湖北省咸宁市联考2024届九年级下学期中考模拟数学试卷(含解析)

这是一份湖北省咸宁市联考2024届九年级下学期中考模拟数学试卷(含解析)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.-2024的倒数是( )
A. -2024B. 2024C. -12024D. 12024
2.下列运算正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. 2 5- 5=2C. 2× 3= 6D. 6÷ 3=2
3.中国“二十四节气“已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春“、“谷雨“、“白露“、“大雪”，其中是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.下列说法正确的是( )
A. 检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用抽样调查
B. 任意画一个三角形，其外角和是180°是必然事件
C. 数据4，9，5，7的中位数是6
D. 甲、乙两组数据的方差分别是s甲2=0.4，s乙2=2，则乙组数据比甲组数据稳定
5.如图，AB/​/CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，∠1=70°，则∠3的度数为( )
A. 70°
B. 80°
C. 40°
D. 30°
6.如图，在平面直角坐标系中，OA=AB，且∠OAB=90°，A(-1,3)则点B的坐标是( )
A. (1,4)
B. (2,4)
C. (3,4 )
D. (4,4)
7.《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，在中国古代数学史上有着重要地位.其中有一个“酒分醇醨”问题：务中听得语吟吟，亩道醇醨酒二盆.醇酒一升醉三客，醨酒三升醉一人.共通饮了一斗七，一十九客醉醺醺.欲问高明能算士，几何醨酒几多醇？其大意为：有好酒和薄酒分别装在瓶中，好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，试问好酒、薄酒各有多少升？若设好酒有x升，薄酒有y升，根据题意列方程组为( )
A. x+y=173x+13y=19B. x+y=193x+13y=17C. x+y=1913x+3y=17D. x+y=1713x+3y=19
8.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，若S△ACD=3，则S△ABC=( )
A. 5B. 6C. 8D. 9
9.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，C为切点，AB的延长线交直线CD于点E，连接AC，BC.若∠ACD=60°，AC=3，则BE的长度是( )
A. 3
B. 32
C. 2 3-2
D. 3 34
10.下表列出了二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)的自变量x与函数y的几组对应值：n>0．
有下列四个结论：①2a-b=c；②4a+2b+c>0；③(a+c)2-b2>0；④若直线y=m(m为常数)与二次函数y=ax2+bx+c的图象有两个交点，则m>p.其中正确结论的序号为( )
A. ①④B. ②④C. ②③D. ①③
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.因式分解：2x2-18y2= ______．
12.世界上最大的沙漠撒哈拉沙漠，位于非洲北部，面积约906万平方千米，该地区气候条件非常恶劣，是地球上最不适合生物生存的地方之一.数据906万用科学记数法表示为______．
13.已知x2-2x-2=0，代数式(x-1)2+2021= ______．
14.将从1开始的连续自然数按如图所示的规律排列，则第12行的前两个数的和是______．
15.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点E、F分别在DC、BC上，连接AE、AF，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点G处，沿AF折叠，使点B落在AG上的点H处，延长FH交AE于点K，连接KG，则△FKG的面积为______．
三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
先化简：(a+2+3a-2)÷a+12a-4，再从-1≤a≤2的整数中选取一个你喜欢的a的值代入求值．
17.(本小题6分)
如图，矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，连接CE、AF，∠DCE=∠BAF.试判断四边形AECF的形状并加以证明．
