
(1)如图1，求证：∠E=∠APE+∠CQE；
(2)将线段EQ沿DC平移至FG，∠CGF的平分线和∠APE的平分线交于直线AB、CD内部一点H．
①如图2，若∠E=90°，求∠H的度数；
②如图3，若点I在直线AB、CD内部，且PI平分∠BPE，连接HI，若∠I−∠H=m°，∠E=n°，请直接写出m与n的数量关系，不必证明．
1．问题情境：如图 1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．小明的思路是：如图 2，过 P 作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110°
问题迁移：
(1)如图 3，AD∥BC，点 P 在射线 OM 上运动，当点 P 在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由
(2)在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时， 点 P 与 点A、B、O三点不重合，请你直接写出∠CPD、∠α,∠β 间的数量关系．
2．已知AB∥CD．
(1)如图1，若∠ABE=120°，∠BED=135°，则∠EDK=______．
(2)如图2，EF⊥BE于点E，∠HBE、∠KDE的角平分线交于点P，GE平分∠DEF，若∠P比∠GEF的5倍还多5°，求∠GEF的度数．
(3)如图3，在（1）的条件下，在同一平面内的点M、N满足：∠MBH=12∠MBE，∠NDK=12∠NDE，直线MB与直线ND交于点Q，直接写出∠BQD的大小______．
3．如图，已知直线AB∥射线CD，∠CEB=100°．P是射线EB上一动点，过点P作PQ∥EC交射线CD于点Q，连接CP．作∠PCF＝∠PCQ，交直线AB于点F，CG平分∠ECF．
(1)若点P，F，G都在点E的右侧．
①求∠PCG的度数；
②若∠EGC−∠ECG=40°，求∠CPQ的度数．
(2)在点P的运动过程中，是否存在这样的情形，使∠EGC∠EFC=32？若存在，求出∠CPQ的度数；若不存在，请说明理由．
4．如图1，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD=90°．
(1)试说明：∠BAG=∠BGA；
(2)如图2，点F在AG的反向延长线上，连接CF交AD于点E，若∠BAG−∠F=45°，求证：CF平分∠BCD；
(3)如图3，线段AG上有点P，满足∠ABP=3∠PBG，过点C作CH∥AG.若在直线AG上取一点M，使∠PBM=∠DCH，求∠ABM∠GBM的值．
1．如图，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM交CD于点M，AB∥CD，且∠FEM=∠FME．
(1)当∠AEF=70°时，∠FME=__________°．
(2)判断EM是否平分∠AEF，并说明理由．
(3)如图，点G是射线FD上一动点（不与点F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EGF=α．探究当点G在运动过程中，∠MHN−∠FEH和α之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
2．如图1，一块直尺和一块含30°的直角三角板如图放置，其中直尺和直角三角板的斜边平行，我们可以抽象出如图2的数学模型：MN∥AB，∠BAC=60°，∠C=90°，MN分别交AC、BC于点E、F、∠BAC的角平分线AD交MN于点D，H为线段AB上一动点（不与A、B重合），连接FH交AD于点K．
(1)当∠BFH=12∠BFN时，求∠AKF．
(2)H在线段AB上任意移动时，求∠AKF，∠HAK，∠DFH之间的关系．
(3)在（1）的条件下，将△DKF绕着点F以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t0≤t≤36，则在旋转过程中，当△DKF的其中一边与△CEF的某一边平行时，直接写出此时t的值．
3．“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视若灯A转动的速度是每秒2°，灯B转动的速度是每秒1°．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM:∠BAN=2:1．
(1)填空：∠BAN=______°；
(2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
(3)若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点C，且∠ACB=120°，则在灯B射线到达BQ之前，转动的时间为______秒．
4．长江汛期即将来临，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯（如图1），假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，连结AB，且∠ABN=45°．灯A射线自AQ顺时针旋转至AP便立即回转，灯B射线自BM顺时针旋转至BN便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是1度/秒，灯B转动的速度是3度/秒．
(1)若两灯同时转动，在灯B射线第一次转到BN之前，两灯射出的光线交于点C．
①如图1，当两灯光线同时转动50秒时，求∠ABC的度数．
②如图2，过C作CD⊥BC交PQ于点D，则在转动过程中，求∠ABC与∠ACD的比值，并说明理由．
(2)若灯A射线先转动30秒，灯B射线才开始转动，在灯A射线第一次转到AP之前，B灯转动几秒，两灯的光线互相平行？
专题10.6 相交线、平行线与平移全章六类必考压轴题
【沪科版】
1．（2023秋·辽宁大连·七年级校考期末）直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD于点O，作射线OE，且OC在∠AOE的内部．
(1)当点E，F在直线AB的同侧；
①如图1，若∠BOD=15°，∠BOE=120°，求∠EOF的度数；
②如图2，若OF平分∠BOE，请判断OC是否平分∠AOE，并说明理由；
(2)若∠AOF=2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．
分析：（1）①先利用角度的和差关系求得∠COE，再根据∠EOF=90°−∠COE，可得∠EOF的度数；
②先根据角平分线定义∠EOF=∠FOB，再结合余角定义和对顶角相等可得结论；
（2）需要分类讨论，当点E，F在直线AB的同侧，当点E，F在直线AB的异侧；设∠COE=α，再分别表示∠AOC、∠BOE，再消去α即可．
【详解】（1）解：①∵OF⊥CD于点O，∴∠COF=90°，∵∠BOD=15°，∠BOE=120°，
∴∠COE=180°−∠BOE−∠BOD=180°−120°−15°=45°，
∴∠EOF=∠COF−∠COE=90°−45°=45°，∴∠EOF的度数为45°；
②平分．理由如下：∵OF平分∠BOE，∴∠EOF=∠FOB=12∠EOB，
∵OF⊥CD，∴∠COF=90°，∴∠COE+∠EOF=∠FOB+∠BOD=90°，
∴∠COE=∠BOD，
∵∠AOC=∠BOD，∴∠COE=∠AOC，
∴OC平分∠AOE．
（2）如图，当点E，F在直线AB的同侧，设∠COE=α，
∵∠AOF=2∠COE，∴∠AOF=2∠COE=2α，∵OF⊥CD，∴∠COF=90°，
∴∠AOC=∠AOF−∠COF=2α−90°①，
∴∠BOE=180°−∠AOC−∠COE=180°−2α−90°−α=270°−3α②，
①×3＋②×2得，3∠AOC+2∠BOE=270°；
如图，当点E，F在直线AB的异侧；设∠COE=α，
∵∠AOF=2∠COE，∴∠AOF=2∠COE=2α，∵OF⊥CD，∴∠COF=90°，
∴∠AOC=∠COF−∠AOF=90°−2α①，
∴∠BOE=180°−∠AOC−∠COE=180°−90°−2α−α=90°+α②，
①＋②×2得，∠AOC+2∠BOE=270°．
综上所述，∠BOE与∠AOC之间的数量关系：3∠AOC+2∠BOE=270°或∠AOC+2∠BOE=270°．
2．（2023春·七年级课时练习）如图，直线CD，EF相交于点O，射线OA在∠COF的内部，∠DOF=13∠AOD．
(1)如图1，若∠AOC=120°，求∠EOC的度数；
(2)如图2，若∠AOC=α（60°<α<180°），将射线OA绕点O逆时针旋转60°，到OB，
①求∠EOB的度数（用含α的式子表示）；
②观察①中的结果，直接写出∠AOC，∠EOB之间的数量关系．
(3)如图3 ，0°<∠AOC <120°，将射线OA绕点O顺时针旋转60°，到OB，请直接写出∠AOC，∠EOB之间的数量关系．
分析：（1）根据补角的定义求出∠AOD，结合已知求出∠DOF，然后根据对顶角相等得出答案；
（2）①根据补角的定义求出∠AOD，结合已知求出∠DOF，然后根据对顶角相等求出∠EOC，再根据∠BOC＝α－60°，求出∠EOB的度数即可；②根据题意结合补角的定义求出∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOC＝∠AOC－60°，然后可得∠DOF＝13∠AOD＝60°－13∠AOC，再根据对顶角相等计算得出答案；
（3）分情况讨论：①当0°<∠AOC ≤90°时，根据题意结合补角的定义求出∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOC＝∠AOC＋60°，然后可得∠DOF＝13∠AOD＝60°－13∠AOC，再根据对顶角相等计算得出答案；②当90°<∠AOC ≤120°时，根据题意结合补角的定义求出∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOC＝∠AOC＋60°，然后可得∠DOF＝13∠AOD＝60°－13∠AOC，再根据对顶角相等计算得出∠EOC＋∠BOC＝23∠AOC＋120°，最后根据周角的定义计算得出答案．
【详解】（1）解：∵∠AOC＝120°，∴∠AOD＝180°－∠AOC＝180°－120°＝60°，
∴∠DOF＝13∠AOD＝20°，∴∠EOC＝∠DOF＝20°；
（2）解：①∵∠AOC＝α，∴∠AOD＝180°－α，∴∠DOF＝13∠AOD＝60°－13α，
∴∠EOC＝∠DOF＝60°－13α，由题意得：∠AOB＝60°，∴∠BOC＝α－60°，
