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2024版高考数学全程学习复习导学案第五章三角函数第一节任意角和蝗制及三角函数的概念课件
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这是一份2024版高考数学全程学习复习导学案第五章三角函数第一节任意角和蝗制及三角函数的概念课件，共51页。PPT课件主要包含了知识梳理·思维激活，α+k·360°，轴线角，4象限角，半径长，核心题型·分类突破，对点训练，加练备选等内容，欢迎下载使用。
【课程标准】1.了解任意角的概念和弧度制;2.能进行弧度与角度的互化;3.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
{α|k·360°+90°<α
3.任意角的三角函数(1)定义:设α是一个任意角,α∈R,它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y),那么sin α=______,cs α=_______,tan α=_____(x≠0). (2)任意角的三角函数的定义(推广)设P(x,y)是角α终边上异于原点O的任一点,其到原点O的距离为r,则sin α=_____,cs α=_____,tan α=____(x≠0). (3)三角函数的定义域点睛三角函数值在各象限内的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦.
【基础小题】固根基1.(教材变式)角-863°的终边所在的象限是( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】-863°=-2×360°-143°,-863°和-143°的终边相同,故-863°的终边在第三象限.
5.(混淆弧度制和角度制)已知扇形的圆心角为60°,其弧长为2π,则此扇形的面积为 . 答案:6π
【题型一】角的概念的推广角度1 区域角[典例1]如图,试用弧度制写出终边落在阴影部分的角的集合.(1)
【方法提炼】表示区域角的步骤(1)按逆时针方向找到区域的起始和终止边界.(2)按由小到大的顺序分别标出起始和终止边界对应的角α和β的集合;(3)结合起始、终止边界可得区间角集合.提醒根据区域写不等式时,要注意包含边界用≥或≤,不包含边界用>或<.
角度3 角的对称问题[典例3]写出满足下列条件的角.(1)角α的终边与780°角的终边关于x轴对称,且-90°<α<0°,则α= ;答案:-60° 【解析】因为α=k·360°-780°(k∈Z),又-90°<α<0°,所以α=-60°.
(2)角β的终边与780°角的终边关于y轴对称,且450°<β<540°,则β= . 答案:480°【解析】因为β=(2k+1)·180°-780°(k∈Z),又450°<β<540°,所以β=480°.
(3)角γ的终边与780°角的终边垂直,则γ= . 答案:n·180°+150°(n∈Z)【解析】γ=k·180°+90°+780°(k∈Z)=n·180°+150°(n∈Z).
【方法提炼】常见的角的对称关系1.若角α与角β的终边关于y轴对称,则β=k·360°+(180°-α),k∈Z.2.若角α与角β的终边关于x轴对称,则β=k·360°+(-α),k∈Z.3.若角α与角β的终边关于原点对称,则β=k·360°+(180°+α),k∈Z.4.若角α与角β的终边相互垂直,则β=k·180°+(90°+α),k∈Z.
2.(多选题)下列条件中,能使α和β的终边关于y轴对称的是( )A.α+β=540°B.α+β=360°C.α+β=180°D.α+β=90°【解析】假设α,β为0°~180°内的角,如图所示,由α和β的终边关于y轴对称,所以α+β=180°,又根据终边相同的角的概念,可得α+β=k·360°+180°=(2k+1)180°,k∈Z,所以A,C满足条件.
【题型二】扇形的弧长及面积公式的应用
【一题多变】[变式]若本例(1)条件不变,求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积.
【方法提炼】应用弧度制解决问题的思路1.求扇形面积最大值的问题时,常转化为利用二次函数或基本不等式求最值问题;2.在解决弧长问题、扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.提醒一个半径为r的弧长l必须满足0
【方法提炼】三角函数定义的应用(1)已知角α终边上一点P的坐标,可先求出点P到原点的距离|OP|=r,然后利用三角函数的定义求解.(2)已知角α的终边所在的直线方程,可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离r,再利用三角函数的定义求解,应注意分情况讨论.提醒若角的终边在一条直线上,用参数设点的坐标时,要注意参数的取值范围.
【方法提炼】三角函数值的符号及角的位置的判断方法已知一角的三角函数值(sin α,cs α,tan α)中任意两个的符号,可分别确定出角的终边所在的可能位置,二者的交集即为该角的终边位置.注意终边在坐标轴上的特殊情况.
【对点训练】1.若角α满足sin α·cs α<0,cs α-sin α<0,则α在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】因为sin α·cs α<0,所以α是第二或第四象限角;当α是第二象限角时,cs α<0,sin α>0,满足cs α-sin α<0;当α是第四象限角时,cs α>0,sin α<0,则cs α-sin α>0,不符合题意;综上所述α是第二象限角.
