高考数学复习第五章　第一节　任意角和弧度制及三角函数的概念（导学案）

这是一份高考数学复习第五章　第一节　任意角和弧度制及三角函数的概念（导学案），共18页。

第一节 任意角和弧度制及三角函数的概念
1.了解任意角的概念和弧度制;
2.能进行弧度与角度的互化;
3.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
1.角的概念的推广
(1)定义:
一条射线绕着它的 端点 旋转所成的图形.
(2)分类:
按旋转方向不同分为正角、负角、 零角 ;按终边位置不同分为象限角和 轴线角 .
(3)终边相同的角:
所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β= α+k·360° ,k∈Z}.
点睛终边相同的角不一定相等,但是相等的角终边一定相同.
(4)象限角:
2.弧度制的定义和公式
(1)定义:
长度等于 半径长 的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度单位用符号rad表示.
(2)公式:
点睛
(1)在同一个式子中,采用的度量制度必须一致,不可混用;
(2)利用公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.
3.任意角的三角函数
(1)定义:
设α是一个任意角,α∈R,它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y),那么sin α= y ,cs α= x ,tan α= yx (x≠0).
(2)任意角的三角函数的定义(推广)
设P(x,y)是角α终边上异于原点O的任一点,其到原点O的距离为r,则sin α= yr ,cs α= xr ,tan α= yx (x≠0).
(3)三角函数的定义域
点睛三角函数值在各象限内的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦.
1.若角α∈0,π2,则sin α<α2.α所在象限与α2所在象限的关系
1.(教材变式)角-863°的终边所在的象限是( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
解析：选C.-863°=-2×360°-143°,-863°和-143°的终边相同,故-863°的终边在第三象限.
2.(教材提升)下列与角11π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )
A.2kπ+135°(k∈Z)
B.k·360°+11π4(k∈Z)
C.k·360°+135°(k∈Z)
D.kπ+3π4(k∈Z)
解析：选C.与11π4的终边相同的角可以写成2kπ+3π4(k∈Z)或k·360°+135°(k∈Z),但是角度制与弧度制不能混用,排除A,B,易知D错误,C正确.
3.(结论2)设θ是第三象限角,且cs θ2=
-cs θ2,则θ2是( )
A.第一象限角B.第二象限角
C.第三象限角D.第四象限角
解析：选B.因为θ是第三象限角,所以π+2kπ<θ<3π2+2kπ,k∈Z,所以π2+kπ<θ2<3π4+kπ,k∈Z,所以θ2的终边落在第二、四象限,又cs θ2=-cs θ2,所以cs θ2<0,所以θ2是第二象限角.
4.(忽视隐含条件)设α是第二象限角,P(x,8)为其终边上的一点,且sin α=45,则x=( )
A.-3B.-4
C.-6D.-10
解析：选C.因为P(x,8)为其终边上的一点,且sin α=45,所以sin α=8x2+82=45,解得x=±6,因为α是第二象限角,所以x=-6.
5.(混淆弧度制和角度制)已知扇形的圆心角为60°,其弧长为2π,则此扇形的面积为 .
解析：因为α=60°=π3,l=αr,所以r=2ππ3=6,所以扇形面积S=12lr=12×2π×6=6π.
答案:6π
角的概念的推广
角度1 区域角
[典例1]如图,试用弧度制写出终边落在阴影部分的角的集合.
(1)
解析：(方法一)由于终边在y=-x(x≤0)的角的集合为αα=2kπ+3π4,k∈Z,由于终边在x非正半轴的角的集合为{α|α=2kπ+π,k∈Z},因此由题图可知,终边落在阴影部分的角的集合为α3π4+2kπ≤α≤π+2kπ,k∈Z.
(方法二)在[0,2π)内,终边落在阴影部分的角的集合为3π4,π,所以所求角的集合为
α3π4+2kπ≤α≤π+2kπ,k∈Z.
(2)
解析：由于终边在y=-x(x≤0)的角的集合为αα=2kπ+3π4,k∈Z,终边在y=-x(x>0)的角的集合为αα=2kπ+7π4,k∈Z,
终边在y=x(x>0)的角的集合为
αα=2kπ+π4,k∈Z,
终边在y=x(x≤0)的角的集合为
αα=2kπ+5π4,k∈Z,因此由题图可知,终边落在阴影部分的角的集合为
βπ4+2kπ≤β<3π4+2kπ,k∈Z∪
β5π4+2kπ≤β<7π4+2kπ,k∈Z=
βπ4+kπ≤β<3π4+kπ,k∈Z.