∴∠EOB＝∠EOC＋∠BOC＝60°－13α＋α－60°＝23α；
②观察①中结果可得：∠EOB＝23∠AOC，
证明：∵∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOC＝∠AOC－∠AOB＝∠AOC－60°，
∴∠DOF＝13∠AOD＝60°－13∠AOC，∴∠EOC＝∠DOF＝60°－13∠AOC，
∴∠EOB＝∠EOC＋∠BOC＝60°－13∠AOC＋∠AOC－60°＝23∠AOC；
（3）解：①当0°<∠AOC ≤90°时，
如图，∵∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOC＝∠AOC＋∠AOB＝∠AOC＋60°，
∴∠DOF＝13∠AOD＝60°－13∠AOC，∴∠EOC＝∠DOF＝60°－13∠AOC，
∴∠EOB＝∠EOC＋∠BOC＝60°－13∠AOC＋∠AOC＋60°＝23∠AOC＋120°．
②当90°<∠AOC ≤120°时，
如图，∵∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOC＝∠AOC＋∠AOB＝∠AOC＋60°，
∴∠DOF＝13∠AOD＝60°－13∠AOC，∴∠EOC＝∠DOF＝60°－13∠AOC，
∴∠EOC＋∠BOC＝60°－13∠AOC＋∠AOC＋60°＝23∠AOC＋120°，
∴∠EOB＝360°－（∠EOC＋∠BOC）＝360°－23∠AOC－120°＝240°－23∠AOC．
3．（2023秋·湖南株洲·七年级统考期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OE，使∠BOE=40°，将一个三角板的直角顶点放在O处，一边OC在射线OA上，另一边OD在直线AB的上方．将图1中的三角板绕点O顺时针旋转：
(1)如图2，当OC旋转到OE的反向延长线上时，∠AOC=______；
(2)如图3，当OD平分∠AOE时，求∠BOC的度数；
(3)若OC在直线AB上方，∠BOC=α，请直接用含a的式子表示∠DOE．
分析：（1）根据对顶角相等即可得到答案；
（2）由∠BOE=40°的∠AOE=140°，由OD平分∠AOE时，得到∠AOD=70°，即可得到∠BOC的度数；
（3）根据α的取值范围分三种情况讨论即可得到答案．
【详解】（1）解：当OC旋转到OE的反向延长线上时，∠AOC=∠BOE=40°，
故答案为：40°；
（2）∵∠BOE=40°，∴∠AOE=180°−∠BOE=140°，
∵OD平分∠AOE时，，∴∠AOD=12∠AOE=70°，∴∠BOC=180°−∠AOD−90°=20°；
（3）当90°≤α<180°时，∠BOD=α−90°，如图①，
∴∠DOE=∠BOD+∠BOE=α−90°+40°=α−50°，
当50°≤α<90°时，∠BOD=90°−α，如图②，
∴∠DOE=∠BOE−∠BOD=40°−90°−α=α−50°，
当0°<α<50°时，∠BOD=90°−α，如图③，
∴∠DOE=∠BOD−∠BOE=90°−α−40°=50°−α．
4．（2023秋·重庆潼南·七年级统考期末）如图，点O是直线AB上一点，在直线AB的上方作射线OC，使∠BOC=30°，将一个直角三角板DOE的直角顶点放在点O处（注：∠DOE=90°），且直角三角板DOE始终保持在直线AB的上方．
(1)如图1，若直角三角板DOE的一边OD在射线OA上，则∠COE的度数=______；
(2)如图2，若直角三角板∠DOE的边OE在∠BOC的内部．当OE平分∠BOC时，试判断OD平分∠AOC吗？并说明理由．
(3)若∠AOD=4∠COE，求∠BOE的度数．
分析：（1）根据直角三角形的直角可知∠COE=∠BOE−∠BOC求解即可得到结果；
（2）根据角平分线的定义可以求得∠COE的度数，进而求出∠COD的度数，得到∠AOD=∠COD最后得到结论．
（3）根据题意分情况讨论，再根据邻补角，余角互余即可得到结果．
【详解】（1）解：∵∠BOC=30°，∠DOE=90°，∴∠BOE=90°，∴∠COE=∠BOE−∠BOC=60°
故答案为：60°
（2）解：∵∠BOC=30°，OE平分∠BOC∴∠COE=12∠BOC=15°
∵∠DOE=90°∴∠COD=∠DOE−∠COE=90°−15°=75°
∵∠AOB=180°∴∠AOD=180°−∠COD−∠BOC=75°∴∠AOD=∠COD=75°
∴OD平分∠AOC
（3）解：如图
第一种情况，当OE在∠BOC的内部时，设∠COE=x
∵∠AOD=4∠COE，∠DOE=90°∴∠AOD=4x，∠COD=90°−x
∵∠BOC=30°，∴∠AOC=180°−∠BOC=180°−30°=150°
∴可得方程：4x+90°−x=150°，解得：x=20°
∴∠BOE=30°−20°=10°
第二种情况，当OE在∠BOC的外部时，设∠COE=x，则∠COD=90°+x
∴∠AOC=∠COE+∠DOE+∠AOD
∵∠BOC=30°，∴∠AOC=180°−∠BOC=180°−30°=150°
∵∠AOD=4∠COE，∠DOE=90°
∴可得方程：4x+90°+x=150°，解得：x=12°
∴∠BOE=∠BOC＋∠COE=30°+12°=42°
综上所述，∠BOE的度数为10°或42°
5．（2023秋·七年级课时练习）一副直角三角板按如图1所示的方式放置在直线l上，已知AB=160，BC=80，点P以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C的路线运动；同时，三角板ADE（含45°）绕点A顺时针旋转，速度为每秒3°，当点P运动至点C时，全部停止运动，设运动时间为t秒．图2是运动过程中某时刻的图形．
(1)当点P到达点B时，△ADE转动了 °．
(2)当0＜t＜60时，若∠FAE与∠B互为余角，则t= ．
(3)在运动过程中，当t＝ 时，使得AE、AD、AB三条射线中，其中一条是另外两条射线夹角（小于180°）的角平分线．
(4)当△ACP的面积大于△ABC面积的一半，且△ADE的边所在直线与直线AB的夹角为90度时，直接写出：所有满足条件的t的取值之和为 ．
分析：（1）根据点P的运动可求出运动时间，再根据路程=速度×时间可求解；
（2）若∠FAE与∠B互余，则∠FAE=30°，由此可直接得出时间；
（3）分三种情况分类讨论，画出图形列出方程求解即可；
（4）由于三角形有三条边，分三种情况讨论，分别求出t的值，再求和即可．
【详解】（1）解：当点P到达点B时，所用时间t=160÷2=80（s），此时∠FAE=3°×80=240°，
故答案为：240；
（2）解：当0＜t＜60时，点P在AB上，由题意可知∠BAC=30°，∠B=60°，
若∠FAE与∠B互为余角，则∠FAE=30°，∴t=30°÷3°=10（s），
故答案为：10；
（3）解：根据题意可知，∠EAD=45°，
若AE、AD、AB三条射线中，其中一条是另外两条射线夹角（小于180°）的角平分线，需要分三种情况：
①当射线AD是∠BAE的平分线时，如图1，此时∠EAD=∠BAD=45°，
∴∠EAF=180°-∠BAC-∠EAD-∠BAD=60°，此时t=60°÷3°=20（s）；
②当射线AB是∠DAE的平分线时，如图2，此时∠EAB=∠DAB=22.5°，
∴∠EAF=180°-∠BAC-∠BAE=137.5°，∴t=137.5°÷3°=42.5（s）；
③当射线AE是∠BAD的平分线时，如图3，此时∠DAE=∠BAE=45°，
∴∠EAC=∠BAE-∠BAC=15°，∴t=（180°+15°）÷3°=65（s），
故答案为：20或42.5或65．
（4）解：当△ACP的面积大于△ABC面积的一半时，点P在与AC平行的△ABC的中位线上方即可，此时t的取值范围为：160÷2÷2＜t＜（160+80÷2）÷2，
即40＜t＜100，∴120°＜∠FAE＜300°，
根据题意可知，若△ADE的边所在直线与直线AB的夹角为90度，需要分以下三种情况：
①边DE⊥AB时，如图4，此时∠EAF=150°，∴t=150°÷3°=50（s）；
②边AD⊥AB时，如图5，此时，射线AE旋转的角度为：150°+90°-45°=195°，∴t=195°÷3°=65（s）；
③边AE⊥AB时，如图6，此时，旋转角度为：150°+90°=240°，
∴t=240°÷3°=80（s），
∴50+65+80=195（s），
故答案为：195．
1．已知，AB∥CD，F、G分别为直线AB、CD上的点，E为平面内任意一点，连接EF、EG．
(1)如图（1），请直接写出∠AFE、∠CGE与∠FEG之间的数量关系．
(2)如图（2），过点E作EM⊥EF、EH⊥EG交直线AB上的点M、H，点N在EH上，过N作PQ∥EF，求证：∠HNQ=∠MEG．
(3)如图（3），在（2）的条件下，若∠ENQ=∠EMF，∠EGD=110°，求∠CQP的度数．
分析：（1）如图，过E作MN∥CD，根据平行公理得AB∥CD∥MN，根据平行线的性质得∠AFE=∠FEN，∠CGE=∠NEG，对角进行加减运算即可求；
（2）根据垂直和周角的概念可得∠MEG+∠FEH=180°，根据平行线的性质得
∠FEH=∠HNP，根据邻补角得∠HNQ+∠HNP=180°，然后等量代换即可求得结果；
（3）结合已知求得∠EGC=70°由（1）可知，∠EMF+110°=∠MEG，结合已知和邻
补角得∠HNQ=180°−∠EMF，由（2）的结论得∠EMF+110°=180°−∠EMF求出
∠EMF=35°，最后根据三角形内角和求出∠MFE=55°依据PQ∥EF，AB∥CD利
用平行线的性质即可求解．
【详解】（1）如图，过E作MN∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥MN，
∴∠AFE=∠FEN，∠CGE=∠NEG，
∴∠AFE+∠CGE=∠FEN+∠NEG=∠FEN，
即∠AFE+∠CGE=∠FEN；
（2）证明：∵EM⊥EF、EH⊥EG，∴∠MEF=∠HEG=90°，
∴∠MEG+∠FEH=360°−∠MEF+∠HEG=180°，
∵PQ∥EF，∴∠FEH=∠HNP，
∵∠HNQ+∠HNP=180°，∴∠HNQ+∠FEH=180°，
∴∠HNQ=∠MEG；
（3）∵∠EGD=110°，由（1）可知，∠EMF+∠EGD=∠MEG，
∴∠EMF+110°=∠MEG，
∵∠HNQ=180°−∠ENQ，∠ENQ=∠EMF，
∴∠HNQ=180°−∠EMF，由（2）可知∠HNQ=∠MEG，
∴∠EMF+110°=180°−∠EMF，解得：∠EMF=35°，
