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2023-2024学年江苏省扬州市邗江区梅岭中学七年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）
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这是一份2023-2024学年江苏省扬州市邗江区梅岭中学七年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列计算正确的是（ ）
A．（a3）2＝a5B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．a•a3＝a4 D．（﹣3a）3＝﹣9a3
2．如图，下列结论中错误的是（ ）
A．∠1与∠2是同旁内角B．∠1与∠6是内错角
C．∠2与∠5是内错角D．∠3与∠5是同位角
3．下列各线段中，能与长为4，6的两线段组成三角形的是（ ）
A．2B．8C．10D．12
4．下列各式不能运用平方差公式计算的是（ ）
A．（a﹣2b）（a+2b）B．（﹣a+5）（﹣a﹣5）
C．（2x﹣1）（﹣1+2x）D．（﹣2x﹣y）（2x﹣y）
5．如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝41°时，则∠1＝（ ）
A．41°B．49°C．59°D．31°
6．已知a＝（﹣3）0，b＝，c＝（﹣2）﹣2，那么a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞cB．c＞b＞aC．b＞a＞cD．c＞a＞b
7．如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C＝210°，则∠P＝（ ）
A．10°B．15°C．30°D．40°
8．我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了（a+b）n展开式的系数规律．
当代数式x4﹣12x3+54x2﹣108x+81的值为1时，则x的值为（ ）
A．2B．﹣4C．2或4D．2或﹣4
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请把你认为正确的答案填写在答题纸相应位置。）
9．每到四月，许多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞，人们不堪其扰，据测定，杨絮纤维的直径约为0.0000105m，该数值用科学记数法表示为 ．
10．计算（﹣2a）2的结果是 ．
11．一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是 ．
12．若（x+a）（x+b）＝x2+4x+3，则a+b的值为 ．
13．如图，小明从点A出发，前进10m后向右转20°，再前进10m后又向右转20°，这样一直下去，直到他第一次回到出发点A为止，他所走的路径构成了一个多边形．那么小明一共走了 米．
14．如图，将周长为20个单位的△ABC沿边BC向右平移3个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为 ．
15．已知3x+1•5x+1＝152x﹣3，则x＝ ．
16．如图，BD是△ABC的中线，点E、F分别为BD、CE的中点，若△AEF的面积为3cm2，则△ABC的面积是 cm2．
17．已知（x﹣3）x﹣1＝1，则x的取值是 ．
18．如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．在三角形纸片ABC中，∠C＝100°，∠A＝∠B，将纸片沿着EF折叠，使得点A落在BC边上的点D处．设∠BED＝x°，则能使△BED和△CDF同时成为“准直角三角形”的x值为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共96分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案填写在答题纸相应位置。）
19．计算：
（1）
（2）（﹣2a2）3+4a2•a4﹣a8÷a2
20．计算：
（1）（﹣3ab）•（﹣2ab2+ab﹣2）；
（2）（2x+5）（2x﹣5）．
21．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示，现将△ABC平移，使点A变换为点D，点E、F分别是B、C的对应点．
（1）请画出平移后的△DEF；
（2）若连接AD、CF，则这两条线段之间的关系是 ；
（3）画出△ABC中BC边的高AP（利用网格点和直尺画图）；
（4）能使△QAB与△ABC面积相等的格点Q（C点除外）共有 个．
22．如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC，请说明AE∥GF的理由．
解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（ ），
∠AGC+∠AGD＝180°（ ），
所以∠BAG＝∠AGC（ ）．
因为EA平分∠BAG，
所以∠1＝ （ ）．
因为FG平分∠AGC，
所以∠2＝ ，
得∠1＝∠2（ ），
所以AE∥GF（ ）．
23．如图，∠ENC+∠CMG＝180°，AB∥CD．
（1）求证：∠2＝∠3．
（2）若∠A＝∠1+70°，∠ACB＝42°，求∠B的度数．
24．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CBA＝70°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．
25．定义一种幂的新运算：xa⊕xb＝xab+xa+b，请利用这种运算规则解决下列问题：
（1）22⊕23＝ ；
（2）2p＝3，2q＝5，3q＝6，求2p⊕2q的值；
26．（1）观察下列各式的规律：
（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2；
（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4；
…
可得到（a﹣b）（a2020+a2019b+…+ab2019+b2020）＝ ．
（2）猜想：（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝ （其中n为正整数，且n≥2）．
（3）利用（2）猜想的结论计算：310﹣39+38﹣37+…+34﹣33+32﹣3．
27．【感知】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，由图①可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题．
【探究】
（1）若x+y＝4，x2+y2＝2，则xy＝ ；
（2）若m满足（m+3）2+（5﹣m）2＝56，求（m+3）（5﹣m）的值；
（3）如图②，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，E，F是BC，CD上的点，且BE＝DF，分别以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN．若长方形CEPF的面积为50，直接写出图中阴影部分的面积和为 ．
28．如图，已知AB∥CD，P是直线AB，CD间的一点，PF⊥CD于点F，PE交AB于点E，∠FPE＝120°．
（1）∠AEP＝ °；
（2）如图2，射线PN从PF出发，以每秒45°的速度绕P点按逆时针方向旋转，当PN垂直AB时，立刻按原速返回至PF后停止运动；射线EM从EA出发，以每秒20°的速度绕E点按逆时针方向旋转至EB后停止运动，若射线PN，射线EM同时开始运动，设运动时间为t秒．
①当∠MEP＝15°时，求∠EPN的度数；
②当EM∥PN时，求t的值．
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题仅有一个答案正确，请把你认为正确的答案填写在答题纸相应位置。）
1．下列计算正确的是（ ）
A．（a3）2＝a5B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．a•a3＝a4 D．（﹣3a）3＝﹣9a3
【分析】根据幂的乘方与积的乘方的运算方法，同底数幂的乘法的运算方法，以及完全平方公式的应用，逐项判断即可．
解：∵（a3）2＝a6，
∴选项A不符合题意；
∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
∴选项B不符合题意；
∵a•a3＝a4 ，
∴选项C符合题意；