表示区域角的步骤
(1)按逆时针方向找到区域的起始和终止边界.
(2)按由小到大的顺序分别标出起始和终止边界对应的角α和β的集合;
(3)结合起始、终止边界可得区间角集合.
提醒根据区域写不等式时,要注意包含边界用≥或≤,不包含边界用>或<.
角度2 象限角及终边相同的角
[典例2]已知α=π3.
(1)写出与角α终边相同的角的集合,并求出在(-4π,-π)内与角α终边相同的角;
(2)若角β与角α终边相同,判断角β2是第几象限的角.
解析：(1)与角α终边相同的角的集合为
θθ=2kπ+π3,k∈Z,
令-4π<2kπ+π3<-π,得-136又k∈Z,所以k=-2,-1,所以在(-4π,-π)内与角α终边相同的角是-11π3,-5π3;
(2)由(1)知,β=2kπ+π3(k∈Z),则β2=kπ+π6(k∈Z),则当k为偶数时,角β2是第一象限角;当k为奇数时,角β2是第三象限角,所以角β2是第一或第三象限角.
1.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角
先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角.
2.确定nα,αn(n∈N*)的终边位置的方法
先用终边相同角的形式表示出角α的范围,再写出nα或αn的范围,然后根据n的可能取值讨论确定nα或αn的终边所在位置.
1.集合αkπ+π4≤α≤kπ+π2,k∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
解析：选C.当k=2n(n∈Z)时,2nπ+π4≤α≤2nπ+π2,此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样;当k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+π+π4≤α≤2nπ+π+π2,此时α表示的范围与π+π4≤α≤π+π2表示的范围一样.
2.若角α的终边在y轴的负半轴上,则角α+2π3的终边在( )
A.第一象限B.第二象限
C.y轴的正半轴上D.x轴的负半轴上
解析：选A.由角α的终边在y轴的负半轴上可知α=3π2+2kπ,k∈Z,
故α+2π3=3π2+2kπ+2π3=13π6+2kπ,k∈Z,而13π6=2π+π6在第一象限内,故角α+2π3的终边在第一象限.
【加练备选】
1.已知角α的终边与5π3的终边重合,则α3的终边不可能在( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
解析：选A.因为角α的终边与5π3的终边重合,所以α=5π3+2kπ,k∈Z,所以α3=5π9+23kπ,k∈Z,令k=3n(n∈Z),则α3=5π9+2nπ(n∈Z),此时α3的终边位于第二象限;
令k=3n+1(n∈Z),则α3=11π9+2nπ(n∈Z),此时α3的终边位于第三象限;
令k=3n+2(n∈Z),则α3=17π9+2nπ(n∈Z),此时α3的终边位于第四象限.
所以α3的终边不可能在第一象限.
2.若角α的终边与函数f(x)=x-1的图象相交,则角α的集合为( )
A.α2kπ+π4<α<2kπ+5π4,k∈Z
B.α2kπ+3π4<α<2kπ+7π4,k∈Z
C.α2kπ-3π4<α<2kπ+π4,k∈Z
D.α2kπ-5π4<α<2kπ+π4,k∈Z
解析：选C.当角α的终边与直线y=x重合时,角α的终边与函数f(x)=x-1的图象无交点.又因为角α的终边为射线,所以2kπ-3π4<α<2kπ+π4,k∈Z.
角度3 角的对称问题
[典例3]写出满足下列条件的角.
(1)角α的终边与780°角的终边关于x轴对称,且-90°<α<0°,则α= ;
解析：因为α=k·360°-780°(k∈Z),又-90°<α<0°,所以α=-60°.
答案:-60°
(2)角β的终边与780°角的终边关于y轴对称,且450°<β<540°,则β= .
解析：因为β=(2k+1)·180°-780°(k∈Z),又450°<β<540°,所以β=480°.
答案:480°
(3)角γ的终边与780°角的终边垂直,则γ= .
解析：γ=k·180°+90°+780°(k∈Z)=n·180°+150°(n∈Z).
答案:n·180°+150°(n∈Z)
常见的角的对称关系
1.若角α与角β的终边关于y轴对称,则β=k·360°+(180°-α),k∈Z.
2.若角α与角β的终边关于x轴对称,则β=k·360°+(-α),k∈Z.
