2025高考数学一轮课时作业第九章概率与统计专题突破18概率与统计综合问题（附解析）

这是一份2025高考数学一轮课时作业第九章概率与统计专题突破18概率与统计综合问题（附解析），共6页。

（1） 求甲队胜出的概率；
解：“甲队胜出”可分为2个互斥事件：“比赛两局胜出”和“比赛三局胜出”.
“比赛两局胜出”的概率为，
“比赛三局胜出”的概率为.
故“甲队胜出”的概率为.
（2） 设为比赛局数，求的分布列和数学期望．
[答案]
乙队两局胜出的概率为，
乙队三局胜出的概率为.
故,

的分布列为
.
2. 数学建模是高中数学核心素养的一个组成部分,数学建模能力是应用意识和创新意识的重要表现.为全面推动数学建模活动的开展，某学校举行了一次数学建模竞赛活动，已知该竞赛共有60名学生参加，他们成绩的频率分布直方图如图所示.
（1） 为了对数据进行分析，将60分以下的成绩定为不合格，60分以上（含60分）的成绩定为合格.为科学评估该校学生数学建模水平，决定利用分层随机抽样的方法从这60名学生中选取10人，然后从这10人中抽取4人参加座谈会.记为抽取的4人中，成绩不合格的人数，求的分布列和数学期望.
解：由频率分布直方图和分层随机抽样的方法，可知抽取的10人中合格的人数为，不合格的人数为.因此 的可能值为0，1，2，3，4，则，，，，
.
故 的分布列为
所以 的数学期望.
（2） 已知这60名学生的数学建模竞赛成绩近似服从正态分布，其中 可用样本平均数近似代替，可用样本方差近似代替（用一组数据的中点值作代表），若成绩在46分以上的学生均能得到奖励，本次数学建模竞赛满分为100分，试估计此次竞赛受到奖励的人数（结果根据四舍五入保留到整数位）.
附：若，则，，.
[答案]
由题意，可知.
，所以.
由，得，
则，
.
.
所以估计此次竞赛受到奖励的人数为50.
3. [2022年新课标Ⅰ卷]一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
（1） 根据小概率值的独立性检验,判断患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯是否有差异.
解：零假设 患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯没有差异..
根据小概率值 的独立性检验，零假设不成立，即该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
（2） 从该地的人群中任选一人，表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，表示事件“选到的人患有该疾病”与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为.
① 证明：.
证明：因为，
所以.
所以.
② 利用该调查数据，给出,的估计值，并利用①的结果给出的估计值.
附:.
[答案]
由已知，.又，，
所以.
4. [2023年四省联考]一个池塘里的鱼的数目记为，从池塘里捞出200尾鱼，并给鱼作上标识，然后把鱼放回池塘里，过一小段时间后再从池塘里捞出500尾鱼，表示捞出的500尾鱼中有标识的鱼的数目.
（1） 若，求的数学期望；
解：依题意，知 服从超几何分布，且,,，故.
（2） 已知捞出的500尾鱼中15尾有标识，试给出的估计值（以使得最大的的值作为的估计值）.
[答案]
当 时，.
当 时，.
记，则.
由，
得.
则可知当 时，；
当 时，.
故当 时，最大，所以 的估计值为6 666.
0.5
0.4
0.6
0.5

2
3

0.4
0.6

0
1
2
3
4






项目
卫生习惯
不够良好
良好
病例组
40
60
对照组
10
90

0.050
0.010
0.001

3.841
6.635
10.828