数学：辽宁省葫芦岛市连山区2023-2024学年八年级下学期期中试题（解析版）

这是一份数学：辽宁省葫芦岛市连山区2023-2024学年八年级下学期期中试题（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A.被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，不符合题意；
B.是最简二次根式，符合题意；
C.被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，不符合题意；
D.被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
2. 一个三角形的三边长分别是，，,则此三角形的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得：==．
故选A．
3. 如图，平行四边形的顶点A，B，D的坐标分别是，，，则顶点C的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】四边形是平行四边形，
，，
A，B，D的坐标分别是，，，
，，
，点C的纵坐标为2，
顶点C的坐标是．
故选B．
4. 如图，在数轴上，过表示数2的点作数轴的垂线，以点为圆心，1长为半径画弧，交垂线于点，再以原点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，
∴点所表示的实数为，
故选：C．
5. 若，则的值是（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】B
【解析】，即，
，
，
故选：B．
6. 如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面，树的顶端离树根，则这棵树在折断之前的高度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图：
，
，
，
即，
，
∴这棵树在折断之前的高度．故选：A．
7. 如图，玻璃杯的底面半径为，高为，有一只长的吸管任意斜放于杯中，则吸管露出杯口外的长度至少为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，
由题意得：，
∴，
∴露出杯口外的长度为：，
故选：C．
8. 如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）
A. 直角三角形的面积
B. 最大正方形的面积
C. 较小两个正方形重叠部分的面积
D. 最大正方形与直角三角形的面积和
【答案】C
【解析】根据勾股定理及正方形的面积计算方法可知：
较小两个直角三角形面积之和＝较大正方形的面积，
所以将三个方形按图2方式放置的时候，较小两正方形重叠部分的面积＝阴影部分的面积，所以知道了图2阴影部分的面积即可知道两小正方形重叠部分的面积.
故选C
9. 如图，在正方形中，，点F是边上一点，点E是延长线上一点，，．连接、、，与对角线相交于点G，则线段的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图：过点F作交于H，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，,
'∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
'∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选:A．
10. 如图，的对角线、相交于点，的角平分线与边相交于点，是中点，若，，则的长为（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】在平行四边形中，，，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
是的中点，是的中点，
是的中位线，
，
故选：B．
二、填空题
11. 计算的结果是____________________．
【答案】
【解析】原式
，
故答案为：．
12. 当，时，______．
【答案】5
【解析】：∵，
∴
；
故答案为：
13. 如图，在正方形中，对角线交于点，的平分线交于点，过点作交于点，则______．
【答案】
【解析】∵正方形，
，
平分，
，
，
，
，
，
，故答案为：．
14. 如图，在菱形中，，．是对角线上的一个动点（不与点重合），连接，以为边作菱形，其中，点位于直线的上方，且，点是的中点，连接，则线段的最小值是______．
【答案】
【解析】连接，
在菱形中，，
∴是等边三角形，，
∴，
在菱形中，，
，
在和中，
，
，
，
，
∴三点共线，
过点作于点，则当点位于点时，有最小值即的长，
∵为的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即线段的最小值是．
故答案为：．
15. 如图，中，，，点为内一点，，，若，则的长为______．
【答案】
【解析】如图，延长交于，在上截取，连接．作于．
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
三、解答题
16. 计算：
（1）；
（2）；
（3）．
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
17. 已知，求代数式的值．
解：∵，
．
四、解答题
18. 某地管辖A，B，C，D四个镇，其中C，A，D三个镇在一条直线上，相互两镇之间的公路里程如图所示，由于大山阻隔，原来从A，C两镇去D镇都需绕到B镇前往．为了发展经济，缩短A，C两镇到D镇的路程，现决定开凿隧道修通A，C两镇直达D镇的公路．公路修通后从A镇去D镇的路程比原来缩短了多少千米？

解：∵，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴．
在，(千米)，
则公路修通以后从A镇到D镇的路程比原来缩短了(千米)．
答：公路修通后从A镇去D镇的路程比原来缩短了32千米．
19. 如图所示，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积．
（1）证明：∵是的垂直平分线，
，
∵四边形是矩形，
，
，
在和中
，
，
，
，
∴四边形为平行四边形，
，
∴四边形为菱形；
（2）解：∵四边形为菱形，
，
设，
∵四边形是矩形，，
由勾股定理得：，
即，解得：，
即，，∴菱形的面积．
五、解答题
20. 赵彬在公园里游玩,如图2,他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度,将它往前推送（水平距离）时,秋千的踏板离地的垂直高度,秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度．

解：由题意得：，
在中，由勾股定理得：，
设绳索的长度为，则，
∴，解得：，
答：绳索的长度是．
六、解答题
21. 如图，正方形中，点是边上的一点（不与点重合），连接，平分，交边于点，试判断线段和之间的数量关系，并说明理由．
解：．
理由：如图所示，过点B作，与的延长线交于点G．
∵四边形是正方形，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
平分，
，
，
，
即，
，
，
，
，即．
七、解答题
22. 【问题背景】（1）如图1，点是线段，中点，求证：；
【变式迁移】（2）如图2，在等腰中，是底边上的高线，为内一点，连接，延长到点，使，连接，若，请判断三边数量关系并说明理由．
【拓展应用】（3）如图3，在中，，，点为中点，点在线段上（点不与点，点重合），过点作，连接，若，，求的长．
（1）证明：∵点是线段的中点，
，
在与中，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
连接，如图：
∵是等腰三角形，是底边上的高线，
，
在与中，
，
，
，
，
，
，，
，；
（3）解：延长到，使得，连接，延长交于点，如图：
∵为的中点，
∴，
在与中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
八、解答题
23. 【课题学习】
通过对《勾股定理》的学习，我们知道：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形．如果我们新定义一种三角形——两边的平方和等于第三边的平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．
（1）根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？______（填“是”或“不是”）；
（2）若某三角形的三边长分别为1，，2，则该三角形是不是奇异三角形？请做出判断并写出判断依据；
（3）在中，三边长分别为，且，，则这个三角形是不是奇异三角形？请做出判断并写出判断依据；
探究：
在中，，，，，且．若是奇异三角形，求．
解：（1）设等边三角形边长为，
，
∴等边三角形一定是奇异三角形，
故答案为：是；
（2）∵，
∴该三角形一定是奇异三角形；
（3）当为斜边时，不是奇异三角形；
当为斜边时，，
∴是奇异三角形；，
∴是奇异三角形；
拓展：中，，
，
，
，
∵是奇异三角形，，
，，
，．