高考数学复习第四章　第三节　导数与函数的极值、最值（导学案）

这是一份高考数学复习第四章　第三节　导数与函数的极值、最值（导学案），共20页。学案主要包含了课程标准，必备知识·精归纳，常用结论，基础小题·固根基，方法提炼，一题多变，对点训练，加练备选等内容，欢迎下载使用。

第三节 导数与函数的极值、最值
【课程标准】
1.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.
2.会利用导数求某些函数的极大值、极小值.
3.会求给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值.
【必备知识·精归纳】
1.函数的极值与导数
点睛(1)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能称为极值点.
(2)在函数的整个定义域内,极值不一定是唯一的,有可能有多个极大值或极小值.
2.函数的最值与导数
(1)函数f(x)在[a,b]上有最值的条件
一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.
(2)求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤
①求函数y=f(x)在区间(a,b)内的极值;
②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
点睛极值只能在定义域内部取得,而最值却可以在区间的端点处取得,有极值的未必有最值,有最值的未必有极值;极值有可能成为最值,最值只要不在端点处必定是极值.
【常用结论】
1.对于可导函数f(x),“f'(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处有极值”的必要不充分条件.
2.若函数f(x)在[a,b]上是单调函数,则f(x)一定在区间端点处取得最值.
3.若函数f(x)在区间(a,b)内只有一个极值点,则相应的极值点一定是函数的最值点.
【基础小题·固根基】
1.(教材变式)如图是f(x)的导函数f'(x)的图象,则f(x)的极小值点的个数为( )

A.1B.2C.3D.4
解析：选A.由题意知只有在x=-1处f'(-1)=0,且其两侧导数符号为左负右正.
2.(教材变式)函数f(x)=2x-xln x的极值是( )
A.1eB.2eC.eD.e2
解析：选C.因为f'(x)=2-(ln x+1)=1-ln x,当f'(x)>0时,解得0e,所以x=e时,f(x)取到极大值,f(x)极大值=f(e)=e.
3.(教材提升)函数f(x)=xe-x,x∈[0,4]的最小值为( )
A.0B.1eC.4e4D.2e2
解析：选A.f'(x)=1-xex.当x∈[0,1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(1,4]时,f'(x)<0,f(x)单调递减.因为f(0)=0,f(4)=4e4>0,所以当x=0时,f(x)有最小值,且最小值为0.
4.(教材提升)若函数f(x)=13x3-4x+m在[0,3]上的最大值为4,则m= .
解析：f'(x)=x2-4,x∈[0,3],
当x∈[0,2)时,f'(x)<0,
当x∈(2,3]时,f'(x)>0,
所以f(x)在[0,2)上单调递减,在(2,3]上单调递增.
又f(0)=m,f(3)=-3+m.
所以在[0,3]上,f(x)max=f(0)=4,
所以m=4.
答案:4
5.(结论1)若函数f(x)=aex-sin x在x=0处有极值,则a= .
解析：f'(x)=aex-cs x,若函数f(x)=aex-sin x在x=0处有极值,则f'(0)=a-1=0,解得a=1,经检验a=1符合题意.
答案:1
6.(忽视极值的存在条件)若函数f(x)=x3+ax2+bx+a2,在x=1处取得极值10,则a= ,b= .
解析：f'(x)=3x2+2ax+b,
依题意得f(1)=10,f'(1)=0,
即a2+a+b=9,2a+b=-3,
解得a=4,b=-11或a=-3,b=3.
经验证,当a=-3,b=3时,f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,故f(x)在R上单调递增,
所以a=-3,b=3不符合题意,舍去.
当a=4,b=-11时,符合题意.
答案:4 -11
题型一 利用导数求函数的极值问题
角度1 根据函数图象判断极值
[典例1]已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图,则下列叙述正确的是( )
A.函数f(x)在(-∞,-4)上单调递减
B.函数f(x)在x=-1处取得极大值
C.函数f(x)在x=-4处取得极值
D.函数f(x)只有一个极值点
解析：选D.由题中导函数的图象可得,当x≤2时,f'(x)≥0,函数f(x)单调递增;
当x>2时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减.
