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第51讲 概率与统计综合问题-2022年新高考数学二轮专题突破精练
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第51讲 概率与统计综合问题
一、解答题
1．（2021·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）十三届全国人大四次会议3月11日表决通过了关于国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要的决议，决定批准这个规划纲要.纲要指出：“加强原创性引领性科技攻关”.某企业集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技术，已成功实现离子注入机全谱系产品国产化，包括中束流､大束流､高能､特种应用及第三代半导体等离子注入机，工艺段覆盖至28，为我国芯片制造产业链补上重要一环，为全球芯片制造企业提供离子注入机一站式解决方案.此次技术的突破可以说为国产芯片的制造做出了重大贡献.该企业使用新技术对某款芯片进行试生产.
（1）在试产初期，该款芯片的批次生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为，，.
①求批次芯片的次品率；
②第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行抽查检验.已知批次的芯片智能自动检测显示合格率为，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率（百分号前保留两位小数）.
（2）已知某批次芯片的次品率为，设个芯片中恰有个不合格品的概率为，记的最大值点为，改进生产工艺后批次的芯片的次品率.某手机生产厂商获得批次与批次的芯片，并在某款新型手机上使用.现对使用这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查.据统计，回访的名用户中，安装批次有部，其中对开机速度满意的有人；安装批次有部，其中对开机速度满意的有人.求，并判断是否有的把握认为芯片质量与用户对开机速度满意度有关？
附：.
【答案】（1）①；②；（2），有的把握认为芯片质量与用户对开机速度满意度有关.
【分析】
（1）①利用对立事件、相互独立事件概率乘法公式求得所求的次品率.
②根据条件概率计算公式，计算出所求概率.
（2）先求得的表达式，利用导数求得，填写列联表，计算，由此作出判断.
【详解】
（1）①Ⅰ批次芯片的次品率为
.
②设批次Ⅰ的芯片智能自动检测合格为事件，人工抽检合格为事件，
由己知得，，
则工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品为事件，
.
（2）个芯片中恰有个不合格的概率.
因此，
令，得.
当时，；当时，.
所以的最大值点为.
由（1）可知，，，故批次芯片的次品率低于批次，故批次的芯片质量优于批次.
由数据可建立2×2列联表如下：（单位：人）
开机速度满意度
芯片批次
合计
I
J
不满意
12
3
15
满意
28
57
85
合计
40
60
100
根据列联表得
.
因此，有的把握认为芯片质量与用户对开机速度满意度有关.
【点睛】
求解最值点有关的题目，是利用导数研究函数的单调性，由此来求得最值点.
2．（2021·广西·模拟预测（理））十三届全国人大常委会第二十次会议审议通过的《未成年人保护法》针对监护缺失、校园欺凌、烟酒损害、网络沉迷等问题，进一步压实监护人、学校、住宿经营者及网络服务提供者等主体责任，加大对未成年人的保护力度．某中学为宣传未成年人保护法，特举行一次未成年人保护法知识竞赛，比赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答两题，若答对题数不少于3题，被称为“优秀小组”，已知甲乙两位同学组成一组，且同学甲和同学乙答对每道题的概率分为，．
（1）若，，则在第一轮竞赛中，求他们获“优秀小组”的概率；
（2）当，且每轮比赛互不影响，如果甲乙同学在此次竞赛活动中要想获得“优秀小组”的次数为9次，那么理论上至少要进行多少轮竞赛？
【答案】（1）；（2）至少要进行19轮竞赛．
【分析】
（1）由题意可知获“优秀小组”的情况包含三种情况，分别计算概率，再求和；
（2）首先计算甲乙同学获得“优秀小组”的概率，再根据，利用基本不等式求的范围，再将概率表示为二次函数求的最大值，根据，计算的最小值.
【详解】
（1）由题可知，所以可能的情况有：
①甲答对1次，乙答对2次的概率
②甲答对2次，乙答对1次的概率；
③甲答对2次，乙答对2次的概率
故所求的概率
（2）他们在轮竞赛中获“优秀小组”的概率为：
因为，，，所以，，
所以
利用基本不等式知，当且仅当时，等号成立，
，
令，则，
所以当时，，
他们小组在竞赛中获“优秀小组”次数满足
由，则，所以理论上至少要进行19轮比赛.
