中考数学一轮复习考点（精讲精练）复习专题30 特殊平行四边形（2份打包，原卷版+教师版）

这是一份中考数学一轮复习考点（精讲精练）复习专题30 特殊平行四边形（2份打包，原卷版+教师版），文件包含中考数学一轮复习考点精讲精练复习专题30特殊平行四边形原卷版doc、中考数学一轮复习考点精讲精练复习专题30特殊平行四边形原卷版pdf、中考数学一轮复习考点精讲精练复习专题30特殊平行四边形教师版doc、中考数学一轮复习考点精讲精练复习专题30特殊平行四边形教师版pdf等4份试卷配套教学资源，其中试卷共72页， 欢迎下载使用。

知识导航
知识精讲
考点1：菱形的性质与判定
1．定义:一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2．性质:菱形的四条边相等,两条对角线互垂直平分,且每一条对角线平分一组对角.
3．判定方法:
①一组邻边相等的平行四边形是菱形;
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形;
③四条边都相等的四边形是菱形.
4．设菱形对角线长分别为l1,l2,则S菱形= SKIPIF 1 < 0 l1l2.

【例1】下列命题中，为真命题的是（ ）
（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形
（2）对角线互相垂直的四边形是菱形
（3）对角线相等的平行四边形是菱形
（4）有一个角是直角的平行四边形是矩形
A．（1）（2）B．（1）（4）C．（2）（4）D．（3）（4）
【答案】B
【分析】正确的命题叫真命题，根据定义解答．
【详解】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故（1）是真命题；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故（2）不是真命题；
对角线相等的平行四边形是矩形，故（3）不是真命题；
有一个角是直角的平行四边形是矩形，故（4）是真命题；
故选：B．
【例2】如图，在 SKIPIF 1 < 0 中，点O是 SKIPIF 1 < 0 的中点，连接 SKIPIF 1 < 0 并延长交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点E，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求证：四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，判断四边形 SKIPIF 1 < 0 的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明见详解；（2）四边形ACDE是菱形，理由见详解．
【分析】（1）利用平行四边形的性质，即可判定 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到 SKIPIF 1 < 0 ，再根据CD∥AE，即可证得四边形ACDE是平行四边形；
（2）利用（1）的结论和平行四边形的性质可得AC=CD，由此即可判定是菱形．
【详解】（1）证明：在 SKIPIF 1 < 0 ABCD中，AB∥CD，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵点O为AD的中点，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 中，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵BE∥CD ，
∴四边形ACDE是平行四边形；
（2）解：由（1）知四边形ACDE是平行四边形， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形ACDE是菱形．
方法技巧
菱形的证明方法（三种）
①先证明四边形ABCD为平行四边形，再证明平行四边形ABCD的任一组邻边相等.
②先证明四边形ABCD为平行四边形，再证明平行四边形ABCD的对角线互相垂直.
③证明四边形ABCD的四条边相等.
针对训练
1．如图，四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，点E，F分别在 SKIPIF 1 < 0 边上，添加以下条件不能判定 SKIPIF 1 < 0 的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根据三角形全等判定定理SAS可判定A，三角形全等判定定理AAS可判定B，三角形全等判定定理可判定C，三角形全等判定定理AAS可判定D即可．
【详解】解: ∵四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，
∴AB=AD,∠B=∠D,
A. 添加 SKIPIF 1 < 0 可以，
在△ABE和△ADF中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 (SAS)，
故选项A可以；
B.添加 SKIPIF 1 < 0 可以，
在△ABE和△ADF中
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 (AAS)；
故选项B可以；
C. 添加 SKIPIF 1 < 0 不可以，条件是边边角故不能判定；
故选项C不可以；
D. 添加 SKIPIF 1 < 0 可以，
在△ABE和△ADF中
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 (SAS)．故选项D可以；故选择C．
2．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中，G为BC边上一点， SKIPIF 1 < 0 ，延长DG交AB的延长线于点E，过点A作 SKIPIF 1 < 0 交CD的延长线于点F．求证：四边形AEDF是菱形．
【答案】见解析
【分析】
先证四边形AEDF是平行四边形，再证 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出结论．
【解析】
