高考数学复习第五章　第二节　同角三角函数的基本关系、诱导公式（导学案）

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1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cs2x=1,sinxcsx=tan x;
2.能利用单位圆中的对称性推导出π2±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系: sin2α+cs2α=1 .
(2)商数关系:sinαcsα=tan αα≠π2+kπ,k∈Z.
2.三角函数的诱导公式
点睛诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的变化.
1.(教材变式)若α为第三象限角,且sin α=-13,则cs α=( )
A.223B.-24
C.24D.-223
解析：选D.由题意cs α=-1-sin2α=-1-(-13) 2=-223.
2.(教材变式)已知tan α=-2,则2sinα+csαcsα-sinα=( )
A.-4B.-12C.-1D.-13
解析：选C.2sinα+csαcsα-sinα=2tanα+11-tanα=-4+11-(-2)=-1.
3.(公式运用致误)(多选题)已知x∈R,则下列等式恒成立的是( )
A.sin(-x)=sin x
B.sin3π2-x=cs x
C.csπ2+x=-sin x
D.cs(x-π)=-cs x
解析：选CD.sin(-x)=-sin x,故A不成立;
sin3π2-x=-cs x,故B不成立;
csπ2+x=-sin x,故C成立;
cs(x-π)=-cs x,故D成立.
4.(漏解导致错误)若sin x·cs x=18,则cs x-
sin x的值是( )
A.±32B.32C.-32D.±12
解析：选A.(cs x-sin x)2=1-2sin xcs x=1-2×18=34,所以cs x-sin x=±32.
5.(忽视三角函数值符号)若化简1-csα1+csα后的结果为csα-1sinα,则角α的取值范围为 .
解析：因为1-csα1+csα=(1-csα)21-cs2α=1-csα|sinα|=csα-1sinα,所以sin α<0.所以-π+2kπ<α<2kπ,k∈Z.
答案:(-π+2kπ,2kπ),k∈Z
同角三角函数的基本关系
角度1 简单的求值问题
[典例1]已知sin α=-513,则13cs α+12tan α= .
解析：因为sin α=-513<0且sin α≠-1,所以α是第三或第四象限角.
(1)若α是第三象限角,则cs α=-1-sin2α=-1-(-513) 2=-1213,
所以tan α=sinαcsα=512,
此时,13cs α+12tan α=13×-1213+12×512=-7.
(2)若α是第四象限角,
则cs α=1-sin2α=1-(-513) 2=1213,
所以tan α=sinαcsα=-512,
此时,13cs α+12tan α=13×1213+12×-512=7.
答案:7或-7
简单求值问题的两种思路
(1)利用sin2α+cs2α=1实现角α的正弦、余弦的互化.
(2)利用sinαcsα=tan α实现角α的弦切互化.
提醒若角的象限不确定,则需要分类讨论.
角度2 弦化切的求值问题
[典例2]已知3sin2α-4sin αcs α+1=0.
(1)求tan α的值;
(2)求sinαcsα1+cs2α的值.
解析：(1)方法一:因为sin2α+cs2α=1,3sin2α-4sin αcs α+1=0,
所以3sin2α-4sinαcsαsin2α+cs2α+1=0,
分子分母同时除以cs2α,得3tan2α-4tanαtan2α+1+1=0,即(2tan α-1)2=0,解得tan α=12.
方法二:因为3sin2α-4sin αcs α+1=0,所以4sin2α-4sin αcs α+cs2α=0,
即(2sin α-cs α)2=0,所以2sin α-cs α=0,
所以tan α=12.
(2)因为tan α=12,所以sinαcsα1+cs2α=sinαcsαsin2α+2cs2α=tanαtan2α+2=29.
[变式1]本例题中的条件不变,求2+sin4α-cs4α的值.
解析：2+sin4α-cs4α=2+(sin2α-cs2α)(cs2α+sin2α)=2+sin2α-cs2α=2+sin2α-cs2αsin2α+cs2α
=2+tan2α-1tan2α+1=2+14-114+1=75.
[变式2]本例题中的条件不变,求
11+sinαcsα+cs2α的值.
解析：11+sinαcsα+cs2α
=sin2α+cs2α(sin2α+cs2α)+sinαcsα+cs2α
=sin2α+cs2αsin2α+2cs2α+sinαcsα
=1+tan2α2+tan2α+tanα=1+142+14+12=511.
[变式3]本例题条件不变,求11-sinα+11+sinα的值.
解析：11-sinα+11+sinα
=1+sinα+1-sinα(1-sinα)(1+sinα)
=21-sin2α=2cs2α=2(sin2α+cs2α)cs2α
=2tan2α+2=2×122+2=52.