【点睛】
关键点点睛：本题考查独立事件概率，二项分布，最值的综合应用，重点考查读懂题意，抽象与概括能力，属于中档题型，本题第二问的关键是求出每次获得“优秀小组”的概率的最大值，并能抽象概括他们小组在竞赛中获“优秀小组”次数满足.
3．（2021·江苏泰州·模拟预测）现有一批疫苗试剂，拟进入动物试验阶段，将1000只动物平均分成100组，任选一组进行试验．第一轮注射，对该组的每只动物都注射一次，若检验出该组中有9只或10只动物产生抗体，说明疫苗有效，试验终止；否则对没有产生抗体的动物进行第二轮注射，再次检验．如果被二次注射的动物都产生抗体，说明疫苗有效，否则需要改进疫苗．设每只动物是否产生抗体相互独立，两次注射疫苗互不影响，且产生抗体的概率均为．
（1）求该组试验只需第一轮注射的概率（用含的多项式表示）；
（2）记该组动物需要注射次数的数学期望为，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】
（1）设第一轮注射有Y只动物产生抗体，则，则所求概率即；
（2）先求得，由显然可得，再变形，可证得.
【详解】
（1）平均每组人，
设第一轮注射有Y只动物产生抗体，则，
所以，
所以该组试验只需第一轮注射的概率为．
（2）由（1）得，
，
所以
，
设，则，
又，
所以
，因为，所以，
又
，因为，所以，
所以．
【点睛】
关键点点睛：本题第（2）问的关键点是：求得.
4．（2021·全国·高三专题练习）冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征（）和严重急性呼吸综合征（）等较严重疾病.而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒（）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等.在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡.某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有n（）份血液样本，有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，则需要检验n次.方式二：混合检验，将其中k（且）份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（）.现取其中k（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为.
（1）若，试求p关于k的函数关系式；
（2）若p与干扰素计量相关，其中（）是不同的正实数，满足且（）都有成立.
（i）求证：数列等比数列；
（ii）当时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的期望值更少，求k的最大值
【答案】（1），（，且）；（2）（i）证明见解析；（ii）4.
【分析】
（1）由已知，，；的所有可能取值为1，，，根据解得即可得解；
（2）（i）由已知可得，，得，可猜想，再用数学归纳法证明，再根据等比数列的定义可证结论；
（ii）求出，根据得到，再构造函数（），利用导数可求得结果.
【详解】
（1）由已知，，，得，
的所有可能取值为1，，
∴，.
∴.
若，则，
所以，∴，
∴.
∴p关于k的函数关系式为，（，且）.
（2）（i）∵证明：当时，，∴，所以，
令，则，
∵，∴下面证明对任意的正整数n，.
①当，2时，显然成立；
②假设对任意的时，，下面证明时，；
由题意，得，
∴，
∴，，
∴，
所以.
∴或（负值舍去）.
∴成立.
∴由①②可知，对任意的正整数n，，
所以，所以为等比数列.
（ii）解：由（i）知，，，
∴，得，∴.
设（），，
∴当时，，则在上单调递减；
又，，所以，
，，所以，
，，∴；
，.∴.
∴k的最大值为4.
【点睛】
本题考查了对立事件的概率公式，考查了离散型随机变量的期望公式，考查了数学归纳法，考查了等比数列的定义，考查了利用导数解决不等式恒成立问题，属于难题.
5．（2021·河南南阳·高三期末（理））某单位为患病员工集体筛查新型流感病毒，需要去某医院检验血液是否为阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方案，方案一：逐份检验，则需要检验k次；方案二：混合检验，将k份血液样本分别取样混合在一起检验一次，若检验结果为阴性，则k份血液样本均为阴性，若检验结果为阳性，为了确定k份血液中的阳性血液样本，则对k份血液样本再逐一检验.逐份检验和混合检验中的每一次检验费用都是元，且k份血液样本混合检验一次需要额外收元的材料费和服务费.假设在接受检验的血液样本中，每份样本是否为阳性是相互独立的，且据统计每份血液样本是阳性的概率为.
