2025届人教新高考高三数学一轮复习考点规范练21三角恒等变换Word版附解析

这是一份2025届人教新高考高三数学一轮复习考点规范练21三角恒等变换Word版附解析，共5页。试卷主要包含了基础巩固，综合应用，探究创新等内容，欢迎下载使用。

1.已知θ∈π4,3π4,sinπ4+θ=35,则tan θ的值为( )
A.17B.-17C.7D.-7
答案:D
解析:因为θ∈π4,3π4,所以π4+θ∈π2,π,又因为sinπ4+θ=35,所以tanπ4+θ=-34,
所以tan θ=tanπ4+θ-π4=tanπ4+θ-tanπ41+tanπ4+θ·tanπ4=-34-11-34×1=-7.
2.2sin47°-3sin17°cs17°等于( )
A.-3B.-1C.3D.1
答案:D
解析:原式=2×sin47°-sin17°cs30°cs17°=2×sin(17°+30°)-sin17°cs30°cs17°=2sin 30°=1.故选D.
3.已知csα-π6+sin α=435,则sin(α+7π6)的值为( )
A.12B.32C.-45D.-12
答案:C
解析:∵csα-π6+sin α=32cs α+32sin α=435,
∴12cs α+32sin α=45.
∴sinα+7π6=-sinα+π6=-(32sin α+12cs α)=-45.
4.已知2sin 2α=1+cs 2α,则tan 2α等于( )
A.43B.-43
C.43或0D.-43或0
答案:C
解析:因为2sin 2α=1+cs 2α,所以2sin 2α=2cs2α.
所以2cs α(2sin α-cs α)=0,解得cs α=0或tan α=12.
若cs α=0,则α=kπ+π2(k∈Z),2α=2kπ+π(k∈Z),所以tan 2α=0;
若tan α=12,则tan 2α=2tanα1-tan2α=43.
综上所述,故选C.
5.已知5sin 2α=6cs α,α∈0,π2,则tanα2等于( )
A.-23B.13C.35D.23
答案:B
解析:由题意,知10sin αcs α=6cs α,
∵α∈0,π2,∴sin α=35,cs α=45,
∴tanα2=sinα2csα2=2sin2α22sinα2csα2=1-csαsinα=1-4535=13.
6.现有如下信息:
①黄金分割比(简称:黄金比)是指把一条线段分割为两部分,较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与整体长度之比,其比值为5-12;
②黄金三角形被誉为最美三角形,是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形;
③有一个内角为36°的等腰三角形为黄金三角形.
由上述信息可求得sin 126°=( )
A.5-12B.5+12
C.5-14D.5+14
答案:D
解析:由题意设△ABC为∠A=36°的黄金三角形,AB=BC=a,AC=b,则ab=5-12.
如图,过点B作BD⊥AC,垂足为D,则AD=b2.
在Rt△ABD中,cs A=b2a=15-1=5+14,即cs 36°=5+14.
所以sin 126°=cs 36°=5+14.
7.已知锐角α,β满足α-β=π3,则1csαcsβ+1sinαsinβ的最小值为( )
A.4B.43C.8D.83
答案:C
解析:因为α-β=π3,
所以cs(α-β)=cs αcs β+sin αsin β=12,
令x=cs αcs β,y=sin αsin β,则x+y=12,
因为α,β均是锐角,所以x>0,y>0,
则1csαcsβ+1sinαsinβ=1x+1y=2×1x+1y·(x+y)=4+2yx+2xy≥4+22yx·2xy=8,当且仅当x=y,即α=5π12,β=π12时等号成立.
8.(2023新高考Ⅰ,8)已知sin(α-β)=13,cs αsin β=16,则cs(2α+2β)=( )
A.79B.19C.-19D.-79
答案B
解析∵sin(α-β)=13,cs αsin β=16,∴sin(α-β)=sin αcs β-cs αsin β=sin αcs β-16=13,解得sin αcs β=12.∴sin(α+β)=sin αcs β+cs αsin β=12+16=23,∴cs(2α+2β)=cs [2(α+β)]=1-2sin2(α+β)=1-2×(23)2=19.故选B.
9.已知tan θ=2,则cs 2θ= ;tanθ-π4= .
答案:-35 13
解析:cs 2θ=cs2θ-sin2θ=cs2θ-sin2θcs2θ+sin2θ=1-tan2θ1+tan2θ=-35;tanθ-π4=tanθ-11+tanθ=13.
10.设函数f(x)=1+cs2x2sinπ2-x+sin x+a2sin(x+π4)的最大值为2+3,则实数a= .
答案:±3
解析:f(x)=1+2cs2x-12csx+sin x+a2sinx+π4
=cs x+sin x+a2sinx+π4
=2sinx+π4+a2sinx+π4
=(2+a2)sinx+π4.
依题意有2+a2=2+3,则a=±3.
11.已知函数f(x)=cs-x2+sinπ-x2,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)若f(α)=2105,α∈0,π2,求tan(α+π4)的值.
解:(1)f(x)=cs-x2+sinπ-x2=sinx2+csx2=2sinx2+π4,故函数f(x)的最小正周期T=2π12=4π.
