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2025高考数学一轮考点突破训练第九章概率与统计专题突破18概率与统计综合问题
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这是一份2025高考数学一轮考点突破训练第九章概率与统计专题突破18概率与统计综合问题，共13页。试卷主要包含了概率中的比赛问题，概率与统计的综合问题，概率统计与函数的综合问题，概率统计与数列的综合问题等内容，欢迎下载使用。
考点一 概率中的比赛问题
例1 某学校组织“数学文化”知识竞赛，有甲、乙两类问题.每位参加比赛的选手先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该选手比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该选手比赛结束.甲类问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分；乙类问题中的每个问题回答正确得50分，否则得0分.已知选手小张能正确回答甲类问题的概率为，能正确回答乙类问题的概率为，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1） 若选甲、乙两类问题是等可能的，求小张至少答对一个问题的概率；
解：设“小张选择甲类问题”，“小张答对所选问题”，“小张至少答对一个问题”，则“小张选择乙类问题”，“小张未答对所选问题”，“小张一个问题都没答对”.
由题意，知，，，，.
则，.
所以小张至少答对一个问题的概率为0.8.
（2） 如果答题顺序由小张选择，以累计得分多为决策依据，说明小张应选择先回答哪类问题.
[答案]
若小张先回答甲类问题，则小张的累计得分 的可能值为0，30，80.
所以，，.
则 的分布列为
.
若小张先回答乙类问题，则小张的累计得分的可能值为0,50,80.
所以，，.
则的分布列为
.
因为，所以小张应选择先回答甲类问题．
【点拨】概率中的比赛问题是高考命题热点,常以生活中常见赛制为背景,通过设置一定的限制条件,考查考生逻辑思维能力及利用概率知识解决实际问题的能力.
变式1 已知羽毛球比赛的单打规则是：若发球方胜，则发球方得1分，且继续在下一回合发球；若接球方胜，则接球方得1分，且成为下一回合发球方．现甲、乙二人进行羽毛球单打比赛，若甲发球，则甲得分的概率为，乙得分的概率为；若乙发球，则乙得分的概率为，甲得分的概率为．每回合比赛的结果相互独立．经抽签决定，第一回合由甲发球．
（1） 求第三回合甲发球的概率；
解：若第三回合甲发球，则前三回合发球的顺序分别为甲甲甲，或甲乙甲.故第三回合甲发球的概率为.
（2） 设前三个回合中，甲的总得分为，求的分布列及期望.
[答案]
设“甲在第 回合得分”记为事件,“乙在第 回合得分”记为事件,.
则,
,
,
.
故 的分布列为
故.
考点二 概率与统计的综合问题
例2 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量（单位：），重量的分组区间为， ，，由此得到样本的频率分布直方图如图所示．
（1） 根据频率分布直方图，求重量超过的产品数量；
解：根据频率分布直方图，可知重量超过 的频率为.
所以重量超过 的产品数量为（件）.
（2） 在抽取的40件产品中任取2件，设为重量超过的产品数量，求的分布列；
[答案]
可取的值为0，1，2.
，，
.
所以 的分布列为
（3） 从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过的概率．
[答案]
利用样本估计总体，该流水线上重量超过的概率为.
令为任取5件产品中重量超过的产品数量，则.
所以所求概率.
【点拨】概率的研究对象是随机现象,统计的研究对象是数据,核心是数据分析.解决此类问题要过“三关”：文字关、图表关和计算关.
变式2 [2023年全国甲卷]一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：）.
（1） 设表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求的分布列和数学期望.
解：依题意，知 的可能取值为0,1,2，则，，.
所以 的分布列为
故.
（2） 实验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：
15.218.820.221.322.523.225.826.5
27.530.132.634.334.835.635.635.8
36.237.340.543.2
实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：
7.89.211.412.413.215.516.518.0
18.819.219.820.221.622.823.623.9
25.128.232.336.5
① 求40只小白鼠体重的增加量的中位数，再分别统计两样本中小于与不小于的数据的个数，完成如下列联表：
[答案]
依题意，可知这40只小白鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，可得第11位数据为，后续依次为,
19.8,20.2,20.2,21.3,21.6,22.5,22.8,,， ，
第20位,21位数据分别为，，所以.