∵（﹣3a）3＝﹣27a3，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了幂的乘方与积的乘方的运算方法，同底数幂的乘法的运算方法，以及完全平方公式的应用，要熟练掌握．
2．如图，下列结论中错误的是（ ）
A．∠1与∠2是同旁内角B．∠1与∠6是内错角
C．∠2与∠5是内错角D．∠3与∠5是同位角
【分析】直接利用同旁内角以及内错角、同位角的定义分别判断得出答案．
解：A、∠1与∠2是同旁内角，正确，不合题意；
B、∠1与∠6是内错角，正确，不合题意；
C、∠2与∠5不是内错角，故C错误，符合题意；
D、∠3与∠5是同位角，正确，不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了同旁内角以及内错角、同位角的定义，正确掌握相关定义是解题关键．
3．下列各线段中，能与长为4，6的两线段组成三角形的是（ ）
A．2B．8C．10D．12
【分析】设组成三角形的第三边长为x，根据三角形的三边关系可得不等式6﹣4＜x＜6+4，进而可得x的范围，然后可得答案．
解：设组成三角形的第三边长为x，由题意得：
6﹣4＜x＜6+4，
即：2＜x＜10，
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边．
4．下列各式不能运用平方差公式计算的是（ ）
A．（a﹣2b）（a+2b）B．（﹣a+5）（﹣a﹣5）
C．（2x﹣1）（﹣1+2x）D．（﹣2x﹣y）（2x﹣y）
【分析】运用平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
解：C、两项都是相同的项，不能运用平方差公式；
A、B、D中均存在相同和相反的项，
故选：C．
【点评】本题考查了平方差公式的应用，熟记公式是解题的关键．
5．如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝41°时，则∠1＝（ ）
A．41°B．49°C．59°D．31°
【分析】根据∠1+∠3+90°＝180°，计算即可．
解：如图：
∵直尺的对边平行，∠2＝41°，
∴∠2＝∠3＝41°，
∵∠1+∠3+90°＝180°，
∴∠1＝180°﹣∠3﹣90°＝49°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，平角的定义，熟知两直线平行，同位角相等是解题的关键．
6．已知a＝（﹣3）0，b＝，c＝（﹣2）﹣2，那么a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞cB．c＞b＞aC．b＞a＞cD．c＞a＞b
【分析】根据负整数幂的意义以及零指数幂的意义即可求出答案．
解：a＝1，b＝3，c＝，
∴c＜a＜b，
故选：C．
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是正确理解负整数指数幂以及零指数幂的意义，本题属于基础题型．
7．如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C＝210°，则∠P＝（ ）
A．10°B．15°C．30°D．40°
【分析】利用四边形内角和是360°可以求得∠DAB+∠ABC＝150°．然后由角平分线的性质，邻补角的定义求得∠PAB+∠ABP的度数，所以根据△ABP的内角和定理求得∠P的度数即可．
解：如图，∵∠D+∠C＝210°，∠DAB+∠ABC+∠C+∠D＝360°，
∴∠DAB+∠ABC＝150°．
又∵∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，
∴∠PAB+∠ABP＝∠DAB+∠ABC+（180°﹣∠ABC）＝90°+（∠DAB+∠ABC）＝165°，
∴∠P＝180°﹣（∠PAB+∠ABP）＝15°．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、多边形的内角与外角．熟知“四边形的内角和是360°”是解题的关键．
8．我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了（a+b）n展开式的系数规律．
当代数式x4﹣12x3+54x2﹣108x+81的值为1时，则x的值为（ ）
A．2B．﹣4C．2或4D．2或﹣4
【分析】观察题中的图表，表示出（a+b）4，根据已知代数式的值为1，确定出x的值即可．
解：根据题意得：（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，
∴x4﹣12x3+54x2﹣108x+81
＝x4+4x3•（﹣3）+6x2•（﹣3）2+4x•（﹣3）3+（﹣3）4
＝（x﹣3）4，
∴（x﹣3）4＝1，
开四次方得：x﹣3＝1或x﹣3＝﹣1，
解得：x＝2或4．
故选：C．
【点评】此题考查了完全平方公式，以及数学常识，弄清杨辉三角中的展开式规律是解本题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请把你认为正确的答案填写在答题纸相应位置。）
9．每到四月，许多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞，人们不堪其扰，据测定，杨絮纤维的直径约为0.0000105m，该数值用科学记数法表示为 1.05×10﹣5 ．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：杨絮纤维的直径约为0.0000105m，该数值用科学记数法表示为1.05×10﹣5．
故答案为：1.05×10﹣5．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
10．计算（﹣2a）2的结果是 4a2 ．
【分析】根据积的乘方的运算方法，求出（﹣2a）2的结果即可．
解：（﹣2a）2＝（﹣2）2a2＝4a2．
故答案为：4a2．
【点评】此题主要考查了幂的乘方和积的乘方，解答此题的关键是要明确：①（am）n＝amn（m，n是正整数）；②（ab）n＝anbn（n是正整数）．
11．一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是 八 ．
【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可．
解：设多边形的边数是n，根据题意得，
（n﹣2）•180°＝3×360°，
解得n＝8，
∴这个多边形为八边形．
故答案为：八．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键，要注意“八”不能用阿拉伯数字写．
12．若（x+a）（x+b）＝x2+4x+3，则a+b的值为 4 ．
【分析】根据多项式乘多项式法则，把已知等式左边的括号去掉，进行合并，然后根据计算结果，求出a+b即可．
解：∵（x+a）（x+b）＝x2+4x+3，
x2+bx+ax+ab＝x2+4x+3，
x2+（a+b）x+ab＝x2+4x+3，
∴a+b＝4，ab＝3，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则．
13．如图，小明从点A出发，前进10m后向右转20°，再前进10m后又向右转20°，这样一直下去，直到他第一次回到出发点A为止，他所走的路径构成了一个多边形．那么小明一共走了 180 米．
【分析】第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个外角是20度的正多边形，求得正多边形的边数，进而求得小明走的路程即可．
解：∵所经过的路线正好构成一个外角是20度的正多边形，
∴360÷20＝18，
∵18×10＝180（米），
∴淇淇一共走了180米，
故答案为：180．
【点评】本题考查了正多边形的外角，掌握正多边形的外角以及多边形的内角和是解题的关键．
14．如图，将周长为20个单位的△ABC沿边BC向右平移3个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为 26． ．
【分析】由将周长为20个单位的△ABC沿边BC向右平移3个单位得到△DEF，根据平移的性质得到BE＝AD＝3，EF＝BC，DF＝AC，然后利用周长的定义可计算出四边形ABFD的周长．
解：根据题意，将周长为20个单位的等边△ABC沿边BC向右平移3个单位得到△DEF，
∴AD＝3，BF＝BC+CF＝BC+3，DF＝AC；
又∵AB+BC+AC＝20，
∴四边形ABFD的周长＝AD+AB+BF+DF＝3+AB+BC+3+AC＝26．
故答案为：26．
【点评】本题考查平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．得到CF＝AD，DF＝AC是解题的关键．
15．已知3x+1•5x+1＝152x﹣3，则x＝ 4 ．