所以函数f(x)的单调递减区间为(2,+∞),故A错误;
当x=2时函数取得极大值,故B错误;
当x=-4时函数无极值,故C错误;只有当x=2时函数取得极大值,故D正确.
【方法提炼】
由图象判断函数y=f(x)的极值要抓住的两点
(1)由y=f'(x)的图象与x轴的交点,可得函数y=f(x)的可能极值点.
(2)由导函数y=f'(x)的图象可以看出y=f'(x)的值的正负,从而可得函数y=f(x)的单调性.两者结合可得极值点.
角度2 求函数的极值
[典例2](1)(2023·衡水模拟)函数f(x)=(x2-3x+1)ex的极大值为( )
A.-e2B.5e-1C.-54e32D.-2e
解析：选B.依题意,f'(x)=(x2-x-2)ex=(x-2)·(x+1)ex,
故函数f(x)在(-∞,-1),(2,+∞)上单调递增,在(-1,2)上单调递减,
所以函数f(x)在x=-1处取得极大值为f(-1)=5e-1.
(2)求下列函数的极值:
①f(x)=12(x-5)2+6ln x;
②f(x)=x-aln x(a∈R).
解析：①函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=x-5+6x=(x-2)(x-3)x.
令f'(x)=0,解得x1=2,x2=3,
当x变化时,f(x),f'(x)的变化情况如下表:
由上表可知,当x=2时,极大值f(2)=92+6ln 2,
当x=3时,极小值f(3)=2+6ln 3.
②f'(x)=1-ax=x-ax,x>0.
若a≤0,则f'(x)>0恒成立,f(x)不存在极值.
若a>0,则x,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
所以f(x)的极小值为f(a)=a-aln a,无极大值.
【方法提炼】——自主完善,老师指导
运用导数求可导函数y=f(x)的极值的一般步骤
(1)先求函数y=f(x)的定义域,再求其导数f'(x).
(2)求方程f'(x)=0在f(x)定义域内的根.
(3)检查导数f'(x)在方程根的左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值.
提醒(1)导数为零的点不一定是极值点.
(2)在解答题中涉及极值问题要列出表格.
角度3 已知极值(点)求参数
[典例3](1)(2021·全国乙卷)设a≠0,若x=a为函数f(x)=a(x-a)2(x-b)的极大值点,则( )
A.ab
C.aba2
解析：选D.当a>0时,根据题意画出函数f(x)的大致图象,如图1所示,观察可知b>a.
当a<0时,根据题意画出函数f(x)的大致图象,如图2所示,观察可知a>b.
综上,可知必有ab>a2成立.
(2)已知函数f(x)=12x2+(a-1)x-aln x存在唯一的极值,且此极值不小于1,则实数a的取值范围为 .
解析：因为f(x)=12x2+(a-1)x-aln x的定义域为(0,+∞),
所以f'(x)=x+(a-1)-ax=x2+(a-1)x-ax=(x+a)(x-1)x,
令f'(x)=0,解得x=1或x=-a,
因为函数f(x)=12x2+(a-1)x-aln x存在唯一的极值,所以x=1,此时a≥0.
所以当x∈(0,1)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,
当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,
所以f(x)极小值=f(1)=12+a-1=a-12,
因为f(x)极小值≥1,
所以a-12≥1,解得a≥32.
