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2025高考数学一轮考点突破训练第九章概率与统计9.5随机事件与概率
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这是一份2025高考数学一轮考点突破训练第九章概率与统计9.5随机事件与概率，共5页。试卷主要包含了互斥、对立事件的判断，概率的基本性质，古典概型等内容，欢迎下载使用。
例1 【多选题】有甲、乙两种报纸供市民订阅，记事件为“只订甲报纸”，事件为“至少订一种报纸”，事件为“至多订一种报纸”，事件为“不订甲报纸”，事件为“一种报纸也不订”，下列命题正确的是 （ BC ）
A. 与是互斥事件B. 与是互斥事件，且是对立事件
C. 与不是互斥事件D. 与是互斥事件
解：对于，，事件有可能同时发生，不是互斥事件.故 错误.
对于，与 不可能同时发生，且发生的概率之和为1，是互斥事件，且是对立事件.故 正确.
对于，与 可以同时发生，不是互斥事件.故 正确.
对于，与 也可以同时发生，不是互斥事件.故 错误.故选.
【点拨】互斥事件、对立事件的判定方法：①利用基本概念;②利用集合的观点.两个事件与是互斥事件，有如下三种情况：①若事件发生，则事件就不发生；②若事件发生，则事件就不发生；③事件，都不发生.两个事件与是对立事件，仅有前两种情况.因此，互斥未必对立，但对立一定互斥.概率是频率的稳定值,当试验次数越来越多时,频率越趋近于概率.
变式1
（1） 某省新高考将实行“”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件“他选择政治和地理”，事件“他选择化学和地理”，则事件与事件（ A ）
A. 是互斥事件，不是对立事件B. 是对立事件，不是互斥事件
C. 既是互斥事件，也是对立事件D. 既不是互斥事件，也不是对立事件
解：事件 与事件 不能同时发生，是互斥事件，他还可以选择化学和政治，不是对立事件.故选.
（2） 【多选题】下列结论正确的是（ ABC ）
A. 若，互为对立事件，，则
B. 若事件，，两两互斥，则事件与互斥
C. 若事件与对立，则
D. 若事件与互斥，则它们的对立事件也互斥
解：若，互为对立事件，，则 为必然事件，故 为不可能事件，则，故 正确.
若事件，，两两互斥，则事件，，不能同时发生，则事件 与 也不可能同时发生，则事件 与 互斥，故 正确.
若事件 与 对立，则，故 正确.
若事件，互斥但不对立，则它们的对立事件不互斥，故 错误.故选.
考点二 概率的基本性质
例2 某医院要派医生下乡义诊，派出医生的人数及其概率如下表所示.
（1） 求派出医生至多2人的概率；
解：设事件“不派出医生”，事件“派出1名医生”，事件“派出2名医生”，事件“派出3名医生”，事件“派出4名医生”，事件“派出5名或5名以上医生”，则事件，，，，，彼此互斥.，，，，，.
“派出医生至多2人”的概率为.
（2） 求派出医生至少2人的概率.
[答案]
（方法一）“派出医生至少2人”的概率为.
（方法二）“派出医生至少2人”的概率为.
【点拨】求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法.
①直接法.
②间接法（正难则反，特别是“至多”“至少”型问题，用间接法求解较简单）.
变式2
（1） （教材题改编）从某班学生中任选一人，其身高小于的概率为，身高在（单位：）内的概率为，则身高超过的概率为 （ C ）
A. 0.8B. 0.7C. 0.3D. 0.2
解：由题意，知身高小于 的概率、在（单位：）内的概率和超过 的概率和为1，故所求概率为.故选.
（2） 【多选题】已知事件，，且,，则 （ ABD ）
A. 如果，那么
B. 如果，那么
C. 如果与相互独立，那么
D. 如果与相互独立，那么
解：对于，由，得，故 正确.
对于，由，得，故 正确.
对于，如果 与 相互独立，那么.则，故 错误.