【分析】利用积的乘方的法则对已知条件进行整理，可得到x+1＝2x﹣3，从而可求x的值．
解：∵3x+1•5x+1＝152x﹣3，
∴（3×5）x+1＝152x﹣3，
即15x+1＝152x﹣3，
∴x+1＝2x﹣3，
解得：x＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查积的乘方，解答的关键是熟记积的乘方的法则并灵活运用．
16．如图，BD是△ABC的中线，点E、F分别为BD、CE的中点，若△AEF的面积为3cm2，则△ABC的面积是 12 cm2．
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．
解：∵F是CE的中点，，
∴，
∵E是BD的中点，
∴S△ADE＝S△ABE，S△CDE＝S△BCE，
∴，
∴△ABC的面积＝12cm2．
故答案为：12．
【点评】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．
17．已知（x﹣3）x﹣1＝1，则x的取值是 1或4 ．
【分析】根据零指数幂以及有理数的乘方即可求出答案．
解：当x﹣3＝1时，
此时x＝4，原式＝1，满足题意，
当x﹣3＝﹣1时，
此时x＝2，原式＝﹣1，不满足题意，
当x﹣1＝0时，
此时x＝1，原式＝（﹣2）0＝1，满足题意，
故答案为：1或4
【点评】本题考查零指数幂的意义，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．
18．如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．在三角形纸片ABC中，∠C＝100°，∠A＝∠B，将纸片沿着EF折叠，使得点A落在BC边上的点D处．设∠BED＝x°，则能使△BED和△CDF同时成为“准直角三角形”的x值为 10 ．
【分析】由∠C＝100°，∠A＝∠B，得∠A＝∠B＝40°，根据将纸片沿着EF折叠，使得点A落在BC边上的点D处，可得∠EDF＝∠A＝40°，当△BED为“准直角三角形”时，2x+40°＝90°或x+2×40°＝90°，可解得x＝25°或x＝10°，①当x＝25°时，即∠DEB＝25°，可得∠CFD＝55°，2∠CDF+∠CFD＝105°，2∠CFD+∠CDF＝135°，故△CDF不是“准直角三角形”；②当x＝10°时，即∠DEB＝10°，可得∠CFD＝180°﹣∠C﹣∠CDF＝70°，2∠CDF+∠CFD＝90°，△CDF是“准直角三角形”，即可得到答案．
解：∵∠C＝100°，∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝40°，
∵将纸片沿着EF折叠，使得点A落在BC边上的点D处，
∴∠EDF＝∠A＝40°，
当△BED为“准直角三角形”时，2∠DEB+∠B＝90°或∠DEB+2∠B＝90°，
∴2x+40°＝90°或x+2×40°＝90°，
∴x＝25°或x＝10°，
①当x＝25°时，即∠DEB＝25°，
∴∠CDE＝∠DEB+∠B＝65°，
∴∠CDF＝∠CDE﹣∠EDF＝25°，
∴∠CFD＝180°﹣∠C﹣∠CDF＝55°，
此时2∠CDF+∠CFD＝105°，2∠CFD+∠CDF＝135°，
∴△CDF不是“准直角三角形”；
②当x＝10°时，即∠DEB＝10°，
∴∠CDE＝∠DEB+∠B＝50°，
∴∠CDF＝∠CDE﹣∠EDF＝10°，
∴∠CFD＝180°﹣∠C﹣∠CDF＝70°，
此时2∠CDF+∠CFD＝90°，
∴△CDF是“准直角三角形”；
综上所述，能使△BED和△CDF同时成为“准直角三角形”的x值为10，
故答案为：10．
【点评】本题考查三角形中的折叠问题，涉及新定义，解题的关键是读懂“准直角三角形”的定义及分类讨论思想的应用．
三、解答题（本大题共10小题，共96分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案填写在答题纸相应位置。）
19．计算：
（1）
（2）（﹣2a2）3+4a2•a4﹣a8÷a2
【分析】（1）根据负整数指数幂、零指数幂、实数的混合运算进行计算即可；
（2）先算幂的乘方，同底数幂的乘除法，再合并同类项即可．
解：（1）
＝﹣1×4+9+1
＝6；
（2）（﹣2a2）3+4a2•a4﹣a8÷a2
＝﹣8a6+4a6﹣a6
＝﹣5a6．
【点评】本题考查了负整数指数幂、零指数幂、实数的混合运算、幂的乘方，同底数幂的乘除法法则；熟练掌握以上运算法则是解题的关键．
20．计算：
（1）（﹣3ab）•（﹣2ab2+ab﹣2）；
（2）（2x+5）（2x﹣5）．
【分析】（1）利用单项式乘多项式的法则计算即可求解；
（2）直接利用平方差公式计算即可求解．
解：（1）（﹣3ab）•（﹣2ab2+ab﹣2）
＝6a2b3﹣3a2b2+6ab；
（2）（2x+5）（2x﹣5）
＝4x2﹣25．
【点评】本题考查了整式的运算，关键是四则混合运算的应用．
21．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示，现将△ABC平移，使点A变换为点D，点E、F分别是B、C的对应点．
（1）请画出平移后的△DEF；
（2）若连接AD、CF，则这两条线段之间的关系是 平行且相等 ；
（3）画出△ABC中BC边的高AP（利用网格点和直尺画图）；
（4）能使△QAB与△ABC面积相等的格点Q（C点除外）共有 5 个．
【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的△DEF即可；
（2）根据图形平移的性质可直接得出结论；
（3）找出点G，连接AG，使得AG＝BC，且以AG和BC为直角边的三角形全等，AG与BC交于点P，即为所求；
（4）过点C作直线l∥AB，满足条件的格点Q在直线l上．
解：（1）如图：
（2）∵A、C的对应点分别是D、F，
∴连接AD、CF，则这两条线段之间的关系是平行且相等，
故答案为：平行且相等．
（3）如图：找出点G，连接AG，使得AG＝BC，且以AG和BC为直角边的三角形全等，AG与BC交于点P，即为所求．
（4）过点C作直线l∥AB，如图：满足要求的格点Q有4个．
故答案为：5．
【点评】本题考查了平移作图，平移的性质、三角形的高、格点作图等；熟练掌握平移的性质是解题的关键．
22．如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC，请说明AE∥GF的理由．
解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（ 已知 ），
∠AGC+∠AGD＝180°（ 邻补角的定义 ），
所以∠BAG＝∠AGC（ 同角的补角相等 ）．
因为EA平分∠BAG，
所以∠1＝ ∠BAG （ 角平分线的定义 ）．
因为FG平分∠AGC，
所以∠2＝ ∠AGC ，
得∠1＝∠2（ 等量代换 ），
所以AE∥GF（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【分析】根据邻补角的定义及题意得出∠BAG＝∠AGC，再根据角平分线的定义得到∠1＝∠2，即可判定AE∥GF．
解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（已知），
∠AGC+∠AGD＝180°（邻补角的定义），
所以∠BAG＝∠AGC（同角的补角相等），
因为EA平分∠BAG，
所以∠1＝∠BAG（角平分线的定义），
因为FG平分∠AGC，
所以∠2＝∠AGC，
得∠1＝∠2（等量代换），
所以AE∥GF（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：已知；邻补角的定义；同角的补角相等；∠BAG；角平分线的定义；∠AGC；等量代换；内错角相等，两直线平行．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟记“内错角相等，两直线平行”是解题的关键．
23．如图，∠ENC+∠CMG＝180°，AB∥CD．
（1）求证：∠2＝∠3．
（2）若∠A＝∠1+70°，∠ACB＝42°，求∠B的度数．
【分析】（1）根据对顶角相等可得出∠ENC+∠FMN＝180°，根据平行线的判定可得FG∥ED，由平行线的性质可得∠2＝∠D，∠3＝∠D，等量代换即可得出结论；
（2）由平行线的性质∠A+∠ACD＝180°，结合已知可得∠1+70°+∠1+42°＝180°，可求得∠1＝34°，根据平行线的性质即可求解．
【解答】（1）证明：∵∠ENC+∠CMG＝180°，∠CMG＝∠FMN，
∴∠ENC+∠FMN＝180°，
∴FG∥ED，
∴∠2＝∠D，
∵AB∥CD，
∴∠3＝∠D，
∴∠2＝∠3；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠A+∠ACD＝180°，
∵∠A＝∠1+70°，∠ACB＝42°，
