2025届人教新高考高三数学一轮复习规范答题增分专项2高考中的三角函数与解三角形问题Word版附解析

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1.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, B=150°.
(1)若a=3c,b=27,求△ABC的面积;
(2)若sin A+3sin C=22,求C.
2.(2021天津,16)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sin A∶sin B∶sin C=2∶1∶2,b=2.
(1)求a的值;
(2)求cs C的值;
(3)求sin2C-π6的值.
3.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cs2π2+A+cs A=54.
(1)求A;
(2)若b-c=33a,证明:△ABC是直角三角形.
4.在△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD的面积是△ADC面积的2倍.
(1)求sinBsinC;
(2)若AD=1,DC=22,求BD和AC的长.
5.在①ac=3,②csin A=3,③c=3b这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.
问题:是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin A=3sin B,C=π6, ?
6.(2021新高考Ⅰ,19)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=asin C.
(1)证明:BD=b;
(2)若AD=2DC,求cs∠ABC.
7.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,c=2,B=45°.
(1)求sin C的值;
(2)在边BC上取一点D,使得cs∠ADC=-45,求tan∠DAC的值.
8.在①m=(a+b,c-a),n=(a-b,c),且m⊥n,②2a-c=2bcs C,③sin(B+π6)=cs B+12这三个条件中任选一个补充在下面的问题中,并给出解答.
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 .
(1)求角B;
(2)若b=4,求△ABC周长的最大值.
规范答题增分专项二
高考中的三角函数与解三角形问题
1.解 (1)由题设及余弦定理,得28=3c2+c2-2×3c2×cs 150°,解得c=-2(舍去)或c=2.从而a=23.
△ABC的面积为12×23×2×sin 150°=3.
(2)在△ABC中,A=180°-B-C=30°-C,所以sin A+3sin C=sin(30°-C)+3sin C=sin(30°+C).
故sin(30°+C)=22.
因为0°2.解 (1)∵sin A∶sin B∶sin C=2∶1∶2,∴a∶b∶c=2∶1∶2,
又b=2,∴a=22,c=2.
(2)由余弦定理可得cs C=a2+b2-c22ab=8+2-42×22×2=34.
(3)∵cs C=34,∴sin C=1-cs2C=74,
∴sin 2C=2sin Ccs C=2×74×34=378,cs 2C=2cs2C-1=2×916-1=18,
∴sin2C-π6=sin 2Ccsπ6-cs 2Csinπ6=378×32−18×12=321-116.
3.(1)解 由已知得sin2A+cs A=54,即cs2A-cs A+14=0.
所以csA-122=0,cs A=12.由于0(2)证明 由正弦定理及已知条件,得sin B-sin C=33sin A.
由(1)知B+C=2π3,所以sin B-sin2π3-B=33sin π3.
即12sin B-32cs B=12,sinB-π3=12.
由于04.解 (1)S△ABD=12AB·ADsin∠BAD,S△ADC=12AC·ADsin∠CAD.
因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC.
由正弦定理,得sinBsinC=ACAB=12.
(2)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,且DC=22,所以BD=2.在△ABD和△ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2AD·BDcs∠ADB,AC2=AD2+DC2-2AD·DCcs∠ADC.
故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.
由(1)知AB=2AC,所以AC=1.
5.解 方案一:选条件①.
由C=π6和余弦定理,得a2+b2-c22ab=32.
由sin A=3sin B及正弦定理,得a=3b.
于是3b2+b2-c223b2=32,由此可得b=c.
由①ac=3,解得a=3,b=c=1.
因此,选条件①时,问题中的三角形存在,此时c=1.
方案二:选条件②.
由C=π6和余弦定理,得a2+b2-c22ab=32.
由sin A=3sin B及正弦定理,得a=3b.
于是3b2+b2-c223b2=32,由此可得b=c.所以B=C=π6.
由A+B+C=π,得A=π-π6−π6=2π3.
由②csin A=3,即csin2π3=3,所以c=b=23,a=6.
因此,选条件②时,问题中的三角形存在,此时c=23.
方案三:选条件③.
由C=π6和余弦定理,得a2+b2-c22ab=32.
由sin A=3sin B及正弦定理,得a=3b.