对于，由选项 及事件关系，知，故 正确.故选.
考点三 古典概型
例3 【多选题】有两批种子，甲批种子15粒，能发芽的占，乙批种子10粒，能发芽的占，则下列说法正确的有 （ ACD ）
A. 从甲批种子中任取两粒，两粒都能发芽的概率是
B. 从乙批种子中任取两粒，至多一粒能发芽的概率是
C. 从甲、乙两批种子中各任取一粒，至少一粒能发芽的概率是
D. 将两批种子混合后，随机抽出一粒，能发芽的概率为
解：由题意，得甲批种子有（粒）能发芽，乙批种子有（粒）能发芽.
对于，从甲批种子中任取两粒，两粒都能发芽的概率为，故 正确.
对于，从乙批种子中任取两粒，至多一粒能发芽的概率为，故 错误.
对于，从甲、乙两批种子中各取一粒，至少一粒能发芽的概率为，故 正确.
对于，将两批种子混合后，随机抽取一粒能发芽的概率为，故 正确.故选.
【点拨】求古典概型的概率的关键是求试验的样本点的总数和事件包含的样本点的个数，这就需要正确列出样本点，样本点的表示方法有列举法（列表法、树状图法）以及排列、组合法.
变式3
（1） [2023年全国乙卷]某学校举办作文比赛,共6个主题,每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文,则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为 （ A ）
A. B. C. D.
解：甲、乙两位同学各抽取1个主题,结果有（种）.其中抽到的主题不同的结果有（种）,所以所求概率为.或其中抽到的主题相同的结果有6种,所以所求概率为.故选.
（2） 从集合中随机取一个数记为，从集合中随机取一个数记为，则向量与向量垂直的概率为（ B ）
A. B. C. D.
解：基本事件有（个）．因为向量 与向量 垂直，所以.满足条件的基本事件有，共2个，则所求概率．故选．
（3） [2022年新课标Ⅰ卷]从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ D ）
A. B. C. D.
解：从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有（种）不同的取法.若两数不互质，不同的取法有,,,,,,，共7种.故所求概率.故选.人数
0
1
2
3
4
5人及以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.2
0.2
0.04
例1 【多选题】有甲、乙两种报纸供市民订阅，记事件为“只订甲报纸”，事件为“至少订一种报纸”，事件为“至多订一种报纸”，事件为“不订甲报纸”，事件为“一种报纸也不订”，下列命题正确的是 （ BC ）
A. 与是互斥事件B. 与是互斥事件，且是对立事件
C. 与不是互斥事件D. 与是互斥事件
解：对于，，事件有可能同时发生，不是互斥事件.故 错误.
对于，与 不可能同时发生，且发生的概率之和为1，是互斥事件，且是对立事件.故 正确.
对于，与 可以同时发生，不是互斥事件.故 正确.
对于，与 也可以同时发生，不是互斥事件.故 错误.故选.
【点拨】互斥事件、对立事件的判定方法：①利用基本概念;②利用集合的观点.两个事件与是互斥事件，有如下三种情况：①若事件发生，则事件就不发生；②若事件发生，则事件就不发生；③事件，都不发生.两个事件与是对立事件，仅有前两种情况.因此，互斥未必对立，但对立一定互斥.概率是频率的稳定值,当试验次数越来越多时,频率越趋近于概率.
变式1
（1） 某省新高考将实行“”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件“他选择政治和地理”，事件“他选择化学和地理”，则事件与事件（ A ）
A. 是互斥事件，不是对立事件B. 是对立事件，不是互斥事件
C. 既是互斥事件，也是对立事件D. 既不是互斥事件，也不是对立事件
解：事件 与事件 不能同时发生，是互斥事件，他还可以选择化学和政治，不是对立事件.故选.
（2） 【多选题】下列结论正确的是（ ABC ）
A. 若，互为对立事件，，则
B. 若事件，，两两互斥，则事件与互斥
C. 若事件与对立，则
D. 若事件与互斥，则它们的对立事件也互斥
解：若，互为对立事件，，则 为必然事件，故 为不可能事件，则，故 正确.