∴∠1+70°+∠1+42°＝180°，
∴∠1＝34°，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠1＝34°．
【点评】此题主要考查了平行线的性质与判定定理，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．
24．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CBA＝70°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．
【分析】先利用三角形内角和定理可求∠CAB，在Rt△ACD中，易求∠DAC；再根据角平分线定义可求∠CBF、∠EAF，可得∠DAE的度数；然后利用三角形外角性质，可先求∠AFB，再次利用三角形外角性质，容易求出∠BOA．
解：∵∠CBA＝70°，∠C＝60°，
∴∠CAB＝180°﹣∠CBA﹣∠C＝180°﹣70°﹣60°＝50°，
又∵AD是高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣∠C═180°﹣90°﹣60°＝30°，
∵AE、BF是角平分线，
∴，，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAF＝30°﹣25°＝5°，
∠AFB＝∠C+∠CBF＝60°+35°＝95°，
∴∠BOA＝∠EAF+∠AFB＝25°+95°＝120°，
∴∠DAE＝5°，∠BOA＝120°．
【点评】本题考查三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质，三角形内角和是180°．
25．定义一种幂的新运算：xa⊕xb＝xab+xa+b，请利用这种运算规则解决下列问题：
（1）22⊕23＝ 96 ；
（2）2p＝3，2q＝5，3q＝6，求2p⊕2q的值；
【分析】（1）根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可；
（2）根据新定义的运算、幂的乘方的法则进行运算即可．
解：（1）22⊕23
＝22×3+22+3
＝26+25
＝64+32
＝96．
故答案为：96．
（2）当2p＝3，2q＝5，3q＝6时，
2p⊕2q
＝2pq+2p+q
＝（2p）q+2p×2q
＝3q+3×5
＝6+15
＝21．
【点评】本题考查了幂的乘方、新定义的运算；熟练掌握运算法则是解题的关键．
26．（1）观察下列各式的规律：
（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2；
（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4；
…
可得到（a﹣b）（a2020+a2019b+…+ab2019+b2020）＝ a2021﹣b2021 ．
（2）猜想：（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝ an﹣bn （其中n为正整数，且n≥2）．
（3）利用（2）猜想的结论计算：310﹣39+38﹣37+…+34﹣33+32﹣3．
【分析】（1）根据题目中的例题得到规律，则可以直接写出结果；
（2）根据（1）中的例子可以写出相应的猜想；
（3）把（2）中式子中的a＝3，b＝﹣1，n＝11代入即可求解．
解：（1）（a﹣b）（a2020+a2019b+…+ab2019+b2020）＝a2021﹣b2021，
故答案为：a2021﹣b2021；
（2）（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+⋯+abn﹣2+bn﹣1）＝an﹣bn，
故答案为：an﹣bn；
（3）设（2）中式子中的a＝3，b＝﹣1，n＝11，
则有[3﹣（﹣1）]（310+39•（﹣1）+⋯+3•（﹣1）9+（﹣1）10）＝311﹣（﹣1）11，
即4×（310﹣39+38﹣37+…+34﹣33+32﹣3﹣1）＝311+1，
∴，
∴．
【点评】本题考查了多项式乘多项式的规律问题，平方差公式，解题的关键是明确题意，利用猜想解答问题．
27．【感知】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，由图①可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题．
【探究】
（1）若x+y＝4，x2+y2＝2，则xy＝ 7 ；
（2）若m满足（m+3）2+（5﹣m）2＝56，求（m+3）（5﹣m）的值；
（3）如图②，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，E，F是BC，CD上的点，且BE＝DF，分别以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN．若长方形CEPF的面积为50，直接写出图中阴影部分的面积和为 116 ．
【分析】（1）参考题意，利用完全平方公式求解即可；
（2）利用完全平方公式变形求解即可；
（3）设BE＝DF＝x，则CF＝10﹣x，CE＝6﹣x，根据长方形面积，得到CF•CE＝（10﹣x）（6﹣x）＝50，再利用完全平方公式变形，得到（10﹣x）2+（6﹣x）2＝116，即CF2+CE2＝116，即可得到阴影部分的面积和．
解：（1）∵x+y＝4，
∴（x+y）2＝42＝16，即x2+2xy+y2＝16，
∵x2+y2＝2，
∴，
故答案为：7；
（2）∵[（m+3）+（5﹣m）]2＝（m+3）2+2（m+3）（5﹣m）+（5﹣m）2＝82＝64，且（m+3）2+（5﹣m）2＝56，
∴2（m+3）（5﹣m）＝64﹣56＝8，
∴（m+3）（5﹣m）＝4；
（3）设BE＝DF＝x，
∵长方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，
∴CD＝10，
∴CF＝10﹣x，CE＝6﹣x，
∵长方形CEPF的面积为50，
∴CF•CE＝（10﹣x）（6﹣x）＝50，
∵[（10﹣x）﹣（6﹣x）]2＝（10﹣x）2﹣2（10﹣x）（6﹣x）+（6﹣x）2＝42＝16，
∴（10﹣x）2+（6﹣x）2＝16+2×50＝116，
∵正方形CFGH和CEMN的面积和为CF2+CE2＝（10﹣x）2+（6﹣x）2＝116，
∴阴影部分的面积和为116．
故答案为：116．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式及其变形是解题关键．
28．如图，已知AB∥CD，P是直线AB，CD间的一点，PF⊥CD于点F，PE交AB于点E，∠FPE＝120°．
（1）∠AEP＝ 30 °；
（2）如图2，射线PN从PF出发，以每秒45°的速度绕P点按逆时针方向旋转，当PN垂直AB时，立刻按原速返回至PF后停止运动；射线EM从EA出发，以每秒20°的速度绕E点按逆时针方向旋转至EB后停止运动，若射线PN，射线EM同时开始运动，设运动时间为t秒．
①当∠MEP＝15°时，求∠EPN的度数；
②当EM∥PN时，求t的值．
【分析】（1）过点P作PG∥AB，则∠AEP＝∠EPG，根据平行线的判定和性质以及垂直的定义可得∠GPF＝∠PFC＝90°，再利用角的和差即可求解；
（2）①当∠MEP＝15°时，分两种情况，当ME在AE和EP之间，当ME在EP和EB之间，计算出ME的运动时间t，根据运动时间可计算出∠FPN，由已知可计算出∠EPN的度数；
②分三种情况，根据平行线的性质列出方程求解即可．
解：（1）过点P作PG∥AB，则∠AEP＝∠EPG，
∵AB∥CD，PF⊥CD，
∴PG∥AB∥CD，∠PFC＝90°，
∴∠GPF＝∠PFC＝90°，
∵，
∴∠AEP＝∠EPG＝30°，
故答案为：30；
（2）①当ME在AE和EP之间时，如图2，
∵∠AEP＝30°，∠MEP＝15°，
∴∠AEM＝15°，
∴射线ME运动的时间秒，
∴射线PN旋转的角度，
又∵∠EPF＝120°，
∴；
当ME在EP和EB之间时，如图3所示，
∵∠AEP＝30°，∠MEP＝15°，
∴∠AEM＝45°，
∴射线ME运动的时间秒，
∴射线PN旋转的角度，
又∵∠EPF＝120°，
∴；
∴∠EPN的度数为或或；
②I．当PN由PF运动如图4时EM∥PN，
根据题意可知，经过t秒，
则∠MEP＝∠EPN，即20t﹣30＝45t﹣120，
解得t＝（秒）；
Ⅱ．当PN垂直AB时，立刻按原速返回到EM∥PN时，PN与AB相交于点H，
根据题意可知，经过t秒，
则∠MEP＝∠EPN，即180°+90°﹣20t°＝45t°，
解得t＝；
Ⅲ．当PN由PG运动如图6时，EM∥PN，
根据题意可知，经过t秒，
则∠MEP+∠EPN＝180°，即20t﹣30+45（t﹣4）﹣60＝180，
解得t＝（秒），