3.若角α与角β的终边关于原点对称,则β=k·360°+(180°+α),k∈Z.
4.若角α与角β的终边相互垂直,则β=k·180°+(90°+α),k∈Z.
1.若角α,β的终边关于y轴对称,则下列等式成立的是( )
A.sin α=sin βB.cs α=cs β
C.tan α=tan βD.1tanα=1tanβ
解析：选A.因为α,β的终边关于y轴对称,设角α终边上一点P(x,y),则点P关于y轴对称的点为P'(-x,y),且点P与点P'到原点的距离相等,设为r,则P'(-x,y)在β的终边上,由三角函数的定义得sin α=yr,sin β=yr,所以sin α=sin β.
2.(多选题)下列条件中,能使α和β的终边关于y轴对称的是( )
A.α+β=540°B.α+β=360°
C.α+β=180°D.α+β=90°
解析：选AC.假设α,β为0°~180°内的角,如图所示,由α和β的终边关于y轴对称,所以α+β=180°,又根据终边相同的角的概念,可得α+β=k·360°+180°=(2k+1)180°,k∈Z,所以A,C满足条件.
扇形的弧长及面积公式的应用
[典例4](1)一扇形的圆心角α=π3,半径R=10 cm,则扇形的面积为 .
解析：由已知得α=π3,R=10 cm,所以S扇形=12α·R2=12·π3·102=50π3(cm2).
答案:50π3 cm2
(2)如图,点A,B,C是圆O上的点.
①若AB=4,∠ACB=π6,求劣弧AB的长;
②已知扇形AOB的周长为8,求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小.
解析：①因为∠ACB=π6,所以∠AOB=2∠ACB=π3,又OA=OB,所以△AOB为等边三角形,所以OA=AB=4,则劣弧AB的长为π3·OA=4π3.
②设圆O的半径为r,扇形AOB的弧长为l,圆心角为α.
因为扇形AOB的周长为8,所以2r+l=8.
方法一:扇形面积S=12l·r=14l·2r≤14·2r+l22=4(当且仅当2r=l=4时取等号),
所以当扇形面积取得最大值时,圆心角α=lr=2.
方法二:扇形面积S=12l·r=12(8-2r)·r=-r2+4r=-(r-2)2+4,
则当r=2时,S取得最大值,此时l=8-2r=4,
所以当扇形面积取得最大值时,圆心角α=lr=2.
[变式]若本例(1)条件不变,求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积.
解析：l=α·R=π3×10=10π3(cm),S弓形=S扇形-S三角形=50π3-12·R2·sinπ3=50π3-12×102×32=
50π-7533(cm2).
应用弧度制解决问题的思路
1.求扇形面积最大值的问题时,常转化为利用二次函数或基本不等式求最值问题;
2.在解决弧长问题、扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.
提醒一个半径为r的弧长l必须满足01.(2023·成都模拟)《掷铁饼者》取材于希腊的体育竞技活动,刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”,掷铁饼者的一只手臂长约为π4米,整个肩宽约为π8米.“弓”所在圆的半径约为1.25米.则掷铁饼者双手之间的距离约为(参考数据:2≈1.414,3≈1.732)( )
米米
米米
解析：选B.由题意得,“弓”所在的弧长为l=π4+π4+π8=5π8(米),R=1.25=54(米),
所以其所对的圆心角α=lR=5π854=π2,
所以双手之间的距离d=R2+R2=2×1.25≈1.768(米).
2.已知扇形的周长为10 cm,面积是4 cm2,求扇形的圆心角.
解析：设该扇形的圆心角为α,半径为R,由题意得2R+Rα=10,12αR2=4⇒R=1,α=8(舍去)或R=4,α=12.故扇形的圆心角为12rad.
【加练备选】
1.已知扇形OAB的圆心角为120°,半径长为6 cm,求:
(1)AB的长;
(2)该扇形所含弓形的面积.
解析：(1)因为α=120°=120×π180=2π3,r=6,
所以l=23π×6=4π(cm).
(2)如图所示,
扇形面积公式S=120π×62360=12π(cm2).
因为∠OBC=30°,r=6,所以OC=3,
所以BC=62-32=33,则AB=63.
故S△OAB=12AB·OC=12×63×3=93(cm2).
所以该扇形所含弓形的面积为S-S△OAB=(12π-93)(cm2).
