辽宁省葫芦岛市连山区第六初级中学2023-2024学年八年级下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

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※注意事项：
考生答题时，必须将答案写在答题卡上，答案写在试卷上无效．
一、选择题（本题10小题，每题3分，共30分，在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 二次根式的值是（ ）
A. 8B. C. 64D. 8或
【答案】A
【解析】
【分析】利用二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：，
故选A．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简，掌握“”是解本题的关键．
2. 在实数范围内有意义，实数a的取值范围是（ ）
A a＞0B. a＞1C. a≥﹣2D. a＞﹣1
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出a的取值范围．
【详解】解：由题意可知：a+2≥0，
∴a≥-2．
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式有意义，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
3. 下列式子中成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质和化简是解题的关键．
【详解】解：A、，错误；
B、，错误；
C、，错误；
D 、，正确．
故选：D．
4. 下列运算，结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的加减乘除，直接利用二次根式的加减运算法则以及二次根式的乘除法运算法则分别计算得出答案，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
【详解】、与不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误，不符合题意；
、，此选项计算正确，符合题意；
、，此选项计算错误，不符合题意；
、与不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误，不符合题意；
故选：．
5. 已知：是整数，则满足条件的最小正整数为（ ）
A. 2B. 4C. 5D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】将化简为，要是一个数开平方后为整数，那么这个数一定是完全平方数，即可解答．
【详解】解：，
是整数，
满足条件的最小正整数为5，
故选：C．
【点睛】本题考查了求二次根式中参数的值，熟知二次根式的计算结果是整数的情况是解题的关键．
6. 一个等腰三角形的两边长分别为，，则这个三角形的周长为（ ）
A. B. C. D. 以上答案都不对
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，等腰三角形的定义，实数比较大小，分当腰长为时，当腰长为时，两种情况根据构成三角形的条件以及三角形周长计算公式进行讨论求解即可．
【详解】解：当腰长为时，则此时该等腰三角形的三边长为，，，
∵，
∴，
∴，
∴此时不能构成三角形，不符合题意；
当腰长为时，则此时该等腰三角形的三边长为，，，
∵，
∴此时能构成三角形，
∴这个三角形的周长为，
故选B．
7. 如图，在中，，分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于E，F两点，作直线，分别交于点M，N，连接，若，则的面积为（ ）
A. 12B. 6C. D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的作图和性质，勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，，，再证明，得到，然后利用勾股定理计算出，从而得到的面积．
【详解】解：由作图可得垂直平分，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴的面积．
故选：B．
8. 勾股定理是我国古代的伟大数学发明之一，如图，，以的各边为边向外作正方形，得到三块正方形纸片，再把较小的两张正方形纸片放入最大的正方形中，重叠部分的面积记作S1，左下不重叠部分的面积记作S2，若，则的值是（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，整式的乘法，解题个关键是熟练掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方，以及整式的乘法运算．设的直角边，，，由勾股定理可得，，根据即可推出，即可得出结论．
【详解】解：设的直角边，，．
∴，

∵面积为的矩形的长和宽分别是，，
∴，
∵面积为的正方形的边长是，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
9. 如图，在中，，中边上的高等于的长度，中边上的高等于的长度，中边上的高等于的长度，且，的面积分别是10和8，则的面积是（ ）
A. 6B. 4C. 3D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理可求，再根据三角形的面积公式即可求解，解题的关键是能够运用勾股定理证明个三角形有面积之间的关系．
【详解】解：在中，，
∴，
∴，
∵中边上的高等于的长度，中边上的高等于的长度，中边上的高等于的长度，且，的面积分别是和，
∴的面积，
故选：D．
10. 已知Rt中，为斜边的中点．是直角边上的一点，连接，将沿折叠至交于点，若的面积是面积的一半，则为（ ）
A. 2B. 3C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了折叠问题、勾股定理的运用、全等三角形的判定和性质等知识，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．连接，过作于，先判定，即可得出，再根据勾股定理求得的长．
【详解】解：如图所示，连接，过作于，

∵，，，
∴由勾股定理得，
由折叠可得，与全等，
∵的面积是面积的一半，
∴的面积是面积的一半，且，
∴F是的中点，
∴
又∵是的中点，
∴，即是的中点，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴中，，
故选：A．
二、填空题（每题3分，共16分）
11. 化简：______
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根的性质，利用二次根式的性质化简即可，熟练掌握二次根式的非负性是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 已知2+的整数部分是a，小数部分是b，则a2+b2的值为__．
【答案】13﹣2．
【解析】
【分析】先估算出2+的取值范围，进而可得出a、b的值，代入代数式进行计算即可．
【详解】∵1＜3＜4，
∴1＜＜2，
∴1+2＜2+＜2+2，即3＜2+＜4，
∴a＝3，b＝2+﹣3＝﹣1，
∴a2+b2＝32+（﹣1）2＝9+3+1﹣2＝13﹣2．
故答案13﹣2．
【点睛】本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解答此题的关键．
13. 形如根式叫做复合二次根式，有些复合二次根式可以进一步化简，例如，复合二次根式化简的结果是______
【答案】##
【解析】
【详解】本题考查了二次根式的性质，根据题目给出的方法结合完全平方公式求解即可，解题的关键是熟练运用二次根式的性质．
解：原式
，
故答案为：．
14. 如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为18和50，则图中阴影部分面积为______