∴当t的值为秒或秒或秒时，EM∥PN．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质以及一元一次方程的应用，正确理解题意、熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
1．下列计算正确的是（ ）
A．（a3）2＝a5B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．a•a3＝a4 D．（﹣3a）3＝﹣9a3
2．如图，下列结论中错误的是（ ）
A．∠1与∠2是同旁内角B．∠1与∠6是内错角
C．∠2与∠5是内错角D．∠3与∠5是同位角
3．下列各线段中，能与长为4，6的两线段组成三角形的是（ ）
A．2B．8C．10D．12
4．下列各式不能运用平方差公式计算的是（ ）
A．（a﹣2b）（a+2b）B．（﹣a+5）（﹣a﹣5）
C．（2x﹣1）（﹣1+2x）D．（﹣2x﹣y）（2x﹣y）
5．如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝41°时，则∠1＝（ ）
A．41°B．49°C．59°D．31°
6．已知a＝（﹣3）0，b＝，c＝（﹣2）﹣2，那么a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞cB．c＞b＞aC．b＞a＞cD．c＞a＞b
7．如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C＝210°，则∠P＝（ ）
A．10°B．15°C．30°D．40°
8．我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了（a+b）n展开式的系数规律．
当代数式x4﹣12x3+54x2﹣108x+81的值为1时，则x的值为（ ）
A．2B．﹣4C．2或4D．2或﹣4
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请把你认为正确的答案填写在答题纸相应位置。）
9．每到四月，许多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞，人们不堪其扰，据测定，杨絮纤维的直径约为0.0000105m，该数值用科学记数法表示为 ．
10．计算（﹣2a）2的结果是 ．
11．一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是 ．
12．若（x+a）（x+b）＝x2+4x+3，则a+b的值为 ．
13．如图，小明从点A出发，前进10m后向右转20°，再前进10m后又向右转20°，这样一直下去，直到他第一次回到出发点A为止，他所走的路径构成了一个多边形．那么小明一共走了 米．
14．如图，将周长为20个单位的△ABC沿边BC向右平移3个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为 ．
15．已知3x+1•5x+1＝152x﹣3，则x＝ ．
16．如图，BD是△ABC的中线，点E、F分别为BD、CE的中点，若△AEF的面积为3cm2，则△ABC的面积是 cm2．
17．已知（x﹣3）x﹣1＝1，则x的取值是 ．
18．如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．在三角形纸片ABC中，∠C＝100°，∠A＝∠B，将纸片沿着EF折叠，使得点A落在BC边上的点D处．设∠BED＝x°，则能使△BED和△CDF同时成为“准直角三角形”的x值为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共96分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案填写在答题纸相应位置。）
19．计算：
（1）
（2）（﹣2a2）3+4a2•a4﹣a8÷a2
20．计算：
（1）（﹣3ab）•（﹣2ab2+ab﹣2）；
（2）（2x+5）（2x﹣5）．
21．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示，现将△ABC平移，使点A变换为点D，点E、F分别是B、C的对应点．
（1）请画出平移后的△DEF；
（2）若连接AD、CF，则这两条线段之间的关系是 ；
（3）画出△ABC中BC边的高AP（利用网格点和直尺画图）；
（4）能使△QAB与△ABC面积相等的格点Q（C点除外）共有 个．
22．如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC，请说明AE∥GF的理由．
解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（ ），
∠AGC+∠AGD＝180°（ ），
所以∠BAG＝∠AGC（ ）．
因为EA平分∠BAG，
所以∠1＝ （ ）．
因为FG平分∠AGC，
所以∠2＝ ，
得∠1＝∠2（ ），
所以AE∥GF（ ）．
23．如图，∠ENC+∠CMG＝180°，AB∥CD．
（1）求证：∠2＝∠3．
（2）若∠A＝∠1+70°，∠ACB＝42°，求∠B的度数．
24．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CBA＝70°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．
25．定义一种幂的新运算：xa⊕xb＝xab+xa+b，请利用这种运算规则解决下列问题：
（1）22⊕23＝ ；
（2）2p＝3，2q＝5，3q＝6，求2p⊕2q的值；
26．（1）观察下列各式的规律：
（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2；
（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4；
…
可得到（a﹣b）（a2020+a2019b+…+ab2019+b2020）＝ ．
（2）猜想：（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝ （其中n为正整数，且n≥2）．
（3）利用（2）猜想的结论计算：310﹣39+38﹣37+…+34﹣33+32﹣3．
27．【感知】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，由图①可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题．
【探究】
（1）若x+y＝4，x2+y2＝2，则xy＝ ；
（2）若m满足（m+3）2+（5﹣m）2＝56，求（m+3）（5﹣m）的值；
（3）如图②，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，E，F是BC，CD上的点，且BE＝DF，分别以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN．若长方形CEPF的面积为50，直接写出图中阴影部分的面积和为 ．
28．如图，已知AB∥CD，P是直线AB，CD间的一点，PF⊥CD于点F，PE交AB于点E，∠FPE＝120°．
（1）∠AEP＝ °；
（2）如图2，射线PN从PF出发，以每秒45°的速度绕P点按逆时针方向旋转，当PN垂直AB时，立刻按原速返回至PF后停止运动；射线EM从EA出发，以每秒20°的速度绕E点按逆时针方向旋转至EB后停止运动，若射线PN，射线EM同时开始运动，设运动时间为t秒．
①当∠MEP＝15°时，求∠EPN的度数；
②当EM∥PN时，求t的值．
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题仅有一个答案正确，请把你认为正确的答案填写在答题纸相应位置。）
1．下列计算正确的是（ ）
A．（a3）2＝a5B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．a•a3＝a4 D．（﹣3a）3＝﹣9a3
【分析】根据幂的乘方与积的乘方的运算方法，同底数幂的乘法的运算方法，以及完全平方公式的应用，逐项判断即可．
解：∵（a3）2＝a6，
∴选项A不符合题意；
∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
∴选项B不符合题意；
∵a•a3＝a4 ，
∴选项C符合题意；
∵（﹣3a）3＝﹣27a3，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了幂的乘方与积的乘方的运算方法，同底数幂的乘法的运算方法，以及完全平方公式的应用，要熟练掌握．
2．如图，下列结论中错误的是（ ）
A．∠1与∠2是同旁内角B．∠1与∠6是内错角
C．∠2与∠5是内错角D．∠3与∠5是同位角