18.(本小题6分)
已知关于x的一元二次方程x2-(m+3)x+3m=0．
(1)求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；
(2)若一元二次方程的两根为x1，x2，且满足x12+x22-x1x2=19，求m的值．
19.(本小题8分)
为弘扬中华传统文化，某地近期举办了中小学生“国学经典大赛”.比赛项目为：A.唐诗；B.宋词；C.论语；D.三字经.比赛形式分“单人组”和“双人组”．
(1)小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率为______，是______事件(填“随机”或“不可能”或“必然”)？
(2)小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．
20.(本小题8分)
如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=k2x(k≠0)的图象交于A、B(m,-2)两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，连接AO，BO.已知OC=2，tan∠ODC=12．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)直接写出k1x+b(3)若点Q在线段AB上，且S△AOQS△BOQ=23，求点Q的坐标．
21.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，点D是BC的中点，∠PAC=∠ADC，且CD= 5，AD与BC交于点E．
(1)求证：PA是⊙O的切线；
(2)延长CD，AB交于点F，若OB=BF，求⊙O的半径．
22.(本小题10分)
为喜迎“五一”佳节，某公司推出一种新礼盒，每盒进价10元，在“五一”节前进行销售后发现，该礼盒的日销价量y(盒)与销售价格x(元/盒)的关系如表：
同时，销售过程中每日的其他开支(不含进价)总计100元．
(1)在上表中，以x的值作为点的横坐标，y的值作为点的纵坐标，在图中的直角坐标系中描出各点，顺次连接各点，观察所得图形，判断y与x的函数关系，并求出y(盒)与x(元/盒)的函数解析式；
(2)请计算销售价格x(元/盒)为多少时，该公可销售这种礼盒的日销售利润w(元)最大，最大日销售利润是多少？
(3)试判断该公司日销售金额是否会达到1230元？
23.(本小题11分)
基本模型(1)如图1，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，AE⊥BD交BC于点E，则AEBD的值是______．
类比探究(2)如图2，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，D为AC边上一点，连接BD，AE⊥BD，交BC于点E，若AEBD=23，求BE的长．
拓展应用(3)如图3，在矩形ABCD中，AD=9，点F，G分别在AD，BC上，以FG为折痕，将四边形ABGF翻折，使顶点A落在CD上的点E处，且DE=3，连接AE，设△EFD的面积为S1，△IGH的面积为S2，△IEC的面积为S3，若S1+S2=S3，请直接写出FGAE的值．
24.(本小题12分)
已知如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3，顶点为D．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使四边形ABCN的面积最大？最大面积是多少？
(3)点E在y轴上的一个动点，点F是坐标平面上的一个动点，是否存在这样的点E和点F，使点A，D，E，F构成矩形，若存在，求出点E，F的坐标，若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.答案：C
解析：解：∵-2024=-12024，
故选：C．
根据题意利用倒数定义即可得出本题答案．
本题考查倒数定义，解题的关键是掌握倒数的定义．
2.答案：C
解析：解：A、 2与 3不能合并，不符合题意；
B、2 5- 5= 5，不符合题意；
C、 2× 3= 6，符合题意；
D 6÷ 3= 2，符合题意．
故选：C．
根据二次根式的加法，减法，乘法，除法法则，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
3.答案：D
解析：解：选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
故选：D．
根据中心对称图形的概念和各图的特点求解．
本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4.答案：C
解析：解：A.检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用全面调查，故此选项不合题意；