∴∠MFE=180°−∠MEF−∠EMF=180°−90°−35°=55°，
∵PQ∥EF，∴∠MPQ=∠MFE=55°，
∵AB∥CD，∴∠CQP=180°−∠MPQ=180°−55°=125°．
2．已知直线AB∥CD，点P，Q分别在直线AB，CD上．
(1)如图①，当点E在直线AB，CD之间时，连接PE，QE．探究∠PEQ与∠BPE+∠DQE之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图②，在①的条件下，PF平分∠BPE，QF平分∠DQE，交点为F．求∠PFQ与∠BPE+∠DQE之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图③，当点E在直线AB，CD的下方时，连接PE，QE．PF平分∠BPE，QH平分∠CQE，QH的反向延长线交PF于点F．若∠E=40°时，求∠F的度数．
分析：（1）过点E作EM∥AB，则∠BPE=∠PEM，EM∥CD，进而得出∠DQE=∠QEM，即可得出结论；
（2）同（1）得出∠BPF+∠DQF=∠PFQ，根据角平分线的定义得出∠BPF=12∠BPE,∠DQF=12∠DQE，即可得出结论；
（3）过点E作EN∥AB，根据平行线的性质得出∠CQE=220°−∠BPE，同（1）∠F=∠BPF+∠FQD=12∠BPE+12∠CQE，即可求解．
【详解】（1）解：∠PEQ=∠BPE+∠DQE，理由如下，
如图所示，过点E作EM∥AB，
∴∠BPE=∠PEM，∵AB∥CD∴EM∥CD，∴∠DQE=∠QEM，
∴∠PEQ=∠PEM+∠QEM=∠BPE+∠DQE，即∠PEQ=∠BPE+∠DQE，
（2）∠PFQ=12∠BPE+∠DQE，理由见解析，
∵PF平分∠BPE，QF平分∠DQE，∴∠BPF=12∠BPE,∠DQF=12∠DQE，
由（1）可知∠PEQ=∠BPE+∠DQE，同理可得∠BPF+∠DQF=∠PFQ，
∴∠PFQ=12∠BPE+12∠DQE=12∠BPE+∠DQE=12∠PEQ，
即∠PFQ=12∠BPE+∠DQE，
（3）解：如图，过点E作EN∥AB，
∴∠PEN=∠BPE，
∵PF平分∠BPE，QH平分∠CQE，∴∠BPF=12∠BAE，∠CQH=12∠CQE，
∵∠FQD=∠CQH=12∠CQE，∵AB∥CD，AB∥EN，∴CD∥EN，∠PEQ=40°，
∴∠CQE=180°−∠NEQ=180°−∠PEN−∠PEQ=180°−∠BPE+40°=220°−∠BPE，
由（1）可得∠F=∠BPF+∠FQD=12∠BPE+12∠CQE=12∠BPE+12220°−∠BPE
=110°．
3．已知：AB∥CD，E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，∠EGH=∠EFH．
(1)如图1，求证：EF∥GH；
(2)如图2，EN为∠BEF的角平分线，交GH于点P，连接FN，求证：∠N=∠HPN−∠NFH；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点F作FM⊥GH于点M，作∠AGH的角平分线交CD于点Q，若FN平分∠DFM，且∠GQH比∠N的13多3°，求∠AEF的度数．
分析：（1）根据两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行即可求证；
（2）如图所示（见详解），过点N作NR∥CD，根据平行性的性质，可求得∠ENF+∠FNR=∠HPN，由此即可求解；
（3）设∠ENF=3α，则∠GQH=α+3，根据角平分线，平行线的性质，直角三角形两锐角互余，可得∠AEF=2α+6，由此即可求解．
【详解】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠AEF=∠EFH，
∵∠EGH=∠EFH，∴∠AEF=∠EGH，∴EF∥GH．
（2）证明：如图所示，过点N作NR∥CD，
∴∠NFH=∠FNR，
∵AB∥CD，∴∠ENR=∠NEB，
∵EN平分∠BEF，∴∠NEF=∠NEB，∴∠ENR=∠NEF，
∵EF∥GH，∴∠HPN=∠NEF，∴∠ENR=∠HPN，
即∠ENF+∠FNR=∠HPN，∴∠ENF=∠HPN−∠NFH．
（3）解：如图所示，
设∠ENF=3α，则∠GQH=α+3，
∵AB∥CD，∴∠AGQ=∠GQH=α+3，
∵GQ平分∠AGH，∴∠AGH=2∠AGQ=2α+6，
∴∠EFD=∠AGH=2α+6，∴∠AEF=∠EFD=2α+6，
∴∠BEF=180°−∠AEF=174°−2α，∴∠BEN=12∠BEF=87°−α，
∵FM⊥GM，∴∠M=90°，∵EF∥GH∴∠EFM+∠M=180°∴∠EFM=90°，
∴∠DFM=90°−∠EFD=90°−(2α+6)=84°−2α，
∵FN平分∠DFM，∴∠DFN=12∠DFM=42°−α，∴∠FNR=∠DFN=42°−α，
∴∠RNE=∠FNR+∠ENF=42°−α+3α=42°+2α，
∵AB∥NR，∴∠BEN=∠RNE，∴87°−α=42°+2α，∴α=15°，
∴∠AEF=2α+6=36°，
故∠AEF的度数为36°．
4．已知：直线AB∥CD，点M、N分别在直线AB、直线CD上，点E为平面内一点，

(1)如图1，请写出∠AME、∠E、∠ENC之间的数量关系，并给出证明；
(2)如图2，利用（1）的结论解决问题，若∠AME=30°，EF平分∠MEN，NP平分∠ENC，EQ∥NP，求∠FEQ的度数；
(3)如图3，点G为CD上一点，∠AMN=m∠EMN，∠GEK=m∠GEM， EH∥MN交AB于点H，请写出∠GEK，∠BMN，∠GEH之间的数量关系（用含m的式子表示），并给出证明．
分析：（1）过点E作EE′∥AB，根据题意和平行线的判定得EE′∥AB∥CD，根据平行线的性质得∠1=∠AME，∠2=∠CNE，根据∠MEN=∠1+∠2，即可得；
（2）根据题意得∠NEF=12∠MEN，∠ENP=12∠END，根据平行线的性质得∠QEN=∠ENP=12∠ENC，根据∠MEN=∠AME+∠ENC得∠MEN−∠ENC=∠AME=30°，即可得∠FEQ=∠NEF−∠NEQ，进行计算即可；
（3）根据题意得∠ENM=1m∠AMN，∠GEM=1m∠GEK，根据EH∥MN得∠HEM=∠EMN=1m∠AMN，根据∠GEH=1m∠GEK−1m∠AMN得m∠GEH=∠GEK−∠AMN，根据∠AMN=180°−∠BMN得m∠GEH=∠GEK−(180°−∠BMN)，即可得∠BMN+∠GEK−m∠GEH=180°．
【详解】（1）∠MEN=∠AME+∠ENC，证明如下：
证明：如图1所示，过点E作EE′∥AB，
∵AB∥CD，∴EE′∥AB∥CD，∴∠1=∠AME，∠2=∠CNE，
∵∠MEN=∠1+∠2，∴∠MEN=∠AME+∠ENC；
（2）解：∵EF平分∠MEN，NP平分∠ENC，
∴∠NEF=12∠MEN，∠ENP=12∠END，
∵EQ∥NP，∴∠QEN=∠ENP=12∠ENC，
∵∠MEN=∠AME+∠ENC，∴∠MEN−∠ENC=∠AME=30°，
∴∠FEQ=∠NEF−∠NEQ=12∠MEN−12∠ENC=12×30°=15°；
（3）∠GEK+∠BMN−m∠GEH=180°，证明如下：
证明：∵∠AMN=m∠EMN，∠GEK=m∠GEM，
∴∠ENM=1m∠AMN，∠GEM=1m∠GEK，
∵EH∥MN，∴∠HEM=∠EMN=1m∠AMN，
∵∠GEH=∠GEM−∠HEM=1m∠GEK−1m∠AMN，∴m∠GEH=∠GEK−∠AMN，
∵∠AMN=180°−∠BMN，∴m∠GEH=∠GEK−(180°−∠BMN)，
∴∠BMN+∠GEK−m∠GEH=180°．
5．已知：直线AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，点P是平面内一个动点，且满足∠MPN=90°．过点N作射线NQ，使得∠PNQ=∠PNC．
(1)如图1所示，当射线NQ与NM重合，∠QND=50°时，则∠AMP= ；
(2)如图2所示，当射线NQ与NM不重合，∠QND=α°时，求∠AMP的度数；（用含α的代数式表示）
(3)在点P运动的过程中，请直接写出∠QND与∠AMP之间的数量关系．
分析：（1）过P作PE∥AB，根据平行线的性质可得∠AMP+∠PNC＝90°，结合平角的定义可求解∠PNC＝65°，进而可求解；
（2）过P作PF∥AB，根据平行线的性质可得∠AMP+∠PNC＝90°，结合平角的定义可求解∠PNC＝90°－12α°，进而可求解；
（3）过P作PF∥AB，根据平行线的性质可得∠AMP+∠PNC＝90°，结合平角的定义可求解∠PNC＝90°－12∠QND，进而可求解；
（1）解：过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠AMP＝∠MPE，∠CNP＝∠EPN，
∴∠MPN＝∠AMP+∠PNC，∵∠MPN＝90°，∴∠AMP+∠PNC＝90°，
∵∠PNQ＝∠PNC，∠PNQ+∠PNC+∠QND＝180°，
∴∠PNQ＝∠PNC=12（180°﹣∠QND），
∵∠QND＝50°，∴∠PNC＝65°，∴∠AMP＝90°﹣65°＝25°；
故答案为：25°
（2）过P作PF∥AB，
∵AB∥CD，∴PF∥CD，∴∠AMP＝∠MPF，∠CNP＝∠FPN，∴∠MPN＝∠AMP+∠PNC，
∵∠MPN＝90°，∴∠AMP+∠PNC＝90°，
∵∠PNQ＝∠PNC，∠PNQ+∠PNC+∠QND＝180°，
∴∠PNQ＝∠PNC=12（180°﹣∠QND），
∵∠QND＝α°，∴∠PNC＝12180°−α°＝90°－12α°，
∴∠AMP＝90°－∠PNC＝90°－（90°－12α°）＝12α°；
即∠AMP＝12α°；
（3）过P作PF∥AB，
∵AB∥CD，∴PF∥CD，∴∠AMP＝∠MPF，∠CNP＝∠FPN，
∴∠MPN＝∠AMP+∠PNC，∵∠MPN＝90°，∴∠AMP+∠PNC＝90°，
∵∠PNQ＝∠PNC，∠PNQ+∠PNC+∠QND＝180°，
∴∠PNQ＝∠PNC=12（180°﹣∠QND）＝90°－12∠QND，
∴∠AMP＝90°－∠PNC＝90°－（90°－12∠QND）＝12∠QND．
即∠QND＝2∠AMP．
6．如图，AB∥CD，点P为AB上方一点，E在直线AB上．
(1)如图1，求证：∠P=∠PEB-∠C；
(2)如图2，点F为直线CD上一点，∠PEB、∠CFP的角平分线所在直线交于点Q，求∠P与∠Q的数量关系；
(3)如图3，N为AB、CD之间一点，且在∠CPE内部，∠EPN=n∠CPN、∠DCN=n∠PCN，当2∠CNP-∠PEA=180°恒成立时，n= ．