证明： SKIPIF 1 < 0 四边形ABCD是平行四边形，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形AEDF是平行四边形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平行四边形AEDF是菱形．
3．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求证：四边形AOBE是菱形；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求菱形AOBE的面积．
【答案】（1）证明过程见解答；（2） SKIPIF 1 < 0
【分析】
（1）根据BE∥AC，AE∥BD，可以得到四边形AOBE是平行四边形，然后根据矩形的性质，可以得到OA=OB，由菱形的定义可以得到结论成立；
（2）根据∠AOB=60°，AC=4，可以求得菱形AOBE边OA上的高，然后根据菱形的面积=底×高，代入数据计算即可．
【解析】
解：（1）证明：∵BE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AOBE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC= SKIPIF 1 < 0 AC，OB=OD= SKIPIF 1 < 0 BD，
∴OA=OB，
∴四边形AOBE是菱形；
（2）解：作BF⊥OA于点F，
∵四边形ABCD是矩形，AC=4，
∴AC=BD=4，OA=OC= SKIPIF 1 < 0 AC，OB=OD= SKIPIF 1 < 0 BD，
∴OA=OB=2，
∵∠AOB=60°，
∴BF=OB•sin∠AOB= SKIPIF 1 < 0 ，
∴菱形AOBE的面积是：OA•BF= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ．
考点2：矩形的性质与判定
1．定义:有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形.
2．性质:矩形的对角线互相平分且相等,四个角都是直角.
3．判定方法:
①有三个角是直角的四边形是矩形;
②对角线相等的平行四边形是矩形;
③有一个角是直角的平行四边形是矩形.
4．设矩形的长和宽分别为a,b,则S矩形=ab.

【例3】如图，矩形AOBC的顶点A、B在坐标轴上，点C的坐标是(﹣10，8)，点D在AC上，将 SKIPIF 1 < 0 BCD沿BD翻折，点C恰好落在OA边上点E处，则tan∠DBE等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】
先根据四边形ABCD是矩形，C（-10，8），得出BC=AO=10，AC=OB=8，∠A=∠O=∠C=90°，再由折叠的性质得到CD=DE，BC=BE=10，∠DEB=∠C=90°，利用勾股定理先求出OE的长，即可得到AE，再利用勾股定理求出DE，利用 SKIPIF 1 < 0 求解即可.
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，C（-10，8），
∴BC=AO=10，AC=OB=8，∠A=∠O=∠C=90°，
由折叠的性质可知：CD=DE，BC=BE=10，∠DEB=∠C=90°，
在直角三角形BEO中： SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
在直角三角形ADE中： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵∠DEB=90°，∴ SKIPIF 1 < 0 ，故选D.
【例4】如图，四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，对角线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 相交于点O， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求证：四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求矩形 SKIPIF 1 < 0 的周长．
【答案】（1）见解析；（2） SKIPIF 1 < 0
【分析】
（1）利用全等三角形性质和菱形对角线互相垂直平分，证四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形；
（2）根据菱形性质得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由含30度直角三角形的性质求出OB，即可求解．
【解析】
（1）证明：∵△BOC≅△CEB ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （全等三角形的对应边相等）
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
∵四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，
∴ SKIPIF 1 < 0 （菱形的两条对角线互相垂直）
∴ SKIPIF 1 < 0
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；
（2）∵四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 （菱形的四条边相等）， SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 （在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）
SKIPIF 1 < 0 ，∴矩形 SKIPIF 1 < 0 的周长 SKIPIF 1 < 0 ．
方法技巧
矩形的证明方法（三种）
① 先证明四边形ABCD为平行四边形，再证明平行四边形ABCD的任意一个角为直角.
② 先证明四边形ABCD为平行四边形，再证明平行四边形ABCD的对角线相等.
③ 证明四边形ABCD的三个角是直角.
