江西省宜丰中学2023-2024学年高一创新部下学期6月月考数学试题

这是一份江西省宜丰中学2023-2024学年高一创新部下学期6月月考数学试题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若100件产品中包含10件次品，有放回地随机抽取6件，下列说法正确的是（ ）
A．其中的次品数服从超几何分布B．其中的正品数服从二项分布
C．其中的次品数的期望是1D．其中的正品数的期望是5
2．2024年“与辉同行”直播间开播，董宇辉领衔7位主播从“心”出发，其中男性5人，女性3人，现需排班晚8：00黄金档，随机抽取两人，则男生人数的期望为（ ）
A．B．C．D．
3．某银行有一自动取款机，在某时刻恰有个人正在使用或等待使用该取款机的概率为，根据统计得到，则在该时刻没有人正在使用或等待使用该取款机的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．某学校高一、高二、高三的学生人数之比为，这三个年级分别有20%，30%，20%的学生获得过奖学金，现随机选取一名学生，此学生恰好获得过奖学金，则该学生是高二年级学生的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．已知的二项展开式中只有第3项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为（ ）
A．24B．18C．12D．6
6．某次数学测验共有10道单选题（四个选项中只有一项是正确的），某同学全都不会做，记该同学做对的题目数为，且服从二项分布，则以下说法错误的是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知双曲线的右顶点为，若直线与的两条渐近线分别交于，两点，且满足，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知抛物线，圆，为圆外一点，过点作圆的两条切线，，直线与抛物线交于点，，直线与抛物线交于点，，若，则（ ）
A．16B．8C．4D．1
二、选择题：本大题共3个小题，每小题6分，满分18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法中正确的是（ ）
A．一组数据的第60百分位数为14
B．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生学习情况．用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为100的样本，则抽取的高中生人数为70
C．若样本数据的平均数为10，则数据的平均数为3
D．随机变量服从二项分布，若方差，则
10．某届国际羽联世界锦标赛单打决赛在甲､乙两人之间进行，比赛采用五局三胜制.按以往比赛经验，每一局甲获胜的概率为，则下列说法一定正确的有（ ）
A．当时，打四局结束比赛的概率大于打五局结束比赛的概率
B．当时，打三局结束比赛的概率最大
C．当时，打四局结束比赛的概率大于打五局结束比赛的概率
D．当时，打三局结束比赛的概率最大
11．在正方体中，，为的中点，是正方形内部一点（不含边界），则下列说法正确的是（ ）
A．平面平面
B．若直线与平面所成角为，则的取值范围是
C．若四棱锥的外接球的球心为，则的取值范围是
D．以的边所在直线为旋转轴将旋转一周，则在旋转过程中，点到平面的距离的最小值是
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．10名同学中有a名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰好抽取1名女生的概率为，则a= ．
13．在中，已知，为线段的中点，若，则 ．
14．已知随机变量，其中，随机变量的分布列为
表中，则的最大值为 ．我们可以用来刻画与的相似程度，则当，且取最大值时， ．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．某汽车销售店以万元每辆的价格购进了某品牌的汽车.根据以往的销售分析得出，当售价定为万元/辆时，每年可销售辆该品牌的汽车，且每辆汽车的售价每提高千元时，年销售量就减少辆.
(1)若要获得最大年利润，售价应定为多少万元/辆?
(2)该销售店为了提高销售业绩，推出了分期付款的促销活动.已知销售一辆该品牌的汽车，若一次性付款，其利润为万元;若分期或期付款，其利润为万元;若分期或期付款,其利润为万元.该销售店对最近分期付款的位购车情况进行了统计，统计结果如下表：
若X表示其中任意两辆的利润之差的绝对值，求X的分布列和数学期望.
16．在中，内角所对的边分别为，且.
(1)求角；
(2)射线绕点旋转交线段于点，且，求的面积的最小值.
17．已知椭圆的长轴长为4，一个焦点与抛物线的焦点重合．
(1)求椭圆的方程；
(2)若不过的直线交于两点，使得，求证：直线恒过一定点．
18．如图，在四棱锥 中， ， .
(1)证明: 平面平面；
(2)若为 中点，求直线与平面所成角的正弦值.
