2023年高考指导数学(人教A文一轮)解答题专项六 概率与统计

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(1)根据上表,分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率;
(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关?
附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).
2.已知某班有50位学生,现对该班关于举办辩论赛的态度进行调查,他们综合评价成绩(单位:分)的频数分布以及对举办辩论赛的赞成人数如下表:
(1)请根据以上统计数据填写下面2×2列联表,并回答:是否有95%的把握认为综合评价成绩以80分为分界点与对举办辩论赛的态度有关?
(2)若采用分层抽样在综合评价成绩在[60,70),[70,80)的学生中随机抽取5人进行追踪调查,并选其中2人担任辩论赛主持人,求担任主持人的2人中至少有1人在[60,70)的概率.
参考公式:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.
参考数据:
3.2017年国家发改委、住建部发布了《生活垃圾分类制度实施方案》,规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类.某市在实施垃圾分类之前,对人口数量在1万左右的社区一天产生的垃圾量(单位:吨)进行了调查.已知该市这样的社区有200个,如图是某天从中随机抽取50个社区所产生的垃圾量绘制的频率分布直方图.现将垃圾量超过14吨/天的社区称为“超标”社区.
(1)根据上述资料,估计当天这50个社区垃圾量的平均值x(精确到整数)(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(2)若以上述样本的频率近似代替总体的概率,请估计这200个社区中“超标”社区的个数;
(3)市环保部门决定对样本中“超标”社区的垃圾来源进行调查,先从这些社区中按垃圾量用分层抽样抽取5个,再从这5个社区随机抽取2个进行重点监控,求重点监控社区中至少有1个垃圾量为[16,18]的社区的概率.
4.某公司对项目A进行生产投资,所获得的利润有如下统计数据表:
(1)请用线性回归模型拟合y与x的关系,并用相关系数加以说明;
(2)该公司计划用7百万元对A,B两个项目进行投资.若公司对项目B投资x(1≤x≤6)百万元所获得的利润y近似满足:y=0.16x-0.49x+1+0.49,求A,B两个项目投资金额分别为多少时,获得的总利润最大?
附:①对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为b^=∑i=1nxiyi-nxy∑i=1nxi2-nx2,a^=y−b^x.
②线性相关系数r=∑i=1nxiyi-nxy(∑i=1nxi2-nx2)(∑i=1nyi2-ny2).一般地,相关系数r的绝对值在0.95以上(含0.95)认为线性相关性较强;否则,线性相关性较弱.
参考数据:对项目A投资的统计数据表中∑i=15xiyi=11,∑i=15yi2=2.24,4.4≈2.1.
参考答案
解答题专项六 概率与统计
1.解(1)A公司一共调查了260个班次的长途客车,其中有240个班次的长途客车准点,故A公司的长途客车准点的概率为240260≈0.923,B公司一共调查了240个班次的长途客车,其中有210个班次的长途客车准点,故B公司的长途客车准点的概率为210240=0.875.
(2)根据已知数据得到列联表如下:
k=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
=500×(240×30-210×20)2260×240×450×50
≈3.205>2.706.
所以有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.
2.解 (1)2×2列联表为
则k=50×(28×6-4×12)232×18×40×10=3.125<3.841,
所以没有95%的把握认为综合评价成绩以80分为分界点与对举办辩论赛的态度有关.
(2)采用分层抽样,会在[60,70)里抽3人,用A,B,C表示,[70,80)里抽2人,用D,E表示,设M为事件“担任主持人的2人中没有人在[60,70)内”,则基本事件包含AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE,共10个,事件M包含DE,只有1个,则所求事件的概率即为P=1-P(A)=1-110=910.
3.解 (1)由频率分布直方图得该样本中垃圾量为[4,6),[6,8),[8,10),[10,12),[12,14),[14,16),[16,18]的频率分别为0.08,0.1,0.2,0.24,0.18,0.12,0.08,
所以估计当天这50个社区垃圾量的平均值为x=5×0.08+7×0.10+9×0.20+11×0.24+13×0.18+15×0.12+17×0.08=11.04≈11.
(2)由(1)得该样本中“超标”社区的频率为0.12+0.08=0.2,
所以这200个社区中“超标”社区的概率为0.2,
所以这200个社区中“超标”社区的个数为200×0.2=40.
(3)由题意知按垃圾量用分层抽样抽取的5个社区中,垃圾量为[14,16)的社区有3个,分别记为a,b,c,按垃圾量为[16,18]的社区有2个,分别记为d,e,从中任选2个的基本事件有(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),共10个,
其中所求事件“至少有1个垃圾量为[16,18]的社区”为(a,d),(a,e),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),共7个.所以重点监控社区中至少有1个垃圾量为[16,18]的社区的概率为P=710=0.7.
4.解 (1)由题意可得x=1+2+3+4+55=3,y=0.3+0.3+0.5+0.9+15=0.6,
代入公式可得∑i=15xiyi-5xy=11-5×3×0.6=2,
∑i=15xi2-5x2=55-5×32=10,∑i=15yi2-5y2=2.24-5×0.62=0.44,
所以b^=∑i=1nxiyi-nxy∑i=1nxi2-nx2=210=0.2,a^=y−b^ x=0.6-0.2×3=0,所以y^=b^x+a^=0.2x,
且r=∑i=1nxiyi-nxy(∑i=1nxi2-nx2)(∑i=1nyi2-ny2)=210×0.44≈22.1≈0.952 4>0.95,
则y与x的线性相关性较强.
(2)由题意,公司对项目B投资x(1≤x≤6)百万元,则对项目A投资(7-x)百万元,
则获得的利润y=0.16x-0.49x+1+0.49+0.2(7-x)=1.89-0.49x+1-0.04x=1.93-0.49x+1+0.04(x+1)≤1.93-20.49x+1×0.04(x+1)=1.93-0.28=1.65,
当且仅当0.49x+1=0.04(x+1),即x=2.5时,等号成立,此时取到最大值为1.65百万元,而7-x=4.5百万元.
答:对A,B两个项目投资金额分别为4.5百万元、2.5百万元时,获得的总利润最大,最大为1.65百万元.
公司
准点班次数
未准点班次数
A
240
20
B
210
30
P(K2≥k0)
0.100
0.050
0.010
k0
2.706
3.841
6.635
综合评价成绩
[40,50)
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100)
频数
5
10
15
10
5
5
赞成人数
4
8
12
4
3
1
对举办辩论赛的态度
综合评价成绩小于80分的人数
综合评价成绩不小于80分的人数
总计
赞成
不赞成
总计
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
项目A投资金额x/百万元
1
2
3
4
5
所获利润y/百万元
0.3
0.3
0.5
0.9
1
公司
准点班次数
未准点班次数
总计
A
240
20
260
B
210
30
240
总计
450
50
500
对举办辩论赛的态度
综合评价成绩小于80分的人数
综合评价成绩不小于80分的人数
总计
赞成
28
4
32
不赞成
12
6
18
总计
40
10
50