2.某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌,该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的).已知OA=2米,OB=x米(0(1)求θ关于x的函数解析式;
(2)记该宣传牌的面积为y,试问x取何值时,y的值最大?并求出最大值.
解析：(1)根据题意,BC的长度为xθ米,AD的长度为2θ米,
所以2(2-x)+xθ+2θ=6,所以θ=2x+2x+2(0(2)依据题意,可知y=S扇形OAD-S扇形OBC=12θ×22-12θx2,化简得y=-x2+x+2,0所以当x=12时,ymax=-122+12+2=94.
所以当x=12时,y的值最大,且最大值为94.
三角函数的定义
角度1 根据定义求三角函数值
[典例5]已知角α的终边在函数y=12x(x>0)的图象上,求sin α,cs α的值.
解析：方法一:在函数y=12x(x>0)的图象上取一点P(2,1),则r=|OP|=5,因此sin α=15=55,cs α=25=255,即sin α=55,cs α=255.
方法二:在函数y=12x的图象上取一点P(2t,t)(t>0),则r=|OP|=(2t)2+t2=5t.
因此sin α=t5t=55,cs α=2t5t=255.
[变式]已知角α的终边在函数y=12x的图象上,求sin α,cs α的值.
解析：在函数y=12x的图象上取一点P(2t,t)(t≠0).
r=|OP|=(2t)2+t2=5|t|.
当t>0时,同典例5的方法二.
当t<0时,r=-5t.
因此sin α=t-5t=-55,cs α=2t-5t=-255.
综上所述,sin α=55,cs α=255或sin α=-55,cs α=-255.
三角函数定义的应用
(1)已知角α终边上一点P的坐标,可先求出点P到原点的距离|OP|=r,然后利用三角函数的定义求解.
(2)已知角α的终边所在的直线方程,可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离r,再利用三角函数的定义求解,应注意分情况讨论.
提醒若角的终边在一条直线上,用参数设点的坐标时,要注意参数的取值范围.
角度2 三角函数的符号
[典例6]若α是第四象限角,则点Pcs α2,tan α2在( )
A.第二或第四象限
B.第一或第三象限
C.第三或第四象限
D.第一或第二象限
解析：选C.因为α是第四象限角,即2kπ-π2<α<2kπ,k∈Z,所以kπ-π4<α2当k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+3π4<α2<2nπ+π,n∈Z,此时α2是第二象限角,
则cs α2<0,tan α2<0,点P在第三象限;
当k=2n(n∈Z)时,2nπ-π4<α2<2nπ,n∈Z,此时α2是第四象限角,
则cs α2>0,tan α2<0,点P在第四象限.所以点P在第三或第四象限.
三角函数值的符号及角的位置的判断方法
已知一角的三角函数值(sin α,cs α,tan α)中任意两个的符号,可分别确定出角的终边所在的可能位置,二者的交集即为该角的终边位置.注意终边在坐标轴上的特殊情况.
1.若角α满足sin α·cs α<0,cs α-sin α<0,则α在( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
解析：选B.因为sin α·cs α<0,所以α是第二或第四象限角;
当α是第二象限角时,cs α<0,sin α>0,满足cs α-sin α<0;
当α是第四象限角时,cs α>0,sin α<0,则cs α-sin α>0,不符合题意;
综上所述α是第二象限角.
2.(2022·常州模拟)已知角α的终边在直线y=-3x上,则10sin α+3csα的值为( )
A.-610B.610
C.0D.-310
解析：选C.由题知cs α≠0.
设角α的终边上一点(a,-3a)(a≠0),
则r=a2+9a2=10|a|.
当a>0时,r=10a,sin α=-3a10a=-31010,
cs α=a10a=1010,
10sin α+3csα=-310+310=0.
当a<0时,r=-10a,sin α=-3a-10a=31010,cs α=a-10a=-1010,
10sin α+3csα=310-310=0.
3.已知点M是圆x2+y2=1上的点,以射线OM为终边的角α的正弦值为-22,求cs α和tan α的值.
解析：设点M(x1,y1),由题意可知sin α=-22,即y1=-22,因为点M在圆x2+y2=1上,
所以x12+y12=1,即x12+-222=1,解得x1=
±22,所以当x1=22时,cs α=22,tan α=-1,
当x1=-22时,cs α=-22,tan α=1.
