湖北省内地西藏班（校）2024届九年级下学期4月期中考试数学试卷(含解析)

这是一份湖北省内地西藏班（校）2024届九年级下学期4月期中考试数学试卷(含解析)，共22页。

1．全卷共4大页，三大题，满分120分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，不选、错选获多选均不得分）
1. 2024的相反数是（ ）
A. B. 2024C. D.
答案：A
解析：
详解：解：2024的相反数是，
故选：A．
2. 2024年1月国家统计局公布最新人口数据，2023年末全国人口总数1409670000人，将1409670000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
详解：解：，
故选：C．
3. 围棋起于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑、白棋子摆成的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
详解：解：∵沿着一条直线折叠，直线两边的部分能完全重合的图形为轴对称图形，
∴为轴对称图形，
故选：D．
4. 下列算式中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
详解：解：A、，故该选项错误，不符合题意；
B、，故该选项错误，不符合题意；
C、，故该选项错误，不符合题意；
D、，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
5. 在第46个植树节来临之际，某校师生积极践行“绿水青山就是金山银山”理念，开展以小组为单位的植树活动，七个小组植树情况如下：
则本组数据的众数与中位数分别为（ ）
A. 5，4B. 5，5C. 6，4D. 6，5
答案：B
解析：
详解：解：∵植树为5棵的班级有3个，班级数最多，
∴众数为5；
把植树数量从低到高排列，处在最中间的植树为5棵，
∴中位数为5，
故选：B．
6. 如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（ ）
A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°
答案：C
解析：
详解：试题分析：过点D作DE∥a，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ADC=90°，∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣60°=30°，∵a∥b，∴DE∥a∥b，∴∠4=∠3=30°，∠2=∠5，∴∠2=90°﹣30°=60°．故选C．
考点：1矩形；2平行线的性质.
7. 不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组可能为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：
详解：由数轴上表示不等式解集的方法可知，该不等式组的解集为：，
、的解集为，不符合题意；
、的解集为，符合题意；
、的解集为，不符合题意；
、的解集为，不符合题意；
故选：．
8. 如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆的半径为r，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于90°，则r与R之间的关系是（ ）
A. R＝2r；B. ；C. R＝3r；D. R＝4r．
答案：D
解析：
详解：解：扇形的弧长是：，
圆的半径为r，则底面圆的周长是2πr，
圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到：
∴即：R=4r，
r与R之间的关系是R=4r．
故选D．
9. 已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
详解：解：因为，故只需保证即可使得，
A、如图所示：此时，则无法得出，故不能得出，故本选项不符合题意；
B、如图所示：此时，则无法得出，故不能得出，故本选项不符合题意；
C、如图所示：此时，则无法得出，故不能得出，故本选项不符合题意；
D、如图所示：此时，故能得出，本选项符合题意．
故选：D．
10. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为( )
A. B. C. 或D. 或
答案：B
解析：
详解：解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴并且，
解得或，
∵，
∴．
故选：B
11. 甲、乙两车在同一直线上从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早出发2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲、乙两车离开A地的距离y(km)与甲行驶时间x(h)的函数图象．根据图中提供的信息，有下列说法：（1）m的值为1；（2）a的值为40；（3）乙车比甲车早h到达B地． 其中正确的有（ ）
A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个
答案：A
解析：
详解：解：由题意，得m=1.5-0.5=1．故（1）正确，
甲的速度为：120÷（3.5-0.5）=40（km/h），
则a= =40，故（2）正确；
乙的速度为：120÷（3.5-2）=80km/h（千米/小时），
设甲车休息之后行驶路程y（km）与时间x（h）的函数关系式为y=kx+b，由题意，得

解得： ，
y=40x-20，
根据图形得知：甲、乙两车中先到达B地的是乙车，
把y=260代入y=40x-20得，x=7，
∵乙车的行驶速度：80km/h，
∴乙车的行驶260km需要260÷80=3.25h，
，
∴甲比乙迟到达B地，故（3）正确；
故选：A．
12. 定义：点P、点Q分别为两个图形、上任一点，如果线段的长度存在最小值时，就称该最小值为图形和的“近距离”；如果线段的长度存在最大值时，就称该最大值为图形和的“远距离”．线段和是平面直角坐标系中的两个图形，其中，点，，半径为1．下列关于线段与的“距离”说法，正确的是（ ）
A. “近距离”是4B. “近距离”是5C. “远距离”是6D. “远距离”是8
答案：C
解析：
详解：如图所示，
点距离线段最近，为与线段的近距离，，，
点距离线段最远，为与线段的远距离，，，
，
．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上，不填、错填不得分）
13. 若式子在实数范围内有意义，则x取值范围是___________．
答案：x≠1
解析：
详解：∵式子在实数范围内有意义，
∴x-1≠0，
解得：x≠1．
故答案是：x≠1．
14. 分解因式： ______________．
答案：
解析：
详解：解：由题意知，，
故答案为：．
15. 设是一元二次方程的两根，则__________．
答案：
解析：
详解：解：解：∵是一元二次方程两根，
∴，
∴，
故答案为：．
16. 如图，线段是的直径，弦于点E，，，则的长为_____．
答案：
解析：
详解：如图，连接，
∵，
∴，
设，
∵，
∴，
由，得，
解得：，
即，
∵，
∴，
则．
故答案为：
17. 如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转38所得到的图形，点C恰好在AB上，，则的度数是_____．
答案：57°
解析：
详解：由旋转的性质可知：∠AOC=∠BOD=38°，
∵点C恰好在AB上，
∴OA=OC，∠OCA=∠A=(180°-38°)÷2=71°，
又∵∠AOD=90°，
∴∠COB=90°-2×38°=14°，
则根据三角形外角定理：∠B=∠OCA-∠COB=71°-14°=57°，
故答案为：57°．
18. 如图，四边形是菱形，，且，M为对角线（不含点B）上任意一点，则最小值为__________．