分析：（1）过点P作PM∥AB，则PM∥CD，∠PEB+∠MPE=180°，∠C+∠CPE+∠MPE =180°，两式相减可得答案；
（2）由（1）的结论可得，∠P=∠PEB-∠PFD，∠Q=∠CFQ-∠AEQ，设∠PEB=2α，∠PFC=2β，可得∠P=2α−180°−2β=2α+2β−180° ，∠Q=180°−α−β，即可求得答案；
（3）由题意可得∠CPE=（n+1）∠CPN，∠DCP=( n+1)∠PCN，由（1）得，∠PEB=∠CPE +∠DCP=（n+1）(∠CPN+∠PCN)，又∠PEA=180°-∠PEB，∠CPN+∠PCN=180°-∠CNP，当2∠CNP-∠PEA=180°恒成立时，通过化简可得答案．
（1）证明：如图，过点P作PM∥AB，
∴∠PEB+∠MPE=180°，∵AB∥CD，∴PM∥CD，∴∠C+∠CPM=180°，
即∠C+∠CPE+∠MPE =180°，∴∠C+∠CPE=∠PEB，∴∠CPE=∠PEB-∠C；
（2）解：由（1）的结论可得，∠P=∠PEB-∠PFD，∠Q=∠CFQ-∠AEQ，
设∠PEB=2α，∠PFC=2β，可得∠P=2α−180°−2β=2α+2β−180°，
∠Q=180°−α−β，
∴∠P+2∠Q=2α+2β−180°+2180°−α−β=180°
即∠P+2∠Q=180°
（3）解：n=1
如图，过点P作PQ∥AB，过点G作GN∥CD，则PQ∥CD，GN∥CD，
∴∠DCN=∠GNC，∠PCD=∠QPC，∠GNP+∠QPN=180°，
∴∠CNP=∠GNC+∠GNP=∠DCN+180°-∠QPN
=180°+∠DCN-(∠QPC+∠CPN)
=180°+∠DCN-(∠PCD +∠CPN)
=180°+∠DCN-∠PCD -∠CPN
=180°+∠DCN-∠PCD -∠CPN
=180°-∠PCN-∠CPN，
∴∠CPN+∠PCN=180°-∠CNP
∵∠EPN=n∠CPN、∠DCN=n∠PCN，
∴∠CPE=∠EPN+∠CPN=（n+1）∠CPN，
同理∠DCP=( n+1)∠PCN，
由（1）得，∠PEB=∠CPE +∠DCP=（n+1）∠CPN+( n+1)∠PCN=（n+1）（∠CPN+∠PCN），
∴∠PEA=180°-∠PEB=180°-（n+1）（∠CPN+∠PCN），
又∠CPN+∠PCN=180°-∠CNP，
∴∠PEA =180°-（n+1）（180°-∠CNP）=（n+1）∠CNP-n×180°，
当2∠CNP-∠PEA=180°恒成立时，
即2∠CNP-（n+1）∠CNP+n×180°=180°，
∴（n-1）（∠CNP-180°）=0恒成立，∵∠CNP≠180°，∴n=1，
故答案为1
7．如图：
(1)如图1，已知MN∥PQ，B在MN上，D在PQ上，点E在两平行线之间，求证：∠BED＝∠PDE+∠MBE；
(2)如图2，已知MN∥PQ，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE、BE交于点E，∠CBN＝110°.
①若∠ADQ＝130°，求∠BED的度数；
②将线段AD沿DC方向平移，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，如图3所示.若∠ADQ＝n°，则∠BED的度数是 度（用关于n的代数式表示）.
分析：（1）如图1中，作EH∥PQ．利用平行线的性质和判定求解即可．
（2）①利用（1）中结论只要求出∠PDE，∠MBE即可．②利用（1）中结论只要求出∠PDE，∠MBE即可．
（1）如图1中，作EH∥PQ．
∵EH∥PQ，PQ∥MN，∴EH∥MN，
∴∠PDE=∠DEH，∠MBE=∠BEH，
∴∠DEB=∠DEH+∠BEH=∠PDE+∠MBE．
（2）①如图2中，∵∠CBN=100°，∴∠MBC=80°，
∵BE平分∠MBC，∴∠MBE=12∠MBC=40°，
∵∠ADQ=130°，∴∠PDA=50°，∵ED平分∠PDA，∴∠PDE=12∠PDA=25°，
∴∠BED=∠PDE+∠MBE=25°+40°=65°．
②如图3中，
∵∠ADQ=n°，ED平分∠ADC，∴∠CDE=12∠ADQ=12n°，∴∠PDE=180°-12n°，
∵∠ABE=40°，∴∠BED=∠PDE+∠ABE=180°-12n°+40°=220°-12n°．
故答案为220°-12n°．

1．先阅读再解答：
(1)如图1，AB∥CD，试说明：∠B+∠D=∠BED；
(2)已知：如图2，AB∥CD，求证：∠B+∠BED=360°；
(3)已知：如图3，AB∥CD，∠ABF=∠DCE．求证：∠BFE=∠FEC．
分析：（1）过点E作EF∥AB，由平行线的性质可得∠B=∠BEF，∠FED=∠D，进而可求解；
（2）过点E作EF∥AB，由平行线的性质可得∠B+∠BEF=180°，∠FED+∠D=180°，进而可求解；
（3）延长BF和反向延长CD相交于点G，由平行线的性质可得∠ABF=∠G，进而可得∠G=∠DCE，利用平行线的判定条件可证明BG∥CE，再根据平行线性质可证明结论．
【详解】（1）解：过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B=∠BEF，∠FED=∠D，
∵∠BED=∠BEF+∠FED，
∴∠BED＝∠B+∠D；
（2）证明：过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B+∠BEF=180°，∠FED+∠D=180°，
∵∠BED=∠BEF+∠FED，∠B+∠BEF+∠FED+∠D=360°，
∴∠B+∠D+∠BED=360°；
（3）证明：延长BF和反向延长CD相交于点G，
∵AB∥CD，
∴∠ABF=∠G，
∵∠ABF=∠DCE，
∴∠G=∠DCE，
∴BG∥CE，
∴∠BFE=∠FEC．
2．综合与实践
(1)问题情境：图1中，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．
小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．按小明的思路，易求得∠APC的度数为______；（直接写出答案）
(2)问题迁移：图2中，直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．若∠A=50°，∠D=150°，试求∠APD的度数；
(3)问题拓展：图3中，直线AB∥CD，则∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为______．
分析：对于（1），作PE∥AB，通过平行线性质可得∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°，再代入∠PAB=130°，∠PCD=120°，即可求∠APC；
对于（2），作EF∥AB，根据平行线的性质可得∠APE=∠A=50°，∠EPD=180°-150°=30°，即可求出∠APD的度数；
对于（3），作EF∥AB，则EF∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠CDP=∠DPE，∠FPA+∠PAB=180°，又∠FPA=∠DPF-∠APD，即可得出∠CDP+∠PAB-∠APD=180°．
（1）如图1，过P作PE∥AB，
∵AB//CD，

∴AB∥PE∥CD，
∴∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°．
∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，
∴∠APE=50°，∠PCE=60°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．
故答案为：110°；
（2）过点P作EF∥AB，

∵∠A=50°，
∴∠APE=∠A=50°，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠CDP+∠EPD=180°．
∵∠D=150°，
∴∠EPD=180°-150°=30°，
∴∠APD=∠APE+∠EPD=50°+30°=80°；
（3）∠CDP+∠PAB-∠APD=180°．
如图，过点P作EF∥AB，则EF∥AB∥CD，

∴∠CDP=∠DPF，∠FPA+∠PAB=180°，
∵∠FPA=∠DPF-∠APD，
∴∠DPF-∠APD+∠PAB=180°，
∴∠CDP+∠PAB-∠APD=180°．
故答案为：∠CDP+∠PAB-∠APD=180°．
3．如图1，小明和小亮在研究一个数学问题：
(1)已知：AB∥CD，AB和CD都不经过点P，探索∠P与∠A，∠C的数量关系．
小明是这样证明的：请填写理由
证明：过点P作PQ∥AB
∴∠APQ=∠A（ ）
∵PQ∥AB，AB∥CD．
∴PQ∥CD（ ）
∴∠CPQ=∠C（ ）
∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C
即∠APC=∠A+∠C
(2)在图2中，AB∥CD，若∠A=120°，∠C=140°，则∠APC的度数为 ；
(3)在图3中，AB∥CD，若∠A=40°，∠C=70°，则∠APC的度数为 ；
(4)在图4中，AB∥CD，探索∠P与∠C，∠PAB的数量关系，并说明理由．
分析：过点P作AB的平行线，用相似的证明方法运用平行线的性质进行证明即可．
（1）如图1，过点P作PQ∥AB，
∴∠APQ＝∠A（两直线平行，内错角相等）
∵PQ∥AB，AB∥CD．
∴PQ∥CD（平行于同一直线的两直线平行）
∴∠CPQ＝∠C（两直线平行，内错角相等）
∴∠APQ+∠CPQ＝∠A+∠C
即∠APC＝∠A+∠C
（2）如图2，过点P作PE∥AB，
∴∠APE+∠A＝180°，∠A＝120°，
∴∠APE＝60°，
∵PE∥AB，AB∥CD．
∴PE∥CD（平行于同一直线的两直线平行）
∴∠CPE+∠C＝180°，∠C＝140°，
∴∠CPE＝40°，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE
＝100°；
（3）如图3，过点P作PF∥AB，
∴∠APF＝∠A，
∵PF∥AB，AB∥CD．
∴PF∥CD，
∴∠CPF＝∠C
∴∠CPF﹣∠APF＝∠C﹣∠A
即∠APC＝∠C﹣∠A＝30°；
（4）如图4，过点P作PG∥AB，
∴∠APG+∠A＝180°，
∴∠APG＝180°﹣∠A
∵PG∥AB，AB∥CD，
∴PG∥CD，（平行于同一直线的两直线平行）