若事件，，两两互斥，则事件，，不能同时发生，则事件 与 也不可能同时发生，则事件 与 互斥，故 正确.
若事件 与 对立，则，故 正确.
若事件，互斥但不对立，则它们的对立事件不互斥，故 错误.故选.
考点二 概率的基本性质
例2 某医院要派医生下乡义诊，派出医生的人数及其概率如下表所示.
（1） 求派出医生至多2人的概率；
解：设事件“不派出医生”，事件“派出1名医生”，事件“派出2名医生”，事件“派出3名医生”，事件“派出4名医生”，事件“派出5名或5名以上医生”，则事件，，，，，彼此互斥.，，，，，.
“派出医生至多2人”的概率为.
（2） 求派出医生至少2人的概率.
[答案]
（方法一）“派出医生至少2人”的概率为.
（方法二）“派出医生至少2人”的概率为.
【点拨】求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法.
①直接法.
②间接法（正难则反，特别是“至多”“至少”型问题，用间接法求解较简单）.
变式2
（1） （教材题改编）从某班学生中任选一人，其身高小于的概率为，身高在（单位：）内的概率为，则身高超过的概率为 （ C ）
A. 0.8B. 0.7C. 0.3D. 0.2
解：由题意，知身高小于 的概率、在（单位：）内的概率和超过 的概率和为1，故所求概率为.故选.
（2） 【多选题】已知事件，，且,，则 （ ABD ）
A. 如果，那么
B. 如果，那么
C. 如果与相互独立，那么
D. 如果与相互独立，那么
解：对于，由，得，故 正确.
对于，由，得，故 正确.
对于，如果 与 相互独立，那么.则，故 错误.
对于，由选项 及事件关系，知，故 正确.故选.
考点三 古典概型
例3 【多选题】有两批种子，甲批种子15粒，能发芽的占，乙批种子10粒，能发芽的占，则下列说法正确的有 （ ACD ）
A. 从甲批种子中任取两粒，两粒都能发芽的概率是
B. 从乙批种子中任取两粒，至多一粒能发芽的概率是
C. 从甲、乙两批种子中各任取一粒，至少一粒能发芽的概率是
D. 将两批种子混合后，随机抽出一粒，能发芽的概率为
解：由题意，得甲批种子有（粒）能发芽，乙批种子有（粒）能发芽.
对于，从甲批种子中任取两粒，两粒都能发芽的概率为，故 正确.
对于，从乙批种子中任取两粒，至多一粒能发芽的概率为，故 错误.
对于，从甲、乙两批种子中各取一粒，至少一粒能发芽的概率为，故 正确.
对于，将两批种子混合后，随机抽取一粒能发芽的概率为，故 正确.故选.
【点拨】求古典概型的概率的关键是求试验的样本点的总数和事件包含的样本点的个数，这就需要正确列出样本点，样本点的表示方法有列举法（列表法、树状图法）以及排列、组合法.
变式3
（1） [2023年全国乙卷]某学校举办作文比赛,共6个主题,每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文,则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为 （ A ）
A. B. C. D.
解：甲、乙两位同学各抽取1个主题,结果有（种）.其中抽到的主题不同的结果有（种）,所以所求概率为.或其中抽到的主题相同的结果有6种,所以所求概率为.故选.
（2） 从集合中随机取一个数记为，从集合中随机取一个数记为，则向量与向量垂直的概率为（ B ）
A. B. C. D.
解：基本事件有（个）．因为向量 与向量 垂直，所以.满足条件的基本事件有，共2个，则所求概率．故选．
（3） [2022年新课标Ⅰ卷]从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ D ）
A. B. C. D.
解：从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有（种）不同的取法.若两数不互质，不同的取法有,,,,,,，共7种.故所求概率.故选.人数
0
1
2
3
4
5人及以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.2
0.2
0.04
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