(2)由f(α)=2105,得sinα2+csα2=2105,则sinα2+csα22=21052,即1+sin α=85,解得sin α=35,
又α∈0,π2,则cs α=1-sin2α=1-925=45,故tan α=sinαcsα=34.所以tanα+π4=tanα+tanπ41-tanαtanπ4=34+11-34=7.
二、综合应用
12.设a=cs 50°cs 127°+cs 40°cs 37°,b=22(sin 56°-cs 56°),c=1-tan239°1+tan239°,则a,b,c的大小关系是( )
A.a>b>cB.b>a>c
C.c>a>bD.a>c>b
答案:D
解析:a=sin 40°cs 127°+cs 40°sin 127°=sin(40°+127°)=sin 167°=sin 13°,b=22(sin 56°-cs 56°)=22sin 56°-22cs 56°=sin(56°-45°)=sin 11°,c=1-tan239°1+tan239°=cs239°-sin239°cs239°cs239°+sin239°cs239°=cs239°-sin239°=cs 78°=sin 12°.
∵sin 13°>sin 12°>sin 11°,∴a>c>b.故选D.
13.(多选)化简下列各式,与tan α相等的是( )
A.1-cs2α1+cs2αB.1+cs(π+2α)2·1csα,α∈(0,π)
C.1-cs2αsin2αD.sin2α1-cs2α
答案:BC
解析:对于A,1-cs2α1+cs2α=1-(1-2sin2α)1+2cs2α-1=sin2αcs2α=tan2α=|tan α|,由1-cs2α1+cs2α≥0,解得-1对于B,因为α∈(0,π),所以1+cs(π+2α)2·1csα=1-cs2α2·1csα=sin2α·1csα=|sinα|csα=sinαcsα=tan α,故B符合题意;
对于C,1-cs2αsin2α=2sin2α2sinαcsα=sinαcsα=tan α,故C符合题意;
对于D,sin2α1-cs2α=2sinαcsα2sin2α=csαsinα≠tan α,故D不符合题意.
14.若sin 2α=55,sin(β-α)=1010,且α∈π4,π,β∈π,3π2,则α+β的值是( )
A.7π4B.9π4
C.5π4或7π4D.5π4或9π4
答案:A
解析:∵α∈π4,π,∴2α∈π2,2π.
∵sin 2α=55,∴2α∈π2,π.
∴α∈π4,π2,cs 2α=-255.
∵β∈π,3π2,∴β-α∈π2,5π4,
∴cs(β-α)=-31010,
∴cs(α+β)=cs [2α+(β-α)]
=cs 2αcs(β-α)-sin 2αsin(β-α)
=-255×-31010−55×1010=22.
又α+β∈5π4,2π,∴α+β=7π4.
15.已知函数f(x)=2sinx+5π24cs(x+5π24)-2cs2(x+5π24)+1,则f(x)的最小正周期为 ;函数f(x)的单调递增区间为 .
答案:π kπ-π3,kπ+π6(k∈Z)
解析:∵f(x)=2sin(x+5π24)·cs(x+5π24)-2cs2x+5π24+1=sin2x+5π12-cs(2x+5π12)
=2sin2x+5π12csπ4-cs2x+5π12sinπ4=2sin2x+5π12-π4=2sin2x+π6,
∴f(x)的最小正周期T=2π2=π.
由f(x)=2sin2x+π6,得当2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z),即kπ-π3≤x≤kπ+π6(k∈Z)时,f(x)单调递增,即函数f(x)的单调递增区间是[kπ-π3,kπ+π6](k∈Z).
三、探究创新
16.已知函数f(x)=cs ωx(sin ωx+3cs ωx)(ω>0),若存在实数x0,使得对任意的实数x,都有f(x0)≤f(x)≤f(x0+2 024π)成立,则ω的最小值为( )
A.14 048πB.12 024π
C.14 048D.12 024
答案:C
解析:由题意可得,f(x0)是函数f(x)的最小值,f(x0+2 024π)是函数f(x)的最大值.
要使结论成立,只需保证区间[x0,x0+2 024π]能够包含函数的至少一个完整的单调递增区间即可.
又f(x)=cs ωx(sin ωx+3cs ωx)=12sin 2ωx+3×1+cs2ωx2=sin2ωx+π3+32,所以2 024π≥12×2π2ω,求得ω≥14 048,故ω的最小值为14 048,故选C.
17.已知函数f(x)=1+1tanxsin2x-2sin(x+π4)sin(x-π4).
(1)若tan α=2,求f(α)的值;
(2)若x∈π12,π2,求f(x)的取值范围.
解:(1)f(x)=sin2x+sin xcs x+2sin(x+π4)·csx+π4
=1-cs2x2+12sin 2x+sin2x+π2
=12+12(sin 2x-cs 2x)+cs 2x
=12(sin 2x+cs 2x)+12.
由tan α=2,得sin 2α=2sinαcsαsin2α+cs2α=2tanαtan2α+1=45,
cs 2α=cs2α-sin2αsin2α+cs2α=1-tan2α1+tan2α=-35.
故f(α)=12(sin 2α+cs 2α)+12=35.
(2)由(1)得f(x)=12(sin 2x+cs 2x)+12=22sin2x+π4+12.
由x∈π12,π2,得2x+π4∈5π12,5π4.
则-22≤sin2x+π4≤1,即0≤f(x)≤2+12,
故f(x)的取值范围是0,2+12.