故列联表为：
② 根据小概率值的独立性检验，判断小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量是否有差异.
附：.
[答案]零假设 小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量没有差异.由①，得.根据小概率值 的独立性检验，零假设不成立，即小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异,该推断犯错误的概率不超过.
考点三 概率统计与函数的综合问题
例3 某精密制造企业根据长期检测结果，得到生产的产品质量差服从正态分布，并把质量差在内的产品称为优等品，质量差在内的产品称为一等品，优等品与一等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理.现从该企业生产的正品中随机抽取1 000件，测得产品质量差的样本数据统计如图所示：
（1） 已知样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数作为 的近似值，用样本标准差作为 的估计值，记质量差，求该企业生产的产品质量差为的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.
解：由题意，知样本平均数
，所以.
又，所以.
所以该企业生产的产品质量差为 的概率
.
（2） 假如企业包装时要求把2件优等品和 件一等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中随机抽出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同，则该箱产品记为A，否则该箱产品记为B.
① 试用含的代数式表示某箱产品抽检被记为B的概率；
[答案]
从 件正品中任选2件，共有 种选法，其中等级相同的有 种选法，
所以某箱产品抽检被记为B的概率.
② 设抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率为，求当为何值时，取得最大值，并求出最大值.
附：若随机变量服从正态分布，则，，.
[答案]
由题意，知若一箱产品抽检被记为B的概率为，则5箱产品恰有3箱被记为B的概率为
.
所以.
当,时，，函数 单调递增；
当,时，，函数 单调递减.
所以当 时，取得最大值.
此时，，解得 或（舍）.
所以当 时，5箱产品恰有3箱被记为B的概率最大，最大值为.
【点拨】概率与函数的综合问题,着重体现高考“综合性”的要求，建立相应概率统计模型后，用函数（导数）工具进行处理.
变式3 [2023年新课标Ⅱ卷]某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的人判定为阳性，小于或等于的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为.假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
（1） 当漏诊率时，求临界值和误诊率；
解：依题意，知患病者该指标的频率分布直方图第一个小矩形的面积为，所以.
所以，解得.
.
（2） 设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值.
[答案]
当 时，
；
当 时，
.
故
所以 在区间 的最小值为0.02.
考点四 概率统计与数列的综合问题
例4 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．
（1） 求2次传球后球在甲手中的概率，3次传球后球在甲手中的概率；
解：第一次甲将球传出后，2次传球后的所有结果为：甲乙甲，甲乙丙，甲丙甲，甲丙乙，共4个结果，它们等可能.2次传球后球在甲手中的事件有：甲乙甲，甲丙甲，2个结果.所以.
第一次甲将球传出后，3次传球后的所有结果为：甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，甲乙丙乙，甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共8个结果，它们等可能.
3次传球后球在甲手中的事件有：甲乙丙甲，甲丙乙甲，2个结果.所以.
（2） 求次传球后球在甲手中的概率．
[答案]
次传球后球在甲手中的事件记为，则有.
令，则，，于是得.
因此，，则，而第一次由甲传球后，球不可能在甲手中，即，则有，数列 是以 为首项，为公比的等比数列，，整理得.所以 次传球后球在甲手中的概率是.
【点拨】概率统计与数列的综合问题是高考热点问题,着重体现在随机变量分布列（期望）与数列递推公式、通项公式、数列求和与证明等的综合.
变式4 [2023年新课标Ⅰ卷]甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.
（1） 求第2次投篮的人是乙的概率；
解：记“第 次投篮的人是甲”为事件，“第 次投篮的人是乙”为事件，
则.
（2） 求第次投篮的人是甲的概率；
[答案]
设，依题意，知，则
，
即.
构造等比数列.
设，解得，则.
又,则，所以 是首项为，公比为 的等比数列.
即,则，即为第 次投篮的人是甲的概率.
（3） 已知：若随机变量服从两点分布，且,,2, ,，则.记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求.
[答案]
因为，,2, ,，
所以.
故.
规范答题——概率统计解答题
【范例】 [2021年新课标Ⅰ卷第18题]（12分）
某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.