B.任意画一个三角形，其外角和是180°是不可能事件，故此选项不合题意；
C.数据4，9，5，7的中位数是：(5+7)÷2=6，故此选项符合题意；
D.甲、乙两组数据的方差分别是s甲2=0.4，s乙2=2，则甲组数据比乙组数据稳定，故此选项不合题意．
故选：C．
直接利用中位数求法以及方差的意义、随机事件的定义分别判断得出答案．
此题主要考查了中位数以及方差、随机事件，正确掌握相关定义是解题关键．
5.答案：C
解析：解：∵EG平分∠BEF，
∴∠BEF=2∠1=140°，
∵AB/​/CD，
∴∠3=180°-∠BEF=40°，
故选：C．
先利用角平分线的定义可得∠BEF=140°，然后利用平行线的性质进行计算，即可解答．
本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
6.答案：B
解析：解：过点A作CD/​/y轴，过点B作BC/​/x轴，与CD相交于点C，交y轴于点E，
∵∠OAB=90°，
∴∠DAO=∠CBA=90°-∠CAB，
在△ADO和△BCA中，
∠DAO=∠CBA∠ADO=∠BCAAB=AO，
∴△ADO≌△BCA(AAS)，
∴AD=BC，AC=OD，
∵A(-1,3)，
∴AD=BC=3，AC=OD=1，
∴C(-1,4)，BE=BC-CE=1，
∴B(2,4)．
故选：B．
过点A作CD/​/y轴，过点B作BC/​/x轴，与CD相交于点C，交y轴于点E，证明△ADO≌△BCA得到AD=BC=3，AC=OD=1，BE=BC-CE=1，继而得到点B坐标．
本题考查了坐标与图形性质，证明△ADO≌△BCA是关键．
7.答案：A
解析：解：∵好酒和薄酒一共饮了17升，
∴x+y=17；
∵好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，且共醉了19位客人，
∴3x+13y=19．
∴根据题意可列方程组x+y=173x+13y=19．
故选：A．
根据“好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8.答案：D
解析：解：过点D作DE⊥AB于点E．
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°．
由作图过程可知，AD为∠BAC的平分线，
∴CD=DE，∠CAD=∠EAD=30°，
∴∠EAD=∠B，
∴△ABD为等腰三角形，
∴AE=BE，
∴S△ADE=S△BDE．
在Rt△ACD和Rt△AED中，CD=ED，AD=AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，
∴S△ACD=S△AED，
∴S△ACD=S△AED=S△BDE=3，
∴S△ABC=S△ACD+S△AED+S△BDE=9．
故选：D．
过点D作DE⊥AB于点E.由作图过程可知，AD为∠BAC的平分线，可得CD=DE，∠CAD=∠EAD=∠B=30°，则AE=BE，进而可得S△ADE=S△BDE.证明Rt△ACD≌Rt△AED，可得S△ACD=S△AED，则可得S△ACD=S△AED=S△BDE=3，即可得出答案．
本题考查作图—基本作图、角平分线的性质、含30度角的直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
9.答案：A
解析：解：连接OC，则OC=OA=OB，
∵CD与⊙O相切于点C，∠ACD=60°，
∴CD⊥OC，
∴∠OCD=∠OCE=90°，
∴∠A=∠OCA=90°-∠ACD=30°，
∴∠BOC=2∠A=60°，
∴∠E=90°-∠BOC=30°=∠A，△BOC是等边三角形，
∴EC=AC=3，BC=OB，∠OBC=60°，
∴∠BCE=∠OBC-∠E=60°-30°=30°=∠E，
∴BE=BC=OB=OC，
∴OE=2BE，
∴EC= OE2-OC2= (2BE)2-BE2= 3BE=3，
∴BE= 3，
故选：A．
连接OC，由切线的性质得CD⊥OC，则∠OCD=∠OCE=90°，所以∠A=∠OCA=90°-∠ACD=30°，则∠BOC=2∠A=60°，可证明∠E=∠A=30°，△BOC是等边三角形，则EC=AC=3，BC=OB，∠OBC=60°，再证明∠BCE=∠E=30°，所以BE=BC=OB=OC，则OE=2BE，由EC= OE2-OC2= 3BE=3，求得BE= 3，于是得到问题的答案．
此题重点考查切线的性质、等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
10.答案：B
解析：解：由表格数据可知抛物线开口向上，对称轴为直线x=-1，c=-1，
当x=2时，4a+2b+3=3，
∴-b2a=-1，
∴b=2a，
∴2a-b=0，故①错误；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=-1，
∴x>-1时，y随x的增大而增大，
∵(-3,n)与(1,n)关于直线x=-1对称，n>0，