【分析】直接利用同旁内角以及内错角、同位角的定义分别判断得出答案．
解：A、∠1与∠2是同旁内角，正确，不合题意；
B、∠1与∠6是内错角，正确，不合题意；
C、∠2与∠5不是内错角，故C错误，符合题意；
D、∠3与∠5是同位角，正确，不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了同旁内角以及内错角、同位角的定义，正确掌握相关定义是解题关键．
3．下列各线段中，能与长为4，6的两线段组成三角形的是（ ）
A．2B．8C．10D．12
【分析】设组成三角形的第三边长为x，根据三角形的三边关系可得不等式6﹣4＜x＜6+4，进而可得x的范围，然后可得答案．
解：设组成三角形的第三边长为x，由题意得：
6﹣4＜x＜6+4，
即：2＜x＜10，
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边．
4．下列各式不能运用平方差公式计算的是（ ）
A．（a﹣2b）（a+2b）B．（﹣a+5）（﹣a﹣5）
C．（2x﹣1）（﹣1+2x）D．（﹣2x﹣y）（2x﹣y）
【分析】运用平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
解：C、两项都是相同的项，不能运用平方差公式；
A、B、D中均存在相同和相反的项，
故选：C．
【点评】本题考查了平方差公式的应用，熟记公式是解题的关键．
5．如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝41°时，则∠1＝（ ）
A．41°B．49°C．59°D．31°
【分析】根据∠1+∠3+90°＝180°，计算即可．
解：如图：
∵直尺的对边平行，∠2＝41°，
∴∠2＝∠3＝41°，
∵∠1+∠3+90°＝180°，
∴∠1＝180°﹣∠3﹣90°＝49°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，平角的定义，熟知两直线平行，同位角相等是解题的关键．
6．已知a＝（﹣3）0，b＝，c＝（﹣2）﹣2，那么a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞cB．c＞b＞aC．b＞a＞cD．c＞a＞b
【分析】根据负整数幂的意义以及零指数幂的意义即可求出答案．
解：a＝1，b＝3，c＝，
∴c＜a＜b，
故选：C．
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是正确理解负整数指数幂以及零指数幂的意义，本题属于基础题型．
7．如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C＝210°，则∠P＝（ ）
A．10°B．15°C．30°D．40°
【分析】利用四边形内角和是360°可以求得∠DAB+∠ABC＝150°．然后由角平分线的性质，邻补角的定义求得∠PAB+∠ABP的度数，所以根据△ABP的内角和定理求得∠P的度数即可．
解：如图，∵∠D+∠C＝210°，∠DAB+∠ABC+∠C+∠D＝360°，
∴∠DAB+∠ABC＝150°．
又∵∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，
∴∠PAB+∠ABP＝∠DAB+∠ABC+（180°﹣∠ABC）＝90°+（∠DAB+∠ABC）＝165°，
∴∠P＝180°﹣（∠PAB+∠ABP）＝15°．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、多边形的内角与外角．熟知“四边形的内角和是360°”是解题的关键．
8．我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了（a+b）n展开式的系数规律．
当代数式x4﹣12x3+54x2﹣108x+81的值为1时，则x的值为（ ）
A．2B．﹣4C．2或4D．2或﹣4
【分析】观察题中的图表，表示出（a+b）4，根据已知代数式的值为1，确定出x的值即可．
解：根据题意得：（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，
∴x4﹣12x3+54x2﹣108x+81
＝x4+4x3•（﹣3）+6x2•（﹣3）2+4x•（﹣3）3+（﹣3）4
＝（x﹣3）4，
∴（x﹣3）4＝1，
开四次方得：x﹣3＝1或x﹣3＝﹣1，
解得：x＝2或4．
故选：C．
【点评】此题考查了完全平方公式，以及数学常识，弄清杨辉三角中的展开式规律是解本题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请把你认为正确的答案填写在答题纸相应位置。）
9．每到四月，许多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞，人们不堪其扰，据测定，杨絮纤维的直径约为0.0000105m，该数值用科学记数法表示为 1.05×10﹣5 ．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：杨絮纤维的直径约为0.0000105m，该数值用科学记数法表示为1.05×10﹣5．
故答案为：1.05×10﹣5．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
10．计算（﹣2a）2的结果是 4a2 ．
【分析】根据积的乘方的运算方法，求出（﹣2a）2的结果即可．
解：（﹣2a）2＝（﹣2）2a2＝4a2．
故答案为：4a2．
【点评】此题主要考查了幂的乘方和积的乘方，解答此题的关键是要明确：①（am）n＝amn（m，n是正整数）；②（ab）n＝anbn（n是正整数）．
11．一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是 八 ．
【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可．
解：设多边形的边数是n，根据题意得，
（n﹣2）•180°＝3×360°，
解得n＝8，
∴这个多边形为八边形．
故答案为：八．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键，要注意“八”不能用阿拉伯数字写．
12．若（x+a）（x+b）＝x2+4x+3，则a+b的值为 4 ．
【分析】根据多项式乘多项式法则，把已知等式左边的括号去掉，进行合并，然后根据计算结果，求出a+b即可．
解：∵（x+a）（x+b）＝x2+4x+3，
x2+bx+ax+ab＝x2+4x+3，
x2+（a+b）x+ab＝x2+4x+3，
∴a+b＝4，ab＝3，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则．
13．如图，小明从点A出发，前进10m后向右转20°，再前进10m后又向右转20°，这样一直下去，直到他第一次回到出发点A为止，他所走的路径构成了一个多边形．那么小明一共走了 180 米．
【分析】第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个外角是20度的正多边形，求得正多边形的边数，进而求得小明走的路程即可．
解：∵所经过的路线正好构成一个外角是20度的正多边形，
∴360÷20＝18，
∵18×10＝180（米），
∴淇淇一共走了180米，
故答案为：180．
【点评】本题考查了正多边形的外角，掌握正多边形的外角以及多边形的内角和是解题的关键．
14．如图，将周长为20个单位的△ABC沿边BC向右平移3个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为 26． ．
【分析】由将周长为20个单位的△ABC沿边BC向右平移3个单位得到△DEF，根据平移的性质得到BE＝AD＝3，EF＝BC，DF＝AC，然后利用周长的定义可计算出四边形ABFD的周长．
解：根据题意，将周长为20个单位的等边△ABC沿边BC向右平移3个单位得到△DEF，
∴AD＝3，BF＝BC+CF＝BC+3，DF＝AC；
又∵AB+BC+AC＝20，
∴四边形ABFD的周长＝AD+AB+BF+DF＝3+AB+BC+3+AC＝26．
故答案为：26．
【点评】本题考查平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．得到CF＝AD，DF＝AC是解题的关键．
15．已知3x+1•5x+1＝152x﹣3，则x＝ 4 ．
【分析】利用积的乘方的法则对已知条件进行整理，可得到x+1＝2x﹣3，从而可求x的值．
解：∵3x+1•5x+1＝152x﹣3，
∴（3×5）x+1＝152x﹣3，
即15x+1＝152x﹣3，
∴x+1＝2x﹣3，
解得：x＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查积的乘方，解答的关键是熟记积的乘方的法则并灵活运用．
