新高考数学一轮复习课件 第3章 §3.2　导数与函数的单调性

这是一份新高考数学一轮复习课件 第3章 §3.2　导数与函数的单调性，共60页。PPT课件主要包含了落实主干知识，探究核心题型，课时精练等内容，欢迎下载使用。

§3.2　导数与函数的单调性
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过 三次).
LUOSHIZHUGANZHISHI
1.函数的单调性与导数的关系
2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数的 ；第2步，求出导数f′(x)的 ；第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.
1.若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立.2.若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f′(x)<0有解.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.(　　)(2)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减.(　　)(3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则f(x)在定义域上一定单调递增.(　　)(4)函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数.(　　)
1.f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是
由f′(x)的图象知，当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，∴f(x)单调递增；当x∈(0，x1)时，f′(x)<0，∴f(x)单调递减；当x∈(x1，＋∞)时，f′(x)>0，∴f(x)单调递增.
2.函数f(x)＝(x－2)ex的单调递增区间为__________.
f(x)的定义域为R， f′(x)＝(x－1)ex，令f′(x)＝0，得x＝1，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0，∴f(x)的单调递增区间为(1，＋∞).
f′(x)＝x2－3x＋a，且f(x)的单调递减区间为[－1,4]，∴f′(x)＝x2－3x＋a≤0的解集为[－1,4]，∴－1,4是方程f′(x)＝0的两根，则a＝(－1)×4＝－4.
TANJIUHEXINTIXING
例1　(1)函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是A.(0,1) B.(1，＋∞)C.(－∞，1) D.(－1,1)
不含参数的函数的单调性
令f′(x)＝0，得x＝1，∴当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增.
f(x)的定义域为(0，＋∞)，
φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0，∴当x∈(0,1)时，φ(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，φ(x)<0，∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.
A.(0,2)B.(－∞，0)∪(2，＋∞)C.(－2,0)D.(－∞，－2)∪(0，＋∞)
令g′(x)>0，解得0确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开.
跟踪训练1　(1)已知定义在区间(0，π)上的函数f(x)＝x＋2cs x，则f(x)的单调递增区间为_______________.
f′(x)＝1－2sin x，x∈(0，π).
(2)函数f(x)＝(x－1)ex－x2的单调递增区间为______________________，单调递减区间为________.
(－∞，0)，(ln 2，＋∞)
f(x)的定义域为R，f′(x)＝xex－2x＝x(ex－2)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝ln 2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表，
∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(ln 2，＋∞)，单调递减区间为(0，ln 2).
例2　已知函数f(x)＝ ax2－(a＋1)x＋ln x，a>0，试讨论函数y＝f(x)的单调性.
函数的定义域为(0，＋∞)，
∴f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a＝1时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
延伸探究　若将本例中参数a的范围改为a∈R，其他条件不变，试讨论f(x)的单调性？
当a>0时，讨论同上；当a≤0时，ax－1<0，∴x∈(0,1)时，f′(x)>0；x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，∴函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.综上，当a≤0时，函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；
讨论下列函数的单调性.(1)f(x)＝x－aln x；
令f′(x)＝0，得x＝a，①当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，②当a>0时，x∈(0，a)时，f′(x)<0，x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，∴f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增.
综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，当a>0时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增.
(2)g(x)＝(x－a－1)ex－(x－a)2.
g(x)的定义域为R，g′(x)＝(x－a)ex－2(x－a)＝(x－a)(ex－2)，令g′(x)＝0，得x＝a或x＝ln 2，①当a>ln 2时，x∈(－∞，ln 2)∪(a，＋∞)时，g′(x)>0，x∈(ln 2，a)时，g′(x)<0，∴g(x)在(－∞，ln 2)，(a，＋∞)上单调递增，在(ln 2，a)上单调递减.②当a＝ln 2时，g′(x)≥0恒成立，∴g(x)在R上单调递增，
③当a0，x∈(a，ln 2)时，g′(x)<0，∴g(x)在(－∞，a)，(ln 2，＋∞)上单调递增，在(a，ln 2)上单调递减.综上，当a>ln 2时，g(x)在(－∞，ln 2)，(a，＋∞)上单调递增，在(ln 2，a)上单调递减；当a＝ln 2时，g(x)在R上单调递增；当a(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点.