∴当x=2时，y=4a+2b+c>0，故②正确；
∵x>-1时，y随x的增大而增大，且x=0时，y=-1，
∴x=-1时，p=a-b+c<0，
∵(-3,n)与(1,n)关于直线x=-1对称，n>0，
∴x=-1时，n=a+b+c>0，
∴(a-b+c)(a+b+c)<0，即(a+c)2-b2<0，故③错误；
∵抛物线开口向上，顶点为(-1,p)，
∴若直线y=m(m为常数)与二次函数y=ax2+bx+c的图象有两个交点，则m>p，故④正确．
故选：B．
函数的对称轴为：x=-1，则b=2a，c=-1，即可判断①；根据函数的对称性即可判断②；根据二次函数图象上点的坐标特征即可判断③；根据二次函数的性质即可判断④．
本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，能够从表格中获取信息确定出开口方向和对称轴是解题的关键．
11.答案：2(x+3y)(x-3y)
解析：解：2x2-18y2
=2(x2-9y2)
=2(x+3y)(x-3y)，
故答案为：2(x+3y)(x-3y)．
先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
12.答案：9.06×106
解析：解：906万=9060000=9.06×106．
故答案为：9.06×106．
根据科学记数法的表示方法求解即可．
本题主要考查科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
13.答案：2024
解析：解：∵x2-2x-2=0，
∴x2-2x+1-3=0，
∴(x-1)2=3，
∴(x-1)2+2021=3+2021=2024，
故答案为：2024．
将已知条件利用完全平方公式整理得(x-1)2=3，将其代入(x-1)2+2021中计算即可．
本题考查完全平方公式，将原式进行正确的变形是解题的关键．
14.答案：155
解析：解：由题知，
第1行有1个数，
第2行有2个数，
第3行有3个数，
…，
所以第n行有n个数．
则1+2+3+…+11+12=78，
即第12行的最大数为78．
又因为奇数行的数从左往右依次增大，偶数行的数从左往右依次减小，
所以78+77=155，
即第12行的前两个数的和是155．
故答案为：155．
观察每行数的个数及从左往右数的变化，发现规律即可解决问题．
本题考查数字变化的规律，能根据所给自然数的排列方式发现每行数的个数及从左往右的大小变化规律是解题的关键．
15.答案：52
解析：解：∵四边形ABCD为矩形，AB=3，BC=5，
∴AB=DC=3，BC=AD=5，∠B=∠C=∠D=90°，
∵矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上G处，
∴∠DAE=∠GAE，AD=AG=5，DE=EG，
在Rt△ABG中，AB=3，AF=5，
由勾股定理得：BG= 52-32=4，
∴GC=BC-BG=1，
设DE=EG=x，则EC=3-x，
在Rt△CEG中，由勾股定理得：EC2+GC2=EG2，
即(3-x)2+12=x2，
解得：x=53，
则DE=EG=53，
同理得：BF=FH=32，
在Rt△ADE中，AD=5，DE=53，
∴tan∠DAE=DEAD=535=13，
∵矩形沿AF折叠，使点B落在AG上点H处，
∴AB=AH=3，∠B=∠AHF=90°，
∴∠AHK=90°，
∵∠DAE=∠GAE，
∴tan∠DAE=tan∠GAE=KHAH=13，
∵AH=3，
∴KH=1，GH=AG-AH=5-3=2，
∴FK=32+1=52，
∴△FKG的面积=12FK⋅GH=12×52×2=52．
故答案为：52．
由折叠的性质得到对应的边、角相等，再由矩形的性质得到直角三角形，利用勾股定理在直角△ABG中求出BG长，在直角△CEG中求出EG的长，即为DE的长，再利用∠DAE的对边比邻边，得到tan∠DAE的值，由折叠的性质得到∠AHK=90°，AH=3，HF=32，由三角形面积公式可得结论．
本题考查了矩形的性质，翻折变换问题和解直角三角形等知识，是一道综合题目，解题的关键是由折叠的性质得到∠DAE=∠GAE．
16.答案：解：(a+2+3a-2)÷a+12a-4
=((a+2)(a-2)a-2+3a-2)÷a+12a-4
=a2-1a-2÷a+12a-4
=(a+1)(a-1)a-2⋅2(a-2)a+1
=2a-2
在-1≤a≤2范围内的整数为-1，0，1，2，
∵当a=-1或a=2时，分式无意义，
∴a=0或a=1，
当a=0时，原式=-2，
当a=1时，原式=2-2=0．
解析：先计算括号内的加法，再计算分式的除法，得到化简结果，再根据分式有意义的条件选择合适的整数值代入化简结果计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
17.答案：解：四边形AECF是平行四边形．
证明：∵矩形ABCD中，AB//DC，
∴∠DCE=∠CEB，
∵∠DCE=∠BAF，
∴∠CEB=∠BAF，
∴FA//CE，