16．如图，BD是△ABC的中线，点E、F分别为BD、CE的中点，若△AEF的面积为3cm2，则△ABC的面积是 12 cm2．
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．
解：∵F是CE的中点，，
∴，
∵E是BD的中点，
∴S△ADE＝S△ABE，S△CDE＝S△BCE，
∴，
∴△ABC的面积＝12cm2．
故答案为：12．
【点评】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．
17．已知（x﹣3）x﹣1＝1，则x的取值是 1或4 ．
【分析】根据零指数幂以及有理数的乘方即可求出答案．
解：当x﹣3＝1时，
此时x＝4，原式＝1，满足题意，
当x﹣3＝﹣1时，
此时x＝2，原式＝﹣1，不满足题意，
当x﹣1＝0时，
此时x＝1，原式＝（﹣2）0＝1，满足题意，
故答案为：1或4
【点评】本题考查零指数幂的意义，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．
18．如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．在三角形纸片ABC中，∠C＝100°，∠A＝∠B，将纸片沿着EF折叠，使得点A落在BC边上的点D处．设∠BED＝x°，则能使△BED和△CDF同时成为“准直角三角形”的x值为 10 ．
【分析】由∠C＝100°，∠A＝∠B，得∠A＝∠B＝40°，根据将纸片沿着EF折叠，使得点A落在BC边上的点D处，可得∠EDF＝∠A＝40°，当△BED为“准直角三角形”时，2x+40°＝90°或x+2×40°＝90°，可解得x＝25°或x＝10°，①当x＝25°时，即∠DEB＝25°，可得∠CFD＝55°，2∠CDF+∠CFD＝105°，2∠CFD+∠CDF＝135°，故△CDF不是“准直角三角形”；②当x＝10°时，即∠DEB＝10°，可得∠CFD＝180°﹣∠C﹣∠CDF＝70°，2∠CDF+∠CFD＝90°，△CDF是“准直角三角形”，即可得到答案．
解：∵∠C＝100°，∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝40°，
∵将纸片沿着EF折叠，使得点A落在BC边上的点D处，
∴∠EDF＝∠A＝40°，
当△BED为“准直角三角形”时，2∠DEB+∠B＝90°或∠DEB+2∠B＝90°，
∴2x+40°＝90°或x+2×40°＝90°，
∴x＝25°或x＝10°，
①当x＝25°时，即∠DEB＝25°，
∴∠CDE＝∠DEB+∠B＝65°，
∴∠CDF＝∠CDE﹣∠EDF＝25°，
∴∠CFD＝180°﹣∠C﹣∠CDF＝55°，
此时2∠CDF+∠CFD＝105°，2∠CFD+∠CDF＝135°，
∴△CDF不是“准直角三角形”；
②当x＝10°时，即∠DEB＝10°，
∴∠CDE＝∠DEB+∠B＝50°，
∴∠CDF＝∠CDE﹣∠EDF＝10°，
∴∠CFD＝180°﹣∠C﹣∠CDF＝70°，
此时2∠CDF+∠CFD＝90°，
∴△CDF是“准直角三角形”；
综上所述，能使△BED和△CDF同时成为“准直角三角形”的x值为10，
故答案为：10．
【点评】本题考查三角形中的折叠问题，涉及新定义，解题的关键是读懂“准直角三角形”的定义及分类讨论思想的应用．
三、解答题（本大题共10小题，共96分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案填写在答题纸相应位置。）
19．计算：
（1）
（2）（﹣2a2）3+4a2•a4﹣a8÷a2
【分析】（1）根据负整数指数幂、零指数幂、实数的混合运算进行计算即可；
（2）先算幂的乘方，同底数幂的乘除法，再合并同类项即可．
解：（1）
＝﹣1×4+9+1
＝6；
（2）（﹣2a2）3+4a2•a4﹣a8÷a2
＝﹣8a6+4a6﹣a6
＝﹣5a6．
【点评】本题考查了负整数指数幂、零指数幂、实数的混合运算、幂的乘方，同底数幂的乘除法法则；熟练掌握以上运算法则是解题的关键．
20．计算：
（1）（﹣3ab）•（﹣2ab2+ab﹣2）；
（2）（2x+5）（2x﹣5）．
【分析】（1）利用单项式乘多项式的法则计算即可求解；
（2）直接利用平方差公式计算即可求解．
解：（1）（﹣3ab）•（﹣2ab2+ab﹣2）
＝6a2b3﹣3a2b2+6ab；
（2）（2x+5）（2x﹣5）
＝4x2﹣25．
【点评】本题考查了整式的运算，关键是四则混合运算的应用．
21．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示，现将△ABC平移，使点A变换为点D，点E、F分别是B、C的对应点．
（1）请画出平移后的△DEF；
（2）若连接AD、CF，则这两条线段之间的关系是 平行且相等 ；
（3）画出△ABC中BC边的高AP（利用网格点和直尺画图）；
（4）能使△QAB与△ABC面积相等的格点Q（C点除外）共有 5 个．
【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的△DEF即可；
（2）根据图形平移的性质可直接得出结论；
（3）找出点G，连接AG，使得AG＝BC，且以AG和BC为直角边的三角形全等，AG与BC交于点P，即为所求；
（4）过点C作直线l∥AB，满足条件的格点Q在直线l上．
解：（1）如图：
（2）∵A、C的对应点分别是D、F，
∴连接AD、CF，则这两条线段之间的关系是平行且相等，
故答案为：平行且相等．
（3）如图：找出点G，连接AG，使得AG＝BC，且以AG和BC为直角边的三角形全等，AG与BC交于点P，即为所求．
（4）过点C作直线l∥AB，如图：满足要求的格点Q有4个．
故答案为：5．
【点评】本题考查了平移作图，平移的性质、三角形的高、格点作图等；熟练掌握平移的性质是解题的关键．
22．如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC，请说明AE∥GF的理由．
解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（ 已知 ），
∠AGC+∠AGD＝180°（ 邻补角的定义 ），
所以∠BAG＝∠AGC（ 同角的补角相等 ）．
因为EA平分∠BAG，
所以∠1＝ ∠BAG （ 角平分线的定义 ）．
因为FG平分∠AGC，
所以∠2＝ ∠AGC ，
得∠1＝∠2（ 等量代换 ），
所以AE∥GF（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【分析】根据邻补角的定义及题意得出∠BAG＝∠AGC，再根据角平分线的定义得到∠1＝∠2，即可判定AE∥GF．
解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（已知），
∠AGC+∠AGD＝180°（邻补角的定义），
所以∠BAG＝∠AGC（同角的补角相等），
因为EA平分∠BAG，
所以∠1＝∠BAG（角平分线的定义），
因为FG平分∠AGC，
所以∠2＝∠AGC，
得∠1＝∠2（等量代换），
所以AE∥GF（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：已知；邻补角的定义；同角的补角相等；∠BAG；角平分线的定义；∠AGC；等量代换；内错角相等，两直线平行．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟记“内错角相等，两直线平行”是解题的关键．
23．如图，∠ENC+∠CMG＝180°，AB∥CD．
（1）求证：∠2＝∠3．
（2）若∠A＝∠1+70°，∠ACB＝42°，求∠B的度数．
【分析】（1）根据对顶角相等可得出∠ENC+∠FMN＝180°，根据平行线的判定可得FG∥ED，由平行线的性质可得∠2＝∠D，∠3＝∠D，等量代换即可得出结论；
（2）由平行线的性质∠A+∠ACD＝180°，结合已知可得∠1+70°+∠1+42°＝180°，可求得∠1＝34°，根据平行线的性质即可求解．
【解答】（1）证明：∵∠ENC+∠CMG＝180°，∠CMG＝∠FMN，
∴∠ENC+∠FMN＝180°，
∴FG∥ED，
∴∠2＝∠D，
∵AB∥CD，
∴∠3＝∠D，
∴∠2＝∠3；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠A+∠ACD＝180°，
∵∠A＝∠1+70°，∠ACB＝42°，
∴∠1+70°+∠1+42°＝180°，
∴∠1＝34°，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠1＝34°．
【点评】此题主要考查了平行线的性质与判定定理，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．
