[数学]辽宁省葫芦岛市绥中县2023-2024学年八年级下学期期中试题(解析版)

这是一份[数学]辽宁省葫芦岛市绥中县2023-2024学年八年级下学期期中试题(解析版)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第一部分 选择题
一、选择题
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A.被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合同意；
B.满足最简二次根式的定义，是最简二次根式，符合题意；
C.，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
D.，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意．
故选：B．
2. 如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面6米B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为8米，则这棵大树在折断前的高度为（ ）
A. 10米B. 12米C. 14米D. 16米
【答案】D
【解析】根据题意，米
米
故选D.
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】.，故该选项错误，不合题意；
.，故该选项错误，不合题意；
.，故该选项正确，符合题意；
.，故该选项错误，不合题意；
故选：．
4. 如图，李伯伯家有一块四边形田地，其中，，，，，则这块地的面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】连接，则在中，

∵，
，
在中，，，
，
，
．
故答案为：A．
5. 若两个最简二次根式与能够合并，则的值为（ ）
A. B. 0C. 1D. 9
【答案】C
【解析】∵两个最简二次根式与能够合并，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
6. 如图，在正方形的内侧，作等边三角形，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵正方形，
∴，
∵等边三角形，
∴，
∴，，
∴；
故选C．
7. 代数式中，的取值范围是（ ）
A. B.
C. 且D. 且
【答案】C
【解析】由题意得：，
解得：x≥－4且x≠2．
故选：C．
8. 如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为AB的中点，且，若，则DE的长为（ ）．
A. 3B. C. D. 4
【答案】A
【解析】为AB的中点，，
，
四边形是菱形，
，，
，，
为等边三角形，
∴∠DAB=60°，
∴∠OAB=30°，
∴，
∴，
∵AO和DE都是等边△ABD的高，
∴DE=AO=3，故选A．
9. 如图，一根长的吸管置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中，吸管露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】如图，
由勾股定理得，，
∴，此时吸管露在杯子外面的长度最短，
由题意知，吸管露在杯子外面的长度最长为（），
∴，故选：B．
10. 如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为，则线段长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】正方形边长为，为边的中点，
，，，
由折叠知，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
，
故选C．
第二部分 非选择题
二、填空题
11. 计算______．
【答案】
【解析】原式＝，故答案为：．
12. 已知是整数，则正整数的最小值为______．
【答案】15
【解析】，是正整数，是整数，
是一个完全平方数，的最小值是15，故答案为：15．
13. 如图，一轮船以16海里/时速度从港口出发向东北航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口出发向西北方向航行，离开港口2小时后，则两船相距______海里．
【答案】40
【解析】∵一轮船以16海里/时的速度从港口出发向东北航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口出发向西北方向航行，
∴两轮船的航线的夹角为，
2小时后两轮船行驶的路程分别为：，，
由勾股定理，得：此时两轮船之间的距离为：海里；
故答案为：40．
14. 如图，数轴上点分别对应实数、，过点作，且，再以点为圆心，长为半径向右画弧，交数轴于点，则点对应的实数是______．

【答案】
【解析】由图可知：，，
∴，
∴，
∴点对应的实数是；
故答案为：．
15. 如图，设四边形是边长为1的正方形，以对角线为边作第二个正方再以对角线为边作第三个正方形，如此下去，则第n个正方形的边长为________________．

【答案】
【解析】四边形是正方形，
，，
，
即，
同理可求：，
，
．
第个正方形的边长为，
故答案为：．
三、解答题
16. 计算
（1）
（2）
（1）解：
；
（2）解：
．
17. 已知，，求下列代数式的值．
（1）；
（2）．
（1）解：∵，，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，，
∴．
18. 勾股定理是平面几何中一个极为重要的定理，世界上各个文明古国都对勾股定理的发现和研究作出过贡献．特别是定理的证明，据说方法有余种．其中我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出了证明．请你用下面弦图（由四个全等的直角三角形围成的）证明勾股定理：
如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么．
证明：由弦图可知，，
∴四边形和四边形是正方形，
∵，
∴，
，
∴．
19. 在中，，，，分别是斜边和直角边上的点．把沿着直线折叠，顶点的对应点是点．
（1）如图1，若点和顶点重合，求的长；
（2）如图2，若点落在直角边的中点上，求的长．
（1）解：若点和顶点重合，由折叠的性质可得：，
设，则，
由勾股定理得：，
，
解得：，
；
（2）解：点落在直角边的中点上，
，
由折叠的性质可得：，
设，则，
由勾股定理可得：，
，
解得：，
．
20. 如图，在四边形中，．
（1）求的长；
（2）求四边形的面积．
（1）解：，，
在中，由勾股定理得
，
，，
，
四边形是平行四边形，；
（2）解：四边形是平行四边形，且．
．
21. （1）如图1，四边形的对角线于点．判断与的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，交点为．与交于点，与交于点，连接．若，，求出的长．
解：（1），
理由如下：
，
，
在中，
在中，
在中，
在中，
，
（2）四边形和四边形为正方形，
，，，
，即，
，
，
，
，
，
，
，，
连接，，
由（1）可知，
，，
，
，，
，
．
22. [特例感知]如图1，在正方形中，点分别为的中点，、交于点．
（1）证明：．
（2）[初步探究]如图2，在正方形中，点边上一点，分别交、于、，垂足为．求证：．
（3）[基本应用]如图3，将边长为8的正方形折叠，使得点落在边的中点处，折痕为，点、分别在边、边上，求出折痕的长．
（1）证明：四边形是正方形，
，，
又点分别为的中点，
，，
在与中
，
，
，
，
，
，
即；
（2）证明：过点作交于点，交于点．
四边形是平行四边形
，
，
；
（3）解：连接，由折叠可知
由（2）可知
点是中点，
在Rt中，由勾股定理得
的长为．
23 阅读材料：
海伦公式出现在古希腊的几何学家海伦（，约公元50年）的《测地术》一书中，海伦用文字在《经纬仪》和《度量》两本书中都叙述了这一公式的证明．虽然现已公认此公式是阿基米德（，约公元前287—前212）发现的，但习惯成自然，我们仍称之为海伦秦九韶公式：
如果一个三角形的三边长分别为，记，那么三角形的面积为
．
下面我们对海伦公式进行证明．
分析：从三角形最基本计算公式入手，运用勾股定理推导出海伦公式．
证明：如图，设，，，，，，，．
根据勾股定理，得
解方程组得
， ①
②
于是
（1）阅读材料中的解方程组得①______．
（2）[理解证明]利用问题（1）中公式与模仿阅读材料从②开始再次证明海伦秦九韶公式．
（3）[尝试应用]如图，在中，，，，请你用海伦秦九韶公式求的面积．
解：（1）将代入得，；
（2）
于是
；
（3）∵，，，
∴
∴的面积．