（1）若份血液样本采用混合检验方案，需要检验的总次数为X，求X分布列及数学期望；
（2）①若，以检验总费用为决策依据，试说明该单位选择方案二的合理性；
②若，采用方案二总费用的数学期望低于方案一，求k的最大值.
参考数据：，，，，
【答案】（1）分布列见解析，；（2）①答案见解析；②11.
【分析】
（1）依据题意写出X的所有可能取值并计算相应的概率，列出分布列，然后计算期望即可.
（2）①设方案总费用为Y，，计算数学期望，然后与方案一的总费用为，作差比较即可. ②根据，可得，然后构造函数，利用导数研究其单调性，进行判断即可.
【详解】
（1）X的可能值为1和，
，，
所以随机变量X的分布列为：
X
1
P
所以.
（2）①设方案总费用为Y，方案一总费用为Z，则，
所以方案二总费用的数学期望为：
，
又，所以，
又方案一的总费用为，
所以，
当时，，
，又，
所以，所以该单位选择方案二合理.
②由①知方案二总费用的数学期望
，
当时，，
又方案一的总费用为，
令得：，
所以，即，
即，所以，
设，
所以，
令得，得，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
，
，
，
，
，
，
所以k的最大值为11.
【点睛】
本题考查概率与导数的综合，本题考查阅读理解能力以及计算能力，同时概率与数列，概率与导数算是近几年热点内容，属难题.
6．（2021·全国·高三期中）临近元旦，高三（1）班共50名同学，大家希望能邀请数学张老师参加元旦文艺表演．张老师决定和同学们进行一个游戏，根据游戏的结果决定是否参与表演．游戏规则如下：班长先确定班上参与游戏的同学人数（）；每位同学手里均有张除颜色外无其他区别的卡片；第（，，，，）位同学手中有张红色卡片，张白色卡片；老师任选其中一位同学，并且从该同学的手中随机连续取出两张卡片，若第二次取出的卡片为白色，则学生获胜，张老师同意参加文艺表演，否则，张老师将不参加文艺表演．
（1）若，求张老师同意参加文艺表演的概率；
（2）若希望张老师参加文艺表演的可能最大，班长应该邀请多少同学参与游戏？
【答案】
（1）
（2）50
【分析】
（1）设选出的是第k（k=1，2,3）个同学，求出连续两次卡片的方法数，再计算出第二次取出的是白色卡片的取法数，根据古典概型的概率计算公式即可求解.
（2）设选出的是第k个同学，计算连续两次抽取卡片的方法数为n（n-1）以及第二次取出的是白色卡片的种数，计算得出参加表演的概率，即求.
（1）
n=3时，设选出的是第k（k=1，2,3）个同学，连续两次卡片的方法数为3×2=6，
第二次取出的是白色卡片的两次抽取卡片的颜色有如下两种情形：
（白，白）,取法数为（3－k）（2－k），（红，白），取法数为k（3一k），
从而第二次取出的是白色卡片的种数为：（3-k）（2-k）十k（3-k）=6-2k，
则在第k个同学手中第二次取出的是白色卡片的概率，
而选到第k个同学的概率为号，
故所求概率为：
（2）
设选出的是第k个同学，连续两次抽取卡片的方法数为n（n-1），
第二次取出的是白色卡片的两次卡片颜色有如下两种情形：
（白，白）,取法数为（n—k）（n—k－1），
（红，白），取法数为k（n一k），
从而第二次取出的是白色卡片的种数为：
（n－k)（n－k－1)＋k(n－k)=(n－k)(n－1),
则在第k个同学中第二次取出的是白球的概率，
而选到第k个同学的概率为，故所求概率为：
又，可知n越大，张老师参加文艺表演的可能性最大，
因此，班长应该邀请班上的50名同学全部参与游戏，可使获胜的概率最大.
7．（2021·山东·广饶一中高三月考）为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面推进素质教育，某学校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛的12名队员来自3个不同校区，三个校区的队员人数分别是3，4，5.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛（每场比赛都采取5局3胜制），最后根据积分选出最后的冠军.积分规则如下：比赛中以或取胜的队员积3分，失败的队员积0分；而在比赛中以取胜的队员积2分，失败的队员的队员积1分.已知第10轮张三对抗李四，设每局比赛张三取胜的概率均为.