∴∠CPG+∠C＝180°，
∴∠CPG＝180°﹣∠C
∴∠APC＝∠CPG﹣∠APG＝∠A﹣∠C．
4．直线AB∥CE，BE—EC是一条折线段，BP平分∠ABE．
(1)如图1，若BP∥CE，求证：∠BEC+∠DCE=180°；
(2)CQ平分∠DCE，直线BP，CQ交于点F．
①如图2，写出∠BEC和∠BFC的数量关系，并证明；
②当点E在直线AB，CD之间时，若∠BEC=40°，直接写出∠BFC的大小．
分析：（1）延长DC交BE于K，交BP于T，由AB∥CD，BP平分∠ABE，可得∠BTK=∠TBK，又BP∥CE，故∠KCE=∠KEC，即可得∠BEC+∠DCE=180°；
（2）①延长AB交FQ于M，延长DC交BE于N，设∠ABP=∠EBP=α，∠DCQ=∠ECQ=β，可得∠F=180°-∠FBM-∠FMB=180°-（α+β），∠E=180°-∠NCE-∠CNE=180°-（180°-2β）-（180°-2α）=2（α+β）-180°，故∠E+2∠F=180°；②由∠E+2∠F=180°，即可得∠F=70°．
（1）解：证明：延长DC交BE于K，交BP于T，如图：
∵AB∥CD，
∴∠ABT=∠BTK，
∵BP平分∠ABE，
∴∠ABT=∠TBK，
∴∠BTK=∠TBK，
∵BP∥CE，
∴∠BTK=∠KCE，∠TBK=∠KEC，
∴∠KCE=∠KEC，
∵∠KCE+∠DCE=180°，
∴∠KEC+∠DCE=180°，即∠BEC+∠DCE=180°；
（2）①∠E+2∠F=180°，证明如下：
延长AB交FQ于M，延长DC交BE于N，如图：
∵射线BP、CQ分别平分∠ABE，∠DCE，
∴∠ABP=∠EBP，∠DCQ=∠ECQ，
设∠ABP=∠EBP=α，∠DCQ=∠ECQ=β，
∴∠FBM=∠ABP=α，∠MBE=180°-2α，
∠NCE=180°-2β，∠FCN=∠DCQ=β，
∵AB∥DC，
∴∠CNE=∠MBE=180°-2α，
∴∠F=180°-∠FBM-∠FMB=180°-（α+β），
∠E=180°-∠NCE-∠CNE=180°-（180°-2β）-（180°-2α）=2（α+β）-180°，
∴∠E+180°=2（180°-∠F），
∴∠E+2∠F=180°；
②由①知∠E+2∠F=180°，
∵∠BEC=40°，
∴∠F=70°．
8．课题学习：平行线的“等角转化”功能．
(1)阅读理解：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB、AC，求∠B+∠BAC+∠C的度数．阅读并补充下面推理过程．
解：过点A作ED∥BC，
∴ ∠B= ，∠C ，
∵ ∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°，
∴ ∠B+∠BAC+∠C=180°．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC、∠B、∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
(2)方法运用：如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数；
(3)深化拓展：已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC=50°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在直线AB与CD之间．
①如图3，点B在点A的左侧，若∠ABC=36°，求∠BED的度数．
②如图4，点B在点A的右侧，且AB分析：（1）由“两直线平行，内错角相等”可得结果；
（2）过C作CF∥AB，利用“两直线平行，同旁内角互补”可以求得结果；
（3）①过E作EG∥AB，利用角平分线的概念求得∠EDC＝12∠ADC＝25°，∠ABE＝12∠ABC＝18°，再利用“两直线平行，内错角相等”导角即可；②过E作PE∥AB，利用角平分线的概念求得∠PED＝∠EDC＝25°，∠ABE＝12∠ABC＝12n°，再利用平行线的性质导角即可．
【详解】（1）解：∵ ED∥BC，
∴ ∠B=∠EAB，∠C=∠DAC（两直线平行，内错角相等）；
故答案为：∠EAB；∠DAC
（2）解：过C作CF∥AB，∵ AB∥DE，∴ CF∥DE，∴ ∠D+∠FCD=180°，
∵ CF∥AB，∴ ∠B+∠FCB=180°，∴ ∠B+∠FCB+∠FCD+∠D=360°，
∴ ∠B+∠BCD+∠D=360°；
（3）解：①过E作EG∥AB，∵ AB∥DC，∴ EG∥CD，∴ ∠GED＝∠EDC，
∵ DE平分∠ADC，∴ ∠EDC＝12∠ADC＝25°，∴ ∠GED＝25°，
∵ BE平分∠ABC，∴ ∠ABE＝12∠ABC＝18°，
∵ GE∥AB，∴ ∠BEG＝∠ABE＝18°，∴ ∠BED＝∠GED+∠BEG＝25°+18°＝43°；
②过E作PE∥AB，∵ AB∥CD，∴ PE∥CD，∴ ∠PED＝∠EDC＝25°，
∵ BE平分∠ABC，∠ABC＝n°，∴ ∠ABE＝12∠ABC＝12n°，
∵ AB∥PE，∴ ∠ABE+∠PEB=180°，∴ ∠PEB＝180°－12n°，
∴ ∠BED＝∠PEB+∠PED＝(205−12n)°．
1．（1）如图1，点E、F分别在直线AB、CD上，点P为平面内AB、CD间一点，若∠EPF=∠PEB+∠PFD，证明：AB∥CD；
（2）如图2，AB∥CD，点E在直线AB上，点F、G分别在直线CD上，GP平分∠EGF，∠PEG=∠PFG，请探究∠EPF、∠PEG、∠DGE之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，AB∥CD，∠EPF=120°，∠PEG=n∠BEG，∠PFK=n∠CFK．直线MN交FK、EG分别于点M、N，若∠FMN−∠ENM=25°，求n的值．
分析：（1）过点P作PQ∥AB，根据角的和差得到∠PFD=∠FPQ，即可判定AB∥CD；
（2）∠EPF=2∠PEG−∠DGE+180°，过点P作PT∥AB，则PT∥AB∥CD，根据平行线的性质及平角的定义求解即可；
（3）过点M作MH∥AB，过点N作NI∥CD，根据平行线的性质及角的和差求解即可．
【详解】（1）证明：如图1，过点P作PQ∥AB，
∴∠BEP=∠EPQ，
∵∠EPF＝∠PEB+∠PFD，∠EPF=∠EPQ+∠FPQ，∴∠PFD=∠FPQ，∴PQ∥CD，
又PQ∥AB，∴AB∥CD；
（2）解：∠EPF=2∠PEG−∠DGE+180°，理由如下：
如图2，过点P作PT∥AB，则PT∥AB∥CD，
设∠FGP=∠EGP=x，∠PEG=∠PFG=y，∵AB∥CD，∴∠BEG=∠EGF，
∵PT∥AB，∴∠EPT=∠BEP=∠PEG+∠BEG=2x+y，
∵PI∥CD，∴∠FPT=∠PFG=y，∴∠EPF=∠EPT+FPT=2x+y+y=2x+2y，
∵x=12×180°−∠DGE，∴∠EPF=180°−∠DGE+2∠PEG，
即∠EPF=2∠PEG−∠DGE+180°；
（3）如图3，过点M作MH∥AB，过点N作NI∥CD，
∵AB∥CD，∴MH∥AB∥NI∥CD，∠EPF=∠PEB+∠PFD，
∴∠HMN=∠INM，∠HMF=∠CFK，∠BEG=∠INE，
设∠BEG=x，∠CFK=y，∠HMN=∠INM=β，∴∠FMN=y−β，∠ENM=x−β，
∵∠EPF=120°，∠PEG=n∠BEG，∠PFK=n∠CFK，∴xn+1+180°−yn+1=120°，
即y−xn+1=60°①，
∵∠FMN=y−β，∠ENM=x−β，∠FMN−∠ENM=25°，∴y−β−x−β=25°，
即y−x=25°②，由①②得，n=75．
2．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．
(1)如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数．
(2)如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG=30°，求∠MGN+∠MPN的度数．
(3)如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN=120°，求∠AME的度数．
分析：（1）过G作GH∥AB，依据两直线平行，内错角相等，即可得到∠AMG+∠CNG的度数；
（2）过G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND=α，利用平行线的性质以及角平分线的定义，求得∠MGN=30°+α，∠MPN=60°−α，即可得到∠MGN+∠MPN=90°；
（3）过G作GK∥AB，过E作ET∥AB，设∠AMF=x，∠GND=y，利用平行线的性质以及角平分线的定义，可得∠MEN=∠TEN−∠TEM=90°−12y−2x，∠MGN=x+y，再根据2∠MEN+∠MGN=120°，据此计算即可求解．
【详解】（1）解：如图1，过G作GH∥AB，
∵AB∥CD，∴GH∥AB∥CD，
∴∠AMG=∠HGM，∠CNG=∠HGN，
∵MG⊥NG，∴∠MGN=∠MGH+∠NGH=∠AMG+∠CNG=90°；
（2）解：如图2，过G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND=α，
∵GK∥AB，AB∥CD，∴GK∥CD，∴∠KGN=∠GND=α，
∵GK∥AB，∠BMG=30°，∴∠MGK=∠BMG=30°，
∵MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，∴∠GMP=∠BMG=30°，
∴∠BMP=60°，
∵PQ∥AB，∴∠MPQ=∠BMP=60°，∵ND平分∠GNP，∴∠DNP=∠GND=α，
∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠QPN=∠DNP=α，∴∠MGN=30°+α，∠MPN=60°−α，
∴∠MGN+∠MPN=30°+α+60°−α=90°；
（3）解：如图3，过G作GK∥AB，过E作ET∥AB，设∠AMF=x，∠GND=y，
∵AB，FG交于M，MF平分∠AME，∴∠FME=∠BMA=∠BMG=x，∴∠AME=2x，
∵GK∥AB，∴∠MGK=∠BMG=x，∵ET∥AB，∴∠TEM=∠EM=2x，
∵GK∥AB∥CD，∴∠KGN=∠GND=y，∴∠MGN=x+y，
∵∠CND=180°，NE平分∠CNG，∴∠CNG=180°−y，∠CNE=12∠CNG=90°−12y，