针对训练
1．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，点C 恰好落在AB边上的F处，则CE的长是（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】
设CE=x，则BE=3-x由折叠性质可知，EF=CE=x，DF=CD=AB=5，所以AF=4，BF=AB-AF=5-4=1，在Rt△BEF中，由勾股定理得(3-x)2+12=x2，解得x的值即可．
【详解】解：设CE=x，则BE=3-x，由折叠性质可知，EF=CE=x，DF=CD=AB=5
在Rt△DAF中，AD=3，DF=5，∴AF= SKIPIF 1 < 0 ，∴BF=AB-AF=5-4=1，
在Rt△BEF中，BE2+BF2=EF2，即(3-x)2+12=x2，解得x= SKIPIF 1 < 0 ，
2．如图，在矩形纸片ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，M是BC上的点，且 SKIPIF 1 < 0 ．将矩形纸片ABCD沿过点M的直线折叠，使点D落在AB上的点P处，点C落在点 SKIPIF 1 < 0 处，折痕为MN，则线段PA的长是（ ）
A．4B．5C．6D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】连接PM，证明 SKIPIF 1 < 0 即可得到 SKIPIF 1 < 0 ，PA=5．
【解析】连接PM
∵矩形纸片ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ∵折叠∴ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0
∵PM=PM∴ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 故选B．
3．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点．求证：DE=BF．
【分析】由矩形的性质和已知得到DF=BE，AB∥CD，故四边形DEBF是平行四边形，即可得到答案．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB=CD，
又E、F分别是边AB、CD的中点，∴DF=BE，
又AB∥CD，∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE=BF．
考点3：正方形的性质与判定
1．正方形的定义：有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形.
2．正方形的性质
（1）正方形既有矩形的性质，又有菱形的性质.
（2）正方形的四个角都是直角，四条边相等.
（3）正方形的对角线相等且互相垂直平分.
3．正方形的判定方法
（1）有一组邻边相等的矩形是正方形.
（2）对角线互相垂直的矩形是正方形.
（3）有一个角是直角的菱形是正方形.
（4）对角线相等的菱形是正方形.
4．平行四边形、矩形、菱形与正方形之间的联系

【例5】如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，且CF=3BF，AE，BF相交于点G，则 SKIPIF 1 < 0 AGF的面积是________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】延长AG交DC延长线于M，过G作GH⊥CD，交AB于N，先证明△ABE≌△MCE，由CF=3DF，可求DF=1，CF=3，再证△ABG∽△MFG，则利用相似比可计算出GN，再利用两三角形面积差计算S△DEG即可．
【详解】解：延长AG交DC延长线于M，过G作GH⊥CD，交AB于N，如图，
∵点E为BC中点，
∴BE=CE，
在△ABE和△MCE中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△ABE≌△MCE（ASA），
∴AB=MC=4，
∵CF=3DF，CF+DF=4，
∴DF=1，CF=3，FM=FC+CM=3+4=7，
∵AB∥MF，
∴∠ABG=∠MFG，∠AGB=∠MGF，
∴△ABG∽△MFG，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
S△AFG=S△AFB-S△AGB= SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为 SKIPIF 1 < 0 ．
【例6】已知正方形 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为平面内两点．
（探究建模）
（1）如图1，当点 SKIPIF 1 < 0 在边 SKIPIF 1 < 0 上时， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线．求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（类比应用）
（2）如图2，当点 SKIPIF 1 < 0 在正方形 SKIPIF 1 < 0 外部时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线．猜想并证明线段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系；
（拓展迁移）
（3）如图3，当点 SKIPIF 1 < 0 在正方形 SKIPIF 1 < 0 外部时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 点．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
【答案】（1）见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 ；理由见解析（3） SKIPIF 1 < 0
【分析】
（1）根据正方形性质以及题意证明 SKIPIF 1 < 0 即可得出结论；
（2）根据已知条件证明 SKIPIF 1 < 0 ，然后证明 SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形即可得出结论；
（3）先证明 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形，根据勾股定理以及等腰直角三角形的性质求出 SKIPIF 1 < 0 的长度，即可得出结论．
【解析】
解：（1）∵四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线，∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ,
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 ;
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，∴ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 ,
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）过点D作 SKIPIF 1 < 0 于点H，连接BD，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∵ SKIPIF 1 < 0 是正方 SKIPIF 1 < 0 对角线，
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∴在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
方法技巧
正方形的证明方法（四种）
（1）先证明四边形ABCD为平行四边形，再证明平行四边形ABCD的一个角为直角且有一组邻边相等.