（1）比赛结束后冠亚军恰好来自不同校区的概率是多少？
（2）第10轮比赛中，记张三取胜的概率为.
①求出的最大值点；
②若以作为的值，这轮比赛张三所得积分为，求的分布列及期望.
【答案】（1）；（2）①；②分布列答案见解析，数学期望：.
【分析】
（1）利用互斥事件的概率公式即得；
（2）由题可求，然后利用导数可求最值，再利用条件可求随机变量的分布列，即得.
【详解】
（1）比赛结束后冠亚军恰好来自不同校区的概率是；
（2）①由题可知，
，
令，得，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减.
所以的最大值点，
②的可能取值为0，1，2，3.
；
；
；.
所以的分布列为
0
1
2
3
的期望为.
8．（2021·重庆·西南大学附中高三月考）甲、乙两人进行对抗比赛，每场比赛均能分出胜负．已知本次比赛的主办方提供8000元奖金并规定：①若有人先赢4场，则先赢4场者获得全部奖金同时比赛终止；②若无人先赢4场且比赛意外终止，则甲、乙便按照比赛继续进行各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金．已知每场比赛甲赢的概率为p（0＜p＜1），乙赢的概率为1-p，且每场比赛相互独立．
（1）当时，假设比赛不会意外终止，记比赛场次为随机变量Y，求Y的分布列；
（2）当时，若已进行了5场比赛，其中甲赢了3场，乙赢了2场，此时比赛因意外终止，主办方决定颁发奖金，求甲获得的奖金金额；
（3）规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件，我们可以认为该事件不可能发生，否则认为该事件有可能发生．若本次比赛，且在已进行的3场比赛中甲赢2场、乙赢1场，请判断：比赛继续进行乙赢得全部奖金是否有可能发生，并说明理由．
【答案】（1）分布列见解析；（2）6000元；（3）不可能发生，理由见解析.
【分析】
（1）由题意可得，的可能取值为4，5，6，7，分别求出对应的概率，即可求得分布列．
（2）分别求出5场比赛甲胜3局，则继续比赛甲胜的概率和继续比赛乙胜的概率，根据二者的比值，确定奖金的占比．
（3）设继续进行场比赛乙赢得全部奖金，可能取值为3，4，，，设乙赢得全部奖金为事件，则（A），设，再结合导数的单调性，即可求解．
【详解】
（1）的可能取值为4，5，6，7
的分布列为
4
5
6
7
（2）5场比赛甲胜3局，则继续比赛甲胜的概率为；继续比赛乙胜的概率为，
甲获得奖金金额为（元）
（3）设继续进行场比赛乙赢得全部奖金，可能取值为3，4.
;
设乙赢得全部奖金为事件，则
设，则，由
在单调递减，
认为比赛继续进行乙赢得全部奖金不可能发生.
9．（2021·全国·高三课时练习）系统中每个元件正常工作的概率都是，各个元件是否正常工作相互独立.如果系统中有多于一半的元件正常工作，系统就能正常工作，系统正常工作的概率称为系统的可靠性.已知该系统配置有个元件，为正整数.
（1）求该系统正常工作的概率的表达式；
（2）现为改善系统的性能，拟增加2个元件，试讨论增加2个元件后，系统可靠性的变化.
【答案】（1）；（2）当时，系统可靠性不变；当，系统可靠性降低；当，系统可靠性提高.
【分析】
（1）结合独立重复试验概率计算公式，求得的表达式.
（2）通过对“前个元件中正常工作的元件数量”进行分类讨论，求得增加个元件后系统的可靠性，利用差比较法对系统可靠性的变化进行探讨.
【详解】
（1）个元件中，恰好有个正常工作的概率为，
恰好有个元件正常工作的概率为，
恰好有个元件正常工作的概率为，故，
（2）若增加2个元件，此时共有个元件.
为使系统正常工作，前个元件中至少有个元件正常工作.
分三种情况讨论：
①前个元件中恰好有个元件正常工作的概率为，此时新增的2个元件必须同时正常工作，
所以这种情况下系统正常工作的概率为；
②前个元件中恰好有个元件正常工作的概率为，此时新增的2个元件至少有1个正常工作即可，
所以这种情况下系统正常工作的概率为；
③前个元件中至少有个元件正常工作的概率为，此时不管新增的2个元件是否正常工作，系统都会正常工作.