又矩形ABCD中，
FC//AE，
∴四边形AECF是平行四边形．
解析：证得FA//CE后利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行判断即可．
考查了平行四边形的判定及矩形的性质，解题的关键是牢记平行四边形的五种判定方法，难度不大．
18.答案：(1)证明：∵Δ=b2-4ac
=[-(m+3)]2-12m
=m2+6m+9-12m
=m2-6m+9
=(m-3)2；
又∵(m-3)2≥0，
∴b2-4ac≥0，
∴无论m取任何实数，方程总有实数根；
(2)解：∵x1+x2=m+3，x1⋅x2=3m，x12+x22-x1x2=19，
∴(x1+x2)2-3x1x2=19，
∴(m+3)2-3×3m=19，
整理得m2-3m-10=0，
解得m=5或m=-2，
故m的值为5或-2．
解析：(1)利用根的判别式求出关于m的代数式，整理成非负数的形式即可判定b2-4ac≥0；
(2)根据一元二次方程根与系数得到两根之和和两根之积，然后把x12+x22-x1x2=19，转换为(x1+x2)2-3x1x2=19，然后利用前面的等式即可得到关于m的方程，解方程即可求出结果．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．
19.答案：14 随机
解析：解：(1)小丽随机抽取一个比赛项目，共有4种等可能的结果，其中恰好抽中“三字经”的情况只有1种，
∴P=14，是随机事件；
故答案为：14，随机；
(2)画出树状图如图：
由图可知，共12种等可能的结果，其中小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的情况只有1种，
∴P=112．
(1)直接利用概率公式，求解即可；
(2)画出树状图，再利用概率公式求解即可．
本题考查树状图法求概率，掌握树状图法求概率，是解题的关键．．
20.答案：解：(1)∵∠DOC=90°，OC=2，tan∠ODC=OCOD=12，
∴OD=4，
∴C(2,0)，D(0,4)，
把C(2,0)，D(0,4)代入y=k1x+b得2k1+b=0b=4，
∴k1=-2b=4，
∴一次函数的解析式为y=-2x+4，
把B(m,-2)代入-2=-2m+4，
解得m=3，
∴B(3,-2)，
∴-2=k23，
∴k2=-6，
∴反比例函数的解析式为y=-6x；
(2)解y=-2x+4y=-6x得x=-1y=6或x=3y=-2，
∴A(-1,6)，
∴k1x+b3；
(3)设Q(m,-2m+4)，
∵S△AOQS△BOQ=23，
∴AQ：QB=2：3，
即2QB=3QA，
∴4QB2=9QA2
∴4[(3-m)2+(-2+2m-4)2]=9[(-1-m)2+(6+2m-4)2]，
解得m=35，m=-9(不合题意舍去)，
∴点Q的坐标为(35,145).
解析：(1)根据三角函数的定义得到OD=4，求得C(2,0)，D(0,4)，把C(2,0)，D(0,4)代入y=k1x+b解方程组得到一次函数的解析式为y=-2x+4，把B(m,-2)代入-2=-2m+4，得到B(3,-2)，于是得到结论；
(2)解方程组得到A(-1,6)，于是得到k1x+b3；
(3)设Q(m,-2m+4)，根据已知条件列方程即可得到结论．
本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，勾股定理，解不等式，正确地求得反比例函数和一次函数的解析式是解题的关键．
21.答案：(1)证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠PAC=∠ADC，∠ABC=∠ADC，
∴∠PAC=∠ABC，
∴∠OAP=∠BAC+∠PAC=∠BAC+∠ABC=90°，
∵OA是⊙O的半径，且PA⊥OA，
∴PA是⊙O的切线．
(2)解：连接OD、BD，设⊙O的半径为r，则AO=OD=OB=r，
∴∠ODA=∠BAD，
∵点D是BC的中点，
∴CD=BD，
∴∠CAD=∠BAD，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD/​/AC，
∵OB=BF=r，CD= 5，
∴OF=2r，AF=AO+OF=r+2r=3r，
∴DFCD=OFAO=2rr=2，
∴DF=2CD=2× 5=2 5，
∴CF=CD+DF= 5+2 5=3 5，
∵∠FDB+∠BDC=180°，∠FAC+∠BDC=180°，
∴∠FDB=∠FAC，
∵∠F=∠F，
∴△FDB∽△FAC，
∴BFCF=DFAF，
∴AF⋅BF=DF⋅CF，
∴3r2=2 5×3 5，
∴r= 10或r=- 10(不符合题意，舍去)，
∴⊙O的半径长为 10．
解析：(1)由AB是⊙O的直径，得∠ACB=90°，而∠PAC=∠ABC=∠ADC，则∠OAP=∠BAC+∠PAC=∠BAC+∠ABC=90°，即可证明PA是⊙O的切线；