已知小明能正确回答A类问题的概率为，能正确回答B类问题的概率为，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1） 若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；
解：随机变量 的所有可能取值为0，20，100.（1分）(写出随机变量的可能取值.)
；；
.（3分）(计算相应的概率.)
故随机变量 的分布列为
（4分）(写出分布列.)
（2） 为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
[答案]
设小明先回答B类问题，记 为小明的累计得分.
故随机变量 的所有可能取值为0，80，100.
；；
.（7分）(求出随机变量的可能取值,并计算相应的概率.)
故.（9分）(根据期望公式求出.）
由（1）知，
所以，故应选择先回答B类问题.（12分）（通过比较期望的大小从而解决问题.）
【拆解】
【总结提升】求离散型随机变量的期望与方差关键是确定随机变量的所有可能值,写出随机变量的分布列,正确运用期望、方差公式进行计算.要注意观察随机变量的概率分布特征,若属于二项分布,用二项分布的期望与方差公式计算,则更为简单.在实际问题中,若两个随机变量,,有或与较为接近时,就需要用与来比较两个随机变量的稳定程度.即一般地将期望最大（或最小）的方案作为最优方案,若各方案的期望相同,则选择方差最小（或最大）的方案作为最优方案.
0
30
80
0.1
0.27
0.63
0
50
80
0.3
0.07
0.63
0
1
2
3
0
1
2
0
1
2
组别
小白鼠体重的增加量
对照组
实验组
组别
小白鼠体重的增加量
合计
对照组
6
14
20
实验组
14
6
20
合计
20
20
40
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
0
20
100
0.2
0.32
0.48
分类
参考赋分
难易
审题要点
考查内容
第一问
4分
较易
①第一问是求随机变量的分布列问题,首先找出随机变量的可能取值,然后求出相应的概率,从而得到概率的分布列.
②第二问是通过运用数学期望的大小进行决策问题,解题的关键在于准确求出数学期望比较大小即可.
在基础性的层次上考查数学建模核心素养，数据分析、运算求解关键能力，以及分布列等必备知识.
第二问
8分
中档
在应用性的层次上考查数学建模核心素养，运算求解、数据分析等关键能力，分布列以及数学期望等必备知识.
考点一 概率中的比赛问题
例1 某学校组织“数学文化”知识竞赛，有甲、乙两类问题.每位参加比赛的选手先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该选手比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该选手比赛结束.甲类问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分；乙类问题中的每个问题回答正确得50分，否则得0分.已知选手小张能正确回答甲类问题的概率为，能正确回答乙类问题的概率为，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1） 若选甲、乙两类问题是等可能的，求小张至少答对一个问题的概率；
解：设“小张选择甲类问题”，“小张答对所选问题”，“小张至少答对一个问题”，则“小张选择乙类问题”，“小张未答对所选问题”，“小张一个问题都没答对”.
由题意，知，，，，.
则，.
所以小张至少答对一个问题的概率为0.8.
（2） 如果答题顺序由小张选择，以累计得分多为决策依据，说明小张应选择先回答哪类问题.
[答案]
若小张先回答甲类问题，则小张的累计得分 的可能值为0，30，80.
所以，，.
则 的分布列为
.
若小张先回答乙类问题，则小张的累计得分的可能值为0,50,80.
所以，，.
则的分布列为
.
因为，所以小张应选择先回答甲类问题．
【点拨】概率中的比赛问题是高考命题热点,常以生活中常见赛制为背景,通过设置一定的限制条件,考查考生逻辑思维能力及利用概率知识解决实际问题的能力.
变式1 已知羽毛球比赛的单打规则是：若发球方胜，则发球方得1分，且继续在下一回合发球；若接球方胜，则接球方得1分，且成为下一回合发球方．现甲、乙二人进行羽毛球单打比赛，若甲发球，则甲得分的概率为，乙得分的概率为；若乙发球，则乙得分的概率为，甲得分的概率为．每回合比赛的结果相互独立．经抽签决定，第一回合由甲发球．
（1） 求第三回合甲发球的概率；
解：若第三回合甲发球，则前三回合发球的顺序分别为甲甲甲，或甲乙甲.故第三回合甲发球的概率为.