所以当有个元件时，系统正常工作的概率为.
所以
.
故当时，，系统可靠性不变；
当，，系统可靠性降低；
当，，系统可靠性提高.
10．（2021·全国·高三课时练习）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按，，，，分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.
（1）填写下面的列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.
单位：只
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体
没有抗体
合计
（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.
（i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率；
（ii）以（i）中确定的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量.试验后统计数据显示，当时，取最大值，求参加人体接种试验的人数及.
参考公式： (其中为样本容量)
参考数据：
0.50
0.40
0.25
0.15
0.100
0.050
0.025
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
【答案】（1）列联表答案见解析，认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关；（2）（i）；（ii）当接种人数为n=99时，；当n=100时，.
【分析】
（1）根据频率分布直方图算出每个区间段的小白鼠数量，然后根据指标值完成列联表，并根据参考公式进行运算，然后进行数据比对，最终得到答案；
（2）（i）根据古典概型公式，结合对立事件概率求法即可得到答案；
（ii）根据最大，结合二项定理概率求法列出不等式组解出X，最后求出期望.
【详解】
（1）由频率分布直方图，知200只小白鼠按指标值分布为：
在内有（只）；
在内有（只）；
在内有（只）；
在内有（只）；
在内有（只）.
由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有（只），所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下：
单位：只
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体
50
110
160
没有抗体
20
20
40
合计
70
130
200
零假设为：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.
根据列联表中数据，得.
根据的独立性检验，推断不成立，即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）（i）令事件“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”.
记事件A，B，C发生的概率分别为，，，
则，，.
所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率.
（ii）由题意，知随机变量，（）.
因为最大，
所以，
解得，因为是整数，所以或，所以接受接种试验的人数为99或100.
①当接种人数为99时，；
②当接种人数为100时，.
11．（2021·辽宁·高三月考）个人所得税起征点是个人所得税工薪所得减除费用标准或免征额，个税起征点与个人税负高低的关系最为直接，因此成为广大工薪阶层关注的焦点.随着我国人民收入的逐步增加，国家税务总局综合考虑人民群众消费支出水平增长等各方面因素，规定从2019年1月1日起，我国实施个税新政.实施的个税新政主要内容包括: ①个税起征点为元②每月应纳税所得额(含税)收入个税起征点专项附加扣除; ③专项附加扣除包括住房、子女教育和赡养老人等.新旧个税政策下每月应纳税所得额(含税)计算方法及其对应的税率表如下:
旧个税税率表(个税起征点元)
新个税税率表(个税起征点元)
缴税级数
每月应纳税所得额(含税) 收入个税起征点
税率/%
每月应纳税所得额(含税）收入个税起征点专项附加扣除
税率/%
1
不超过元
不超过元
2
部分超过元至元部分
部分超过元至元部分
3
超过元至元的部分
超过元至元的部分
4
超过元至元的部分
超过元至元的部分
5
超过元至元部分
超过元至元部分
···
···
···
···
随机抽取某市名同一收入层级的无亲属关系的男性互联网从业者(以下互联网从业者都是指无亲属关系的男性)的相关资料，经统计分析，预估他们2022年的人均月收入为元.统计资料还表明，他们均符合住房专项扣除，同时他们每人至多只有一个符合子女教育扣除的孩子，并且他们之中既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是.此外，他们均不符合其他专项附加扣除.新个税政策下该市的专项附加扣除标准为:住房元/月，子女教育每孩元/月，赡养老人元/月等.假设该市该收入层级的互联网从业者都独自享受专项附加扣除，将预估的该市该收入层级的互联网从业者的人均月收入视为其个人月收入.根据样本估计总体的思想，解决下列问题.
（1）按新个税方案，设该市该收入层级的互联网从业者2022年月缴个税为元，求的分布列和数学期望;
（2）根据新旧个税方案，估计从2022年1月开始，经过几个月，该市该收入层级的互联网从业者各月少缴的个税之和就能购买一台价值为元的华为智慧屏巨幕电视?
【答案】（1）分布列见解析，3150；（2）12个月.