由题知，f(x)的定义域是(0，＋∞)，
设g(x)＝x2－ax＋2，g(x)＝0的判别式Δ＝a2－8.
此时f(x)在(0，＋∞)上单调递增.
有f′(x)＝0，对其余的x＞0都有f′(x)＞0.此时f(x)在(0，＋∞)上单调递增.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
命题点1　比较大小或解不等式
因为f(x)＝xsin x，所以f(－x)＝(－x)·sin(－x)＝xsin x＝f(x)，
(2)已知函数f(x)＝ex－e－x－2x＋1，则不等式f(2x－3)>1的解集为__________.
f(x)＝ex－e－x－2x＋1，定义域为R，
当且仅当x＝0时取“＝”，∴f(x)在R上单调递增，又f(0)＝1，∴原不等式可化为f(2x－3)>f(0)，
命题点2　根据函数的单调性求参数的范围
由题意得f′(x)＝ex(sin x＋a)＋excs x
∴－1＋a≥0，解得a≥1，即a∈[1，＋∞).
2.(2022·株州模拟)若函数f(x)＝ax3＋x恰有3个单调区间，则a的取值范围为__________.
由f(x)＝ax3＋x，得f′(x)＝3ax2＋1.若a≥0，则f′(x)>0恒成立，此时f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，不满足题意；
根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集.(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.
又m<0，则(x－3)f′(x)>0，当x>3时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x<3时，f′(x)<0，f(x)单调递减；所以f(2)>f(3)，f(4)>f(3)，所以f(2)＋f(4)>2f(3).
(2)(2022·安徽省泗县第一中学质检)函数f(x)＝　　在(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围为__________.
由f′(x)>0得0e.所以f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
KESHIJINGLIAN
1.函数f(x)＝xln x＋1的单调递减区间是
f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋ln x，
2.已知函数f(x)＝x(ex－e－x)，则f(x)A.是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减B.是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增C.是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减D.是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增
因为f(x)＝x(ex－e－x)，x∈R，定义域关于原点对称，且f(－x)＝－x(e－x－ex)＝x(ex－e－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数，当x>0时，f′(x)＝ex－e－x＋x(ex＋e－x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增.
3.(2022·长沙调研)已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数).下面四个图象中y＝f(x)的图象大致是
故函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－1,1).故函数f(x)的图象是C选项中的图象.
4.(2022·深圳质检)若函数f(x)＝－x2＋4x＋bln x在区间(0，＋∞)上是减函数，则实数b的取值范围是A.[－1，＋∞) B.(－∞，－1]C.(－∞，－2] D.[－2，＋∞)
∵f(x)＝－x2＋4x＋bln x在(0，＋∞)上是减函数，∴f′(x)≤0在(0，＋∞)上恒成立，
即b≤2x2－4x，∵2x2－4x＝2(x－1)2－2≥－2，∴b≤－2.
依题意，函数g(x)＝xf(x)为定义域上的增函数.对于A，g(x)＝xex，g′(x)＝(x＋1)ex，当x∈(－∞，－1)时，g′(x)<0，∴g(x)在(－∞，－1)上单调递减，故A中函数不是“F函数”；对于B，g(x)＝x3在R上单调递增，故B中函数为“F函数”；对于C，g(x)＝xln x，g′(x)＝1＋ln x，
故C中函数不是“F函数”；
对于D，g(x)＝xsin x，g′(x)＝sin x＋xcs x，
故D中函数不是“F函数”.
6.(多选)(2022·河北衡水中学月考)下列不等式成立的是
所以当00，函数f(x)单调递增；当x>e时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减.
即2ln  < ln 2，故选项A正确；
因为e<4<5，所以f(4)>f(5)，即5ln 4>4ln 5，故选项C不正确；因为e<π，所以f(e)>f(π)，即π>eln π，故选项D正确.
