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2025高考数学一轮考点突破训练第九章概率与统计9.7离散型随机变量及其分布列数字特征
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这是一份2025高考数学一轮考点突破训练第九章概率与统计9.7离散型随机变量及其分布列数字特征，共6页。试卷主要包含了离散型随机变量分布列的性质，求离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的数字特征等内容，欢迎下载使用。
例1 已知离散型随机变量等可能地取连续正整数1,2,3, ,，若，则正整数的值为 （ B ）
A. 4B. 6C. 8D. 12
解：由随机变量 等可能地取值，可知，所以.
故选.
【点拨】①利用“总概率之和为1”“每个概率非负”可以求相关参数的取值范围或值.②利用“离散型随机变量在某范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率.③可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.
变式1 随机变量的分布列如下，其中，，成等差数列，则 ，公差的取值范围是 .
解：因为，，成等差数列，所以.
又，所以，所以.又，，所以，，所以.故填；.
考点二 求离散型随机变量的分布列
例2 某小组共10人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.
（1） 设事件为“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件发生的概率；
解：，
所以.
（2） 用表示选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列.
[答案]
的可能取值为0,1,2.
，
，
.
所以 的分布列为
【点拨】离散型随机变量分布列的求解步骤.
变式2 已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
（1） 求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
解：记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件，则.
（2） 已知每检测一件产品需要费用100元，设表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求的分布列.
[答案]
的所有可能取值为200,300,400.
，
，
.
故 的分布列为
考点三 离散型随机变量的数字特征
命题角度1 均值与方差的性质
例3 【多选题】已知两个离散型随机变量,，满足，其中的分布列如下：
若，则 （ ABD ）
A. B. C. D.
解：由分布列的性质，可得，即.因为，所以.解得.代入①，得，故,正确.
所以.
因为，所以，，故 错误，正确.
故选.
【点拨】①概率与统计中均值与方差的基本性质是一致的.②涉及单调性、最值等性质时,一般构造函数进行研究.
变式3 【多选题】随机变量的分布列如表，其中，下列说法正确的是 （ ABC ）
A. B.
C. 有最大值D. 随的增大而减小
解：由题意，可知，即，故 正确.
，故 正确.
.
因为,，，所以.
而 图象开口向下，对称轴为直线，所以 在,上单调递增，在,上单调递减，故 在 处取得最大值.
所以 随着 的增大先增大后减小，当 时取得最大值，故 正确，错误.故选.
命题角度2 均值与方差的应用
例4 某网约车司机统计了自己一天中出车一次的总路程（单位：）的可能取值是20,22,24,26,28,30，它们出现的概率依次是,,，，,.
（1） 求的分布列，并求的均值和方差.
解：由题意，得.所以.
所以 的分布列为
所以，
.
（2） 若网约车计费细则如下：起步价为5元；行驶路程不超过时，收费5元，行驶路程超过时，则按每超出（不足也按计程）收费3元计费.试计算该司机一天中出车一次收入的均值和方差.
[答案]
设该司机一天中出车一次的收入为元，则.
所以，.
故该司机一天中出车一次收入的均值为71元，方差为95.4.
【点拨】利用均值、方差进行决策的主要策略：①当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断；②若两随机变量均值相同，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策.
变式4 [2021年新课标Ⅰ卷]某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.
已知小明能正确回答A类问题的概率为，能正确回答B类问题的概率为，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1） 若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；
解：随机变量 的所有可能取值为0，20，100.
,,.
故随机变量 的分布列为
（2） 为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
[答案]
设小明先回答B类问题，记为小明的累计得分.
故随机变量的所有可能取值为0，80，100.
,,.
故.
由（1）知.所以，故应选择先回答B类问题.