——自主完善,老师指导
两种齐次式的转化方法
(1)形如asinα+bcsαcsinα+dcsα
或asin2α+bsinαcsα+ccs2αdsin2α+esinαcsα+fcs2α的分式,分子、分母同时除以cs α或cs2α,将正、余弦转化为正切,从而求值.
(2)形如asin2α+bsin αcs α+ccs2α的式子,将其看成分母为1的分式,再将分母1变形为sin2α+cs2α,转化为形如asin2α+bsinαcsα+ccs2αsin2α+cs2α的式子求值.
角度3 形如sin α±cs α的求值问题
[典例3](1)(多选题)已知θ∈(0,π),sin θ+cs θ=15,则( )
A.θ∈π2,πB.cs θ=-35
C.tan θ=-34D.sin θ-cs θ=75
解析：选ABD.因为sin θ+cs θ=15①,
所以(sin θ+cs θ)2=sin2θ+2sin θcs θ+cs2θ=125,所以2sin θcs θ=-2425.又θ∈(0,π),所以
sin θ>0,所以cs θ<0,即θ∈π2,π,故A正确.
(sin θ-cs θ)2=1-2sin θcs θ=4925,所以sin θ-cs θ=75②,故D正确.
由①②,得sin θ=45,cs θ=-35,故B正确.
tan θ=sinθcsθ=-43,故C错误.
(2)已知sin α-cs α=-52,则tan α+1tanα的值为( )
A.-4B.4C.-8D.8
解析：选C.tan α+1tanα=sinαcsα+csαsinα=1sinαcsα.
因为sin αcs α=1-(sinα-csα)22=-18,所以tan α+1tanα=-8.
(3)已知α∈[0,2π),cs α+3sin α=10,则tan α=( )
A.-3B.3或13
C.3D.13
解析：选C.方法一:由题意得(cs α+3sin α)2=10,
所以cs2α+6sin αcs α+9sin2α=10,
所以cs2α+6sinαcsα+9sin2αcs2α+sin2α=10,
所以1+6tanα+9tan2α1+tan2α=10,所以tan α=3.
方法二:由cs α+3sin α=10可知cs α=10-3sin α,代入sin2α+cs2α=1可得sin2α+(10-3sin α)2=1,
整理可得10sin2α-610sin α+9=0,
即(10sin α-3)2=0,解得sin α=31010,
代入cs α=10-3sin α可得cs α=1010,
因此tan α=3.
(4)已知θ是第三象限角,且sin4θ+cs4θ=59,则sin θcs θ的值为( )
A.23B.-23C.13D.-13
解析：选A.sin4θ+cs4θ=(sin2θ+cs2θ)2-2sin2θcs2θ=1-2sin2θcs2θ=59,所以sin2θcs2θ=29,因为θ是第三象限角,所以sin θcs θ=23.
已知sin θ±cs θ求值的问题涉及的三角恒等式
(1)(sin θ+cs θ)2=1+2sin θcs θ;
(2)(sin θ-cs θ)2=1-2sin θcs θ;
(3)(sin θ+cs θ)2+(sin θ-cs θ)2=2;
(4)(sin θ-cs θ)2=(sin θ+cs θ)2-4sin θcs θ.
提醒已知sin θ+cs θ,sin θ-cs θ,sin θcs θ中的任何一个,则另两个式子的值均可求出.
1.(2023·贵阳模拟)已知sin α-cs α=12,则sinα1-tanα的值为( )
A.-34B.34C.-316D.316
解析：选A.因为sin α-cs α=12,
所以1-2sin αcs α=14,所以sin αcs α=38.
所以sinα1-tanα=sinα1-sinαcsα=sinαcsαcsα-sinα=-34.
2.已知cs α=35,α是第一象限角,且角α,β的终边关于y轴对称,则tan β=( )
A.34B.-34C.43D.-43
解析：选D.因为cs α=35,α是第一象限角,所以sin α=1-cs2α=45,tan α=sinαcsα=43,
因为角α,β的终边关于y轴对称,所以tan β=-tan α=-43.
3.已知sinα-2csα3sinα+5csα=-5,那么tan α的值为( )
A.-2B.2C.2316D.-2316
解析：选D.由sinα-2csα3sinα+5csα=-5得tanα-23tanα+5=-5,解得tan α=-2316.
4.(2023·武汉模拟)若sin θ=cs3θ,则tan3θ+tan θ=( )
A.-12B.12C.1D.2
解析：选C.由题意得tan3θ+tan θ=sin3θcs3θ+sinθcsθ=sin2θ+cs2θ=1.