24．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CBA＝70°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．
【分析】先利用三角形内角和定理可求∠CAB，在Rt△ACD中，易求∠DAC；再根据角平分线定义可求∠CBF、∠EAF，可得∠DAE的度数；然后利用三角形外角性质，可先求∠AFB，再次利用三角形外角性质，容易求出∠BOA．
解：∵∠CBA＝70°，∠C＝60°，
∴∠CAB＝180°﹣∠CBA﹣∠C＝180°﹣70°﹣60°＝50°，
又∵AD是高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣∠C═180°﹣90°﹣60°＝30°，
∵AE、BF是角平分线，
∴，，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAF＝30°﹣25°＝5°，
∠AFB＝∠C+∠CBF＝60°+35°＝95°，
∴∠BOA＝∠EAF+∠AFB＝25°+95°＝120°，
∴∠DAE＝5°，∠BOA＝120°．
【点评】本题考查三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质，三角形内角和是180°．
25．定义一种幂的新运算：xa⊕xb＝xab+xa+b，请利用这种运算规则解决下列问题：
（1）22⊕23＝ 96 ；
（2）2p＝3，2q＝5，3q＝6，求2p⊕2q的值；
【分析】（1）根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可；
（2）根据新定义的运算、幂的乘方的法则进行运算即可．
解：（1）22⊕23
＝22×3+22+3
＝26+25
＝64+32
＝96．
故答案为：96．
（2）当2p＝3，2q＝5，3q＝6时，
2p⊕2q
＝2pq+2p+q
＝（2p）q+2p×2q
＝3q+3×5
＝6+15
＝21．
【点评】本题考查了幂的乘方、新定义的运算；熟练掌握运算法则是解题的关键．
26．（1）观察下列各式的规律：
（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2；
（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4；
…
可得到（a﹣b）（a2020+a2019b+…+ab2019+b2020）＝ a2021﹣b2021 ．
（2）猜想：（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝ an﹣bn （其中n为正整数，且n≥2）．
（3）利用（2）猜想的结论计算：310﹣39+38﹣37+…+34﹣33+32﹣3．
【分析】（1）根据题目中的例题得到规律，则可以直接写出结果；
（2）根据（1）中的例子可以写出相应的猜想；
（3）把（2）中式子中的a＝3，b＝﹣1，n＝11代入即可求解．
解：（1）（a﹣b）（a2020+a2019b+…+ab2019+b2020）＝a2021﹣b2021，
故答案为：a2021﹣b2021；
（2）（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+⋯+abn﹣2+bn﹣1）＝an﹣bn，
故答案为：an﹣bn；
（3）设（2）中式子中的a＝3，b＝﹣1，n＝11，
则有[3﹣（﹣1）]（310+39•（﹣1）+⋯+3•（﹣1）9+（﹣1）10）＝311﹣（﹣1）11，
即4×（310﹣39+38﹣37+…+34﹣33+32﹣3﹣1）＝311+1，
∴，
∴．
【点评】本题考查了多项式乘多项式的规律问题，平方差公式，解题的关键是明确题意，利用猜想解答问题．
27．【感知】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，由图①可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题．
【探究】
（1）若x+y＝4，x2+y2＝2，则xy＝ 7 ；
（2）若m满足（m+3）2+（5﹣m）2＝56，求（m+3）（5﹣m）的值；
（3）如图②，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，E，F是BC，CD上的点，且BE＝DF，分别以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN．若长方形CEPF的面积为50，直接写出图中阴影部分的面积和为 116 ．
【分析】（1）参考题意，利用完全平方公式求解即可；
（2）利用完全平方公式变形求解即可；
（3）设BE＝DF＝x，则CF＝10﹣x，CE＝6﹣x，根据长方形面积，得到CF•CE＝（10﹣x）（6﹣x）＝50，再利用完全平方公式变形，得到（10﹣x）2+（6﹣x）2＝116，即CF2+CE2＝116，即可得到阴影部分的面积和．
解：（1）∵x+y＝4，
∴（x+y）2＝42＝16，即x2+2xy+y2＝16，
∵x2+y2＝2，
∴，
故答案为：7；
（2）∵[（m+3）+（5﹣m）]2＝（m+3）2+2（m+3）（5﹣m）+（5﹣m）2＝82＝64，且（m+3）2+（5﹣m）2＝56，
∴2（m+3）（5﹣m）＝64﹣56＝8，
∴（m+3）（5﹣m）＝4；
（3）设BE＝DF＝x，
∵长方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，
∴CD＝10，
∴CF＝10﹣x，CE＝6﹣x，
∵长方形CEPF的面积为50，
∴CF•CE＝（10﹣x）（6﹣x）＝50，
∵[（10﹣x）﹣（6﹣x）]2＝（10﹣x）2﹣2（10﹣x）（6﹣x）+（6﹣x）2＝42＝16，
∴（10﹣x）2+（6﹣x）2＝16+2×50＝116，
∵正方形CFGH和CEMN的面积和为CF2+CE2＝（10﹣x）2+（6﹣x）2＝116，
∴阴影部分的面积和为116．
故答案为：116．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式及其变形是解题关键．
28．如图，已知AB∥CD，P是直线AB，CD间的一点，PF⊥CD于点F，PE交AB于点E，∠FPE＝120°．
（1）∠AEP＝ 30 °；
（2）如图2，射线PN从PF出发，以每秒45°的速度绕P点按逆时针方向旋转，当PN垂直AB时，立刻按原速返回至PF后停止运动；射线EM从EA出发，以每秒20°的速度绕E点按逆时针方向旋转至EB后停止运动，若射线PN，射线EM同时开始运动，设运动时间为t秒．
①当∠MEP＝15°时，求∠EPN的度数；
②当EM∥PN时，求t的值．
【分析】（1）过点P作PG∥AB，则∠AEP＝∠EPG，根据平行线的判定和性质以及垂直的定义可得∠GPF＝∠PFC＝90°，再利用角的和差即可求解；
（2）①当∠MEP＝15°时，分两种情况，当ME在AE和EP之间，当ME在EP和EB之间，计算出ME的运动时间t，根据运动时间可计算出∠FPN，由已知可计算出∠EPN的度数；
②分三种情况，根据平行线的性质列出方程求解即可．
解：（1）过点P作PG∥AB，则∠AEP＝∠EPG，
∵AB∥CD，PF⊥CD，
∴PG∥AB∥CD，∠PFC＝90°，
∴∠GPF＝∠PFC＝90°，
∵，
∴∠AEP＝∠EPG＝30°，
故答案为：30；
（2）①当ME在AE和EP之间时，如图2，
∵∠AEP＝30°，∠MEP＝15°，
∴∠AEM＝15°，
∴射线ME运动的时间秒，
∴射线PN旋转的角度，
又∵∠EPF＝120°，
∴；
当ME在EP和EB之间时，如图3所示，
∵∠AEP＝30°，∠MEP＝15°，
∴∠AEM＝45°，
∴射线ME运动的时间秒，
∴射线PN旋转的角度，
又∵∠EPF＝120°，
∴；
∴∠EPN的度数为或或；
②I．当PN由PF运动如图4时EM∥PN，
根据题意可知，经过t秒，
则∠MEP＝∠EPN，即20t﹣30＝45t﹣120，
解得t＝（秒）；
Ⅱ．当PN垂直AB时，立刻按原速返回到EM∥PN时，PN与AB相交于点H，
根据题意可知，经过t秒，
则∠MEP＝∠EPN，即180°+90°﹣20t°＝45t°，
解得t＝；
Ⅲ．当PN由PG运动如图6时，EM∥PN，
根据题意可知，经过t秒，
则∠MEP+∠EPN＝180°，即20t﹣30+45（t﹣4）﹣60＝180，
解得t＝（秒），
∴当t的值为秒或秒或秒时，EM∥PN．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质以及一元一次方程的应用，正确理解题意、熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
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