高考数学一轮复习考点规范练21三角恒等变换含解析新人教版

考点规范练21　三角恒等变换

一、基础巩固

1.(2021福建福州一中高三开学考试)已知,sin,则tan θ的值为(　　)

A B.- C.7 D.-7

答案:D

解析:因为,所以+,又因为sin,所以tan=-,

所以tanθ=tan=-7.

2等于(　　)

A.- B.-1 C D.1

答案:D

解析:原式=2=2=2sin30°=1.故选D.

3.已知cos+sin α=,则sin(α+)的值为(　　)

A B C.- D.-

答案:C

解析:∵cos+sinα=cosα+sinα=,

cosα+sinα=

∴sin=-sin=-sinα+cosα=-

4.已知2sin 2α=1+cos 2α,则tan 2α等于(　　)

A B.- 

C或0 D.-或0

答案:C

解析:因为2sin2α=1+cos2α,所以2sin2α=2cos2α.

所以2cosα(2sinα-cosα)=0,解得cosα=0或tanα=

若cosα=0,则α=kπ+(k∈Z),2α=2kπ+π(k∈Z),所以tan2α=0;

若tanα=,则tan2α=

综上所述,故选C.

5.已知5sin 2α=6cos α,,则tan等于 (　　)

A.- B C D

答案:B

解析:由题意,知10sinαcosα=6cosα,

,∴sinα=,cosα=,

∴tan

6.(2021吉林长春二模)现有如下信息:

①黄金分割比(简称:黄金比)是指把一条线段分割为两部分,较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与整体长度之比,其比值为;

②黄金三角形被誉为最美三角形,是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形;

③有一个内角为36°的等腰三角形为黄金三角形.

由上述信息可求得sin 126°=(　　)

A B 

C D

答案:D

解析:由题意设△ABC为∠A=36°的黄金三角形,AB=BC=a,AC=b,则

如图,过点B作BD⊥AC,垂足为D,则AD=

在Rt△ABD中,cosA=,即cos36°=

所以sin126°=cos36°=

7.(2021山东淄博三模)已知锐角α,β满足α-β=,则的最小值为(　　)

A.4 B.4 C.8 D.8

答案:C

解析:因为α-β=,

所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=,

令x=cosαcosβ,y=sinαsinβ,则x+y=,

因为α,β均是锐角,所以x>0,y>0,

则=2(x+y)=4+4+2=8,

当且仅当x=y,即α=,β=时等号成立.

8.若sin(α-)=,则cos(+2α)等于(　　)

A.- B.- C.- D.-

答案:C

解析:∵sin(α-)=,∴cos=-cos[π-]=-cos(-2α)=-cos(2α-)=-1+2sin2(α-)

=-1+2=-

9.已知tan θ=2,则cos 2θ=　　　　　;tan=　　　　　. 

答案:-

解析:cos2θ=cos2θ-sin2θ==-;tan

10.设函数f(x)=+sin x+a2sinx+的最大值为+3,则实数a=　　　　　. 

答案:±

解析:f(x)=+sinx+a2sin

=cosx+sinx+a2sin

=sin+a2sin

=(+a2)sin

依题意有+a2=+3,则a=±

11.已知函数f(x)=cos+sin,x∈R.

(1)求f(x)的最小正周期;

(2)若f(α)=,,求tanα+的值.

解:(1)f(x)=cos+sin=sin+cossin,故f(x)的最小正周期T==4π.

(2)由f(α)=,得sin+cos,则,即1+sinα=,解得sinα=,又,则cosα=,故tanα=所以tan=7.

二、综合应用

12.设a=cos 50°cos 127°+cos 40°cos 37°,b=(sin 56°-cos 56°),c=,则a,b,c的大小关系是(　　)

A.a>b>c B.b>a>c 

C.c>a>b D.a>c>b

答案:D

解析:a=sin40°cos127°+cos40°sin127°=sin(40°+127°)=sin167°=sin13°,

b=(sin56°-cos56°)=sin56°-cos56°=sin(56°-45°)=sin11°,

c==cos239°-sin239°=cos78°=sin12°.

∵sin13°>sin12°>sin11°,∴a>c>b.故选D.

13.(多选)化简下列各式,与tan α相等的是(　　)

A B,α∈(0,π)

C D

答案:BC

解析:对于A,=|tanα|,由0,解得-1<cos2α≤1,

即2α≠π+2kπ(k∈Z),解得+kπ(k∈Z),故A不符合题意;

对于B,因为α∈(0,π),所以=tanα,

故B符合题意;

对于C,=tanα,故C符合题意;

对于D,tanα,故D不符合题意.

14.(2021河北唐山一中高三月考)若sin 2α=,sin(β-α)=,且,,则α+β的值是(　　)

A B 

C D

答案:A

解析:,∴2

∵sin2α=,∴2

,cos2α=-

,∴β-,

∴cos(β-α)=-,

∴cos(α+β)=cos[2α+(β-α)]=cos2αcos(β-α)-sin2αsin(β-α)=

又α+,∴α+β=

15.已知函数f(x)=2sincos(x+)-2cos2(x+)+1,则f(x)的最小正周期为　　　　　;函数f(x)的单调递增区间为　　　　　　　　　　. 

答案:π　(k∈Z)

解析:∵f(x)=2sin(x+)·cos(x+)-2cos2+1=sin-cos(2x+)

=sinsin,

∴f(x)的最小正周期T==π.

由f(x)=sin,得当2kπ-2x+2kπ+(k∈Z),即kπ-x≤kπ+(k∈Z)时,f(x)单调递增,即函数f(x)的单调递增区间是[kπ-,kπ+](k∈Z).

三、探究创新

16.已知函数f(x)=cosωx(sin ωx+cos ωx)(ω>0),若存在实数x0,使得对任意的实数x,都有f(x0)≤f(x)≤f(x0+2 020π)成立,则ω的最小值为(　　)

A B 

C D

答案:C

解析:由题意可得,f(x0)是函数f(x)的最小值,f(x0+2020π)是函数f(x)的最大值.

因为f(x)=cosωx(sinωx+cosωx)=sin2ωx+=sin,所以要使ω取最小值,只需保证区间[x0,x0+2020π]为一个完整的单调递增区间即可.

故2020π=,求得ωmin=,故ω的最小值为,故选C.

17.已知函数f(x)=sin2x-2sinx+·sinx-.

(1)若tan α=2,求f(α)的值;

(2)若x,求f(x)的取值范围.

解:(1)f(x)=sin2x+sinxcosx+2sin(x+)·cos

=sin2x+sin

=(sin2x-cos2x)+cos2x

=(sin2x+cos2x)+

由tanα=2,得sin2α=,

cos2α==-

故f(α)=(sin2α+cos2α)+

(2)由(1)得f(x)=(sin2x+cos2x)+sin

由x,得2x+

则-sin1,即0≤f(x),

故f(x)的取值范围是