【加练备选】
1.已知tan θ=12,则sin3θ+sinθcs3θ+sinθcs2θ=( )
A.12B.2C.16D.6
解析：选A.因为tan θ=12,
所以sin3θ+sinθcs3θ+sinθcs2θ
=sin3θ+sinθ(sin2θ+cs2θ)cs3θ+sinθcs2θ
=2sin3θ+sinθcs2θcs3θ+sinθcs2θ=2tan3θ+tanθ1+tanθ
=2×(12) 3+121+12=3432=12.
2.(2021·新高考I卷)若tan θ=-2,则sinθ(1+sin2θ)sinθ+csθ=( )
A.-65B.-25C.25D.65
解析：选C.由tan θ=-2,得sin2θ=45,
sin θcs θ=-25,故sinθ(1+sin2θ)sinθ+csθ
=sinθ(sinθ+csθ)2sinθ+csθ= sin2θ+ sin θcs θ=25.
【光速解题】sinθ(1+sin2θ)sinθ+csθ
=sinθ(sinθ+csθ)2sinθ+csθ=sin2θ+sinθcsθsin2θ+cs2θ
=tan2θ+tanθtan2θ+1=25.
诱导公式及应用
[典例4](1)若sin(π+α)=13,则sin(π-α)+csπ2-α=( )
A.-23B.23C.223D.-223
解析：选A.sin(π+α)=-sin α=13,sin α
=-13,sin(π-α)+csπ2-α=sin α+sin α=2sin α=-23.
(2)tan(3π-α)sin(π-α)sin(3π2-α)+sin(2π-α)cs(α-7π2)sin(3π2+α)cs(2π+α)化简的结果是( )
A.-1B.1C.0D.1cs2α
解析：选B.
tan(3π-α)sin(π-α)sin(3π2-α)+sin(2π-α)cs(α-7π2)sin(3π2+α)cs(2π+α)
=tanαsinαcsα-sinαsinαcsαcsα
=1csαcsα-sinαsinαcsαcsα=1.
(3)(多选题)在△ABC中,下列等式一定成立的是( )
A.sin A+B2=-cs C2
B.sin(2A+2B)=-cs 2C
C.tan(A+B)=-tan C
D.sin(A+B)=sin C
解析：选CD.sin A+B2=sinπ2-C2=cs C2,故A错误;
sin(2A+2B)=sin[2(π-C)]=sin(2π-2C)
=-sin 2C,故B错误;
tan(A+B)=tan(π-C)=-tan C,故C正确;
sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,故D正确.
(4)(多选题)已知sinx+π4=-55,x∈π2,π,则( )
A.csx+π4=-255
B.tanx+π4=2
C.csπ4-x=-55
D.sinπ4-x=255
解析：选AC.因为x∈π2,π,所以x+π4∈3π4,5π4,又sinx+π4=-55,所以x+π4∈π,5π4.
所以csx+π4=-1-sin2(x+π4)=-255,故A正确;
所以tanx+π4=sin(x+π4)cs(x+π4)=12,故B错误;
又csπ4-x=csπ2-x+π4=sinx+π4=-55,故C正确;
sinπ4-x=sinπ2-x+π4=csx+π4=-255≠255,故D错误.
——自主完善,老师指导
1.诱导公式用法的一般思路
(1)化负为正,化大为小,化到锐角为终了.
(2)角中含有加减π2的整数倍时,用诱导公式去掉π2的整数倍.
2.常见的互余和互补的角
(1)常见的互余的角:π3-α与π6+α;π3+α与π6-α;π4+α与π4-α等.
(2)常见的互补的角:π3+θ与2π3-θ;π4+θ与3π4-θ等.
3.求解与三角形内角有关的三角函数问题,要充分利用三角形内角和为π的性质进行转化.
提醒利用诱导公式求解含有2π整数倍的函数关系式时,可以直接将2π整数倍去掉后求解.
1.sin 2 024π3的值等于( )
A.12B.-12C.32D.-32
解析：选C.sin 2 024π3=sin674π+2π3=sin 2π3=sinπ-π3=sin π3=32.
2.已知tan(π-α)=-23,且α∈-π,-π2,则cs(-α)+3sin(π+α)cs(π-α)+9sinα的值为( )
A.-15B.-37C.15D.37
解析：选A.tan(π-α)=-23⇒tan α=23,
cs(-α)+3sin(π+α)cs(π-α)+9sinα=csα-3sinα-csα+9sinα
=1-3tanα-1+9tanα=1-2-1+6=-15.
3.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-3,4),∠BOx=π4,记∠AOB=θ,则csθ-π4=( )
A.-35B.35C.-45D.45
解析：选D.由题图知∠BOy=π4,则∠AOy=θ-π4,而A(-3,4)在OA上,所以csθ-π4=sinθ+π4=45.