（2）先证明四边形ABCD为平行四边形，再证明平行四边形ABCD的对角线互相垂直且相等.
（3）先证明四边形ABCD为矩形，再证明矩形ABCD的一组邻边相等（或对角线互相垂直）.
（4）先证明四边形ABCD为菱形，再证明菱形ABCD的一个角为直角（或对角线相等）.
正方形的性质（四种）
（1）正方形的四条边相等，对角线相等且互相平分；
（2）正方形的面积等于对角线乘积的一半；
（3）正方形既具有矩形的全部性质，又具有菱形的全部性质．
针对训练
1．如图，在边长为3的正方形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的长是（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】C
【分析】由正方形的性质得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 证得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出答案．
【解析】解： SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∵在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，根据勾股定理得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 （负值舍去）， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．故选： SKIPIF 1 < 0 ．
2．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别在CD，AC上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则AF的长是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的垂线分别交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ,由 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，利用勾股定理即可求得 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】如图，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的垂线分别交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 （AAS），
SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．故选B
3．如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连结BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连结AF，有以下五个结论：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 ；⑤若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，你认为其中正确是_____（填写序号）
【答案】①②③④
【分析】
①四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形，BD，BE是对角线，得∠ABD＝∠FBE＝45°，根据等式的基本性质确定出 SKIPIF 1 < 0 ；②再根据正方形的对角线等于边长的 SKIPIF 1 < 0 倍，得到两边对应成比例，再根据角度的相减得到夹角相等，利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可判断；④根据两角相等的两个三角形相似得到△EBH∽△DBE，从而得到比例式，根据BE＝ SKIPIF 1 < 0 BG，代换即可作出判断；③由相似三角形对应角相等得到∠BAF＝∠BDE＝45°，可得出AF在正方形ABCD对角线上，根据正方形对角线垂直即可作出判断．⑤设CE=x，DE=3x，则BC=CD=4x，结合BE2＝BH•BD，求出BH，DH，即可判断．
【详解】
解：①∵四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形，BD，BE是对角线，∴∠ABD＝∠FBE＝45°，
又∵∠ABF＝45°−∠DBF，∠DBE＝45°−∠DBF，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴选项①正确；
②∵四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形，∴AD＝AB，BF＝BE，
∴BD＝ SKIPIF 1 < 0 AB，BE= SKIPIF 1 < 0 BF，∴ SKIPIF 1 < 0
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴选项②正确；
④∵四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形，BD，BE是对角线，∴∠BEH＝∠BDE＝45°，
又∵∠EBH＝∠DBE，∴△EBH∽△DBE，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即BE2＝BH•BD，
又∵BE＝ SKIPIF 1 < 0 BG，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴选项④确；
③由②知： SKIPIF 1 < 0 ，又∵四边形ABCD为正方形，BD为对角线，
∴∠BAF＝∠BDE＝45°，∴AF在正方形另外一条对角线上，∴AF⊥BD，∴③正确，
⑤∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴设CE=x，DE=3x，则BC=CD=4x，
∴BE= SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∵BE2＝BH•BD，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴DH=BD-BH= SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故⑤错误，综上所述：①②③④正确，
故答案是：①②③④．
专题30 特殊平行四边形
考点1：菱形的性质与判定
1．如图，在菱形ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】依次求出OE=OF=OG=OH，利用勾股定理得出EF和OE的长，即可求出该四边形的周长．
【详解】∵HF⊥BC,EG⊥AB,∴∠BEO=∠BFO=90°，
∵∠A=120°，
∴∠B=60°，
∴∠EOF=120°，∠EOH=60°，
由菱形的对边平行，得HF⊥AD,EG⊥CD，
因为O点是菱形ABCD的对称中心，
∴O点到各边的距离相等，即OE=OF=OG=OH，
∴∠OEF=∠OFE=30°，∠OEH=∠OHE=60°，
∴∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠EHG=90°，
