2022-2023学年江西省抚州市金溪县第一中学高一下学期第一次月考数学试题含解析

  2023年高一下学期第一次月考数学试题

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）

1. （    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用诱导公式可求得结果.

【详解】.

故选：D.

2. 已知 且，则角的终边所在的象限是

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】利用三角函数的定义，可确定且，进而可知所在的象限，得到结果.

【详解】依据题设及三角函数的定义

可知角终边上的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，

所以终边在第二象限，

故选B.

【点睛】该题考查的是有关根据三角函数值的符号断定角所属的象限，涉及到的知识点有三角函数的定义，三角函数值在各个象限内的符号，属于简单题目.

3. 已知角的终边与单位圆的交点的坐标为，若，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由已知得，，由三角函数的定义求解即可.

【详解】设角的终边与单位圆的交点的坐标为，

若，则，，

所以.

故选：B.

4. 已知函数，若，，则的最小值为（    ）

A.  B.  C. 2 D. 3

【答案】B

【解析】

【分析】根据三角函数解析式及，，有，结合得到即可求的最小值.

【详解】依题意，，，

故，即，

故，解得，；

因为，故的最小值为.

故选：B

【点睛】本题考查了根据三角函数周期性求参数的最值，由所过点的坐标，可得有关周期的表达式，结合周期与参数的关系求最值.

5. 下列函数中同时具有性质：①最小正周期是，②图象关于点对称，③在上为减函数的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据周期公式排除A选项；根据正弦函数的单调性，排除B选项；将代入函数解析式，排除D选项；根据周期公式，将代入函数解析式，余弦函数的单调性判断C选项正确.

【详解】对于A项，，故A错误；

对于B项， ，，函数在上单调递增，则函数在上单调递增，故B错误；

对于C项，；当时，，则其图象关于点对称；当 ，，函数在区间上单调递减，则函数在区间单调递减，故C正确；

对于D项，当时，，故D错误；

故选：C

【点睛】本题主要考查了求正余弦函数的周期，单调性以及对称性的应用，属于中档题.

6. 甲､乙去同一家药店各购一种医用外科口罩，已知这家药店出售A，B､C三种医用外科口罩，则甲､乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】分别写出基本事件数和符合条件的事件数，利用古典概型公式求解即可.

【详解】甲、乙在A，B，C三种医用外科口罩中各购一种的基本事件有,,,

，,,,,共9种，

其中甲，乙购买的是同一种医用外科口罩基本事件有,3种，

则其概率为.

故选:

7. 若，，，则的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用基本不等式“1”的妙用求得的最小值，即可得到的最大值.

【详解】因为，，，

则，

当且仅当时，即时，等号成立；

所以，即的最大值为，

故选：C.

8. 已知函数，的图象如图，若，，且，则（　　）

A. 0 B. 1 C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据图象求得函数解析式，再由，，且，

得到的图象关于对称求解.

【详解】由图象知：，

则，，

所以，

因为在函数图象上，

所以，

则，

解得，

因为，则，

所以，

因为，，且，

所以的图象关于对称，

所以，

故选：A

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 下列函数，最小正周期为的有（     ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用三角函数的周期性求出各个选项的周期，即可得出结论.

【详解】对于A，因为令，，令，，

所以的最小正周期不是；

对于B，的最小正周期为，所以的最小正周期为；

对于C，，则最小正周期为；

对于D，的最小正周期为，则小正周期为.

故选：BCD.

10. 将函数（，）图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若是最小正周期为的偶函数，则（    ）

A. 的最小正周期为 B. 是奇函数

C. 在上单调递减 D. 函数的最大值是

【答案】AC

【解析】

【分析】根据图象变换得到的解析式，进而利用最小正周期和奇偶性，得到和 的值，进而得到，从而判断出最小正周期，奇偶性和单调性，从而ABC选项可以判断，D选项要利用辅助角公式进行计算得到最大值.