【答案】12
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，利用面积公式先算出两个正方形的面积，再利用“阴影面积长方形的面积两个正方形的面积”得结论．利用二次根式的性质计算出两个正方形的边长是解决本题的关键．
【详解】解：图中两个正方形的面积分别为18和50，
图中两个正方形的边长分别为：和．
图中最大长方形的长为，宽为．
图中阴影部分面积为：．
故答案为：12．
15. 如图，在中，分别是上的动点，且，连接，则的最小值是______
【答案】
【解析】
【分析】延长，取，连接，在上取，连接，过点F作，取，连接，证明，得出，证明，得出，说明，得出当最小时，最小，根据当C、H、G三点共线时，最小，且最小值为，求出最小值即可．
【详解】解：延长，取，连接，在上取，连接，过点F作，取，连接，如图所示：
∵，，
∴，垂直平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当最小时，最小，
∴当C、H、G三点共线时，最小，且最小值为，
∴的最小值为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
三、解答题（第16题16分，第17题4分，共计20分）
16. 计算题
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键．
（1）化简各个二次根式后合并同类二次根式即可；
（2）先计算二次根式的乘法，再计算二次根式的减法即可；
（3）先化简二次根式和二次根式的乘法，再合并同类二次根式即可；
（4）利用平方差公式和完全平方公式展开，再进行加减法即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
；
【小问3详解】
；
【小问4详解】
17. 先阅读下面提供的材料，再解答相应的问题，
若和在实数范围内都有意义，求的值．
解：和在实数范围内都有意义，
且．
由得：
，
．
问题，若实数满足，求的值．
【答案】5
【解析】
【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义得到，解得，再求出，再代入进行解答即可．
【详解】解：由题意可得，和在实数范围内都有意义，
∴且
由得到
∴
解得，
∴，
∴
四、解答题（第18题8分，第19题6分，共计14分）
18. 《九章算术》是我国古代数学代表作之一，书中记载：今有开门去阅（门槛）一尺，不合四寸，问门广几何？其大意如下：如图2为图1的平面示意图，推开双门（大小相同），双门间隙寸，点，点到门槛的距离尺（1尺寸），求门槛的长．
【答案】的长为寸
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，直接利用已知设寸，则寸，进而结合勾股定理得出答案，正确运用勾股定理是解题的关键．
【详解】解：如图：
设寸，则寸，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴寸，
∴的长为寸．
19. 已知，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了二次根式混合运算，把代入变形后得到的进行计算，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴
五、解答题
20. 先化简，再求值：，其中
【答案】，
【解析】
【分析】此题考查了分式的化简求值和二次根式的运算，先计算括号内的减法，再计算分式的除法，得到原式的化简结果，再把字母的值代入计算即可．
【详解】解：
当时，
原式
六、解答题（10分）
21. 中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，图中正方形的边长为2，正方形的边长为10，求正方形的边长．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了勾股定理的应用，完全平方公式等知识，设每个直角三角形的斜边为c，直角边分别为a、b，其中，由勾股定理可得，由正方形的边长为2得到，则，由正方形的边长为10得到，则，求出，即可得到答案．
【详解】解：设每个直角三角形的斜边为c，直角边分别为a、b，其中，
则，
∵正方形的边长为2，
∴，
∴，
∵正方形的边长为10，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
由题意可得，正方形的边长为c．
即正方形的边长为，
故答案为：
七、解答题（10分）
22. 如图、为一块直角三角形纸片，．
【问题初探】：直角三角形纸片的对折问题，可以通过全等变换把所求线段转化成直角三角形的边，进而通过勾股定理来解决，体现数学中的转化思想．
（1）如图1，现将纸片沿直线折叠，使直角边落在斜边上，的对应点为，若，求的长．
【学以致用】
（2）如图2，若将直角沿折叠，点与中点重合，点分别在，上，则之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．
【答案】（1），（2）， 理由见解析．
【解析】
【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，掌握相关性质是解题的关键．
（1）先求出，由由翻折的性质可得，，再进一步得到即可求解．
（2）过点作交延长线于点，连接，先证明，得到，进一步即可得到．
【详解】（1）解：在中，
，
由翻折的性质可知：，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（2）， 理由如下：
过点作交延长线于点，连接，如图：
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
八、解答题（13分）
23. 阅读理解：说明代数式的几何意义，并求它的最小值．
解：
几何意义：如图，建立中而直角火标系，点是x轴上一点，则（可以看成点P与点的距离，可以苔成点P与点的距离，所求代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值．
求最小值：设点A关于x轴对称点，则．因此，求的最小值，只需求的最小值，而点A、B间的直线段距离最短，所以的最小值为线段的长度．为此，构造直角三角形，因为，．所以由勾股定理得．即原式的最小值为．
根据以上阅读材料，解答下列问题，
（1）代数式的值可以有成平面直角坐标系中点与点，点的距离之和，求点的坐标，
（2）求代数式的最小值．
【答案】（1）点的坐标为：；
（2）代数式的最小值．
【解析】
【分析】本题考查了了轴对称-最短路线问题，勾股定理，解题关键是根据题中所给的材料画出图形再利用数形结合求解．
（1）先把原式化为的形式，再根据题中所给的例子即可得出结论；
（2）先把原式化为的形式，故得出所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点、点的距离之和，再根据勾股定理描出各点，利用勾股定理即可求解．
【小问1详解】
解：∵，
∴的值可以看成平面直角坐标系中点与点、点或的距离之和，
∴点的坐标为：．
【小问2详解】
解：∵，
∴的值可以看成平面直角坐标系中点与点、点的距离之和，
如图所示，设点关于轴的对称点为，则，
∴的最小值，只需求的最小值，而点、间的直线距离最短，
∴的最小值为线段的长度，
∵点，，
∴，，，
∴，
∴的最小值为．