所以四边形EFGH是矩形；
设OE=OF=OG=OH=x，
∴EG=HF=2x， SKIPIF 1 < 0 ，
如图，连接AC，则AC经过点O，
可得三角形ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AC=AB=2,∴OA=1,∠AOE=30°，
∴AE= SKIPIF 1 < 0 ，∴x=OE= SKIPIF 1 < 0
∴四边形EFGH的周长为EF+FG+GH+HE= SKIPIF 1 < 0 ,故选A．
2．如图，在菱形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】设AC与BD的交点为O，由题意易得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，进而可得△ABC是等边三角形， SKIPIF 1 < 0 ，然后问题可求解．
【详解】解：设AC与BD的交点为O，如图所示：
∵四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴△ABC是等边三角形，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；故选D．
3．菱形 SKIPIF 1 < 0 中，对角线 SKIPIF 1 < 0 ，则菱形的高等于___________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】过A作AE⊥BC，垂足为E，根据菱形的性质求出菱形边长，再利用菱形的面积公式得到方程，解之可得AE．
【详解】解：如图，过A作AE⊥BC，垂足为E，即AE为菱形ABCD的高，
∵菱形ABCD中，AC=10，BD=24，∴OB= SKIPIF 1 < 0 BD=12，OA= SKIPIF 1 < 0 AC=5，
在Rt△ABO中，AB=BC= SKIPIF 1 < 0 =13，
∵S菱形ABCD= SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得：AE= SKIPIF 1 < 0 ，故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
4．如图，四边形ABCD是平行四边形，延长DA，BC，使得AE＝CF，连接BE，DF．
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）连接BD，∠1＝30°，∠2＝20°，当∠ABE＝ °时，四边形BFDE是菱形．
【答案】（1）见解析；（2）当∠ABE＝10°时，四边形BFDE是菱形
【分析】（1）根据平行四边形的性子和“SAS”可证△ABE≌△CDF；
（2）先证明四边形BFDE是平行四边形，再通过证明BE＝DE，可得结论．
【解析】
解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠BAD＝∠BCD，
∴∠1＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）当∠ABE＝10°时，四边形BFDE是菱形，
理由如下：∵△ABE≌△CDF，
∴BE=DF，AE=CF，
∴BF=DE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵∠1=30°，∠2=20°，
∴∠ABD=∠1-∠2=10°，
∴∠DBE=20°，
∴∠DBE=∠EDB=20°，
∴BE=DE，
∴平行四边形BFDE是菱形，
故答案为10．
5．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA、DC的延长线分别交于点E、F．
（1）求证：AE＝CF；
（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）EF⊥BD或EB＝ED，见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的证明方法证明 SKIPIF 1 < 0 ，则可得到AE＝CF；
（2）连接BF，DE，由 SKIPIF 1 < 0 ，得到OE= OF，又AO=CO，所以四边形AECF是平行四边形，则根据EF⊥BD可得四边形BFDE是菱形．
【详解】
证明：（1）∵四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形
∴OA＝OC，BE∥DF
∴∠E＝∠F
在△AOE和△COF中
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
∴AE＝CF
（2）当EF⊥BD时，四边形BFDE是菱形，理由如下： 如图：连结BF，DE
∵四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形∴OB＝OD
∵ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ∴四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形
∵EF⊥BD， ∴四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形
6．如图，在 SKIPIF 1 < 0 的正方形网格中，网格线的交点称为格点， SKIPIF 1 < 0 在格点上，每一个小正方形的边长为1．
（1）以 SKIPIF 1 < 0 为边画菱形，使菱形的其余两个顶点都在格点上（画出一个即可）．
（2）计算你所画菱形的面积．
【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）6或8或10（答案不唯一）
【分析】（1）根据菱形的定义并结合格点的特征进行作图；
（2）利用菱形面积公式求解．
【详解】解：（1）根据题意，菱形ABCD即为所求
（2）图1中AC=2，BD=6∴图1中菱形面积 SKIPIF 1 < 0 ．
图2中，AC= SKIPIF 1 < 0 ，BD= SKIPIF 1 < 0 ∴图2中菱形面积 SKIPIF 1 < 0 ．
图3中， SKIPIF 1 < 0 ∴图3菱形面积 SKIPIF 1 < 0 ．
考点2：矩形的性质与判定
7．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，矩形 SKIPIF 1 < 0 的顶点D、E在 SKIPIF 1 < 0 上，点F、G分别在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的长为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据矩形的性质得到GF∥AB，证明△CGF∽△CAB，可得 SKIPIF 1 < 0 ，证明△ADG≌△BEF，得到AD=BE= SKIPIF 1 < 0 ，在△BEF中，利用勾股定理求出x值即可．
【详解】解：∵DE=2EF，设EF=x，则DE=2x，
∵四边形DEFG是矩形，∴GF∥AB，∴△CGF∽△CAB，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴AD+BE=AB-DE= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，
∵AC=BC，∴∠A=∠B，又DG=EF，∠ADG=∠BEF=90°，∴△ADG≌△BEF（AAS），