【详解】由题可知，函数，因为是最小正周期为的偶函数，所以解得因为，所以，所以，所以的最小正周期为，故A正确；因为，故B错误；令，，解得，，故C正确；因为（其中），所以的最大值为，故D错误.

故选：AC.

11. 若，则下列选项错误的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】将变为，即可设，并判断其单调性，从而得，结合指数函数的性质，一一判断各选项，即得答案.

【详解】由题意可得，

令，即为R上的单调增函数，

故由可得，

由于为R上的单调增函数，故，A错误；

由于为R上的单调减函数，故，B错误；

由于，故，，C错误，D正确；

故选：

12. 已知函数（）在有且仅有3个零点，下列结论正确的是（    ）

A. 函数的最小正周期

B. 函数在上存在，，满足

C. 函数在单调递增

D. 的取值范围是

【答案】ABD

【解析】

【分析】设有且仅有3个零点，，，且.

A，最小正周期即可判断；

B，取，，满足，，即可判断；

D，结合正弦函数的零点，计算可得函数在轴右侧的前4个零点分别是，，，，再列出不等式，解之即可判断；

C，由选项D可知，可取，此时，比较和的大小即可判断.

【详解】解：设在有且仅有3个零点，，，且，

对A，最小正周期，即A正确；

对B，在上存在，，满足，，所以可以成立，即B正确；

对D，令，，则函数的零点为，，

所以函数在轴右侧的前4个零点分别是，，，，

因为函数在有且仅有3个零点，所以，解得，即D正确；

对C，由D选项可知，，不妨取，此时，

所以，，即，并不满足在单调递增，即C错误.

故选：ABD.

【点睛】本题考查三角函数的性质，结合正弦函数性质，只要把作为一个整体，与正弦函数对比即可得出相应性质．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知，则____________.

【答案】

【解析】

【分析】利用诱导公式进行角的变换化简即可.

【详解】，

故答案为：

【点睛】此题考三角函数角的变换，属于简单题.

14. 已知扇形的周长是，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是_________.

【答案】或3

【解析】

【分析】根据题意设出扇形的弧长与半径，通过扇形的周长与面积，即可求出扇形的弧长与半径，进而根据弧长公式求出扇形圆心角的弧度数．

【详解】设扇形的弧长为，半径为，则，

因为扇形的面积，则，

解得：或，

当时，，，

当时，，.

扇形的圆心角的弧度数是或3．

故答案为：或3．

15. 某人提出一个问题，甲先答，答对的概率为0.4，如果甲答错，由乙答，答对的概率为0.5，则问题由乙答对的概率为________．

【答案】0.3##

【解析】

【分析】由题可得甲答错的概率为0.6，结合条件进而可得问题由乙答对的概率.

【详解】由题可得甲答错的概率为，

又甲先答，甲答错，由乙答，答对的概率为0.5，

∴问题由乙答对的概率为.

故答案为：.

16. 已知偶函数在区间上单调递增，且满足，给出下列判断：

①；

②在上是减函数；

③函数没有最小值；

④函数在处取得最大值；

⑤的图象关于直线对称．

其中正确的序号是________．

【答案】①②④

【解析】

【分析】先利用题中等式推出，进一步推出，得知该函数是周期为的周期函数，作出满足条件的图像可得出答案．

【详解】因为，所以，

所以，所以，即函数是周期为4的周期函数．

由题意知，函数关于点对称，画出满足条件图象如图所示，结合图象可知①②④正确．

故答案为①②④.

【点睛】本题考查抽象函数的相关问题，解题的关键在于充分利用题中等式进行推导，进一步得出函数的单调性、周期性、对称性等相关性质，必要时结合图象来考查．

四、解答题（本题共6个小题，第17题10分，其他每小题12分，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知，且.

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系可求得的值；

（2）利用诱导公式以及弦化切可求得结果.

【小问1详解】

解：因为，且，则为第三象限角，故，

因此，

【小问2详解】

解：原式.