答案：
解析：
详解：如图，过点作于，过点作于．

四边形是菱形，，∴，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共9小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：
答案：
解析：
详解：解：
．
20. 先化简，再求值：，其中．
答案：，
解析：
详解：解：原式
，
将代入，则原式．
21. 在中，E、F分别是、边上的点，且．求证：．
答案：见详解
解析：
详解：证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴，
∴．
22. 为推广阳光体育“大课间”活动，我市某中学决定在学生中开设A：实心球．B：立定跳远，C：跳绳，D：跑步四种活动项目．为了了解学生对四种项目的喜欢情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图①②的统计图．请结合图中的信息解答下列问题：
（1）在这项调查中，共调查了多少名学生？
（2）请计算本项调查中喜欢“立定跳远”的学生人数和所占百分比，并将两个统计图补充完整；
（3）若调查到喜欢“跳绳”的5名学生中有3名男生，2名女生．现从这5名学生中任意抽取2名学生．请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到同性别学生的概率．
答案：（1）在这项调查中，共调查了150名学生；
（2）本项调查中喜欢“立定跳远”的学生人数是45人，所占百分比是30%，图形见解析；
（3）刚好抽到同性别学生的概率是．
解析：
详解：试题解析：（1）根据题意得：
15÷10%=150（名）．
答：在这项调查中，共调查了150名学生；
（2）本项调查中喜欢“立定跳远”的学生人数是；150﹣15﹣60﹣30=45（人），
所占百分比是：×100%=30%，
画图如下：
（3）用A表示男生，B表示女生，画图如下：
共有20种情况，同性别学生的情况是8种，
则刚好抽到同性别学生的概率是=．
考点：1.条形统计图2.扇形统计图3.列表法与树状图法．
23. 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼的顶部B处的俯角为，长为米．已知目高为米．

（1）求教学楼的高度．
（2）若无人机保持现有高度沿平行于的方向，以米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线．
答案：（1）教学楼的高度为米
（2）无人机刚好离开视线的时间为12秒
解析：
小问1详解：
解：过点B作于点G，
根据题意可得：，米，，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴米，
∵，，
∴，
∴，
∴米，
∵长为米，
∴（米），
答：教学楼的高度为米．
小问2详解：
解：连接并延长，交于点H，
∵米，米，
∴米，
∵米， ，
∴，
∴，米，
∴（米），
∵无人机以米/秒的速度飞行，
∴离开视线的时间为：（秒），
答：无人机刚好离开视线的时间为12秒．

24. 如图，正比例函数y1=﹣3x的图象与反比例函数y2=的图象交于A、B两点．点C在x轴负半轴上，AC=AO，△ACO的面积为12．
（1）求k的值；
（2）根据图象，当y1＞y2时，写出x的取值范围．
答案：（1）k=-12； （2）x＜﹣2或0＜x＜2．
解析：
详解：试题分析：(1)过点A作AD垂直于OC,由,得到,确定出△ADO与△ACO面积,即可求出k的值; (2)根据函数图象,找出满足题意x的范围即可.
解：（1）如图，过点A作AD⊥OC，
∵AC=AO，
∴CD=DO，
∴S△ADO=S△ACD=6，
∴k=-12；
（2）根据图象得：当y1＞y2时，x的范围为x＜﹣2或0＜x＜2．
25. 端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某超市预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价与节后的进价比为，节前用1200元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少20千克．根据以上信息，解答下列问题：
（1）该超市节后每千克A粽子的进价是多少元？
（2）如果该超市计划在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，那么该超市节前至多购进A粽子多少千克？
答案：（1）10元 （2）300千克
解析：
小问1详解：
解：设超市节前每千克粽子的进价是元，则节后进价为元，
由题意得：，
解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴节后进价为元，
答：超市节后每千克粽子的进价是10元．
小问2详解：
解：节前每千克粽子的进价为元，
设超市节前购进A粽子y千克，则节后购进千克，
由题意得：，
解得：，
∴该超市节前至多购进A粽子300千克．
26. 如图，在中，为上一点，以点为圆心，为半径作圆，与相切于点，过点作交的延长线于点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
答案：（1）见解析 （2）的半径为
解析：
小问1详解：
证明：过点作于点，
，
，
，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
和中，
，
，
，
，
是的切线；
小问2详解：
解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
即的半径为．
27. 如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度向点做匀速运动，同时动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为秒，问两点运动多久后的面积最大，最大面积是多少？
（3）如图2，点为抛物线上一动点，直线交轴于点，直线交轴于点，直接写出的值．
答案：（1）
（2）
（3）
解析：
小问1详解：
解：抛物线与轴交于点和，
，
解得：，
抛物线的解析式为；
小问2详解：
在抛物线，令，则
，
，
，，
，，
是等腰直角三角形，，
，
过点作于点，如图，
根据运动的特点，可得：，，
，
，，
的取值范围为：，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，，
，
，
，
，
当时，有最大值，最大值为；
小问3详解：
根据题意，设点的坐标为：，设直线的解析式为：，
，
，
解得，
即直线的解析式为：，
令，，
，
，
，
同理可求出直线的解析式为：，
令，，
，
，
根据题意可知：若，则可知、、、四点重合，此时不符合题意，
故，
．第一组
第二组
第三组
第四组
第五组
第六组
第七组
数量（棵）
5
6
5
4
6
5
7