（2） 设前三个回合中，甲的总得分为，求的分布列及期望.
[答案]
设“甲在第 回合得分”记为事件,“乙在第 回合得分”记为事件,.
则,
,
,
.
故 的分布列为
故.
考点二 概率与统计的综合问题
例2 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量（单位：），重量的分组区间为， ，，由此得到样本的频率分布直方图如图所示．
（1） 根据频率分布直方图，求重量超过的产品数量；
解：根据频率分布直方图，可知重量超过 的频率为.
所以重量超过 的产品数量为（件）.
（2） 在抽取的40件产品中任取2件，设为重量超过的产品数量，求的分布列；
[答案]
可取的值为0，1，2.
，，
.
所以 的分布列为
（3） 从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过的概率．
[答案]
利用样本估计总体，该流水线上重量超过的概率为.
令为任取5件产品中重量超过的产品数量，则.
所以所求概率.
【点拨】概率的研究对象是随机现象,统计的研究对象是数据,核心是数据分析.解决此类问题要过“三关”：文字关、图表关和计算关.
变式2 [2023年全国甲卷]一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：）.
（1） 设表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求的分布列和数学期望.
解：依题意，知 的可能取值为0,1,2，则，，.
所以 的分布列为
故.
（2） 实验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：
15.218.820.221.322.523.225.826.5
27.530.132.634.334.835.635.635.8
36.237.340.543.2
实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：
7.89.211.412.413.215.516.518.0
18.819.219.820.221.622.823.623.9
25.128.232.336.5
① 求40只小白鼠体重的增加量的中位数，再分别统计两样本中小于与不小于的数据的个数，完成如下列联表：
[答案]
依题意，可知这40只小白鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，可得第11位数据为，后续依次为,
19.8,20.2,20.2,21.3,21.6,22.5,22.8,,， ，
第20位,21位数据分别为，，所以.
故列联表为：
② 根据小概率值的独立性检验，判断小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量是否有差异.
附：.
[答案]零假设 小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量没有差异.由①，得.根据小概率值 的独立性检验，零假设不成立，即小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异,该推断犯错误的概率不超过.
考点三 概率统计与函数的综合问题
例3 某精密制造企业根据长期检测结果，得到生产的产品质量差服从正态分布，并把质量差在内的产品称为优等品，质量差在内的产品称为一等品，优等品与一等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理.现从该企业生产的正品中随机抽取1 000件，测得产品质量差的样本数据统计如图所示：
（1） 已知样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数作为 的近似值，用样本标准差作为 的估计值，记质量差，求该企业生产的产品质量差为的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.
解：由题意，知样本平均数
，所以.
又，所以.
所以该企业生产的产品质量差为 的概率
.
（2） 假如企业包装时要求把2件优等品和 件一等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中随机抽出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同，则该箱产品记为A，否则该箱产品记为B.
① 试用含的代数式表示某箱产品抽检被记为B的概率；
[答案]
从 件正品中任选2件，共有 种选法，其中等级相同的有 种选法，
所以某箱产品抽检被记为B的概率.
② 设抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率为，求当为何值时，取得最大值，并求出最大值.
附：若随机变量服从正态分布，则，，.
[答案]
由题意，知若一箱产品抽检被记为B的概率为，则5箱产品恰有3箱被记为B的概率为
.
所以.
当,时，，函数 单调递增；
当,时，，函数 单调递减.
所以当 时，取得最大值.
此时，，解得 或（舍）.
所以当 时，5箱产品恰有3箱被记为B的概率最大，最大值为.
【点拨】概率与函数的综合问题,着重体现高考“综合性”的要求，建立相应概率统计模型后，用函数（导数）工具进行处理.
变式3 [2023年新课标Ⅱ卷]某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的人判定为阳性，小于或等于的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为.假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
（1） 当漏诊率时，求临界值和误诊率；
解：依题意，知患病者该指标的频率分布直方图第一个小矩形的面积为，所以.
所以，解得.
.
（2） 设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值.
[答案]
当 时，
；
当 时，
.
