2025高考数学一轮知识必备练习第九章概率与统计9.9正态分布

这是一份2025高考数学一轮知识必备练习第九章概率与统计9.9正态分布，共3页。试卷主要包含了 原则，正态分布的均值与方差等内容，欢迎下载使用。

1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量.通过具体实例，借助频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征.
2.了解正态分布的均值、方差及其含义.
必备知识 温故知新
【教材梳理】
1.定义
若随机变量的概率分布密度函数为，，其中，为参数，则称随机变量服从正态分布，记为 .
2.正态曲线的特点
（1）曲线是单峰的，它关于直线 对称.
（2）曲线在 处达到峰值 .
（3）当无限增大时，曲线无限接近轴.
（4）在参数 取固定值时，正态曲线的位置由 确定，且随着 的变化而沿轴平移，如图1所示.
图1
（5）当 取定值时，正态曲线的形状由 确定.当 较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量的分布比较集中；当 较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量的分布比较分散，如图2所示.
图2
3. 原则
若，则
（1）.
（2）.
（3）.
在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取 中的值，这在统计学中称为 原则.
4.正态分布的均值与方差
若，则 , .
【常用结论】
正态分布计算相关结论
若,则
（1）.
（2）.
（3）.
自主评价 牛刀小试
1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.
（1） 正态分布是对于连续型随机变量而言的. （ √ ）
（2） 正态曲线不一定位于轴上方，它与轴可能有交点.（ × ）
（3） 当 一定时，正态曲线的形状由 确定， 越大，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中. （ × ）
（4） 随机变量，已知，则.（ √ ）
（5） 通常认为服从正态分布的随机变量取之外的值几乎不可能发生.（ √ ）
2. 某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是（ A ）
A. 甲学科总体的方差最小B. 丙学科总体的均值最小
C. 乙学科总体的方差最小D. 甲、乙、丙的总体的均值不相同
解：由图象,可知三条曲线的对称轴相同，即三学科的均值相同，甲学科成绩的正态曲线最瘦高，说明甲学科成绩最集中，方差最小.故选.
3. （教材题改编）某班有48名同学，一次考试后的数学成绩，则理论上在80分到90分的人数约为 （ B ）
A. 32B. 16C. 8D. 20
解：由题意，得,，所以.则理论上在80分到90分的人数是.故选.
4. 已知随机变量，且，则 .
解：由题意，得.因为，所以.解得.故填.