∵ET∥AB∥CD，∴∠TEN=∠CNE=90°−12y，
∴∠MEN=∠TEN−∠TEM=90°−12y−2x，∠MGN=x+y，
∵2∠MEN+∠MGN=120°，∴2(90°−12y−2x)+x+y=120°，∴x=20°，∴∠AME=2x=40°．
3．如图，直线AB、CD被EF所截，直线EF分别交AB、CD于G、H两点，∠AGE=∠FHD．

(1)如图1，求证：AB∥CD；
(2)如图2，HQ、GN分别为夹在AB、CD中的两条直线，∠AGN=∠QHD，求证：GN∥QH；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接HN，M为AB上一点，连接MN，V为AB上一点，连接VN，∠GNV=36°，NP平分∠VNM交AB于点K，∠HNK=2∠GNK，VP∥MN，∠NHD=∠VNK+6°，∠QHN=2∠KVN，求∠VPN的度数．
分析：（1）只需要证明∠AGE=∠CHE即可证明AB∥CD；
（2）先由平行线的性质得到∠AGH=∠DHG，进而证明∠QHG=∠NGH，即可证明GN∥QH；
（3）如图所示，过点N作直线LI∥AB，则AB∥IL∥CD，设∠VNP=x，先证明∠HNG=x+36°，再由平行线的性质得到，∠VGN+∠DHN=x+36°，由∠NHD=∠VNK+6°，得到∠VGN+x+6°=x+36°，则∠VGN=30°，∠GNI=30°，进而求出∠KVN=66°，则∠QHN=132°，根据平行线的性质求出∠GNH=48°，从而求出∠VNP=12°，再由NP平分∠VNM，得到∠PNM=∠VNP=12°，最后根据VP∥MN，即可得到∠VPN=∠PNM=12° ．
【详解】（1）证明：∵∠AGE=∠FHD，∠CHE=∠FHD，∴∠AGE=∠CHE，∴AB∥CD；
（2）证明：∵AB∥CD，∴∠AGH=∠DHG，
∵∠AGN=∠QHD，∴∠AGN−∠AGH=∠QHD−∠DHG，∴∠QHG=∠NGH，∴GN∥QH；
（3）解：如图所示，过点N作直线LI∥AB，则AB∥IL∥CD，设∠VNP=x，
∵∠HNK=2∠GNK，∴∠HNG=∠GNK=∠VNP+∠GNV=x+36°，
∵AB∥CD∥IL，∴∠VGN=∠GNI，∠DHN=∠INH∴∠VGN+∠DHN=∠GNI+∠INH=∠GNH=x+36°，
∵∠NHD=∠VNK+6°，∴∠VGN+x+6°=x+36°，∴∠VGN=30°，∴∠GNI=30°，
∴∠KVN=∠VNI=∠GNI+∠GNV=66°，∴∠QHN=2∠KVN=132°，
∵GN∥QH，∴∠GNH=180°−∠QHN=48°，∴x+36°=48°，∴x=12°，∴∠VNP=12°，
∵NP平分∠VNM，∴∠PNM=∠VNP=12°，
∵VP∥MN，∴∠VPN=∠PNM=12°．
4．问题探究：
如图①，已知AB∥CD，我们发现∠E＝∠B+∠D．我们怎么证明这个结论呢？
张山同学：如图②，过点E作EF∥AB，把∠BED分成∠BEF与∠DEF的和，然后分别证明∠BEF＝∠B，∠DEF＝∠D．
李思同学：如图③，过点B作BF∥DE，则∠E＝∠EBF，再证明∠ABF＝∠D．
问题解答：
(1)请按张山同学的思路，写出证明过程；
(2)请按李思同学的思路，写出证明过程；
问题迁移：
(3)如图④，已知AB∥CD，EF平分∠AEC，FD平分∠EDC．若∠CED＝3∠F，求∠F的度数．
分析：（1）如图②中，过点E作EF∥AB，利用平行线的性质求出∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，根据∠BED＝∠BEF+∠DEF证明即可；
（2）如图③中，过点B作BF∥DE交CD的延长线于G，利用平行线的性质求出∠EDC＝∠G，∠DEB＝∠EBF，∠EDC＝∠ABF，根据∠DEB＝∠EBF＝∠ABE+∠ABF证明即可；
（3）设∠AEF＝∠CEF＝x，∠CDF＝∠EDF＝y，则∠F＝x＋y，求出∠CED＝3x+3y，∠BED＝∠CDE＝2y，根据∠AEC＋∠CED＋∠DEB＝180°，构建方程求出x＋y可得结论．
（1）解：如图②中，过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，EF∥AB，∴AB∥EF∥CD，
∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝∠B+∠D；
（2）如图③中，过点B作BF∥DE交CD的延长线于G．
∵DE∥FG，∴∠EDC＝∠G，∠DEB＝∠EBF，∵AB∥CG，∴∠G＝∠ABF，
∴∠EDC＝∠ABF，∴∠DEB＝∠EBF＝∠ABE+∠ABF＝∠ABE+∠EDC；
（3）如图④中，
∵EF平分∠AEC，DF平分∠EDC，∴∠AEF＝∠CEF，∠CDF＝∠EDF，
设∠AEF＝∠CEF＝x，∠CDF＝∠EDF＝y，则∠F＝x+y，∵∠CED＝3∠F，∴∠CED＝3x+3y，
∵AB∥CD，∴∠BED＝∠CDE＝2y，
∵∠AEC+∠CED+∠DEB＝180°，∴5x+5y＝180°，∴x+y＝36°，∴∠F＝36°．
5．如图，已知AB∥CD，点E在直线AB，CD之间．
(1)求证：∠AEC=∠BAE+∠ECD；
(2)若AH平分∠BAE，将线段CE沿CD平移至FG．
①如图2，若∠AEC=90°，HF平分∠DFG，求∠AHF的度数；
②如图3，若HF平分∠CFG，请直接写出∠AHF与∠AEC的数量关系．
分析：（1）过点E作直线EN∥AB，得到EN∥CD，根据两直线平行内错角相等推出∠BAE=∠AEN，∠DCE=∠CEN即可；
（2）①HF平分∠DFG，设∠GFH=∠DFH=x，根据平行线的性质可以得到∠AHF的度数；②设∠GFD=2x，∠BAH=∠EAH=y，根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得到∠AHF与∠AEC的数量关系．
（1）解：如图1，过点E作直线EN∥AB，
∵AB∥CD， ∴EN∥CD，∴∠BAE=∠AEN，∠DCE=∠CEN，
∴∠AEC=∠AEN+∠CEN=∠BAE+∠ECD；
（2）∵AH平分∠BAE，∴∠BAH=∠EAH，
①∵HF平分∠DFG，设∠GFH=∠DFH=x，又CE∥FG，∴∠ECD=∠GFD=2x，
又∠AEC=∠BAE+∠ECD，∠AEC=90°，∴∠BAH=∠EAH=45°−x，
如图2，过点H作l∥AB，
∴l∥AB∥CD，∴∠AHF=∠BAH+DFH=45°−x+x=45°；
②∠AHF=90°+12∠AEC（或2∠AHF−∠AEC=180°）．
②设∠GFD=2x，∠BAH=∠EAH=y，
∵HF平分∠CFG，∴∠GFH=∠CFH=90°-x，
由（1）知∠AEC=∠BAE+∠ECD=2x+2y，过点H作l∥AB，
∴∠AHF-y+∠CFH=180°， 即∠AHF-y+90°-x=180°，∴∠AHF=90°+（x+y），
∴∠AHF=90°+12∠AEC．（或2∠AHF-∠AEC=180°．）
6．已知：AB∥CD，点P、Q分别在AB、CD上，在两直线间取一点E．
(1)如图1，求证：∠E=∠APE+∠CQE；
(2)将线段EQ沿DC平移至FG，∠CGF的平分线和∠APE的平分线交于直线AB、CD内部一点H．
①如图2，若∠E=90°，求∠H的度数；
②如图3，若点I在直线AB、CD内部，且PI平分∠BPE，连接HI，若∠I−∠H=m°，∠E=n°，请直接写出m与n的数量关系，不必证明．
分析：（1）过点E作EM∥AB，利用平行线的性质证明即可；
（2）①利用（1）中结论求解即可；
②结论：n＝180−2m，过点I作IJ∥AB，设∠APE＝x°，∠CQE＝∠CGE＝y°，则n°＝（x＋y）°．利用（1）中结论求解即可．
（1）证明：过点E作MN∥AB，如图所示：
∵AB∥CD，∴MN∥CD，∴∠APE=∠PEN，∠CQE=∠NEQ，
∴∠PEQ=∠PEN+∠NEQ=∠APE+∠CQE．
（2）解：①∵∠CGF的平分线和∠APE的平分线交于直线AB、CD内部一点H，
∴∠APH=12∠APE，∠CGH=12∠CGF，
∵FG由EQ平移而来，∴FG∥EQ，∴∠CGF=∠CQE，
由（1）可知，∠APE+∠CQE=∠E=90°，
∴∠H=∠APH+∠CGH=12∠APE+12∠CGF=12∠APE+12∠CQE=12(∠APE+∠CQE)=45°
②n=180−2m．理由如下：过点I作IJ∥AB，如图所示：
设∠APE＝x°，∠CQE＝∠CGE＝y°，则n°＝（x＋y）°．
∵AB∥CD，∴IJ∥CD，同法可证∠H＝∠CGH＋∠JIH，
∵∠BPI＝∠PIJ，∴∠PIH＝∠JIH＋∠PIJ，
∵∠PIH−∠H＝m°，∴∠BPI＋∠JIH−（∠CGH＋∠JIH）＝m°，∴12（180°−x°）−12y°＝m°，
∴90°−12（x＋y）°＝m°，∴90°−12n°＝m°，即n=180−2m．
1．问题情境：如图 1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．小明的思路是：如图 2，过 P 作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110°
问题迁移：
(1)如图 3，AD∥BC，点 P 在射线 OM 上运动，当点 P 在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由
(2)在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时， 点 P 与 点A、B、O三点不重合，请你直接写出∠CPD、∠α,∠β 间的数量关系．
分析：（1）过点P作PE∥AD ，则可得出PE∥AD∥BC，然后平行线的性质分别求出把∠DPE和∠CPE表示出来，则利用角的和差关系，即可求出结果；
（2）分两种情况讨论：过点P作PE∥AD，则可得出PE∥AD∥BC，然后平行线的性质分别求出把∠DPE 和∠CPE 表示出来，则利用角的和差关系，即可求出结果．
【详解】（1）解：∠CPD=α+β
证明：如图，过点P作PE∥AD，
∵PE∥AD，∠ADP=α，∴∠DPE=∠ADP=α，∵PE∥AD,AD∥BC，∴PE∥BC，
又∵∠BCP=β，∴∠CPE=∠BCP=β，∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=α+β；
（2）解：当P在线段BA的延长线上时∠CPD=β−α，
证明：如图，过点P作PE∥AD，
∵PE∥AD，∠ADP=α，∴∠DPE=∠ADP=α，∵PE∥AD,AD∥BC，∴PE∥BC，