故
所以 在区间 的最小值为0.02.
考点四 概率统计与数列的综合问题
例4 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．
（1） 求2次传球后球在甲手中的概率，3次传球后球在甲手中的概率；
解：第一次甲将球传出后，2次传球后的所有结果为：甲乙甲，甲乙丙，甲丙甲，甲丙乙，共4个结果，它们等可能.2次传球后球在甲手中的事件有：甲乙甲，甲丙甲，2个结果.所以.
第一次甲将球传出后，3次传球后的所有结果为：甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，甲乙丙乙，甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共8个结果，它们等可能.
3次传球后球在甲手中的事件有：甲乙丙甲，甲丙乙甲，2个结果.所以.
（2） 求次传球后球在甲手中的概率．
[答案]
次传球后球在甲手中的事件记为，则有.
令，则，，于是得.
因此，，则，而第一次由甲传球后，球不可能在甲手中，即，则有，数列 是以 为首项，为公比的等比数列，，整理得.所以 次传球后球在甲手中的概率是.
【点拨】概率统计与数列的综合问题是高考热点问题,着重体现在随机变量分布列（期望）与数列递推公式、通项公式、数列求和与证明等的综合.
变式4 [2023年新课标Ⅰ卷]甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.
（1） 求第2次投篮的人是乙的概率；
解：记“第 次投篮的人是甲”为事件，“第 次投篮的人是乙”为事件，
则.
（2） 求第次投篮的人是甲的概率；
[答案]
设，依题意，知，则
，
即.
构造等比数列.
设，解得，则.
又,则，所以 是首项为，公比为 的等比数列.
即,则，即为第 次投篮的人是甲的概率.
（3） 已知：若随机变量服从两点分布，且,,2, ,，则.记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求.
[答案]
因为，,2, ,，
所以.
故.
规范答题——概率统计解答题
【范例】 [2021年新课标Ⅰ卷第18题]（12分）
某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.
已知小明能正确回答A类问题的概率为，能正确回答B类问题的概率为，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1） 若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；
解：随机变量 的所有可能取值为0，20，100.（1分）(写出随机变量的可能取值.)
；；
.（3分）(计算相应的概率.)
故随机变量 的分布列为
（4分）(写出分布列.)
（2） 为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
[答案]
设小明先回答B类问题，记 为小明的累计得分.
故随机变量 的所有可能取值为0，80，100.
；；
.（7分）(求出随机变量的可能取值,并计算相应的概率.)
故.（9分）(根据期望公式求出.）
由（1）知，
所以，故应选择先回答B类问题.（12分）（通过比较期望的大小从而解决问题.）
【拆解】
【总结提升】求离散型随机变量的期望与方差关键是确定随机变量的所有可能值,写出随机变量的分布列,正确运用期望、方差公式进行计算.要注意观察随机变量的概率分布特征,若属于二项分布,用二项分布的期望与方差公式计算,则更为简单.在实际问题中,若两个随机变量,,有或与较为接近时,就需要用与来比较两个随机变量的稳定程度.即一般地将期望最大（或最小）的方案作为最优方案,若各方案的期望相同,则选择方差最小（或最大）的方案作为最优方案.
0
30
80
0.1
0.27
0.63
0
50
80
0.3
0.07
0.63
0
1
2
3
0
1
2
0
1
2
组别
小白鼠体重的增加量
对照组
实验组
组别
小白鼠体重的增加量
合计
对照组
6
14
20
实验组
14
6
20
合计
20
20
40
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
0
20
100
0.2
0.32
0.48
分类
参考赋分
难易
审题要点
考查内容
第一问
4分
较易
①第一问是求随机变量的分布列问题,首先找出随机变量的可能取值,然后求出相应的概率,从而得到概率的分布列.
②第二问是通过运用数学期望的大小进行决策问题,解题的关键在于准确求出数学期望比较大小即可.
在基础性的层次上考查数学建模核心素养，数据分析、运算求解关键能力，以及分布列等必备知识.
第二问
8分
中档
在应用性的层次上考查数学建模核心素养，运算求解、数据分析等关键能力，分布列以及数学期望等必备知识.
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