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2025高考数学一轮知识必备练习第九章概率与统计9.5随机事件与概率
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这是一份2025高考数学一轮知识必备练习第九章概率与统计9.5随机事件与概率，共4页。试卷主要包含了结合具体事例，会用频率估计概率，频率与概率等内容，欢迎下载使用。
1.结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系.了解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算.
2.结合具体实例，理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率.
3.通过实例，理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则.
4.结合具体事例，会用频率估计概率.
必备知识 温故知新
【教材梳理】
1.有限样本空间与随机事件
2.事件的关系和运算
3.古典概型
（1）概率的定义：对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率，事件的概率用表示.
（2）古典概型：我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.
有限性：样本空间的样本点只有有限个;
等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
（3）古典概型的概率计算：一般地，试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率 .其中,分别表示与 包含的样本点个数.
4.概率的基本性质
性质1：对任意的事件,都有 .
性质2：必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即,.
性质3：如果事件与事件互斥，那么 .
推广：如果事件,, ,两两互斥，那么.
性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么 , .
性质5：如果,那么 .
特别地，对任意事件,因为 ,所以.
性质6：设,是一个随机试验中的两个事件，我们有 .
显然，性质3是性质6的特殊情况.
5.频率与概率
（1）频率的稳定性：在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率.
（2）用频率估计概率： .
（3）随机模拟：用计算器或计算机软件产生随机数模拟试验，这类随机数是依照确定的算法产生，具有周期性（周期很长），故称为伪随机数.
自主评价 牛刀小试
1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.
（1） 事件发生的频率与概率是相同的.（ × ）
（2） 两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生.（ √ ）
（3） 若是必然事件，则与是对立事件.（ × ）
（4） .（ × ）
（5） 若，为互斥事件，则.（ × ）
2. （教材题改编）一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是（ B ）
A. 至少有一次中靶B. 两次都中靶C. 只有一次中靶D. 两次都不中靶
解：射击两次中“至多有一次中靶”，即“有一次中靶”或“两次都不中靶”，与该事件不能同时发生的是“两次都中靶”.故选.
3. 【多选题】关于频率和概率，下列说法正确的是（ BD ）
A. 某同学在罚球线投篮三次，命中两次，则该同学每次投篮的命中率为
B. 数学家皮尔逊曾经做过两次试验，抛掷12 000次硬币，得到正面向上的频率为；抛掷24 000次硬币，得到正面向上的频率为.如果他抛掷36 000次硬币，正面向上的频率可能大于
C. 某类种子发芽的概率为，当我们抽取2 000粒种子试种，一定会有1 806粒种子发芽
D. 将一个均匀的骰子抛掷6 000次，则出现点数大于2的次数大约为4 000
解：对于，某同学投篮三次，命中两次，只能说明在这次投篮中命中的频率为，不能说概率，故错误.
对于，进行大量的实验，硬币正面向上的频率在0.5附近摆动，可能大于，也可能小于,故正确.
对于，只能说明可能有1 806粒种子发芽，具有随机性，故错误.
对于，每次出现点数大于2的概率为，则抛掷6 000次，出现点数大于2的次数大约为，正确.
故选.
4. [2022年全国乙卷]从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 .
解：从甲、乙等5名同学中随机选出3人，基本事件总数为.甲、乙被选中，则从剩下的3人中选一人，包含的基本事件的个数为.则甲、乙都入选的概率.故填.概念
定义
随机试验
我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母表示
样本点
把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点.一般用表示
样本空间
全体样本点的集合称为试验的样本空间，一般用表示
有限样本空间
为有限集时的样本空间称为有限样本空间
随机事件
样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.在每次试验中，当且仅当事件中某个样本点出现时，称为事件发生.称为必然事件，为不可能事件
概念
含义
符号表示
包含
若事件发生，则事件一定发生
（或）
相等
事件包含事件，事件也包含事件
并事件（和事件）
事件与事件至少有一个发生
（或）
交事件（积事件）
事件与事件同时发生
（或）
互斥（互不相容）
事件与事件不能同时发生
互为对立
事件和事件在任何一次试验中有且仅有一个发生
，且
1.结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系.了解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算.