(2)连接OD、BD，设⊙O的半径为r，则AO=OD=OB=r，所以∠ODA=∠BAD，由CD=BD，得∠CAD=∠BAD，则∠ODA=∠CAD，所以OD/​/AC，则DFCD=OFAO=2rr=2，所以DF=2CD=2 5，再证明△FDB∽△FAC，得BFCF=DFAF，则AF⋅BF=DF⋅CF，所以3r2=2 5×3 5，求得r= 10．
此题重点考查圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余、切线的判定定理、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
22.答案：解：(1)如图：
由图可知：y与x满足一次函数关系，
设y=kx+b(k≠0)，
把点(20,50)、(30,40)代入上式得：
20k+b=5030k+b=40．
解得：k=-1b=70，
∴y与x的函数解析式为：y=-x+70(10≤x≤70)；
(2)由题意得：
w=(x-10)⋅y-100
=(x-10)(-x+70)-100
=-x2+80x-800
=-(x-40)2+800，
∵二次项系数为负，10≤x≤70，
∴当销售价格x=40(元/盒)时，该公司销售这种礼盒的日销售利润w(元)最大，最大日销售利润是800元；
(3)当日销售金额达到1230元时，
xy=1230，即x(-x+70)=1230，
整理，得：x2-70x+1230=0，
∵△=(-70)2-4×1×1230
=4900-4920
=-20<0，
∴方程无解．
∴该公司日销售金额不会达到1230元．
解析：(1)描点，连线，画出图象，可知y与x满足一次函数关系，由待定系数法求解即可；
(2)利用每盒的利润乘以每日的销售量，再减去100，可得w关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案；
(3)假设当日销售金额达到1230元，可得关于x的一元二次方程，计算判别式可得答案．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数和一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
23.答案：34
解析：解：(1)∵矩形ABCD中，AB=3，BC=4，AE⊥BD交BC于点E，
∴∠BAE+∠DAE=∠DAE+∠ADB=90°，
∴∠BAE=∠ADB，
∵∠ABC=∠BAD=90°，
∴△ABE∽△DAB，
∴AEBD=ABAD=34，
故答案为：34；
(2)过点A，D作BC的垂线，垂足分别为M，N，如图2，
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，D为AC边上一点，连接BD，AE⊥BD，交BC于点E，
BC= AB2+AC2=10，
∵AE⊥BD，
∴∠MAE+∠BEA=∠BEA+∠DBN=90°，
∴∠MAE=∠DBN，
∵∠AME=∠BEN=90°，
∴△AME∽△BND，
∵AEBD=23，
∴AEBD=AMBN=MEDN=23，
∵cs∠ABC=BMAB=ABBC=610=35，
∴BM=185，
∴AM= AB2-BM2=245，
∴BN=32AM=365，
设DN=3x，则 ME=2x，
∵tan∠C=ABAC=DNCN=68=34，
∴CN=4x，
∵BN+CN=BC=10，
∴CN=10-BN=145，
∴CN=4x=145，
∴x=710，
∴ME=2x=2×710=75，
∴BE=BM+ME=185+75=5；
(3)在矩形ABCD中，AD=9，点F，G分别在AD，BC上，以FG为折痕，将四边形ABGF翻折，使顶点A落在CD上的点E处，且DE=3，连接AE，如图3，
设FD=m，则 EF=AF=9-m，
∵FD2+DE2=EF2，即 m2+32=(9-m)2，
解得m=4，
∴FD=4，AF=EF=AD-FD=5，
∵∠DEF+∠CEI=∠CEI+∠CIE=90°，
∴∠DEF=∠CIE，
∵∠CIE=∠GIH，
∴∠DEF=∠CIE=∠GIH，
∵∠D=∠C=∠H=90°，
∴△EFD∽△IEC，△IEC∽△IGH，△EFD∽△IGH，
∴EFIE=DFEC=DEIC，CEGH=ICIH=IEIG，DFGH=DEIH=EFIG，
∴GH=CE⋅IHIC，
∵DF=4，EF=5，DE=3，
∴5IE=4EC=3IC，
设IC=3x，CE=4x，IE=5x，
∴IH=EH-IE=AB-IE=DE+CE-IE=3+4x-5x=3-x，GH=CEIC⋅IH=43IH=43(3-x)，
∵S1+S2=S3，
∴12DF⋅DE+12GH⋅IH=12IC⋅CE，
∴12×3×4+12×43(3-x)2=12×3x⋅4x，即4x2+3x-9=0，
∴x1=-3+3 178,x2=-3-3 178(不合题意，舍去)，
∴CD=DE+CE=3+4×-3+3 178=3+3 172，
过点G作GQ⊥AD，垂足为Q，如图4，由折叠的性质得到AE⊥FG，
∴∠FGQ+∠AFG=∠AFG+∠DAE=90°，
∴∠FGQ=∠DAE，
∵∠D=∠FQG=90°，
∴△ADE∽△GQF，
