高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第16讲导数与函数的单调性课件

这是一份高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第16讲导数与函数的单调性课件，共38页。PPT课件主要包含了函数的单调性，单调递减，函数的极值，f′x＜0，f′x＞0，极小值，函数的最值，断中正确的是，考点1，答案D等内容，欢迎下载使用。

函数 y＝f(x)在(a，b)内可导，则：
(1)若 f′(x)>0，则 f(x)在(a，b)内单调递增；(2)若 f′(x)<0，则 f(x)在(a，b)内__________.
(1)判断f(x0)是极值的方法：一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧____________，右侧___________，那么f(x0)是极小值.
(2)求可导函数极值的步骤：①求 f′(x)；
②求方程 f′(x)＝0 的根；
③检查 f′(x)在方程 f′(x)＝0 的根的左、右值的符号.如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得__________；如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点.
(1)函数 f(x)在[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上，函数 y＝f(x)的图象是一条连续不断
的曲线，那么它必有最大值和最小值.
(2)①若函数 f(x)在[a，b]上单调递增，则 f(a)为函数的最小
值，f(b)为函数的最大值；
②若函数 f(x)在[a，b]上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，
f(b)为函数的最小值.
(3)求 y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数 y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②将函数 y＝f(x)的各________与端点值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
1.如图 2-16-1 是函数 f(x)的导函数 f′(x)的图象，则下列判
图 2-16-1A.函数 f(x)在区间(－3,0)上是减函数B.函数 f(x)在区间(1,3)上是减函数C.函数 f(x)在区间(0,2)上是减函数D.函数 f(x)在区间(3,4)上是增函数
2.函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)A.(－∞，2)B.(0,3)D.(2，＋∞)C.(1,4)
解析：f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)>0，解得 x>2，故选 D.
3.函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是(　　)B.(1，＋∞)A.(0,1)C.(－∞，1)D.(－1,1)
∴f(x)的单调递减区间为(0,1)和(1，e).
(0,1)和(1，e)
利用导数研究函数的单调性
例 1：(1)(2017 年浙江)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图
象如图 2-16-2，则函数 y＝f(x)的图象可能是(图 2-16-2
解析：原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值
点的横坐标大于 0.故选 D.
(2)函数f(x)＝(3－x2)ex的单调递增区间是(　　)
A.(－∞，0)B.(0，＋∞)C.(－∞，3)和(1，＋∞)D.(－3,1)解析：f′(x)＝－2xex＋(3－x2)ex＝(3－2x－x2)ex，∴f′(x)>0，即x2＋2x－3<0.解得－3(3)在 R 上可导的函数 f(x)的图象如图 2-16-3，则关于 x 的
不等式 xf′(x)<0 的解集为(
图 2-16-3A.(－∞，－1)∪(0,1)B.(－1,0)∪(1，＋∞)C.(－2，－1)∪(1,2)D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)
解析：在(－∞，－1)和(1，＋∞)上，f(x)递增，∴f′(x)>0，
使 xf′(x)<0 的范围为(－∞，－1)；
在(－1,1)上，f(x)递减，∴f′(x)<0，使 xf′(x)<0 的范围为
综上，关于 x 的不等式 xf′(x)<0 的解集为(－∞，－1)∪
【规律方法】求函数的单调区间与函数的极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能.如果一个函数在给定的定义域上单调区间不止一个，这些区间之间一般不能用并集符号“∪”连接，只能用“，”或“和”字隔开.
例 2：已知函数 f(x)＝x3－ax－1.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)若 f(x)在 R 上为增函数，求实数 a 的取值范围；(3)若 f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，求实数 a 的取值范围；(4)若 f(x)在区间(－1,1)上为减函数，试求实数 a 的取值范围；(5)若 f(x)的单调递减区间为(－1,1)，求实数 a 的值；(6)若 f(x)在区间(－1,1)上不单调，求实数 a 的取值范围.
(3)∵f′(x)＝3x2－a，且f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，∴f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x2－a≥0在(1，＋∞)上恒成立.∴a≤3x2在(1，＋∞)上恒成立.∴a≤3.即实数a的取值范围为(－∞，3].(4)由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，得a≥3x2在(－1,1)上恒成立.∵－1＜x＜1，∴3x2＜3.∴a≥3.即当实数a的取值范围为[3，＋∞)时，f(x)在(－1,1)上为减函数.
【规律方法】若可导函数 f(x)在指定的区间D 上单调递增(减)，求参数取值范围问题：(1)转化为f′(x)≥0[或f′(x)≤0]恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到；(2)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集.
⊙运用分类讨论思想讨论函数的单调性
例题：(2016 年新课标Ⅰ)已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2.(1)讨论 f(x)的单调性；
(2)若 f(x)有两个零点，求实数 a 的取值范围.
解：(1) f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a).①设a≥0，则当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0；当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0.
∴f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.
故当 x∈(－∞，1)∪(ln(－2a)，＋∞)时，f′(x)>0；当 x∈(1，ln(－2a))时，f′(x)<0.
∴f(x)在(－∞，1)，(ln(－2a)，＋∞)上单调递增，在(1，
ln(－2a))上单调递减.
(2)①设 a>0，则由(1)知，f(x)在(－∞，1)上单调递减，在
(1，＋∞)上单调递增.
故 f(x)在(1，＋∞)上至多有一个零点，在(－∞，1)上至多
【规律方法】本题第一问是用导数研究函数单调性，对含有参数的函数单调性的确定，通常要根据参数进行分类讨论，要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第二问是求参数取值范围，由于这类问题常涉及导数、函数、不等式等知识，越来越受到高考命题者的青睐，解决此类问题的思路是构造适当的函数，利用导数研究函数的单调性或极值破解.
(1)若函数 f(x)在[1，＋∞)上为增函数，求正实数 a 的取值范围；(2)讨论函数 f(x)的单调性.
1.利用导数求函数单调区间的基本步骤是：(1)确定函数 f(x)的定义域；(2)求导数 f′(x)；
(3)由 f′(x)＞0(或＜0)解出相应的 x 的取值范围.当 f′(x)＞0 时，f(x)在相应的区间内是单调递增函数；当 f′(x)＜0 时，f(x)在相应的区间内是单调递减函数.
一般需要通过列表，写出函数的单调区间.
2.已知单调性求解参数取值范围的步骤为：(1)对含参数的函数 f(x)求导，得到 f′(x)；
(2)若函数 f(x)在[a，b]上单调递增，则 f′(x)≥0 恒成立；若函数 f(x)在[a，b]上单调递减，则 f′(x)≤0 恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数取值范围；
(3)验证参数取值范围中取等号时，是否恒有 f′(x)＝0.若f′(x)＝0 恒成立，则函数 f(x)在(a，b)上为常数函数，舍去此参数值.