18. 设函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）求不等式解集．

【答案】（1）的单调增区间为   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据正切型函数的单调区间公式即可求解；（2）根据正切函数特点，利用整体思想即可求解.

【小问1详解】

令，

解得，

所以的单调增区间为，

不存在单调减区间.

【小问2详解】

，

所以，

所以不等式的解集为，

19. 已知函数的部分图象如图所示.

（1）求函数的解析式；

（2）求函数在上的值域；

（3）求方程在区间内的所有实数根之和.

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）由图象得，并求解出周期为，从而得，再代入最大值，利用整体法，从而求解得，即可得出答案；

（2）由（1）得，由求得，继而求得函数的值域；

（3）作出函数与的图像，可得两个函数在有四个交点，从而得有四个实数根，再利用三角函数的对称性计算得实数根之和.

【小问1详解】

由图可知，，

，又点在的图象上

，，

，，，，.

【小问2详解】

，，所以，

所以.

故函数在上的值域为：.

【小问3详解】

由图得在上的图象与直线有4个交点，

则方程在上有4个实数根，

设这4个实数根分别为，，，，且，

由，，得，，

所以可知，关于直线对称， 

 ，关于直线对称，，

.

20. 在股票市场上，投资者常根据股价每股的价格走势图来操作，股民老张在研究某只股票时，发现其在平面直角坐标系内的走势图有如下特点：每日股价元与时间天的关系在ABC段可近似地用函数的图象从最高点A到最低点C的一段来描述如图，并且从C点到今天的D点在底部横盘整理，今天也出现了明显的底部结束信号．老张预测这只股票未来一段时间的走势图会如图中虚线DEF段所示，且DEF段与ABC段关于直线l：对称，点B，D的坐标分别是．

请你帮老张确定a，，的值，并写出ABC段的函数解析式；

如果老张预测准确，且今天买入该只股票，那么买入多少天后股价至少是买入价的两倍？

【答案】（1）,,，；（2）16.

【解析】

【分析】由B，D的坐标确定的值，和C的坐标，进而确定周期，求出，再由C的坐标，求出，即可得出函数解析式；

(2)由(1)线求出DEF的解析式，令，求出即可.

【详解】解：因为B，D的坐标分别是，且DEF段与ABC段关于直线l：对称，所以，所以，，

，，

由可得，

，．

由题意得DEF的解析式为：，

由，得，

故买入天后股价至少是买入价的两倍．

【点睛】本题主要考查三角函数的应用，熟记三角函数的图像和性质即可，属于常考题型.

21. 已知函数是奇函数，是偶函数

（1）求的值；

（2）设，若对任意恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用奇函数的定义可求得实数的值，利用偶函数的定义可求得实数的值，即可求得的值；

（2）分析可知函数在上为增函数，可求得，根据已知条件得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.

【小问1详解】

解：由于为奇函数，且定义域为，则，

因为，所以，，

所以，恒成立，所以，，即.

由于，，

是偶函数，

，则，

所以，，所以，，

因此，.

【小问2详解】

解：，，

因为函数在上为增函数，函数在上为减函数，

所以，函数在区间上是增函数，

当时，，所以，，

由题意得，解之得，

因此，实数的取值范围是.

22. 已知点，是函数图象上的任意两点，且角的终边经过点，若时，的最小值为．

（1）求函数的解析式；

（2）若方程在内有两个不同的解，求实数的取值范围．

【答案】（1）；   

（2）或．

【解析】

【分析】（1）根据函数图象性质可得参数值及函数解析式；

（2）设，将方程转化为函数与公共点问题.

【小问1详解】

角的终边经过点，,

,

,

由时，的最小值为，

得，即，

,

.

【小问2详解】

∵，

，

，

设，

问题等价于方程在仅有一根或有两个相等的根．

，，

作出曲线，与直线的图象．

时，；时，；时，．

当或时，直线与曲线有且只有一个公共点．

的取值范围是：或．