2025届人教新高考高三数学一轮复习考点规范练24三角函数模型的应用Word版附解析

这是一份2025届人教新高考高三数学一轮复习考点规范练24三角函数模型的应用Word版附解析，共5页。试卷主要包含了基础巩固，综合应用，探究创新等内容，欢迎下载使用。

1.已知弹簧振子的振幅为2 cm,在6 s内振子通过的路程是32 cm,由此可知该振子振动的( )
A.频率为1.5 HzB.周期为1.5 s
C.周期为6 sD.频率为6 Hz
答案:B
解析:振幅为2 cm,振子在一个周期内通过的路程为8 cm,易知在6 s内振动了4个周期,故周期T=1.5 s,频率f=1T=11.5=23 Hz.
2.一个直径为6 m的水轮如图所示,水轮圆心O距水面2 m,已知水轮每分钟转2圈,水轮上的点P到水面的距离y(单位:m)与时间x(单位:s)之间满足关系式y=Asin(ωx+φ)+2(A>0,ω>0),y<0表示点P在水面下,则有( )
A.ω=π15,A=3B.ω=2π15,A=3
C.ω=π15,A=6D.ω=2π15,A=6
答案:A
解析:由题意可知A为水轮的半径3,又水轮每分钟转2圈,故该函数的最小正周期为T=602=30 s,所以ω=2πT=π15.
3.如图,一个大风车的半径为8 m,12 min旋转一周,它的最低点P0离地面2 m,风车翼片的一个端点P从点P0开始按逆时针方向旋转,则点P离地面的距离h(单位:m)与时间t(单位:min)之间的函数解析式是( )
A.h(t)=-8sinπ6t+10B.h(t)=-csπ6t+10
C.h(t)=-8sinπ6t+8D.h(t)=-8csπ6t+10
答案:D
解析:设h=Asin(ωt+φ)+B,由题意可得hmax=18,hmin=2,T=12,
A=ℎmax-ℎmin2=8,B=ℎmax+ℎmin2=10,ω=2πT=π6,则h=8sinπt6+φ+10.
当t=0时,8sin φ+10=2,得sin φ=-1,可取φ=-π2,
所以h=8sinπ6t-π2+10=-8csπ6t+10.
4.如图,在平面直角坐标系Oxy中,质点M,N间隔3分钟先后从点P绕原点按逆时针方向做角速度为π6弧度/分钟的匀速圆周运动,则M与N的纵坐标之差第4次达到最大值时,N运动的时间为( )
A.37.5分钟B.40.5分钟
C.49.5分钟D.52.5分钟
答案:A
解析:设圆O的半径为1,质点N的运动时间为t(单位:分钟),
由题意可得,yN=sinπ6t-π2=-csπ6t,yM=sin[π6(t+3)-π2]=sinπ6t,则yM-yN=2sinπ6t+π4.
令sinπ6t+π4=1,解得π6t+π4=2kπ+π2,t=12k+32,k=0,1,2,3.
故M与N的纵坐标之差第4次达到最大值时,N运动的时间为3×12+32=37.5(分钟).
5.(多选)某时钟的秒针端点A到时钟的中心点O的距离为5 cm,秒针均匀地绕点O旋转.当时间t=0时,点A与钟面上标“12”的点B重合,将A,B两点的距离d(单位:cm)表示成t(单位:s)的函数,则d等于( ),其中t∈[0,60].
A.10sinπt60B.10csπt3
C.10cs(30-t)π60D.10sinπt6
答案:AC
解析:依题意作出图形,如图.
因为∠AOB=t60×2π=πt30,所以经过t s秒针转了π30t rad,连接AB,
过点O作OD⊥AB于点D,∠AOD=12∠AOB=πt60.
在Rt△AOD中,有sinπt60=d25,
所以d=10sinπt60或d=10csπ2-πt60=10cs(30-t)π60,其中t∈[0,60].
6.根据市场调查,某种商品一年内出厂单价在7 000元的基础上,按月呈f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π2)的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9 000元,9月份价格最低,为5 000元,则7月份的出厂价格为 元.
答案:6 000
解析:作出函数简图如图,
三角函数模型为y=Asin(ωx+φ)+B,由题意知A=12×(9 000-5 000)=2 000,B=7 000,周期T=2×(9-3)=12,则ω=2πT=π6.
将点(3,9 000)看成函数图象的第二个特殊点,则有π6×3+φ=π2,得φ=0,故f(x)=2 000sinπ6x+7 000(1≤x≤12,x∈N*),即f(7)=2 000×sin7π6+7 000=6 000(元).
故7月份的出厂价格为6 000元.
7.去年某地的月平均气温y(单位:℃)与月份x近似地满足函数解析式y=a+bsin(π6x+φ)(a,b为常数,0<φ<π2).其中三个月份的月平均气温如表所示,则该地2月份的月平均气温约为 ℃,φ= .
