备考2024届高考数学一轮复习大题规范练6概率与统计

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从近几年的命题情况看，命题热点有（1）概率问题，核心是概率计算及离散型随机变量的分布列与期望的求解，其中互斥、对立、相互独立事件的概率，条件概率，全概率是概率计算的核心，排列组合是进行概率计算的工具；（2）统计问题，核心是样本数据的获得及分析方法，重点是统计图表的应用，样本的数字特征、一元线性回归模型及独立性检验；（3）概率与统计的综合，概率统计与其他知识（如函数、数列）的综合.
具体解题时，需要先过“审题关”，再过“公式关”，最后过“运用关”，否则，极易出现错误，导致“会而不对”.
示例 [2023新高考卷Ⅱ/12分]某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为
p（c）；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q（c）.假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
（1）当漏诊率p（c）＝0.5％时，求临界值c和误诊率q（c）；
（2）设函数f（c）＝p（c）＋q（c）.当c∈[95，105]时，求f（c）的解析式，并求fc在区间[95，105]的最小值.
思维导引 （1）漏诊率p（c）＝0.5％得c的方程得临界值c得误诊率q（c）
（2）分95≤c≤100，100＜c≤105两种情况求出p（c），q（c）得f（c）的解析式得f（c）在区间[95，105]上的最小值
规范答题
（1）由题中患病者该指标的频率分布直方图知（100－95）×0.002＝1％＞0.5％，所以95＜c＜100，
设X为患病者的该指标，
则p（c）＝P（X≤c）＝（c－95）×0.002＝0.5％，解得c＝97.5.（2分）→注意纵轴表示频率组距，不要误以为小矩形的高就是频率.
设Y为未患病者的该指标，
则q（c）＝P（Y＞c）＝（100－97.5）×0.01＋5×0.002＝0.035＝3.5％.（4分）→注意题眼“误诊率是将未患病者判定为阳性的概率”，故需利用未患病者该指标的频率分布直方图求出Y＞c的频率.
（2）当95≤c≤100时，p（c）＝（c－95）×0.002＝0.002c－0.19，
q（c）＝（100－c）×0.01＋5×0.002＝－0.01c＋1.01，
所以f（c）＝p（c）＋q（c）＝－0.008c＋0.82；（6分）→观察患病者和未患病者该指标的频率分布直方图，需对c分两类（95≤c≤100与100＜c≤105）讨论.
当100＜c≤105时，
p（c）＝5×0.002＋（c－100）×0.012＝0.012c－1.19，
q（c）＝（105－c）×0.002＝－0.002c＋0.21，
所以f（c）＝p（c）＋q（c）＝0.01c－0.98.（8分）
综上所述，f（c）＝－0.008c+0.82，95≤c≤100，0.01c－0.98，100由一次函数的单调性知，函数f（c）在[95，100]上单调递减，在（100，105]上单调递增，
作出f（c）在区间[95，105]上的大致图象（略），可得f（c）在区间[95，105]上的最小值f（c）min＝f（100）＝－0.008×100＋0.82＝0.02.（12分）
感悟升华
1.解答概率与统计问题重在“辨”——辨析、辨型
2.概率与统计解答题的答题策略
（1）会识图，能从所给的频率分布直方图中读出相关数据，会用频率分布直方图求出题设条件中的事件的频率，并用样本估计总体的思想，估计出相应事件的概率.
（2）明确事件类型，弄清问题所涉及的事件有什么特点，事件之间有什么关系，如互斥、对立、相互独立等；厘清事件以什么形式发生，如同时发生、至少有几个发生、至多有几个发生、恰有几个发生等；明确抽取方式，如放回还是不放回、抽取有无顺序等.
（3）会计算，会用排列组合的方法计算基本事件发生数和事件总数，会根据概率计算公式和性质计算事件的概率；会求期望与方差；会套用求b^，χ2等的公式求值.
（4）与函数和数列的综合题，会借助函数与导数思想和数列的有关知识求解.
训练 [与函数综合/12分]乒乓球被称为我国的“国球”，是一种深受人们喜爱的球类体育项目.在某高校运动会的女子乒乓球单打半决赛阶段，规定：每场比赛采用七局四胜制，率先取得四局比赛胜利的选手获胜，且该场比赛结束.已知甲、乙两名运动员进行了一场比赛，且均充分发挥出了各自的水平，其中甲运动员每局比赛获胜的概率为p（0＜p＜1），每局比赛无平局，且每局比赛结果互不影响.
（1）若前三局比赛中，甲至少赢得一局的概率为3925p，求乙每局比赛获胜的概率；
（2）若前三局比赛中甲只赢了一局，设这场比赛结束还需要比赛的局数为ξ，求ξ的分布列和数学期望f（p），并求当p为何值时，f（p）最大.
解析 （1）设事件A为“前三局比赛中，甲至少赢得一局”，（1分）
则P（A）＝1－（1－p）3＝3925p，（事件A包含的情况比较多，直接求解P（A）比较困难，故考虑利用正难则反的思想求解）（3分）
化简得25p2－75p＋36＝0，即（5p－3）（5p－12）＝0，
所以p＝35或p＝125（舍去），（4分）
所以乙每局比赛获胜的概率为1－p＝25.（5分）
（2）由题意知，ξ的所有可能取值分别为2，3，4，（6分）
P（ξ＝2）＝（1－p）2＝1－2p＋p2，
P（ξ＝3）＝p3＋C21p（1－p）2＝3p3－4p2＋2p，
P（ξ＝4）＝C32p2（1－p）×1＝3p2－3p3.（9分）
则ξ的分布列为
所以f（p）＝2（1－2p＋p2）＋3（3p3－4p2＋2p）＋4（3p2－3p3）＝－3p3＋2p2＋2p＋2（0＜p＜1），（10分）
f'（p）＝－9p2＋4p＋2，
令f'（p）＝0，得p＝22+29，
当p∈（0，22+29）时，f'（p）＞0，f（p）单调递增；
当p∈（22+29，1）时，f'（p）＜0，f（p）单调递减.（11分）
所以当且仅当p＝22+29时，f（p）最大.（12分）ξ
2
3
4
P
1－2p＋p2
3p3－4p2＋2p
3p2－3p3