∴GQAD=FGAE，
∵GQ⊥AD，
∴四边形GCDQ是矩形，
∴GQ=CD，
∴FGAE=CDAD=1+ 176．
(1)由矩形的性质结合AE⊥BD，证明△ABE∽△DAB，由相似三角形的性质解求解；
(2)过点A，D作BC的垂线，垂足分别为M，N，证明△AME∽△BND，解直角三角形，求出BM=185，得到AM=245，进而得到BN=32AM=365，设DN=3x，则ME=2x，解直角三角形即可求解；
(3)连接AE，设FD=m，则 EF=AF=9-m，由勾股定理求出m的值，证明△EFD，△IEC，△IGH相似，设CI=3x，CE=4x，EI=5x，根据S1+S2=S3，求出x的值，即可得到CD，过点G作GQ⊥AD，垂足为Q，证明△ADE∽△GQF，推出GQAD=FGAE，由GQ=CD即可求解．
本题考查了矩形的性质与判定，三角形相似的判定和性质，三角函数，勾股定理，熟练掌握三角形的相似，三角函数是解题的关键．
24.答案：解：(1)∵OA=OC=3，
∴抛物线y=x2+bx+c经过点A(-3,0)，C(0,-3)，
∴将其分别代入抛物线解析式，得9-3b+c=0c=-3，
解得b=2c=-3．
故此抛物线的函数表达式为：y=x2+2x-3；
(2)设直线AC的解析式为y=kx+t，
将A(-3,0)，C(0,-3)代入，得-3k+t=0t=-3，
解得k=-1t=-3，
∴直线AC的解析式为y=-x-3，
∵y=x2+2x-3，令y=0得x2+2x-3=0，
解得x=-3或1，
∴B(1,0)，
过点N作直线NM/​/y轴，交AC于点M，

设N的坐标为(n,n2+2n-3)，则M(n,-n-3)，
∴MN=-n-3-(n2+2n-3)=-n2-3n，
∴S四边形ABCN=S△ABC+S△ACN=12AB⋅OC+12MN⋅OA=12×4×3+12×3(-n2-3n)=-32(n+32)2+758，
把n=-32代入抛物线得：y=(-32)2+2×(-32)-3=-154，
∴N的坐标为(-32,-154)，
∴存在一点N(-32,-154)，使四边形ABCN的面积最大，最大面积是758；
(3)∵y=x2+2x-3=(x+1)2-4，
∴D(-1,-4)，
设E(0,m)，
∵点A，D，E，F构成矩形，
∴△ADE是直角三角形，
∴AD2=(3-1)2+42=20，
AE2=32+m2，
DE2=(m+4)2+12，
①当以AD为斜边时，AD2=DE2+AE2，
(m+4)2+12+32+m2=20，解得m=-1或-3，
∴点E的坐标为(0,-1)或(0,-3)，
∴点F的坐标为(-4,-3)或(-4,-1)；
②当以AE为斜边时，AE2=DE2+AD2，
32+m2=(m+4)2+12+20，解得m=-278，
∴点E的坐标为(0,-278)，
∴点F的坐标为(-2,58)；
③当以DE为斜边时，DE2=AD2+AE2，
(m+4)2+12=32+m2+20，解得m=32，
∴点E的坐标为(0,32)，
∴点F的坐标为(2,-52)；
综上所述：存在，点E的坐标为(0,-1)或(0,-3)或(0,-278)或(0,32)，点F的坐标为(-4,-3)或(-4,-1)或(-2,58)或(2,-52).
解析：(1)把点(0,-3)，(-3,0)分别代入抛物线解析式，根据待定系数法求出此函数的关系式即可；
(2)过点N作直线NM/​/y轴，交AC于点M，求出直线AC的解析式，再设出M、N的坐标，把四边形ABCN的面积表示成二次函数，根据二次函数的性质即可求解；
(3)根据矩形的性质，可得△ADE是直角三角形，分三种情形讨论：①以AD为斜边，②以AE为斜边，③以DE为斜边，分别求解即可．
本题是二次函数综合题，本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，勾股定理，矩形的性质等，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会分类讨论，属于中考压轴题．x
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-3
-2
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0
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y
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n
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p
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销售价格x(元/盒)
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日销售量y(盒)
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