∴AD=BE= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，在△BEF中， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得：x= SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍），∴EF= SKIPIF 1 < 0 ，故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
8．如图，将矩形纸片 SKIPIF 1 < 0 折叠（ SKIPIF 1 < 0 ），使 SKIPIF 1 < 0 落在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，E点不动，将 SKIPIF 1 < 0 边折起，使点B落在 SKIPIF 1 < 0 上的点G处，连接 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的长为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据矩形的性质和正方形的性质，证明 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，代入求解即可．
【详解】解：∵四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形, SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,且四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， ∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
又∵ SKIPIF 1 < 0 （折叠，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 是正方形 SKIPIF 1 < 0 对角线，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0
9．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为_______.
【答案】20．
【详解】∵AB＝5，AD＝12，∴根据矩形的性质和勾股定理，得AC＝13.
∵BO为Rｔ△ABC斜边上的中线∴BO＝6.5
∵O是AC的中点，M是AD的中点，∴OM是△ACD的中位线∴OM＝2.5
∴四边形ABOM的周长为：6.5＋2.5＋6＋5＝20
故答案为20
10．如图，点C是 SKIPIF 1 < 0 的中点，四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形．
（1）求证：四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形；
（2）如果 SKIPIF 1 < 0 ，求证：四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）由平行四边形的性质以及点C是BE的中点，得到AD∥CE，AD=CE，从而证明四边形ACED是平行四边形；
（2）由平行四边形的性质证得DC=AE，从而证明平行四边形ACED是矩形．
【详解】
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC．
∵点C是BE的中点，∴BC=CE，∴AD=CE，
∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，∵AB=AE，∴DC=AE，
∵四边形ACED是平行四边形，∴四边形ACED是矩形．
考点3：正方形的性质与判定
11．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O做ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】先证明 SKIPIF 1 < 0 ，再证明四边形MOND的面积等于， SKIPIF 1 < 0 的面积，继而解得正方形的面积，据此解题．
【详解】解：在正方形ABCD中，对角线BD⊥AC， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 四边形MOND的面积是1， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 正方形ABCD的面积是4， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 故选：C．
12．如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则 SKIPIF 1 < 0 的度数为（ ）
A．60°B．65°C．75°D．80°
【答案】C
【分析】根据斜边中线等于斜边一半，求出∠MPO=30°，再求出∠MOB和∠OMB的度数，即可求出 SKIPIF 1 < 0 的度数．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形中，∴∠MBO=∠NDO=45°，
∵点O为MN的中点∴OM=ON，∵∠MPN=90°，∴OM=OP，∴∠PMN=∠MPO=30°，
∴∠MOB=∠MPO+∠PMN =60°，∴∠BMO=180°-60°-45°=75°， SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C．
13．如图，在正方形ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ，M是AD边上的一点， SKIPIF 1 < 0 ．将 SKIPIF 1 < 0 沿BM对折至 SKIPIF 1 < 0 ，连接DN，则DN的长是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．3D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】延长MN与CD交于点E，连接BE，过点N作 SKIPIF 1 < 0 ，根据折叠的正方形的性质得到 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中应用勾股定理求出DE的长度，通过证明 SKIPIF 1 < 0 ，利用相似三角形的性质求出NF和DF的长度，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，延长MN与CD交于点E，连接BE，过点N作 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，M是AD边上的一点， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵将 SKIPIF 1 < 0 沿BM对折至 SKIPIF 1 < 0 ，四边形ABCD是正方形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 (HL)，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
根据勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D．