2025高考数学一轮课时作业第九章概率与统计9.4二项式定理（附解析）

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1. 的展开式中第7项为（ C ）
A. B. C. D.
解：的展开式中,第7项为.故选.
2. [2023年北京卷]的展开式中的系数为（ D ）
A. B. C. 40D. 80
解：展开式的通项为.令，得.所以展开式中 的系数为.故选.
3. 的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则的值为 （ C ）
A. 8B. 7C. 6D. 5
解：因为只有一项二项式系数最大，所以 为偶数，故，得.故选.
4. 二项式展开式中的常数项为（ D ）
A. B. C. 40D. 80
解：二项式展开式的通项为.令，得，所以常数项为.故选.
5. 的展开式中的项系数为（ B ）
A. 30B. 10C. D.
解：，的展开式的通项为.令，则.令，则.所以 的系数为.故选.
6. （教材题改编）已知，则等于 （ A ）
A. 31B. 32C. 15D. 16
解：逆用二项式定理，得，即，所以.
所以.故选.
7. 【多选题】已知的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为，则下列说法正确的是（ AD ）
A. 展开式中各偶数项的二项式系数和为512
B. 展开式中第5项和第6项的系数最大
C. 展开式中存在常数项
D. 展开式中含的项的系数为210
解：由题意,知，所以.
所以.
令，则，所以.
对于，展开式中各偶数项的二项式系数和为，故 正确.
对于，因为，所以展开式中共有11项，中间项为第6项，该项的二项式系数最大，该项的系数也是其二项式系数，故 错误.
对于，展开式的通项为，令，得，故展开式中不存在常数项，故 错误.
对于，令，得，故展开式中含 的项的系数为，故 正确.故选.
8. [2021年浙江卷]已知多项式，则5；10.
解：即为展开式中 的系数，所以.令，则有，所以.
故填5；10.
【综合运用】
9. 已知的展开式中的系数为48，则实数（ A ）
A. 1B. C. 2D.
解：二项式 的展开式通项为.
的展开式中，的系数为，解得.故选.
10. 【多选题】设，且，若能被13整除，则的值可以为（ CD ）
A. 1B. 14C. 12D. 25
解：.又52能被13整除，所以需使 能被13整除，即 能被13整除，所以，.又，所以 或25.故选.
11. 已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为 （ D ）
A. B. C. D.
解：因为 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以，解得.
所以二项式 中奇数项的二项式系数和为.故选.
12. 展开式中，项的系数为 .
解：（方法一）的展开式的通项为，，1， ，5，展开式的通项为，，1， ，.
令，当 时，，含 项的系数为.当 时，，含 项的系数为.
所以展开式中含 项的系数为.
（方法二）展开式中出现 有两种情况.第一种是选出3项 和2项1相乘，第二种是选出4项 和1项 相乘.所以展开式中含有 项有 和，所以 项的系数为.故填.
【拓广探索】
13. 【多选题】若二项式展开式中所有项的系数之和为，所有项的系数绝对值之和为，二项式系数之和为，则下列结论成立的是（ ABC ）
A.
B.
C. 对任意,，均有
D. 存在,,使得
解：由题意，令，可得.求所有项的系数绝对值之和，等价于求 的所有项系数和.令，可得.二项式系数之和为.
对于，因为，所以，故 正确.
对于，.因为，且 在 上单调递增，所以 的最小值为，所以，故 正确.
对于，，在 上单调递减，所以，即，故 正确，错误.故选.