于是3b2+b2-c223b2=32,由此可得b=c.
由③c=3b,与b=c矛盾.
因此,选条件③时,问题中的三角形不存在.
6.(1)证明 由正弦定理,得BD·b=ac=b2,则BD=b.
(2)解 由(1)知BD=b,∵AD=2DC,∴AD=23b,DC=13b.
在△ABD中,由余弦定理,得cs∠BDA=BD2+AD2-AB22BD·AD=b2+23b2-c22b·23b=13b2-9c212b2,
在△CBD中,由余弦定理,得cs∠BDC=BD2+CD2-BC22BD·CD=b2+13b2-a22b·13b=10b2-9a26b2.
∵∠BDA+∠BDC=π,
∴cs∠BDA+cs∠BDC=0,
即13b2-9c212b2+10b2-9a26b2=0,得33b2=9c2+18a2.
∵b2=ac,
∴9c2-33ac+18a2=0.
∴c=3a或c=23a.
在△ABC中,由余弦定理知,cs∠ABC=a2+c2-b22ac=a2+c2-ac2ac,
当c=3a时,cs∠ABC=76>1(舍);
当c=23a时,cs∠ABC=712.
综上所述,cs∠ABC=712.
7.解 (1)在△ABC中,因为a=3,c=2,B=45°,由余弦定理b2=a2+c2-2accs B,得b2=9+2-2×3×2cs 45°=5,所以b=5.
在△ABC中,由正弦定理bsinB=csinC,
得5sin45°=2sinC,所以sin C=55.
(2)在△ADC中,因为cs ∠ADC=-45,所以∠ADC为钝角,而∠ADC+∠C+∠CAD=180°,所以∠C为锐角.
故cs C=1-sin2C=255,则tan C=sinCcsC=12.
因为cs∠ADC=-45,所以sin∠ADC=
1-cs2∠ADC=35,tan∠ADC=sin∠ADCcs∠ADC=-34.
从而tan∠DAC=tan(180°-∠ADC-C)=-tan(∠ADC+C)=-tan∠ADC+tanC1-tan∠ADC·tanC=--34+121--34×12=211.
8.解 选①:(1)∵m=(a+b,c-a),n=(a-b,c),且m⊥n,
∴(a+b)(a-b)+c(c-a)=0.
化简得a2+c2-b2=ac,由余弦定理,得cs B=a2+c2-b22ac=ac2ac=12,∵0(2)由余弦定理b2=a2+c2-2accs B,得16=(a+c)2-3ac.
∵a+c2≥ac,∴ac≤(a+c)24,当且仅当a=c时,等号成立,
∴3ac=(a+c)2-16≤3(a+c)24,解得a+c≤8,当且仅当a=c=4时,等号成立,∴a+b+c≤8+4=12,
∴△ABC的周长的最大值为12.
选②:(1)根据正弦定理,由2a-c=2bcs C,得2sin A-sin C=2sin Bcs C.
∵sin A=sin(B+C)=sin Bcs C+sin Ccs B,
∴2sin Ccs B=sin C.
∵sin C≠0,∴cs B=12.
∵B∈(0,π),∴B=π3.
(2)由余弦定理b2=a2+c2-2accs B,得16=(a+c)2-3ac.
∵a+c2≥ac,∴ac≤(a+c)24,当且仅当a=c时,等号成立,
∴3ac=(a+c)2-16≤3(a+c)24,解得a+c≤8,当且仅当a=c=4时,等号成立,
∴a+b+c≤8+4=12,∴△ABC的周长的最大值为12.
选③:(1)由sinB+π6=cs B+12,得32sin B+12cs B=cs B+12,即32sin B-12cs B=12,得csB+π3=-12,∵B∈(0,π),∴B+π3=2π3,解得B=π3.
(2)由余弦定理b2=a2+c2-2accs B,得16=(a+c)2-3ac.
∵a+c2≥ac,∴ac≤(a+c)24,当且仅当a=c时,等号成立,
∴3ac=(a+c)2-16≤3(a+c)24,解得a+c≤8,当且仅当a=c=4时,等号成立,
∴a+b+c≤8+4=12,∴△ABC的周长的最大值为12.