答案:[32,+∞)
(3)(2022·全国乙卷)已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax-ex2(a>0且a≠1)的极小值点和极大值点.若x1解析：f'(x)=2ln a·ax-2ex,
因为x1,x2分别是函数f(x)=2ax-ex2的极小值点和极大值点,
所以函数f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)上单调递减,在(x1,x2)上递增,
所以当x∈(-∞,x1)和(x2,+∞)时,f'(x)<0,
当x∈(x1,x2)时,f'(x)>0,
若a>1,当x<0时,2ln a·ax>0,2ex<0,
则此时f'(x)>0,与前面矛盾,故a>1不符合题意,
若0即方程ln a·ax=ex的两个根为x1,x2,
即函数y=ln a·ax与函数y=ex的图象有两个不同的交点,
因为0又因为ln a<0,
所以y=ln a·ax的图象由指数函数y=ax向下关于x轴作对称变换,然后将图象上的每个点的横坐标保持不变,纵坐标伸长或缩短为原来的|ln a|倍得到,如图所示,
设过原点且与函数y=g(x)的图象相切的直线的切点为(x0,ln a·ax0),
则切线的斜率为g'(x0)=ln 2a·ax0,
故切线方程为y-ln a·ax0=ln 2a·ax0(x-x0),
则有-ln a·ax0=-x0ln 2a·ax0,
解得x0=1lna,
则切线的斜率为ln2a·a1lna=eln2a,
因为函数y=ln a·ax与函数y=ex的图象有两个不同的交点,
所以eln 2a又0综上所述,a的范围为(1e,1).
答案: (1e,1)
【一题多变】
若本例(2)变为f(x)存在两个极值点x1,x2(x1≠x2),则a的取值范围为 .
解析：解法一:由例(2)的解析知,f'(x)=0解得x=1或x=-a.
因为f(x)在(0,+∞)上存在两个不相等的极值点,
所以-a>0且-a≠1,
即a<0且a≠-1.
解法二:f(x)在(0,+∞)上有两个不等的极值点⇔f'(x)在(0,+∞)上有两个不等的变号零点,
设g(x)=x2+(a-1)x-a,
即g(x)在(0,+∞)上有两个不等零点,
故有g(0)>0,-(a-1)2×1>0,-a≠1,Δ>0.
解得a<0且a≠-1.
答案:{a|a<0且a≠-1}
【方法提炼】
已知函数极值点或极值求参数的两个要领
(1)列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.
(2)验证:因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.
【对点训练】
1.(2023·广州模拟)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=(x-1)f'(x)的图象如图所示,则下列结论中正确的是( )
A.函数f(x)有极大值f(-3)和f(3)
B.函数f(x)有极小值f(-3)和f(3)
C.函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(-3)
D.函数f(x)有极小值f(-3)和极大值f(3)
解析：选D.由题图知,当x∈(-∞,-3)时,y>0,x-1<0⇒f'(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈(-3,1)时,y<0,x-1<0⇒f'(x)>0,f(x)单调递增;
当x∈(1,3)时,y>0,x-1>0⇒f'(x)>0,f(x)单调递增;
当x∈(3,+∞)时,y<0,x-1>0⇒f'(x)<0,f(x)单调递减.
所以函数有极小值f(-3)和极大值f(3).
2.已知函数f(x)=2ln x+ax2-3x在x=2处取得极小值,则f(x)的极大值为( )
A.2B.-52
C.3+ln 2D.-2+2ln 2
解析：选B.由题意得,f'(x)=2x+2ax-3,
因为f(x)在x=2处取得极小值,
所以f'(2)=4a-2=0,解得a=12,
所以f(x)=2ln x+12x2-3x,f'(x)=2x+x-3=(x-1)(x-2)x,
所以f(x)在(0,1),(2,+∞)上单调递增,在(1,2)上单调递减,
所以f(x)的极大值为f(1)=12-3=-52.
3.设a∈R,若函数y=x+aln x在区间(1e,e)上有极值点,则a的取值范围为( )
A. (1e,e)B. (-e,-1e)
C. (-∞,1e)∪(e,+∞)D.(-∞,-e)∪(-1e,+∞)
解析：选B.因为函数y=f(x)=x+aln x在区间(1e,e)上有极值点,
所以f'(x)在区间(1e,e)上有零点.
又f'(x)=1+ax=x+ax(x>0),
所以f'(1e)f'(e)<0,所以(ea+1)·(1+ae)<0,
解得-e所以a的取值范围为(-e,-1e).