3.(1)已知θ是第二象限角,试判断tan(sin θ)tan(cs θ)的符号.(2)若sin(cs θ)cs(sin θ)<0,求θ的终边的位置.
【课程标准】1.了解任意角的概念和弧度制;2.能进行弧度与角度的互化;3.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
{α|k·360°+90°<α
3.任意角的三角函数(1)定义:设α是一个任意角,α∈R,它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y),那么sin α=______,cs α=_______,tan α=_____(x≠0). (2)任意角的三角函数的定义(推广)设P(x,y)是角α终边上异于原点O的任一点,其到原点O的距离为r,则sin α=_____,cs α=_____,tan α=____(x≠0). (3)三角函数的定义域点睛三角函数值在各象限内的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦.
【基础小题】固根基1.(教材变式)角-863°的终边所在的象限是( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】-863°=-2×360°-143°,-863°和-143°的终边相同,故-863°的终边在第三象限.
5.(混淆弧度制和角度制)已知扇形的圆心角为60°,其弧长为2π,则此扇形的面积为 . 答案:6π
【题型一】角的概念的推广角度1 区域角[典例1]如图,试用弧度制写出终边落在阴影部分的角的集合.(1)
【方法提炼】表示区域角的步骤(1)按逆时针方向找到区域的起始和终止边界.(2)按由小到大的顺序分别标出起始和终止边界对应的角α和β的集合;(3)结合起始、终止边界可得区间角集合.提醒根据区域写不等式时,要注意包含边界用≥或≤,不包含边界用>或<.
角度3 角的对称问题[典例3]写出满足下列条件的角.(1)角α的终边与780°角的终边关于x轴对称,且-90°<α<0°,则α= ;答案:-60° 【解析】因为α=k·360°-780°(k∈Z),又-90°<α<0°,所以α=-60°.
(2)角β的终边与780°角的终边关于y轴对称,且450°<β<540°,则β= . 答案:480°【解析】因为β=(2k+1)·180°-780°(k∈Z),又450°<β<540°,所以β=480°.
(3)角γ的终边与780°角的终边垂直,则γ= . 答案:n·180°+150°(n∈Z)【解析】γ=k·180°+90°+780°(k∈Z)=n·180°+150°(n∈Z).
【方法提炼】常见的角的对称关系1.若角α与角β的终边关于y轴对称,则β=k·360°+(180°-α),k∈Z.2.若角α与角β的终边关于x轴对称,则β=k·360°+(-α),k∈Z.3.若角α与角β的终边关于原点对称,则β=k·360°+(180°+α),k∈Z.4.若角α与角β的终边相互垂直,则β=k·180°+(90°+α),k∈Z.
2.(多选题)下列条件中,能使α和β的终边关于y轴对称的是( )A.α+β=540°B.α+β=360°C.α+β=180°D.α+β=90°【解析】假设α,β为0°~180°内的角,如图所示,由α和β的终边关于y轴对称,所以α+β=180°,又根据终边相同的角的概念,可得α+β=k·360°+180°=(2k+1)180°,k∈Z,所以A,C满足条件.
【题型二】扇形的弧长及面积公式的应用
【一题多变】[变式]若本例(1)条件不变,求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积.
【方法提炼】应用弧度制解决问题的思路1.求扇形面积最大值的问题时,常转化为利用二次函数或基本不等式求最值问题;2.在解决弧长问题、扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.提醒一个半径为r的弧长l必须满足0
【方法提炼】三角函数定义的应用(1)已知角α终边上一点P的坐标,可先求出点P到原点的距离|OP|=r,然后利用三角函数的定义求解.(2)已知角α的终边所在的直线方程,可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离r,再利用三角函数的定义求解,应注意分情况讨论.提醒若角的终边在一条直线上,用参数设点的坐标时,要注意参数的取值范围.
【方法提炼】三角函数值的符号及角的位置的判断方法已知一角的三角函数值(sin α,cs α,tan α)中任意两个的符号,可分别确定出角的终边所在的可能位置,二者的交集即为该角的终边位置.注意终边在坐标轴上的特殊情况.
【对点训练】1.若角α满足sin α·cs α<0,cs α-sin α<0,则α在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】因为sin α·cs α<0,所以α是第二或第四象限角;当α是第二象限角时,cs α<0,sin α>0,满足cs α-sin α<0;当α是第四象限角时,cs α>0,sin α<0,则cs α-sin α>0,不符合题意;综上所述α是第二象限角.
3.(1)已知θ是第二象限角,试判断tan(sin θ)tan(cs θ)的符号.(2)若sin(cs θ)cs(sin θ)<0,求θ的终边的位置.
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