【分析】
（1）先求出的可能值为，再求其对应的概率即得解；
（2）先求出该收入层级的互联网从业者每月少缴的个税为元，再解不等式即得解.
【详解】
解:既不符合子女教育扣除也不符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为元，
月缴个税元;
只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为元，
月缴个税元;
只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除的人群每月应纳税所得额为元，
月缴个税元;
既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额元，
月缴个税元.
所以的可能值为，
依题意，上述四类人群的人数之比是，
所以
，
，
，
所以的分布列为
所以
在旧政策下该收入层级的互联网从业者2022年每月应纳税所得额为元，
其月缴个税为元，
由知在新政策下该收入层级的互联网从业者2022年月缴个税为元，
所以该收入层级的互联网从业者每月少缴的个税为元.
设经过个月，该收入层级的互联网从业者少缴的个税的总和就超过
则
因为
所以
所以经过个月﹐该收入层级的互联网从业者就能购买一台价值为元的华为智慧屏巨幕电视.
12．（2021·全国·模拟预测）2020年我国科技成果斐然，其中北斗三号全球卫星导航系统7月31日正式开通．北斗三号全球卫星导航系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星，共30颗卫星组成．北斗三号全球卫星导航系统全球范围定位优于10米，实测的导航定位精度都是2~3米，全球服务可用性99%，亚太地区性能更优．
（Ⅰ）南美地区某城市通过对1000辆家用汽车进行定位测试，发现定位精确度近似满足，预估该地区某辆家用汽车导航精确度在的概率；
（Ⅱ）（ⅰ）某地基站工作人员30颗卫星中随机选取4颗卫星进行信号分析，选取的4颗卫星中含3颗倾斜地球同步轨道卫星数记为，求的分布列和数学期望；
（ⅱ）某日北京、上海、拉萨、巴黎、里约5个基地同时独立随机选取1颗卫星进行信号分析，选取的5颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目记为，求的数学期望．
附：若，则，，．
【答案】（Ⅰ）0.84；（Ⅱ）（ⅰ）分布列见解析，；（ⅱ）4.
【分析】
（Ⅰ）根据“”原则及图形的对称性即可求解；
（Ⅱ）（ⅰ）由题可知服从超几何分布，利用公式即可求解；（ⅱ）由题可知服从二项分布，利用公式即可求解．
【详解】
（Ⅰ）由，易知
，
则预估该地区某辆家用汽车导航精确度在的概率为0.84．
（Ⅱ）（ⅰ）由题意知，，
∴的分布列为
∴．
（ⅱ）5个基地相互独立，每个基地随机选取1颗卫星是中圆地球轨道卫星的概率为，所以5个基地选取的5颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目，
∴．
【点睛】
方法点睛：本题以北斗三号全球卫星导航系统为背景，考查正态分布、超几何分布、二项分布，求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定的取值情况，然后利用排列，组合，概率知识求出取各个值时对应的概率，对应服从某种特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，考查学生逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.
13．（2021·湖南·双峰县第一中学高三开学考试）有甲、乙两个袋子，甲袋中有2个白球2个红球，乙袋中有2个白球2个红球，从甲袋中随机取出一球与乙袋中随机取出一球进行交换．
（1）一次交换后，求乙袋中红球与白球个数不变的概率；
（2）二次交换后，记X为“乙袋中红球的个数”，求随机变量X的分布列与数学期望．
【答案】（1）；（2）分布列见解析，.
【分析】
（1）分甲乙交换的均是红球，甲乙交换的均是白球，两种情况讨论即可得解；
（2）写出随机变量X的所有可能取值，先分别求出一次交换后，乙袋中有2个白球2个红球，乙袋中有1个白球3个红球，乙袋中有3个白球1个红球的概率，从而可求得对于随机变量的概率，写出分布列，根据期望公式即可求出数学期望.
【详解】
解：（1）甲乙交换的均是红球，则概率为，
甲乙交换的均是白球，则概率为，
所以乙袋中红球与白球个数不变的概率为；
（2）X可取0，1，2，3，4，
由（1）得，一次交换后，乙袋中有2个白球2个红球的概率为，
乙袋中有1个白球3个红球的概率为，
乙袋中有3个白球1个红球的概率为，
则，
，
，
，
，
所以随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
所以数学期望.
