2025届人教新高考高三数学一轮复习规范答题增分专项6高考中的概率与统计Word版附解析

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(1)设所选3人中女生人数为X,求X的分布列及均值;
(2)在男生甲被选中的情况下,求女生乙也被选中的概率.
2.(2021新高考Ⅰ,18)某学校组织“一带一路”知识竞赛,有A,B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分.
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
(1)若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列;
(2)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题?并说明理由.
3.某城市的公交公司为了方便市民出行,科学规划车辆投放,在一个人员密集流动地段增设一个起点站,为了研究车辆发车间隔时间x(单位:min)与乘客等候人数y之间的关系,经过调查得到如下数据:
调查小组先从这6组数据中选取4组数据求经验回归方程,再用剩下的2组数据进行检验.检验方法如下:先用求得的经验回归方程计算间隔时间对应的等候人数y^,再求y^与实际等候人数y的差,若差值的绝对值都不超过1,则称所求方程为“恰当回归方程”.
(1)从这6组数据中随机选取4组数据后,求剩下的2组数据不相邻的概率;
(2)若选取的是后面4组数据,求y关于x的经验回归方程y^=b^x+a^,并判断此方程是否为“恰当回归方程”;
(3)为使等候的乘客不超过35人,试用(2)中方程估计间隔时间最多可以设置为多少分钟(精确到整数).
附:经验回归直线y^=b^x+a^的斜率和截距的最小二乘估计分别为b^=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(xi-x)2=∑i=1nxiyi-nx y∑i=1nxi2-nx2,a^=y−b^x.
4.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).
(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的零件数,求P(X≥1)及X的均值;
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
①试说明上述监控生产过程方法的合理性;
②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:
经计算得x=116∑i=116xi=9.97,s=116∑i=116(xi-x)2=116(∑i=116xi2-16x2)≈0.212,其中xi为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2,…,16.
用样本平均数x作为μ的估计值μ^,用样本标准差s作为σ的估计值σ^,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除[μ^-3σ^,μ^+3σ^]之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).
附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),
则P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.997 3.
0.997 316≈0.957 7,0.008≈0.09.
5.某客户准备在家中安装一套净水系统,该系统为二级过滤,使用寿命为十年.如图①所示,两个二级过滤器采用并联安装,再与一级过滤器串联安装.
图①
其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现.在使用过程中,一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换,每个滤芯是否需要更换相互独立.若客户在安装净水系统的同时购买滤芯,则一级滤芯每个160元,二级滤芯每个80元.若客户在使用过程中单独购买滤芯,则一级滤芯每个400元,二级滤芯每个200元.现需决策安装净水系统的同时购买滤芯的数量,为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表,其中根据100个一级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表如表所示,根据200个二级过滤器更换的滤芯个数制成的条形图如图②所示.
一级滤芯更换频数分布表
二级滤芯更换频数条形图
图②
用频率代替概率.
(1)求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16的概率;
(2)记X表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的二级滤芯总个数,求X的分布列及均值;
(3)记m,n分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数.若m+n=19,且m∈{8,9},以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的均值为决策依据,试确定m,n的值.
6.(2022新高考Ⅰ,20)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组),得到如下数据:
(1)依据小概率值α=0.01的独立性检验,能否认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异?
(2)从该地的人群中任选一人,A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B表示事件“选到的人患有该疾病”,P(B|A)P(B|A)与P(B|A)P(B|A)的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标,记该指标为R.
①证明:R=P(A|B)P(A|B)·P(A|B)P(A|B);
②利用该调查数据,给出P(A|B),P(A|B)的估计值,并利用①的结果给出R的估计值.
附:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),
规范答题增分专项六 高考中的概率与统计
1.解 (1)X的所有可能取值为0,1,2.
依题意,得P(X=0)=C43C63=15,P(X=1)=C42C21C63=35,P(X=2)=C41C22C63=15.
故X的分布列为
E(X)=0×15+1×35+2×15=1.
(2)设事件A=“男生甲被选中”,B=“女生乙被选中”,
则P(A)=C52C63=12,P(AB)=C41C63=15,故P(B|A)=P(AB)P(A)=25.
故在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的概率为25.
2.解 (1)X=0,20,100.
P(X=0)=1-0.8=0.2=15,
P(X=20)=0.8×(1-0.6)=45×25=825,
P(X=100)=0.8×0.6=45×35=1225.
所以X的分布列为
(2)若小明先回答A类问题,期望为E(X).
则E(X)=0×15+20×825+100×1225=2725.
若小明先回答B类问题,Y为小明的累计得分,
Y=0,80,100,
P(Y=0)=1-0.6=0.4=25,
P(Y=80)=0.6×(1-0.8)=35×15=325,
P(Y=100)=0.6×0.8=35×45=1225.
E(Y)=0×25+80×325+100×1225=2885.
因为E(X)3.解 (1)从这6组数据中随机选取4组数据后,剩下的2组数据的情况有C62=15(种),其中相邻的情况有5种,故不相邻的概率为1-515=23.
