2025高考数学一轮考点突破训练第九章概率与统计9.4二项式定理

这是一份2025高考数学一轮考点突破训练第九章概率与统计9.4二项式定理，共6页。试卷主要包含了通项公式的应用，二项式系数的性质与各项的和，二项式定理的综合应用等内容，欢迎下载使用。

例1
（1） [2021年北京卷]的展开式中的常数项是 .
解：展开式的通项.令，得展开式的常数项为
故填.
（2） [2022年新课标Ⅰ卷]的展开式中的系数为 （用数字作答）.
解：因为，所以 的展开式中含 的项为，即 的系数为.故填.
【点拨】①求展开式中的特定项，可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.②已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其系数.③三项式问题，可以两次利用二项式定理求解，也可以从排列、组合角度求解.
变式1
（1） 的展开式中有理项的个数为 （ C ）
A. 30B. 33C. 34D. 35
解：二项式 展开式的通项为，其中,1, ,100.当,时，二项式 的展开式为有理项.令，解得,.共有34项.故选.
（2） [2020年全国Ⅰ卷]的展开式中的系数为（ C ）
A. 5B. 10C. 15D. 20
解：展开式的通项为 且,所以 的各项与 展开式的通项的乘积可表示为 和.在 中，令，可得，该项中 的系数为10;在 中，令，可得，该项中 的系数为5.所以 的系数为.故选 .
（3） 在的展开式中，项的系数为 （ A ）
A. 1 680B. 210C. D.
解：相当于在7个因式中有3个因式选，有 种选法，余下的4个因式中有2个因式选，有 种选法，最后余下2个因式中选，把所选式子相乘即可得 项.而，所以 项的系数为1 680.故选.
考点二 二项式系数的性质与各项的和
命题角度1 二项式系数和与系数和
例2 在的展开式中，求：
解：设
各项系数和为，奇数项系数和为，偶数项系数和为，的奇次项系数和为，的偶次项系数和为.
由于（*）是恒等式，故可用“赋值法”求相关的系数和.
（1） 二项式系数的和；
[答案]二项式系数的和为.
（2） 各项系数的和；
[答案]令，各项系数和为.
（3） 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
[答案]
奇数项的二项式系数和为，
偶数项的二项式系数和为.
（4） 奇数项系数和与偶数项系数和；
[答案]
令，得.
令，或，，
得.
,得，所以奇数项系数和为.
,得，所以偶数项系数和为.
（5） 的奇次项系数和与的偶次项系数和.
[答案] 的奇次项系数和为；的偶次项系数和为.
【点拨】①“赋值法”普遍运用于恒等式，是一种处理二项式相关问题比较常用的方法.对形如，的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可；对形如的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可.②若，则展开式中各项系数之和为，
奇数项系数之和为，偶数项系数之和为.
变式2
（1） [2022年北京卷]若，则（ B ）
A. 40B. 41C. D.
解：令，则.令，则.故.故选.
（2） 【多选题】已知多项式,，则 （ AC ）
A. B.
C. D.
解：的展开式的通项为.由，得,正确.
，故 错误.
令，得.令，得，所以,故 正确.
，故 错误.故选.
命题角度2 二项式系数的最值问题
例3 已知的展开式中第3项与第4项的二项式系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为，..
解：易知，故展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为第3、第4项.所以，.故填，.
【点拨】求二项式系数最大项，如果是偶数，则中间一项的二项式系数最大；如果是奇数，则中间两项第项与第项的二项式系数相等并最大.
变式3
（1） 已知为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为.若，则（ B ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
解：由题意，可知，.因为，所以，即，解得.故选.
（2） 在的展开式中，第3项与第8项的二项式系数相等，则展开式中系数最大的项是（ B ）
A. 第6项B. 第5项C. 第5，6项D. 第4，5项
解：由题意,知 ，则,的展开式中，二项式系数最大为第5项和第6项，即 ，但第6项系数为，故展开式中系数最大的项是第5项.故选.
考点三 二项式定理的综合应用
例4 被7除的余数为（ D ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
解：，展开式中除最后一项外，其它各项都是7的整数倍，所以 被7除的余数等于 被7除的余数，结果为3.故选 .
【点拨】二项式定理应用的题型及解法.①在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式（数）展开后的绝大部分项（一两项除外）都含有除式的因式.②二项式定理的一个重要用途是近似计算,当不是很大，比较小时，.
变式4 的计算结果精确到0.001的近似值是（ B ）
A. 0.940B. 0.941C. 0.942D. 0.943
解：.故选.