【加练备选】
1.(多选题)已知角α的终边与单位圆交于点P35,m5,则sin α的值可能是( )
A.45B.35C.-45D.-35
解析：选AC.由题意可得sin α=m32+m2=m5,解得m=±4.当m=4时,sin α=45;当m=-4时,sin α=-45.
2.(多选题)在平面直角坐标系中,角α以x正半轴为始边,终边与单位圆(原点为圆心)交于点-12,n,则符合条件的角α可以是( )
A.-π3B.2π3C.4π3D.7π3
解析：选BC.当α=-π3时,cs-π3=12≠
-12,故错误;当α=2π3时,cs 2π3=-12,故正确;当α=4π3时,cs 4π3=-cs π3=-12,故正确;当α=7π3时,cs 7π3=cs2π+π3=12,故错误.
3.(1)已知θ是第二象限角,试判断tan(sin θ)tan(cs θ)的符号.
(2)若sin(cs θ)cs(sin θ)<0,求θ的终边的位置.
解析：(1)因为θ是第二象限角,所以00,tan(cs θ)<0,所以tan(sin θ)tan(cs θ)<0.
(2)因为-π2<-1≤sin θ≤1<π2,
所以cs(sin θ)>0.
又sin(cs θ)cs(sin θ)<0,所以sin(cs θ)<0.
因为-π2<-1≤cs θ≤1<π2,所以cs θ<0,
所以θ的终边在第二、三象限或在x轴的负半轴上.
【备选题型】三角函数定义域问题
[典例]求下列函数的定义域:
(1)y=sinx+csxtanx;
(2)y=lg sin 2x+9-x2.
【思路分析】(1)由于函数解析式中分母中含
tan x,因此既要保证tan x≠0,还要注意其本身隐含的条件;(2)函数的定义域要同时满足真数大于0的条件以及被开方数非负数的特征.
解析：(1)要使函数y=sinx+csxtanx有意义,则tan x≠0,所以x≠kπ+π2,k∈Z且x≠kπ,k∈Z,所以x≠kπ2,k∈Z.所以函数y=sinx+csxtanx的定义域是xx≠kπ2,k∈Z;
(2)要使函数有意义,则sin2x>0,9-x2≥0.
解得-3≤x<-π2或0所以函数的定义域为-3,-π2∪0,π2.
求解与三角函数有关的定义域时,一般转化为不等式(组),若涉及tan x要注意x≠kπ+π2,k∈Z,有时不仅要考虑象限角,还要考虑象限界角.另外,要注意定义域用集合表示.
提醒涉及三角函数的解集与确定的数集的交集时,应结合k的具体值求交集.
1.函数y=csx·tanx的定义域为 .
解析：要使函数y=csx·tanx有意义,需csx≥0tanx≥0x≠π2+kπ或csx≤0tanx≤0x≠π2+kπ其中k∈Z,
故x∈2kπ,π2+2kπ∪π2+2kπ,π+2kπ,k∈Z.
答案:2kπ,π2+2kπ∪π2+2kπ,π+2kπ,k∈Z
2.设函数f(x)的定义域为[-4,4],其图象如图,那么不等式f(x)sinx≤0的解集为 .
解析：由题图可知:当f(x)≤0时,-4≤x≤-2,或1≤x≤4;
当f(x)≥0时,-2≤x≤1或x=4;
由于x∈[-4,4]且sin x>0时,x∈[-4,-π)∪(0,π);
sin x<0时,x∈(-π,0)∪(π,4].
因此f(x)sinx≤0等价于f(x)≥0sinx<0或f(x)≤0sinx>0.
即x∈[-4,-π)∪[-2,0)∪[1,π)∪{4}.
答案:[-4,-π)∪[-2,0)∪[1,π)∪{4}
课堂巩固,请使用 “核心素养测评 二十一”
象限角
角的表示
第一象限的角
{α|k·360°<α第二象限的角
{α|k·360°+90°<α第三象限的角
{α|k·360°+180°<α第四象限的角
{α|k·360°+270°<α角α的弧度数公式
|α|=lr(l表示弧长)
角度与弧度的换算
①1°=π180rad;
②1 rad=180π°
弧长公式
l= |α|r
扇形面积公式
S=12lr=12|α|r2
三角函数
定义域
sin α
R
cs α
R
tan α
αα≠kπ+π2,k∈Z
α所在象限
一
二
三
四
α2所在象限
一、三
一、三
二、四
二、四
教材改编
结论应用
易错易混
1,2
3
4,5