14．（2021·福建·模拟预测）班级里共有名学生，其中有，，．已知，，中任意两人均为朋友，且三人中每人均与班级里中超过一半的学生为朋友．若对于某三个人，他们当中任意两人均为朋友，则称他们组成一个“朋友圈”．
（1）求班级里朋友圈个数的最大值．
（2）求班级里朋友圈个数的最小值．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）利用组合数可求；
（2）利用容斥原理可求.
【详解】
（1）当班级中的任意3人中，任意两个人都是朋友时，班级里朋友圈个数的最大，
此时.
（2）当时，，
当时，，，中的每个人都至少与班级的3个同学是好朋友，故4人彼此是好朋友，故，
当时，记为班级中除去且与是朋友的同学的集合，为班级中除去且与是朋友的同学的集合，为班级中除去且与是朋友的同学的集合，
若，由题设可知，、、中的元素的个数不小于，余下同学记为：，集合中元素的个数记为，
因为余下人数为，由容斥原理可得
，
所以，
即，
故此时，
考虑一种特殊情况：，
此时朋友圈个数为，故.
若，由题设可知，、、中的元素的个数不小于，余下同学记为：，集合中元素的个数记为，
因为余下人数为，由容斥原理可得
，
所以，
即，
故此时，
考虑一种特殊情况：，
此时朋友圈个数为，故.
综上，.
15．（2021·江苏省前黄高级中学高三月考）公元1651年，法国学者德梅赫向数学家帕斯卡请教了一个问题：设两名赌徒约定谁先赢满4局，谁便赢得全部赌注元，已知每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局赌博相互独立，在甲赢了2局且乙赢了1局后，赌博意外终止，则赌注该怎么分才合理？帕斯卡先和费尔马讨论了这个问题，后来惠更斯也加入了讨论，这三位当时欧洲乃至全世界著名的数学家给出的分配赌注的方案是：如果出现无人先赢4局且赌博意外终止的情况，则甲、乙按照赌博再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比分配赌注．（友情提醒：珍爱生命，远离赌博）
（1）若，甲､乙赌博意外终止，则甲应分得多少元赌注？
（2）若，求赌博继续进行下去甲赢得全部赌注的概率，并判断“赌博继续进行下去乙赢得全部赌注”是否为小概率事件（发生概率小于的随机事件称为小概率事件）．
【答案】（1）216元；（2），是小概率事件．
【分析】
（1）设赌博再继续进行X局且甲赢得全部赌注，则最后一局必然甲赢，由题意知，最多再进行4局，甲、乙必然有人赢得全部赌注，利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求出甲赢的概率，由此能求出甲应分得的赌注．
（2）设赌博继续进行Y局乙赢得全部赌注，则最后一局必然乙赢，当时，乙以贏，，当时，乙以贏，，求出甲赢得全部赌注的概率对其求导，利用导数分析单调性，求出该函数的最小值，从而判断出“赌博继续进行下去乙赢得全部赌注”是小概率事件.
【详解】
（1）设赌博再继续进行局且甲赢得全部赌注，则最后一局必然甲贏
由题意知，最多再进行4局，甲、乙必然有人赢得全部赌注．
当时，甲以赢，所以；
当时，甲以赢，所以；
当时，甲以赢，所以．
所以，甲赢的概率为．
所以，甲应分得的赌注为元
（2）设赌注继续进行局乙赢得全部赌注，则最后一局必然乙赢，则的可能取值有3、4，
当时，乙以贏，；
当时，乙以贏，；
所以，乙赢得全部赌注的概率为
于是甲赢得全部赌注的概率
求导，．
因为所以所以在上单调递增，
于是．
故乙赢的概率最大为故是小概率事件．
16．（2021·湖南师大附中高三月考）一疫苗生产单位通过验血方法检验某种疫苗产生抗体情况，需要检验血液是否有抗体现有份血液样本每份样本取到的可能性均等有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n次；（2）混合检验将其中（且）份血液样本分别取样混合在一起检验若检验结果无抗体，则这k份的血液全无抗体，因而这k份血液样本只需检验一次就够了，若检验结果有抗体，为了明确这k份血液究竟哪几份有抗体就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验总次数为k+1次假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果有无抗体都是相互独立的，且每份样本有抗体的概率均为．
（1）假设有5份血液样本，其中只有2份血液样本有抗体，若采用逐份检验方式，求恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率；
（2）现取其中（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式样本需要检验的总次数为．若，求关于k的函数关系式，并证明．
【答案】（1）；（2）；证明见解析．
【分析】
（1）设恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来为事件A，由古典概型概率计算公式可得答案；
（2）由题得，，进而根据化简整理得，再令（且）得，再令，利用导数研究最值得，进而得，即，进而证明.