2.结合具体实例，理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率.
3.通过实例，理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则.
4.结合具体事例，会用频率估计概率.
必备知识 温故知新
【教材梳理】
1.有限样本空间与随机事件
2.事件的关系和运算
3.古典概型
（1）概率的定义：对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率，事件的概率用表示.
（2）古典概型：我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.
有限性：样本空间的样本点只有有限个;
等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
（3）古典概型的概率计算：一般地，试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率 .其中,分别表示与 包含的样本点个数.
4.概率的基本性质
性质1：对任意的事件,都有 .
性质2：必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即,.
性质3：如果事件与事件互斥，那么 .
推广：如果事件,, ,两两互斥，那么.
性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么 , .
性质5：如果,那么 .
特别地，对任意事件,因为 ,所以.
性质6：设,是一个随机试验中的两个事件，我们有 .
显然，性质3是性质6的特殊情况.
5.频率与概率
（1）频率的稳定性：在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率.
（2）用频率估计概率： .
（3）随机模拟：用计算器或计算机软件产生随机数模拟试验，这类随机数是依照确定的算法产生，具有周期性（周期很长），故称为伪随机数.
自主评价 牛刀小试
1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.
（1） 事件发生的频率与概率是相同的.（ × ）
（2） 两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生.（ √ ）
（3） 若是必然事件，则与是对立事件.（ × ）
（4） .（ × ）
（5） 若，为互斥事件，则.（ × ）
2. （教材题改编）一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是（ B ）
A. 至少有一次中靶B. 两次都中靶C. 只有一次中靶D. 两次都不中靶
解：射击两次中“至多有一次中靶”，即“有一次中靶”或“两次都不中靶”，与该事件不能同时发生的是“两次都中靶”.故选.
3. 【多选题】关于频率和概率，下列说法正确的是（ BD ）
A. 某同学在罚球线投篮三次，命中两次，则该同学每次投篮的命中率为
B. 数学家皮尔逊曾经做过两次试验，抛掷12 000次硬币，得到正面向上的频率为；抛掷24 000次硬币，得到正面向上的频率为.如果他抛掷36 000次硬币，正面向上的频率可能大于
C. 某类种子发芽的概率为，当我们抽取2 000粒种子试种，一定会有1 806粒种子发芽
D. 将一个均匀的骰子抛掷6 000次，则出现点数大于2的次数大约为4 000
解：对于，某同学投篮三次，命中两次，只能说明在这次投篮中命中的频率为，不能说概率，故错误.
对于，进行大量的实验，硬币正面向上的频率在0.5附近摆动，可能大于，也可能小于,故正确.
对于，只能说明可能有1 806粒种子发芽，具有随机性，故错误.
对于，每次出现点数大于2的概率为，则抛掷6 000次，出现点数大于2的次数大约为，正确.
故选.
4. [2022年全国乙卷]从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 .
解：从甲、乙等5名同学中随机选出3人，基本事件总数为.甲、乙被选中，则从剩下的3人中选一人，包含的基本事件的个数为.则甲、乙都入选的概率.故填.概念
定义
随机试验
我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母表示
样本点
把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点.一般用表示
样本空间
全体样本点的集合称为试验的样本空间，一般用表示
有限样本空间
为有限集时的样本空间称为有限样本空间
随机事件
样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.在每次试验中，当且仅当事件中某个样本点出现时，称为事件发生.称为必然事件，为不可能事件
概念
含义
符号表示
包含
若事件发生，则事件一定发生
（或）
相等
事件包含事件，事件也包含事件
并事件（和事件）
事件与事件至少有一个发生
（或）
交事件（积事件）
事件与事件同时发生
（或）
互斥（互不相容）
事件与事件不能同时发生
互为对立
事件和事件在任何一次试验中有且仅有一个发生
，且
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