【加练备选】
(多选题)cskπ+π3(k∈Z)的值可能是( )
A.12B.32C.-32D.-12
解析：选AD.若k为偶数,不妨设k=2n(n∈Z),则cskπ+π3=cs2nπ+π3=cs π3=12;
若k为奇数,可设k=2n+1(n∈Z),则cskπ+π3=cs2nπ+π+π3=csπ+π3=-cs π3=-12.
综上,cskπ+π3的值为±12.
诱导公式与同角三角函数基本关系的综合应用
[典例5](1)(2022·西安模拟)已知3π2<α<2π,则1+csα1-csα+1-csα1+csα=( )
A.-1sinαB.1sinα
C.-2sinαD.2sinα
解析：选C.因为3π2<α<2π,所以sin α<0,
0(1+csα)2(1-csα)(1+csα)+(1-csα)2(1+csα)(1-csα)
=(1+csα)2sin2α+(1-csα)2sin2α=1+csα-sinα+1-csα-sinα=-2sinα.
(2)化简:(1-tanα)cs2α+(1+1tanα)sin2α= .
解析：(1-tanα)cs2α+(1+1tanα)sin2α
=(1-sinαcsα)cs2α+(1+csαsinα)sin2α
=cs2α-sinαcsα+sin2α+sinαcsα=1.
答案:1
(3)已知f(β)=sin(π-β)cs(2π-β)tan(β+π)tan(-β-π)sin(-π-β).
①若角β是第三象限角,且sin(β-π)=15,求f(β)的值;
②若β=2 220°,求f(β)的值.
解析：①f(β)=sin(π-β)cs(2π-β)tan(β+π)tan(-β-π)sin(-π-β)=sinβcsβtanβ-tanβsinβ=-cs β,
因为sin(β-π)=-sin β=15,所以sin β=-15.
又角β是第三象限角,所以cs β=-1-sin2β=-265,所以f(β)=-cs β=265.
②因为β=2 220°=6×360°+60°,所以f(β)=
-cs β=-cs 2 220°=-cs 60°=-12.
利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简的方法
(1)对于含有根号的,常把被开方数(式)化成完全平方数(式),然后去根号达到化简的目的;
(2)化切为弦,即把非正、余弦的函数都化为正、余弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目的;
(3)化简含高次的三角函数式,常借助于因式分解,或构造sin2α+cs2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的.
提醒涉及开方运算时要注意角的范围对三角函数符号的影响.
1.若α≠kπ,定义ct α=csαsinα.且sinα1+ct2α-csα1+tan2α=-1,试判断α所在的象限.
解析：因为sinα1+ct2α-csα1+tan2α=-1,且ct α=csαsinα,
所以sinα1+cs2αsin2α-csα1+sin2αcs2α=-1.
所以sinα1|sinα|-csα1|csα|=-1.
则应有sin α|sin α|-cs α|cs α|=-1,
即-sin α|sin α|+cs α|cs α|=1,要使该等式成立必须有sin α<0且cs α>0.
所以α是第四象限角.
2.已知f(α)=sin(π+α)cs(2π-α)cs(3π2+α)cs(π2+α)sin(α-π).
(1)化简f(α);
(2)若α是第四象限角,且sin(α-π)=13,求f(α)的值.
解析：(1)根据诱导公式可得
f(α)=sin(π+α)cs(2π-α)cs(3π2+α)cs(π2+α)sin(α-π)=-sinα·csα·sinα-sinα·(-sinα)=-cs α,
所以f(α)=-cs α.
(2)由诱导公式可知sin(α-π)=-sin α,则由sin(α-π)=13可得sin α=-13,又α是第四象限角,
所以cs α=1-sin2α=223,所以f(α)=-cs α=-223.
【加练备选】
已知csα-π6=223,α∈π6,π,则csα+π3=( )
A.-13B.13C.-233D.233
解析：选A.因为csα-π6=223,α∈π6,π,所以0<α-π6<5π6,所以sinα-π6=1-cs2(α-π6)=13,所以csα+π3
=csα-π6+π2=-sinα-π6=-13.
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公式
一
二
三
角
2kπ+α(k∈Z)
π+α
-α
正弦
sin α
-sin α
-sin α
余弦
cs α
-cs α
cs α
正切
tan α
tan α
-tan α
公式
四
五
六
角
π-α
π2-α
π2+α
正弦
sin α
cs α
cs α
余弦
-cs α
sin α
-sin α
正切
-tan α
教材改编
易错易混
1,2
3,4,5