【加练备选】
1.(2022·南京模拟)已知函数f(x)=x(ln x-ax)在区间(0,+∞)上有两个极值,则实数a的取值范围为( )
A.(0,e)B. (0,1e)
C. (0,12D. (0,13)
解析：选C.f'(x)=ln x-ax+x(1x-a)=ln x+1-2ax,由题意知ln x+1-2ax=0在(0,+∞)上有两个不相等的实根,2a=lnx+1x,设g(x)=lnx+1x,
则g'(x)=1-(lnx+1)x2=-lnxx2.
当00,g(x)单调递增;
当x>1时,g'(x)<0,g(x)单调递减,
所以g(x)的极大值为g(1)=1,又当x>1时,g(x)>0,当x→+∞时,g(x)→0,当x→0时,g(x)→-∞,所以0<2a<1,即02.(2022·开封模拟)设函数f(x)=exx+a,若f(x)的极小值为e,则a= .
解析：由已知得f'(x)=ex(x+a-1)(x+a)2(x≠-a),令f'(x)=0,有x=1-a,
则f(x)在(-∞,-a),(-a,1-a)上单调递减,在(1-a,+∞)上单调递增,
所以f(x)的极小值为f(1-a)=e1-a=e,
即1-a=12,得a=12.
答案:12
题型二 利用导数求函数最值问题
[典例4](1)(2022·全国乙卷)函数f(x)=cs x+(x+1)sin x+1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为( )
A.-π2,π2B.-3π2,π2
C.-π2,π2+2D.-3π2,π2+2
解析：选D.f'(x)=-sin x+sin x+(x+1)cs x=(x+1)cs x,
所以f(x)在区间(0,π2和(3π2,2π)上f'(x)>0,即f(x)单调递增;在区间(π2,3π2)上f'(x)<0,即f(x)单调递减,又f(0)=f(2π)=2,f(π2)=π2+2,f(3π2)=-(3π2+1)+1=-3π2,所以f(x)在区间[0,2π]上的最小值为-3π2,最大值为π2+2.
(2)(2021·新高考Ⅰ卷)函数f(x)=|2x-1|-2ln x的最小值为 .
解析：函数f(x)=|2x-1|-2ln x的定义域为(0,+∞).
①当x>12时,f(x)=2x-1-2ln x,
所以f'(x)=2-2x=2(x-1)x,
当12当x>1时,f'(x)>0,
所以f(x)min=f(1)=2-1-2ln 1=1;
②当0所以f(x)min=f(12)=-2ln 12=2ln 2=ln 4>ln e=1.
综上,f(x)min=1.
答案:1
(3)已知函数f(x)=ax+ln x,其中a为常数.
①当a=-1时,求f(x)的最大值;
②若f(x)在区间(0,e]上的最大值为-3,求a的值.
解析：①易知f(x)的定义域为(0,+∞),
当a=-1时,f(x)=-x+ln x,f'(x)=-1+1x=1-xx,
令f'(x)=0,得x=1.
当00;
当x>1时,f'(x)<0.
所以f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数,
所以f(x)max=f(1)=-1,
所以当a=-1时,函数f(x)在(0,+∞)上的最大值为-1.
②f'(x)=a+1x,x∈(0,e],1x∈([1e,+∞).
?若a≥-1e,则f'(x)≥0,从而f(x)在(0,e]上是增函数,
所以f(x)max=f(e)=ae+1≥0,不合题意.
?若a<-1e,令f'(x)>0,即a+1x>0,结合x∈(0,e],解得0令f'(x)<0,即a+1x<0,结合x∈(0,e],
解得-1a从而f(x)在(0,-1a)上为增函数,在(-1a,e]上为减函数,
所以f(x)max=f(-1a)=-1+ln(-1a).
令-1+ln(-1a)=-3,得ln(-1a)=-2,即a=-e2.
因为-e2<-1e,所以a=-e2即为所求.
故实数a的值为-e2.