0
1
0
1
2
明取值
明确随机变量的可能取值有哪些，及每一个取值所表示的意义
求概率
要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率
画表格
按规范要求形式写出分布列
做检验
利用分布列的性质检验分布列是否正确
200
300
400
0
1
2
0
1
2
20
22
24
26
28
30
0.1
0.2
0.3
0.1
0.1
0.2
0
20
100
0.2
0.32
0.48
例1 已知离散型随机变量等可能地取连续正整数1,2,3, ,，若，则正整数的值为 （ B ）
A. 4B. 6C. 8D. 12
解：由随机变量 等可能地取值，可知，所以.
故选.
【点拨】①利用“总概率之和为1”“每个概率非负”可以求相关参数的取值范围或值.②利用“离散型随机变量在某范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率.③可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.
变式1 随机变量的分布列如下，其中，，成等差数列，则 ，公差的取值范围是 .
解：因为，，成等差数列，所以.
又，所以，所以.又，，所以，，所以.故填；.
考点二 求离散型随机变量的分布列
例2 某小组共10人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.
（1） 设事件为“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件发生的概率；
解：，
所以.
（2） 用表示选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列.
[答案]
的可能取值为0,1,2.
，
，
.
所以 的分布列为
【点拨】离散型随机变量分布列的求解步骤.
变式2 已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
（1） 求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
解：记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件，则.
（2） 已知每检测一件产品需要费用100元，设表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求的分布列.
[答案]
的所有可能取值为200,300,400.
，
，
.
故 的分布列为
考点三 离散型随机变量的数字特征
命题角度1 均值与方差的性质
例3 【多选题】已知两个离散型随机变量,，满足，其中的分布列如下：
若，则 （ ABD ）
A. B. C. D.
解：由分布列的性质，可得，即.因为，所以.解得.代入①，得，故,正确.
所以.
因为，所以，，故 错误，正确.
故选.
【点拨】①概率与统计中均值与方差的基本性质是一致的.②涉及单调性、最值等性质时,一般构造函数进行研究.
变式3 【多选题】随机变量的分布列如表，其中，下列说法正确的是 （ ABC ）
A. B.
C. 有最大值D. 随的增大而减小
解：由题意，可知，即，故 正确.
，故 正确.
.
因为,，，所以.
而 图象开口向下，对称轴为直线，所以 在,上单调递增，在,上单调递减，故 在 处取得最大值.
所以 随着 的增大先增大后减小，当 时取得最大值，故 正确，错误.故选.
命题角度2 均值与方差的应用
例4 某网约车司机统计了自己一天中出车一次的总路程（单位：）的可能取值是20,22,24,26,28,30，它们出现的概率依次是,,，，,.
（1） 求的分布列，并求的均值和方差.
解：由题意，得.所以.
所以 的分布列为
所以，
.
（2） 若网约车计费细则如下：起步价为5元；行驶路程不超过时，收费5元，行驶路程超过时，则按每超出（不足也按计程）收费3元计费.试计算该司机一天中出车一次收入的均值和方差.
[答案]
设该司机一天中出车一次的收入为元，则.
所以，.
故该司机一天中出车一次收入的均值为71元，方差为95.4.
【点拨】利用均值、方差进行决策的主要策略：①当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断；②若两随机变量均值相同，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策.
变式4 [2021年新课标Ⅰ卷]某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.
已知小明能正确回答A类问题的概率为，能正确回答B类问题的概率为，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1） 若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；
解：随机变量 的所有可能取值为0，20，100.
,,.
故随机变量 的分布列为
（2） 为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
[答案]
设小明先回答B类问题，记为小明的累计得分.
故随机变量的所有可能取值为0，80，100.
,,.
故.
由（1）知.所以，故应选择先回答B类问题.
0
1
0
1
2
明取值
明确随机变量的可能取值有哪些，及每一个取值所表示的意义
求概率
要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率
画表格
按规范要求形式写出分布列
做检验
利用分布列的性质检验分布列是否正确
200
300
400
0
1
2
0
1
2
20
22
24
26
28
30
0.1
0.2
0.3
0.1
0.1
0.2
0
20
100
0.2
0.32
0.48
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