又∵∠BCP=β ，∴∠CPE=∠BCP=β，∴∠CPD=∠CPE−∠DPE=β−α；
如图，当P在线段AB的延长线上时，如图，过点P作PE∥AD，
∵PE∥AD，∠ADP=α，∴∠DPE=∠ADP=α，
∵PE∥AD,AD∥BC，∴PE∥BC，又∵∠BCP=β ，∴∠CPE=∠BCP=β，
∴∠CPD=∠DPE−∠CPE=α−β；
综上所述：∠CPD=α−β或∠CPD=β−α．
2．已知AB∥CD．
(1)如图1，若∠ABE=120°，∠BED=135°，则∠EDK=______．
(2)如图2，EF⊥BE于点E，∠HBE、∠KDE的角平分线交于点P，GE平分∠DEF，若∠P比∠GEF的5倍还多5°，求∠GEF的度数．
(3)如图3，在（1）的条件下，在同一平面内的点M、N满足：∠MBH=12∠MBE，∠NDK=12∠NDE，直线MB与直线ND交于点Q，直接写出∠BQD的大小______．
分析：（1）过E作EF∥AB，利用同旁内角互补和内错角相等可得答案；
（2）设∠GEF=x，则∠BPD=5x+5，根据题意可得10x+10=90+2x，再解方程可得答案；
（3）分四种情况解答，分别利用内错角相等解答即可．
（1）解：过E作EF∥AB，如图，

∵EF∥AB，AB∥CD，∴EF∥AB ∥CD，∴∠1=180°−∠ABE=180°−120°=60°，
∴∠2=∠BED−∠1=135°−60°=75°，∴∠EDK=∠2=75°，故答案为：75°；
（2）设∠GEF=x，则∠BPD=5x+5，分别过点E和点P作EM∥AB，PN ∥AB，

则BH∥PN∥DK，∴∠PBH=∠NPB，∠PDK=∠NPD，
∵∠HBE、∠KDE的角平分线交于点P，
∴∠BPD=12(∠HBE+∠KDE)，即∠HBE+∠KDE=2(5x+5)=10x+10，
∵AB∥EM∥CD，∴∠HBE=∠MEB，∠KDE=∠MED，
∴∠BED=∠MEB+∠MED=∠HBE+∠KDE，
∵∠BEF=90°，∠DEF=2∠GEF=2x，∴∠BED=90+2x，∴10x+10=90+2x，解得x=10．
所以∠GEF=10°；
（3）分四种情况：
①如图，

此时，∠BQD=∠MBH+∠NDK，∵∠MBH=12∠MBE=13∠HBE=20°，∠NDK=12∠NDE=13∠EDK=25°，
∴∠BQD=20°+25°=45°；
②如图，

此时，∠BQD=∠ABQ+∠CDQ=∠MBH+∠NDK，∵∠MBH=12∠MBE，∠NDK=12∠NDE，
∴∠BQD=∠MBH+∠NDK=∠HBE+∠KDE=∠BED=135°；
③如图，

此时，∠BQD=∠BCD−∠CDQ=∠MBH−∠NDK，
∵∠MBH=12∠MBE=∠HBE=60°，∠NDK=12∠NDE=13∠EDK=25°，∴∠BQD=65°−25°=35°；
④如图，

此时，∠BQD=∠BFD−∠FBQ=∠NDK−∠MBH，
∵∠MBH=12∠MBE=13∠HBE=20°，∠NDK=12∠NDE=∠EDK=75°，
∴∠BQD=75°−20°=55°；
综上，∠BQD的度数是35°或45°或55°或135°．
3．如图，已知直线AB∥射线CD，∠CEB=100°．P是射线EB上一动点，过点P作PQ∥EC交射线CD于点Q，连接CP．作∠PCF＝∠PCQ，交直线AB于点F，CG平分∠ECF．
(1)若点P，F，G都在点E的右侧．
①求∠PCG的度数；
②若∠EGC−∠ECG=40°，求∠CPQ的度数．
(2)在点P的运动过程中，是否存在这样的情形，使∠EGC∠EFC=32？若存在，求出∠CPQ的度数；若不存在，请说明理由．
分析：（1）①根据平行线的性质可得∠ECQ=80°，再根据角平分线的定义即可得到∠PCG的度数；②根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠ECG=∠GCF=20°，再根据PQ∥EC即可得出∠CPQ=∠ECP=60°；
（2）设∠EGC=3x，则∠EFC=2x，分两种情况讨论：①当点G,F在点E的右侧时，②当点G,F在点E的左侧时，根据平行线的性质和角平分线的定义，得出等量关系，列方程求解即可．
（1）解：①∵∠CEB=100°，AB∥CD，∴∠ECQ=180°−∠CEB=80°，
∵∠PCF=∠PCQ，CG平分∠ECF，∴∠PCF=12∠QCF,∠FCG=12∠ECF
∴∠PCG=∠PCF+∠FCG=12∠QCF+12∠ECF=12∠ECQ=40°；
②∵AB∥CD，∠CEB=100°，
∴∠QCG=∠EGC，∠QCG+∠ECG=∠ECQ=180°−∠CEB=80°，
∴∠EGC+∠ECG=80°，又∵∠EGC−∠ECG=40°，∴∠EGC=60°，∠ECG=20°，
∵CG平分∠ECF，∴∠ECF=2∠ECG=40°，
∵∠PCF=∠PCQ，∴∠PCF=12∠QCF=12∠ECQ−∠ECF=20°，
∴∠ECP=∠ECF+∠PCF=60°，
∵PQ∥EC，∴∠CPQ=∠ECP=60°．
（2）解：设∠EGC=3x，则∠EFC=2x，
由题意，分以下两种情况：
①如图，当点G,F在点E的右侧时，
∵AB∥CD，∴∠QCG=∠EGC=3x,∠QCF=∠EFC=2x，∴∠GCF=∠QCG−∠QCF=x，
∵∠PCF=∠PCQ，∴∠PCF=∠PCQ=12∠QCF=x，
∵CG平分∠ECF，∴∠ECF=2∠GCF=2x，∴∠ECP=∠ECF+∠PCF=3x，
∵PQ∥EC，∴∠CPQ=∠ECP=3x，
∵∠ECD=80°， ∴∠ECF+∠QCF=80°，即2x+2x=80°，
解得x=20°，∴∠CPQ=3x=60°；
②如图，当点G,F在点E的左侧时，
∵AB∥CD，∴∠QCG=180°−∠EGC=180°−3x,∠QCF=180°−∠EFC=180°−2x，
∴∠GCF=∠QCF−∠QCG=x，
∵∠PCF=∠PCQ，∴∠PCF=∠PCQ=12∠QCF=90°−x，
∵CG平分∠ECF，∴∠ECF=2∠GCF=2x，∴∠ECP=∠PCF−∠ECF=90°−3x，
∵PQ∥EC， ∴∠CPQ=∠ECP=90°−3x，
∵∠ECD=80°，∴∠QCF−∠ECF=80°，即180°−2x−2x=80°，
解得x=25°，∴∠CPQ=90°−3x=15°；
综上，存在这样的情形，使∠EGC∠EFC=32，此时∠CPQ的度数为60°或15°．
4．如图1，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD=90°．
(1)试说明：∠BAG=∠BGA；
(2)如图2，点F在AG的反向延长线上，连接CF交AD于点E，若∠BAG−∠F=45°，求证：CF平分∠BCD；
(3)如图3，线段AG上有点P，满足∠ABP=3∠PBG，过点C作CH∥AG.若在直线AG上取一点M，使∠PBM=∠DCH，求∠ABM∠GBM的值．
分析：（1）先根据平行线的性质可得∠GAD=∠BGA，再根据角平分线的定义可得∠BAG=∠GAD，然后根据等量代换即可得证；
（2）过点F作FM∥BC于M，先根据平行线的性质可得∠BGA=∠MFG,∠BCF=∠MFC，从而可得∠BAG−∠GFC=∠MFC，则∠BCF=∠MFC=45°，再根据角平分线的定义即可得证；
（3）设∠ABC=4xx>0，则∠ABP=3x，∠PBG=x，先根据平行线的性质可得∠BAD=180°−4x，从而可得∠BGA=90°−2x，再根据平行线的性质可得∠BCH=∠BGA=90°−2x，从而可得∠PBM=∠DCH=2x，然后分①点M在BP的下方和②点M在BP的上方两种情况，根据角的和差可得∠ABM和∠GBM的值，由此即可得．
（1）证明：∵AD∥BC，∴∠GAD=∠BGA，
∵AG平分∠BAD，∴∠BAG=∠GAD，∴∠BAG=∠BGA．
（2）证明：如图，过点F作FM∥BC于M，
∴∠BGA=∠MFG,∠BCF=∠MFC，由（1）已证：∠BAG=∠BGA，
∴∠BAG=∠MFG=∠MFC+∠GFC，即∠BAG−∠GFC=∠MFC，
又∵∠BAG−∠GFC=45°，∴∠MFC=45°，∴∠BCF=45°，
又∵∠BCD=90°，∴CF平分∠BCD．
（3）解：设∠ABC=4xx>0，∵∠ABP=3∠PBG，∴∠ABP=3x，∠PBG=x，
∵AD∥BC，∴∠BAD=180°−∠ABC=180°−4x，
由（1）已得：∠BGA=∠BAG=12∠BAD=90°−2x，
∵AG∥CH，∴∠BCH=∠BGA=90°−2x，
∵∠BCD=90°，∴∠PBM=∠DCH=90°−90°−2x=2x，
由题意，分以下两种情况：①如图，当点M在BP的下方时，
∴∠ABM=∠ABP+∠PBM=3x+2x=5x，∠GBM=∠PBM−∠PBG=2x−x=x，
∴∠ABM∠GBM=5xx=5；
②如图，当点M在BP的上方时，
∴∠ABM=∠ABP−∠PBM=3x−2x=x，∠GBM=∠PBM+∠PBG=2x+x=3x，∴∠ABM∠GBM=x3x=13；
综上，∠ABM∠GBM的值是5或13．
1．如图，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM交CD于点M，AB∥CD，且∠FEM=∠FME．
(1)当∠AEF=70°时，∠FME=__________°．
(2)判断EM是否平分∠AEF，并说明理由．
(3)如图，点G是射线FD上一动点（不与点F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EGF=α．探究当点G在运动过程中，∠MHN−∠FEH和α之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
分析：（1）由平行线的性质可得出∠AEM=∠FME，结合题意即可推出∠AEM=∠FEM，即得出∠AEM=∠FEM=12∠AEF=35°；
（2）由（1）即可说明EM平分∠AEF；
（3）由平行线的性质可得出∠BEG=∠EGF=α，∠BEH=∠EHF．再根据角平分线的定义即得出∠FEH=∠GEH=12∠FEG，即得出∠FEH+α=∠GEH+∠BEG=∠BEH．又易求∠MEH=12∠AEG=90°−12α，结合HN⊥EM，可求出∠EHN=90°−∠MEH=12α．由∠BEH=∠EHF，得∠BEG+∠GEH=∠EHN+∠MHN，即得出α+∠FEH=12α+∠MHN，即推出∠MHN−∠FEH=12α．
【详解】（1）解：∵AB∥CD，∴∠AEM=∠FME．
∵∠FEM=∠FME，∴∠AEM=∠FEM．
∵∠AEF=∠AEM+∠FEM=70°，∴∠AEM=∠FEM=12∠AEF=35°．
故答案为：35；
（2）由（1）可知∠AEM=∠FEM=12∠AEF，即EM平分∠AEF；
（3）∠MHN−∠FEH=12α，证明如下，
∵AB∥CD，∴∠BEG=∠EGF=α．