19．已知点在抛物线E：（）的准线上，过点M作直线与抛物线E交于A，B两点，斜率为2的直线与抛物线E交于A，C两点.
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)（ⅰ）求证：直线过定点；
（ⅱ）记（ⅰ）中的定点为H，设的面积为S，且满足，求直线的斜率的取值范围.
江西省宜丰中学2023-2024（下）创新高一6月月考数学参考答案
1．B2．C3．B4．B5．A6．D7．C【详解】易知双曲线的渐近线方程为，联立，解得，即，联立，解得，即，因为，所以，即，因为，所以，解得，则双曲线的离心率．8．C【详解】由题意，且都与抛物线有两个不同的交点，所以，故设过点且与圆相切的切线方程为，即，由题意得，整理得，（*），设直线的斜率分别为，则是方程（*）的两个实根，故，由，得，因为，，，，所以，所以.
9．BC10．ACD【详解】当时，则甲输的概率为，打四局结束比赛的概率为，打五局结束比赛的概率为，打三局结束比赛的概率为，所以打四局结束比赛的概率大于打五局结束比赛的概率，打四局结束比赛的概率最大，故A正确，B错误；当时，则甲输的概率为，打四局结束比赛的概率为，打五局结束比赛的概率为，打三局结束比赛的概率为，所以打四局结束比赛的概率大于打五局结束比赛的概率，打三局结束比赛的概率最大，故CD正确.
11．ABD【详解】对于A，如图1，连结，则，因为平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，同理，且，且，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正确；对于B，将正方体中分离出四棱锥，如图2，取的中点，连结，，因为平面，所以，，，，即，所以，故B正确；
对于C，如图2，连结，，设，的交点为，
则平面，过作，垂足为，连结，，
所以，，
又，所以，解得，所以，所以的长度小于，又，所以的取值范围是，故C错误；对于D，如图3，连结，交于点，取的中点，连结，，则点的运动轨迹是平面内以为圆心，为半径的圆，易知，由，知，，且，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，，如图4，与圆的交点分别为，，
当点位于点时，点到平面的距离取得最小值，
且距离的最小值为，故D正确.
12．2或8 13． 14． 【详解】由题意，可得，则，
因为，所以当时，取得最大值，又由，可得，解得，可得，又因为，
可得，所以.
15．解：（1）设销售价格提高了万元/辆，年利润为万元．
则由题意得年销售量为，
．
故当时，取最大值．此时售价为万元/辆．
所以当售价为万元/辆时，年利润最大．
（2）由图表可知，利润为万元的有辆，利润为万元的有辆，万元的有辆．
所以，，，
所以的分布列为：
所以的数学期望．
16．解：（1），由正弦定理得，则，
即
则，且，，；
（2）由和，可知，
因为，所以，又因为，
所以，即，又，
当且仅当，即时，等号成立，所以，
所以，所以的面积的最小值为.
17．解：（1）由，可得，所以.又，故，所以，所以椭圆的方程为：.
（2）设，由可得，由，可得，则，.因为，所以直线与关于轴对称，所以，即，
所以，
即，所以，可得，所以直线的方程为，恒过定点.
18．解：（1）在中，由余弦定理，
，，平面，又平面 ， 平面平面.
（2）由，由余弦定理可知，，所以，，所以，又由 (1) 知平面平面，平面平面， 平面平面 ，，又， 平面平面，，又，
如图，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则：，， 是中点，， 设 为平面的一个法向量，， ，即，令 得，设直线与平面所成角大小为，则，所以直线与平面 所成角的正弦值为 .
19．解：（1）由题意可知C：（）的准线方程为：，即，所以.抛物线C的标准方程为
（2）设，，，（ⅰ）由题意知直线不与y轴垂直，故直线方程可设为：，与抛物线方程联立，化简得：，根据韦达定理可得： 即，，直线方程为，整理得：.又因为，即.将代入化简可得：，代入整理得：
故直线过定点
（ⅱ）由（ⅰ）知与x轴平行，直线的斜率一定存在，
由（ⅰ）知所以，又因为
即，化简得或又由，得：且，即或综上所述，0
1
2
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一次性
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分期
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