江西省抚州市临川区第十六中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x||x|<4,x∈Z}，B={y|y2>4}，则A∩B=( )
A. {−4,−3,3,4}B. {−3,3}C. {3}D. ∅
2.已知扇形的半径为2cm，弧长为4cm，则该扇形的面积为( )
A. 1cm2B. 2cm2C. 4cm2D. 8cm2
3.已知α∈R，则“csα=−12”是“α=2kπ+2π3，k∈Z”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知角α的终边上有一点P(1,3)，则cs(3π2−α)+2cs(−π+α)的值为( )
A. 1010B. 102C. − 1010D. − 102
5.已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x−1)是定义在R上的奇函数，则f(2022)+f(2020)的值为( )
A. 0B. 1C. −1D. 无法计算
6.函数y=2|x|sin2x的图象可能是( )
A. B. C. D.
7.集合{α|kπ+π4≤α≤kπ+π2,k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
A. B. C. D.
8.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示．有下列四个结论：
①φ=π3；
②f(x)在[−7π12,−π12]上单调递增；
③f(x)的最小正周期T=π；
④f(x)的图象的一条对称轴为x=π3．
其中正确的结论有( )
A. ②③B. ②④C. ①④D. ①②
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知x∈R，则下列等式恒成立的是( )
A. sin(−x)=sinxB. sin(3π2−x)=csx
C. cs(π2+x)=−sinxD. cs(x−π)=−csx
10.以下函数中，最小正周期不是2π的是( )
A. f(x)=2sin(12x−π3)B. f(x)=2cs(2x+π3)
C. y=|sinx2|D. y=tan(12x+π3)
11.将函数y=cs(x+π3)的图象先纵坐标不变，横坐标缩短为到原来的12，然后向左平移π4个单位长度得到函数f(x)图象，则( )
A. y=sin(2x+π3)是函数f(x)的一个解析式
B. 直线x=7π12是函数f(x)图象的一条对称轴
C. 函数f(x)是周期为π的奇函数
D. 函数f(x)的递减区间为[kπ−5π12,kπ+π12](k∈Z)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.从cs(−5π12)，sinπ12，cs7π12，sin13π12，sin25π12这五个数中任取两个数，则这两个数相等的概率为 ．
13.函数y=lgsinx+ 12−csx的定义域是______．
14.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示.若方程f(x)+4cs2(2x+π6)=a+2有实数解，则a的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共58分。15题13分，16、17各15分，18、19各17分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
计算下列两个小题
(1)计算sin25π6−cs10π3+tan(−13π4)；
(2)已知角α终边上有一点P(−12, 32)，求sin(α−π2)cs(π2−α)tan(π−α)tan(π+α)sin(π+α)的值．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图像相邻对称轴之间的距离是π2，若将f(x)的图像向右移π6个单位，所得函数g(x)为奇函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若函数ℎ(x)=f(x)−35的零点为x0，求cs(π6−2x0)．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=−sin2x−3csx+3，x∈R．
(1)求函数f(x)的零点；
(2)求不等式f(x)≥−72csx+52的解集．
18.(本小题17分)
人脸识别技术应用在各行各业，改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份．在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．假设二维空间两个点A(x1,y1)，B(x2,y2)，曼哈顿距离d(A,B)=|x1−x2|+|y1−y2|.
余弦相似度：cs(A,B)=x1 x12+y12×x2 x22+y22+y1 x12+y12×y2 x22+y22．
余弦距离：1−cs(A,B)．
(1)若A(1,− 3)，B(12, 32)，求A，B之间的d(A,B)和余弦距离；
(2)已知M(sinα,csα)，N(sinβ,csβ)，Q(sinβ,−csβ)，若cs(M,N)=13，cs(M,Q)=12，求tanαtanβ的值．
19.(本小题17分)
函数f(x)=cs(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若∀x∈[−π4,π4]，[f(x)]2−mf(x)−1≤0，求实数m的取值范围；
(3)求实数a和正整数n，使得函数F(x)=f(x)−a在[0,nπ]上恰有2021个零点．