∵EH平分∠FEG，∴∠FEH=∠GEH=12∠FEG，∴∠FEH+α=∠GEH+∠BEG=∠BEH．
∵EM平分∠AEF，EH平分∠FEG，∴∠MEH=12∠AEG=12(180°−α)=90°−12α．
∵HN⊥EM，∴∠EHN=90°−∠MEH=90°−(90°−12α)=12α．
∵AB∥CD，∴∠BEH=∠EHF，即∠BEG+∠GEH=∠EHN+∠MHN，
∴α+∠FEH=12α+∠MHN，∴∠MHN−∠FEH=12α．
2．如图1，一块直尺和一块含30°的直角三角板如图放置，其中直尺和直角三角板的斜边平行，我们可以抽象出如图2的数学模型：MN∥AB，∠BAC=60°，∠C=90°，MN分别交AC、BC于点E、F、∠BAC的角平分线AD交MN于点D，H为线段AB上一动点（不与A、B重合），连接FH交AD于点K．
(1)当∠BFH=12∠BFN时，求∠AKF．
(2)H在线段AB上任意移动时，求∠AKF，∠HAK，∠DFH之间的关系．
(3)在（1）的条件下，将△DKF绕着点F以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t0≤t≤36，则在旋转过程中，当△DKF的其中一边与△CEF的某一边平行时，直接写出此时t的值．
分析：（1）由三角形内角和定理求出∠B=180°−∠BAC−∠C=30°，由MN∥AB，得到∠BFN=30°，由∠BFH=12∠BFN，则∠BFH=15°，由角平分线和平行线性质得到∠ADE=∠BAD=30°，即可得到答案；
（2）由MN∥AB得到∠HAK=∠FDK，由∠AKF=∠HFD+∠KDF即可得到结论；
（3）分五种情况画图求解即可．
【详解】（1）解：∵∠BAC=60°，∠C=90°，∴∠B=180°−∠BAC−∠C=30°，
∵MN∥AB，∴∠BFN=∠B=30°，
∵∠BFH=12∠BFN，∴∠BFH=12×30°=15°，
∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD=12∠CAB=30°，
∵MN∥AB，∴∠ADE=∠BAD=30°，
∴∠AKF=∠ADE+∠HFD=∠ADE+∠HFB+∠BFN=30°+15°+30°=75°，
即∠AKF=75°；
（2）∵MN∥AB，∴∠HAK=∠FDK，
∵∠AKF=∠DFH+∠KDF，∴∠AKF=∠HAK+∠DFH；
（3）由（1）知，∠FDK=30°，∠KFD=45°，
∴∠DKF=180°−∠FDK−∠KFD=105°，
如图1，当DF∥CE时，∠CFD=∠ECF=90°，
∵∠CFE=30°，∴此时是旋转了180°−30°−90°=60°，此时，t=60°÷5°=12s；
如图2，当DK∥CF时，

∵∠CFD=∠KDF=30°，∴此时是旋转了180°−30°−30°=120°，此时，t=120°÷5°=24s；
如图3，当KF∥CE时，
∵∠EFK=180°−∠CEF=120°，∴此时是旋转了180°−120°+45°=105°，此时，t=105°÷5°=21s；
如图4，当DK∥EC时，设DK与MN相交于点S，
∴∠KSF=∠CEF=60°，∴∠DFS=∠KSF−∠D=30°，∴此时是旋转了30°，
此时，t=30°÷5°=6s；如图5，当DK∥EF时，
∴∠EFK=180°−∠DKF=75°，∴此时是旋转了180°−75°−45°=150°，
此时，t=150°÷5°=30s；
∴当△DKF的其中一边与△CEF的某一边平行时，t为6或12或21或24或30．
3．“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视若灯A转动的速度是每秒2°，灯B转动的速度是每秒1°．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM:∠BAN=2:1．
(1)填空：∠BAN=______°；
(2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
(3)若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点C，且∠ACB=120°，则在灯B射线到达BQ之前，转动的时间为______秒．
分析：（1）设∠BAN=x°，则∠BAM=2x°，根据∠BAN+∠BAM=180°，可列出关于x的等式，解出x即可求解；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当0（3）分类讨论①当0【详解】（1）设∠BAN=x°，则∠BAM=2x°，
∵∠BAN+∠BAM=180°，即x°+2x°=180°，∴x=60，∴∠BAN=60°．
故答案为：60；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
由题意可知∠CAM=(2t)°，∠CAM=(t+30)°．
①当0∵PQ∥MN，∴∠PBD=∠BDA．∵AC∥BD，∴∠CAM=∠BDA，∴∠CAM=∠PBD．∴2t=30+t，
解得 t=30；
②当90∵PQ∥MN，∴∠PBD+∠BDA=180°．∵AC∥BD，∴∠CAN=∠BDA，∴∠PBD+∠CAN=180°．
∵∠CAM=(2t)°，∴∠CAN=(2t−180)°，∴30+t+2t−180=180，解得 t=110．
综上所述，当30秒或110秒时，两灯的光束互相平行；
（3）设灯A射线转动时间为t秒，
①当0
∵PQ∥MN， ∴PQ∥MN∥CK， ∴∠CBP=∠BCK，∠CAN=∠ACK，
∴∠ACB=∠BCK+∠ACK=∠CBP+∠CAN，
∵∠CAN=(180−2t)°，∠CBP=t°， 又∵∠ACB=120°，∴t+(180−2t)=120， 解得：t=60，
∴∠CAN=60°，此时AC与AB共线，不符合题意；
②当90则(2t−180)+t=120， 解得：t=100； 如图4中，当∠ACB=120°时，

同①可知∠ACB=∠MAC+∠QBC．因为此时∠MAC=(360−2t)°，∠QBC=(180−t)°，
∴120=(360−2t)+(180−t)， 解得：t=140．综上可知，t的值为100或140．
故答案为：100或140．
4．长江汛期即将来临，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯（如图1），假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，连结AB，且∠ABN=45°．灯A射线自AQ顺时针旋转至AP便立即回转，灯B射线自BM顺时针旋转至BN便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是1度/秒，灯B转动的速度是3度/秒．
(1)若两灯同时转动，在灯B射线第一次转到BN之前，两灯射出的光线交于点C．
①如图1，当两灯光线同时转动50秒时，求∠ABC的度数．
②如图2，过C作CD⊥BC交PQ于点D，则在转动过程中，求∠ABC与∠ACD的比值，并说明理由．
(2)若灯A射线先转动30秒，灯B射线才开始转动，在灯A射线第一次转到AP之前，B灯转动几秒，两灯的光线互相平行？
分析：（1）①当转动50秒时，有∠MBC=150°，即有∠CBN=180°−∠MBC=30°，根据∠ABC=∠ABN−∠CBN，即可得解；②过点C作CH∥MN，得到∠MBC=3t∘，∠QAC=t∘，即有∠ACH=∠QAC=t∘，∠HCB=∠CBN=180−3t∘，根据∠ABC=∠ABN−∠CBN，可得∠ABC=3t−45∘，再根据∠ACB=∠ACH+∠BCH，可得∠ACD=2t−45∘，即问题得解；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，A灯先转动30秒，则AQ转到AP还需要180-30=150（秒）即0＜t＜150，①当B射线第一次垂直MN时，用时90÷3=30（秒），此时A射线共计运动30+30=60秒，即∠QAE=60∘，即在灯B射线到达BN之前，先证明∠MBF=∠QAE，即有：3t=30+t，即可求解；②在灯B射线到达BN之后，回到BM前，根据①中，同理有：∠MBF=∠QAE=30+t∘，∠FBN=3t−180∘即有：3t−180+30+t=180，即可求解；③在灯B射线回到BM后，第二次到BN前，由题意得：3t−360=30+t，即可求解，即问题得解．
【详解】（1）两灯速度为：灯A转动的速度是1度/秒，灯B转动的速度是3度/秒．
①当转动50秒时，∠MBC=50×3∘=150∘，
∴∠CBN=180∘−∠MBC=30∘，
∴∠ABC=∠ABN−∠CBN=45∘−30∘=15∘，
故答案为：15°；
②比值为：32，理由如下，如图2，过点C作CH∥MN，
∵PQ∥MN，∴CH∥PQ，设两灯转动时间为t秒，则∠MBC=3t∘，∠QAC=t∘，
∴∠ACH=∠QAC=t∘，∠HCB=∠CBN=180−3t∘，
∴∠ABC=∠ABN−∠CBN，
即∠ABC=45∘−180−3t∘=3t−135∘=3t−45∘，
又∵∠ACB=∠ACH+∠BCH，
即∠ACB=t∘+180∘−3t∘=180∘−2t∘，而∠BCD=90°，
∴∠ACD=90∘−∠ACB=90∘−180−2t∘
=2t−90∘=2t−45∘．
∴∠ABC:∠ACD=3t−45∘2t−45∘=32．
即比值为：32；
（2）两灯速度为：灯A转动的速度是1度/秒，灯B转动的速度是3度/秒．
设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
A灯先转动30秒，则AQ转到AP还需要180-30=150（秒）
即0＜t＜150，
①当B射线第一次垂直MN时，用时90÷3=30（秒），
此时A射线共计运动30+30=60秒，即∠QAE=60∘，
即在灯B射线到达BN之前，如图3所示，
∵PQ∥MN，BF∥AE，∴∠ABF=∠EAB，∠PAB=∠ABN，
∴180∘−∠ABN−∠ABF=180∘−∠BAP−∠BAE，∴∠MBF=∠QAE，
即有：3t=30+t，解得：t=15（秒）；
②如图4，在灯B射线到达BN之后，回到BM前，
根据①中，同理有：∠MBF=∠QAE=30+t∘∵∠FBN=3t−180∘
即有：3t−180+30+t=180，解得：t=82.5．
③如图5，在灯B射线回到BM后，第二次到BN前，
由题意得：
3t−360=30+t，解得：t=195（舍去）．
综上所述，A灯转动15秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行．