答案:-5 π6
解析:由题意,得当x=5+112=8时,sin(π6×8+φ)=±1.
因为0<φ<π2,所以4π3<4π3+φ<11π6,则4π3+φ=3π2,φ=π6,y=a+bsinπ6x+π6,则a+bsin5π6+π6=13,a+bsin8π6+π6=31,化简得a=13,a-b=31,即a=13,b=-18,当x=2时,y=13-18sin(2π6+π6)=-5.
二、综合应用
8.(多选)水车在古代是进行灌溉引水的工具,亦称“水转简车”,是一种以水流作动力,取水灌田的工具.如图,一个半径为R的水车,以水车的中心为原点,建立平面直角坐标系.一个水斗从点A(3,-33)出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时120秒.经过t秒后,水斗旋转到点P,设点P的坐标为(x,y),其纵坐标与时间t满足y=f(t)=Rsin(ωt+φ)t≥0,ω>0,|φ|<π2,则下列叙述正确的是( )
A.φ=-π3
B.当t∈(0,60]时,函数y=f(t)单调递增
C.当t∈(0,60]时,|f(t)|的最大值为33
D.当t=100时,|PA|=6
答案:AD
解析:由题意,R=32+(-33)2=6,周期T=120,所以ω=2πT=π60.
当t=0时,y=-33,把(0,-33)代入f(t),可得-33=6sin φ,解得sin φ=-32.因为|φ|<π2,所以φ=-π3,A正确;
则f(t)=6sinπ60t-π3(t≥0).
当t∈[0,60]时,π60t-π3∈-π3,2π3,函数f(t)先单调递增后单调递减,B错误;
当t∈[0,60]时,点P到x轴的距离的最大值为6,C错误;
当t=100时,π60t-π3=4π3,点P的纵坐标为y=-33,横坐标为x=-3,所以|PA|=6,D正确.
9.下表是某地近30年的月平均气温(华氏度).
以月份为x轴,令x=月份-1,以平均气温为y轴.
(1)作出散点图.
(2)用正弦型曲线去拟合这些数据.
(3)第(2)问中所求得的正弦型曲线对应的函数的周期T是多少?
(4)估计这个正弦型曲线的振幅A.
(5)下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据?
①yA=csπx6;②y-46A=csπx6;
③y-46-A=csπx6;④y-26A=sinπx6.
解:(1)(2)如图所示.
(3)1月份的平均气温最低,为21.4华氏度,7月份的平均气温最高,为73.0华氏度,根据图知,T2=7-1=6,所以T=12.
(4)2A=平均最高气温-平均最低气温=73.0-21.4=51.6,得A=25.8.
(5)因为x=月份-1,所以不妨取x=2-1=1,y=26.0,代入①,得yA=26.025.8>1≠csπx6,所以①不合适.
代入②不合适,同理④也不合适,所以应选③.
三、探究创新
10.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施,游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转,可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮轮盘直径为124米,设置有36个座舱.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱,当到达最高点时距离地面145米,匀速转动一周大约需要30分钟.以游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.
(1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米,已知H关于t的函数解析式满足H(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|≤π2),求摩天轮转动一周对应的解析式H(t).
(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间,距离地面的高度第一次恰好达到52米?
(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱,且中间间隔5个座舱,在摩天轮转动一周的过程中,设两人距离地面的高度差为h米,求h的最大值.
解:(1)由题意,H(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|≤π2),摩天轮的最高点距离地面145米,最低点距离地面145-124=21米,则B+A=145,B-A=21,得A=62,B=83.
因为周期为30分钟,ω>0,所以ω=2π30=π15,
所以H(t)=62sin(π15t+φ)+83.
因为H(0)=62sinπ15×0+φ+83=21,所以sin φ=-1,又|φ|≤π2,所以φ=-π2.
故H(t)=62sinπ15t-π2+83(0≤t≤30).
(2)由(1)知,H(t)=62sinπ15t-π2+83=-62csπ15t+83,
令-62csπ15t+83=52,则csπ15t=12,得t=5(分).
(3)经过t分钟后甲距离地面的高度H1=-62csπ15t+83,因为乙与甲间隔的时间为3036×6=5分钟,所以乙距离地面的高度H2=-62csπ15(t-5)+83(5≤t≤30),
所以两人距离地面的高度差h=|H1-H2|=-62csπ15t+62csπ15(t-5)=62|sin(π15t-π6)|(5≤t≤30).
当π15t-π6=π2或π15t-π6=3π2,即t=10或t=25分钟时,h取最大值,且最大值为62米.x
5
8
11
y/℃
13
31
13
月份
1
2
3
4
5
6
平均气温
21.4
26.0
36.0
48.8
59.1
68.6
月份
7
8
9
10
11
12
平均气温
73.0
71.9
64.7
53.5
39.8
27.7