由题设，f′(x)＝x2＋2mx＋n，由f(x)的单调递减区间是(－3,1)，得f′(x)<0的解集为(－3,1)，则－3,1是f′(x)＝0的解，∴－2m＝－3＋1＝－2，n＝1×(－3)＝－3，可得m＝1，n＝－3，故m＋n＝－2.
8.(2021·新高考全国Ⅱ)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)：__________________________________________.①f(x1x2)＝f(x1)f(x2)；②当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0；③f′(x)是奇函数.
f(x)＝x4(答案不唯一，f(x)＝x2n(n∈N*)均满足)
f′(x)＝4x3，x>0时有f′(x)>0，满足②，f′(x)＝4x3的定义域为R，又f′(－x)＝－4x3＝－f′(x)，故f′(x)是奇函数，满足③.
9.已知函数f(x)＝ x2－2aln x＋(a－2)x.(1)当a＝－1时，求函数f(x)的单调区间；
当02时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当1(2)若函数g(x)＝f(x)－ax在(0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围.
g(x)＝f(x)－ax在(0，＋∞)上单调递增，
所以x2－2x－2a≥0在x∈(0，＋∞)上恒成立，
10.已知函数f(x)＝　　 　　，a∈R.(1)若f(x)在x＝1处的切线与直线y＝x－1垂直，求a的值；
(2)讨论f(x)的单调性.
f(x)的定义域为R，
若2－a>0，即a<2，当x∈(－∞，0)∪(2－a，＋∞)时，f′(x)<0，当x∈(0,2－a)时，f′(x)>0；若2－a＝0，即a＝2，f′(x)≤0；若2－a<0，即a>2，
当x∈(－∞，2－a)∪(0，＋∞)时，f′(x)<0，当x∈(2－a,0)时，f′(x)>0.综上有当a>2时，f(x)在(－∞，2－a)，(0，＋∞)上单调递减，在(2－a,0)上单调递增；当a＝2时，f(x)在R上单调递减；当a<2时，f(x)在(－∞，0)，(2－a，＋∞)上单调递减，在(0,2－a)上单调递增.
因为h(x)在[1,4]上存在单调递减区间，
所以a>－1，所以a的取值范围是(－1，＋∞).
所以函数f(x)为偶函数，所以a＝f(　　 )＝f(－lg32)＝f(lg32)，又f′(x)＝－sin x＋x，
因为0所以由单调性可得b13.函数f(x)＝2sin x－cs 2x，x∈[－π，0]的单调递增区间为_____________________.
因为f(x)＝2sin x－cs 2x，x∈[－π，0]，所以f′(x)＝2cs x＋2sin 2x＝2cs x(1＋2sin x).令f′(x)>0，
14.(2022·丽水模拟)设函数f(x)＝ln(x＋a)＋x2.若f(x)为定义域上的单调函数，则实数a的取值范围为___________.
∵f(x)为定义域上的单调函数，∴f′(x)≥0恒成立或f′(x)≤0恒成立，又f(x)＝ln(x＋a)＋x2的定义域为(－a，＋∞)
∴f′(x)≥0恒成立，
即[f′(x)]min≥0.
15.(2022·景德镇模拟)设函数f(x)＝sin x＋ex－e－x－x，则满足f(x)＋f(5－3x)<0的x的取值范围为
因为f(x)＝sin x＋ex－e－x－x，所以f(－x)＝sin(－x)＋e－x－ex＋x＝－(sin x＋ex－e－x－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数.又f′(x)＝cs x＋ex＋e－x－1，
所以f′(x)＝cs x＋ex＋e－x－1>0，所以f(x)在R上单调递增，
所以由f(x)＋f(5－3x)<0，得f(x)<－f(5－3x)＝f(3x－5)，因为f(x)在R上单调递增，
16.(2022·合肥质检)已知函数f(x)＝ 　.(1)若a>0，求f(x)的单调区间；
f(x)的定义域为{x|x≠0}，
∵a>0，∴当x∈(－∞，0)∪(0,1)时，f′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，∴f(x)的单调递减区间为(－∞，0)，(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞).
∵∀x1，x2∈[1,3]，x1≠x2，
即函数g(x)＝f(x)－2x在区间[1,3]上单调递减，
当x＝1时，不等式可化为－2≤0显然成立；