【方法提炼】
求函数f(x)在闭区间[a,b]内的最值的方法
(1)若所给的问题中不含有参数,则只需求f'(x),并求f'(x)=0在区间[a,b]内的根,再计算使导数等于零的根的函数值,把该函数值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
(2)若所给的问题中含有参数,则需求f'(x),通过对参数分类讨论,判断函数的单调性,从而得到函数f(x)的最值.
【对点训练】
1.已知函数f(x)=12sin 2x+sin x,则f(x)的最小值是( )
A.-332B.332
C.-334D.334
解析：选C.由题得f'(x)=cs 2x+cs x=2cs2x+cs x-1=(2cs x-1)(cs x+1),
所以当120,f(x)单调递增;
当-1≤cs x<12时,f'(x)≤0,f(x)单调递减.
所以f(x)取得最小值时,cs x=12,此时sin x=±32,
当sin x=-32时,f(x)=sin xcs x+sin x=-334;
当sin x=32时,f(x)=sin xcs x+sin x=334.
所以f(x)的最小值是-334.
2.(2023·苏州模拟)若函数f(x)=13x3+x2-23在区间(a,a+5)内存在最小值,则实数a的取值范围是( )
A.[-5,0)B.(-5,0)
C.[-3,0)D.(-3,0)
解析：选C.由题意,f'(x)=x2+2x=x(x+2),
当x<-2或x>0时,f'(x)>0;
当-2f(x)在(-∞,-2),(0,+∞)上单调递增,
在(-2,0)上单调递减,
所以函数f(x)的极小值为f(0)=-23.
令13x3+x2-23=-23得x3+3x2=0,
解得x=0或x=-3,
作其图象如图,
结合图象可知-3≤a<0,a+5>0,
解得a∈[-3,0).
3.(2021·浙江高考)已知函数f(x)=x3-3x,x∈[0,2],则f(x)的最大值是 ,最小值是 .
解析：因为f(x)=x3-3x,
所以f'(x)=3x2-3,
又x∈[0,2],
所以令f'(x)>0,得1令f'(x)<0,得0≤x<1.
所以f(x)在[0,1)上单调递减,在(1,2]上单调递增,
因为f(0)=0,f(1)=-2,f(2)=2,
所以f(x)的最大值是2,最小值是-2.
答案:2 -2
【加练备选】
已知函数g(x)=aln x+x2-(a+2)x(a∈R).
(1)若a=1,求g(x)在区间[1,e]上的最大值;
(2)求g(x)在区间[1,e]上的最小值h(a).
解析：(1)因为a=1,
所以g(x)=ln x+x2-3x,
所以g'(x)=1x+2x-3=(2x-1)(x-1)x,
因为x∈[1,e],所以g'(x)≥0,
所以g(x)在[1,e]上单调递增,
所以g(x)max=g(e)=e2-3e+1.
(2)g(x)的定义域为(0,+∞),g'(x)=ax+2x-(a+2)=2x2-(a+2)x+ax=
(2x-a)(x-1)x.
①当a2≤1,即a≤2时,g(x)在[1,e]上单调递增,h(a)=g(1)=-a-1;
②当1g(a2)=alna2-14a2-a;
③当a2≥e,即a≥2e时,g(x)在[1,e]上单调递减,h(a)=g(e)=(1-e)a+e2-2e.
综上,h(a)=-a-1,a≤2,alna2-14a2-a,2题型三 生活中的优化问题
[典例5]中国高铁的快速发展给群众出行带来了巨大便利,极大促进了区域经济社会发展.已知某条高铁线路通车后,发车时间间隔t(单位:分钟)满足5≤t≤25,t∈N*,经测算,高铁的载客量与发车时间间隔t相关:当20≤t≤25时,高铁为满载状态,载客量为1 000人;当5≤t<20时,载客量会在满载基础上减少,减少的人数与(20-t)2成正比,且发车时间间隔为5分钟时的载客量为100人.记发车间隔为t分钟时,高铁载客量为P(t).