(2)由题意可知x=12+13+14+154=13.5,
y=26+29+28+314=28.5,
∑i=14xiyi=1 546,∑i=14xi2=734,
所以b^=∑i=14xiyi-4x y∑i=14xi2-4x2=1.4,
a^=y−b^x=28.5-1.4×13.5=9.6,
所以y^=1.4x+9.6.
当x=10时,y^=1.4×10+9.6=23.6,|23.6-23|=0.6<1,
当x=11时,y^=1.4×11+9.6=25,|25-25|=0<1,
所以求出的经验回归方程为“恰当回归方程”.
(3)由1.4x+9.6≤35,得x≤1817,
故间隔时间最多可设置为18 min.
4.解 (1)抽取的一个零件的尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之内的概率为0.997 3,从而零件的尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的概率为0.002 7,故X~B(16,0.002 7).
因此P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.997 316≈0.042 3.
E(X)=16×0.002 7=0.043 2.
(2)①如果生产状态正常,一个零件尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的概率只有0.002 7,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的零件的概率只有0.042 3,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.
②由x=9.97,s≈0.212,得μ的估计值为μ^=9.97,σ的估计值为σ^=0.212,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在[μ^-3σ^,μ^+3σ^]之外,因此需对当天的生产过程进行检查.
剔除[μ^-3σ^,μ^+3σ^]之外的数据9.22,剩下数据的平均数为115×(16×9.97-9.22)=10.02,因此μ的估计值为10.02.
∑i=116xi2≈16×0.2122+16×9.972≈1 591.134,剔除[μ^-3σ^,μ^+3σ^]之外的数据9.22,剩下数据的样本方差为115×(1 591.134-9.222-15×10.022)≈0.008,
因此σ的估计值为0.008≈0.09.
5.解 (1)由题意知,使用期内一个一级过滤器需要更换8个滤芯的概率为60100=0.6,更换9个滤芯的概率为40100=0.4.
一个二级过滤器需要换4个滤芯的概率为40200=0.2,更换5个滤芯的概率为80200=0.4,更换6个滤芯的概率为80200=0.4.
若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数为16,则一级过滤器需要更换8个滤芯,两个二级过滤器都需要更换4个滤芯,故所求概率为0.6×0.2×0.2=0.024.
(2)由(1)可知,一个二级过滤器需要更换滤芯的个数为4,5,6的概率分别为0.2,0.4,0.4,
X的可能取值为8,9,10,11,12,
从而P(X=8)=0.2×0.2=0.04,P(X=9)=2×0.2×0.4=0.16,P(X=10)=2×0.2×0.4+0.4×0.4=0.32,P(X=11)=2×0.4×0.4=0.32,P(X=12)=0.4×0.4=0.16.
故X的分布列为
E(X)=8×0.04+9×0.16+10×0.32+11×0.32+12×0.16=10.4.
(3)记Y1,Y2分别表示当m=8或m=9时,该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需费用.
因为m+n=19,且m∈{8,9},
所以当m=8时,n=11;当m=9时,n=10.
①当m=8,n=11时,
E(Y1)=160×8+400×0.4+80×11+200×0.16=2 352.
②当m=9,n=10时,
E(Y2)=160×9+80×10+200×0.32+400×0.16=2 368.
因为E(Y1)6.解 (1)零假设为H0:患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯无差异.
由题意可知n=200,
则χ2=200×(40×90-10×60)2100×100×50×150
=24>6.635=x0.01.
根据小概率值α=0.01的独立性检验,有充分证据推断H0不成立,即认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
(2)①证明:R=P(B|A)P(B|A)P(B|A)P(B|A)=P(B|A)P(B|A)·P(B|A)P(B|A)=P(AB)P(A)P(AB)P(A)·P(A B)P(A)P(AB)P(A)=P(AB)·P(A B)P(AB)·P(AB)=P(AB)P(B)P(AB)P(B)·P(A B)P(B)P(AB)P(B)=P(A|B)P(A|B)·P(A|B)P(A|B).
②P(A|B)=P(AB)P(B)=n(AB)n(B)=40100=0.4,
P(A|B)=P(AB)P(B)=n(AB)n(B)=10100=0.1,
同理P(A|B)=P(A B)P(B)=n(A B)n(B)=90100=0.9,
P(A|B)=P(AB)P(B)=n(AB)n(B)=60100=0.6,
∴R=P(A|B)P(A|B)·P(A|B)P(A|B)=0.4×0.90.6×0.1=6.
∴指标R的估计值为6.间隔时间x/min
10
11
12
13
14
15
等候人数y
23
25
26
29
28
31
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
一级滤芯更换的个数
8
9
频数
60
40
小组
卫生习惯
不够良好
良好
病例组
40
60
对照组
10
90
α
0.050
0.010
0.001
xα
3.841
6.635
10.828
X
0
1
2
P
15
35
15
X
0
20
100
P
15
825
1225
X
8
9
10
11
12
P
0.04
0.16
0.32
0.32
0.16