人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制导学案

5.1.2   弧度制

1.理解角的集合与实数集间的一一对应；

2.熟练掌握角度制与弧度制间的互相转化；

3、能灵活运用弧长公式、扇形的面积公式。

1.教学重点：角度与弧度的互相转化，弧长公式及扇形的面积公式的推导与运用；

2.教学难点：用扇形的弧长公式、扇形的面积公式解决问题。

1.规定：                            叫做1弧度的角。

2.一般地，正角的弧度数是一个     ，负角的弧度数是一个       ，零角的弧度数是      。

3.弧度与角度的转化：1°=       rad;1rad=         。

4.扇形的弧长公式：               ，扇形的面积公式：                                  。

一、探索新知

探究：在圆内，圆心角的大小和半径大小有关系吗？

角度为300、600的圆心角，半径r=1,2,3时，

（1）分别计算相对应的弧长l。

（2）分别计算对应弧长与半径之比。

思考：通过上面的计算，你发现了什么规律？

1.弧度的概念

 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角.

  弧度制：这种以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制，它的单位是弧度，单位符号是rad.

约定： 正角的弧度数为正数，

       负角的弧度数为负数，

       零角的弧度数为0.

思考1:圆的半径为r,弧长分别为2r、-3r,则它们所对圆心角的弧度

数是多少?

思考2：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角α的弧度数的绝对值如何计算？

结论：圆心角AOB的弧度数等于它所对的弧的长与半径长的比的绝对值。

2.角度与弧度的换算

思考3：一个周角以度为单位度量是多少度， 以弧度为单位度量是多少弧度？由此可得角度与弧度有怎样的换算关系？

思考4：根据上述关系，1°等于多少弧度，  1 rad等于多少度？

例1.           把 67°30′化成弧度。

例2.           把下列各角的弧度化为度数。

（1）

注：角度制与弧度制互化时要抓住 180°= rad 这个关键。

注:  常规写法

① 用弧度数表示角时，常常把弧度数 写成多少的形式，不必写成小数．

②用弧度制表示角时,“弧度”二字或 “rad”通常略去不写,面只写该角所对应的弧度数.

③弧度与角度不能混用．即不能出现这样的形式:。

练习：填写下列表中特殊角的弧度数或度数。

3. 角的概念推广后，角与实数之间建立了一一对应关系，

          任意角的集合         实数集R

例3.利用弧度制证明下列扇形的公式：（1）

。（其中R是扇形的半径，是弧长，，S是扇形的面积）。

1．正确表示终边落在第一象限的角的范围的是(　　)

A．(k∈Z)

B．(k∈Z)

C．(k∈Z)

D．(k∈Z)

2．与30°角终边相同的角的集合是(　　)

A．

B．{α|α＝2kπ＋30°，k∈Z}

C．{α|α＝2k·360°＋30°，k∈Z}

D．

3．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为(　　)

A．π B．π

C．π D．π

4．将－1 485°化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式为_______．

5．一个扇形的面积为1，周长为4，求该扇形圆心角的弧度数．

这节课你的收获是什么？

参考答案：

探究：规律：①.圆心角不变，比值不变；比值的大小与所取的圆的半径大小无关；

②圆心角改变，比值改变；比值的大小只与圆心角的大小有关；

思考1.2rad,-3rad.   思考2.

思考3.360º，。

思考4 

例1.因为所以。

例2.（1）

练习：

例3.解析见教材

达标检测

1.【解析】　B中k＝1时为显然不正确；因为第一象限角不含终边在坐标轴的角故C、D均错，只有A正确．

【答案】　A

【解析】　∵30°＝30× rad＝ rad，

2.∴与30°终边相同的所有角可表示为

α＝2kπ＋，k∈Z，故选D．

【答案】　D

3.【解析】　240°＝240× rad＝πrad，

∴弧长l＝|α|·r＝π×10＝π，选A．

【答案】　A

4.【解析】　由－1 485°＝－5×360°＋315°，

所以－1 485°可以表示为－10π＋π.

【答案】　－10π＋π

5.【解析】　设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为α，

则2R＋l＝4.①

由扇形的面积公式S＝ lR，得lR＝1.②

由①②得R＝1，l＝2，∴α＝＝2 rad.

∴扇形的圆心角为2 rad.