(1)求P(t)的解析式;
(2)若该线路发车时间间隔为t分钟时的净收益Q(t)=t4P(t)-40t2+650t-2 000(元),当发车时间间隔为多少时,单位时间的净收益Q(t)t最大?
解析：(1)当5≤t<20时,不妨设P(t)=1 000-k(20-t)2,因为P(5)=100,解得k=4.
因此P(t)=1 000-4(20-t)2,5≤t<20,t∈N*,1 000,20≤t≤25,t∈N*.
(2)①当5≤t<20时,Q(t)=t4P(t)-40t2+650t-2 000=-t3+500t-2 000,
设F(t)=Q(t)t=-t2-2 000t+500,5≤t<20.
因为F'(t)=-2t+2 000t2=-2(t3-1 000)t2,
所以当5≤t<10时,F'(t)>0,F(t)单调递增;
当10所以F(t)max=F(10)=200.
②当20≤t≤25时,Q(t)=-40t2+900t-2 000.
设F(t)=Q(t)t=900-40(t+50t),20≤t≤25.
因为F'(t)=-40(t2-50)t2<0,此时F(t)单调递减,
所以F(t)max=F(20)=0.
综上,发车时间间隔为10分钟时,单位时间的净收益Q(t)t最大.
【方法提炼】
利用导数解决生活中的实际应用问题的一般步骤
提醒在利用导数解决实际问题时,若在定义域内只有一个极值,则这个值即为最优解.
【对点训练】
某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率).
(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;
(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.
解析：(1)因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh=200πrh元,底面的总成本为160πr2元,
所以蓄水池的总成本为(200πrh+160πr2)元.
根据题意,得200πrh+160πr2=12 000π,
所以h=15r(300-4r2),从而V(r)=πr2h=π5(300r-4r3).由题意得r>0,又由h>0可得r<53,
故函数V(r)的定义域为(0,53).
(2)因为V(r)=π5(300r-4r3),
所以V'(r)=π5(300-12r2).
令V'(r)=0,解得r1=5,r2=-5(舍去).当r∈(0,5)时,V'(r)>0,故V(r)在(0,5)上为增函数;
当r∈(5,53)时,V'(r)<0,
故V(r)在(5,53)上为减函数.
由此可知,V(r)在r=5处取得最大值,此时h=8.
即当r=5,h=8时,该蓄水池的体积最大.
【加练备选】
在某次水下科研考察活动中,需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业,根据以往经验,潜水员下潜的平均速度为v(米/单位时间),每单位时间的用氧量为[(v10)3+1](升),在水底作业10个单位时间,每单位时间用氧量为0.9(升),返回水面的平均速度为v2(米/单位时间),每单位时间用氧量为1.5(升),记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y(升).
(1)求y关于v的函数解析式;
(2)若c≤v≤15(c>0),求当下潜速度v取什么值时,总用氧量最少.
解析：(1)由题意,下潜用时60v(单位时间),
用氧量为[(v10)3+1]×60v=3v250+60v(升);
水底作业时的用氧量为10×0.9=9(升);
返回水面用时60v2=120v(单位时间),用氧量为120v×1.5=180v(升),所以总用氧量y=3v250+240v+9(v>0).
(2)y'=3v25-240v2=3(v3-2 000)25v2,
令y'=0,得v=1032.
当0当v>1032时,y'>0,函数单调递增.
所以当0当c≥1032时,函数在[c,15]上单调递增,此时v=c时,总用氧量最少.
综上可知,当0【思维导图·构网络】
条件
f'(x0)=0
在点x=x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0
在点x=x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0
图象
形如山峰
形如山谷
极值
f(x0)为极大值
f(x0)为极小值
极值
点
x0为极大值点
x0为极小值点
教材改编
结论应用
易错易混
1,2,3,4
5
6
x
(0,2)
2
(2,3)
3
(3,+∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
单调
递增
极大值
单调
递减
极小值
单调
递增
x
(0,a)
a
(a,+∞)
f'(x)
-
0
+
f(x)
单调递减
极小值
单调递增