【详解】
解：（1）设恰好经过3次检验能把有抗体血液样本全部检验出来为事件A，
所以，
所以恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率为．
（2）由已知得，
的所有可能取值为1，．
所以，，
所以，
若，则，
所以，，
所以，即，
所以p关于k的函数关系式为（且）
证明：令（且）
所以，
令，
，
所以得，
所以，，单调递减，
，，单调递增
所以，所以，
因为且，
所以，即，
所以，即，
所以．
【点睛】
本题考查古典概型求概率，随机变量概率分布列，数学期望，利用导数研究函数的性质等，考查运算求解能力，逻辑推理能力，是难题.本题第二问题解题的关键在于根据题意求得，进而结合得，再通过换元法结合导数研究函数不等式.
17．（2021·全国·高三专题练习（理））某市为提升农民的年收入，更好地实现2021年精准扶贫的工作计划，统计了2020年位农民的年收入并制成频率分布直方图，如图．
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（1）根据频率分布直方图，估计这位农民的年平均收入（单位：千元）（同一数据用该组数据区间的中点值表示）；
（2）由频率分布直方图，可以认为该市农民年收入服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得，利用该正态分布，求：
①在扶贫攻坚工作中，若使该市约有占农民人数的的农民的年收入高于本市规定的最低年收入标准，则此最低年收入标准大约为多少千元？
②该市为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策落实情况，随机走访了位农民．若每位农民的年收入互相独立，问：这位农民中的年收入不少于千元的人数最有可能是多少？
附：；若，则，，．
【答案】（1）千元．；（2）①千元；②人．
【分析】
(1)求各组数据区间的中点值乘以相应的频率之和，即可得；
(2)①根据正态分布曲线的对称性分析求解即可；
②根据正态分布求出每个农民的年收入不少于千元的概率，记个农民的年收入不少于千元的人数为，可得，其中，然后根据二项分布的概率计算公式，计算出“恰好有个农民的年收入不少于千元”中的最大值即可.
【详解】
解：（1）由频率分布直方图可知：
，
故估计位农民的年平均收入为千元．
（2）由题意知，
①因为，
时，满足题意，即最低年收入标准大约为千元；
②由，
每个农民的年收入不少于千元的概率为，记个农民的年收入不少于千元的人数为，
则，其中，
于是恰好有个农民的年收入不少于千元的事件概率为．
从而由，得，而，
所以当时，，
当时，
由此可知，在所走访位农民中，年收入不少于千元的人数最有可能是人．
18．（2021·重庆八中高三月考）为丰富学生课外生活，某市组织了高中生钢笔书法比赛，比赛分两个阶段进行：第一阶段由评委为所有参赛作品评分，并确定优胜者；第二阶段为附加赛，参赛人员由组委会按规则另行确定.数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析，这些分数X都在内，再以5为组距画分数的频率分布直方图（设“”）时，发现Y满足：.
（1）试确定n的所有取值，并求k；
（2）组委会确定：在第一阶段比赛中低于85分的同学无缘获奖也不能参加附加赛；分数在内的同学评为一等奖；分数在内的同学评为二等奖，但通过附加赛有的概率提升为一等奖；分数在内的同学评为三等奖，但通过附加赛有的概率提升为二等奖（所有参加附加赛的获奖人员均不降低获奖等级，且附加赛获奖等级在第一阶段获奖等级基础上，最多升高一级）.已知学生A和B均参加了本次比赛，且学生A在第一阶段获得二等奖.
①求学生B最终获奖等级不低于学生A最终获奖等级的概率；
②已知学生A和B都获奖，记A，B两位同学最终获得一等奖的人数为，求的分布列和数学期望.
【答案】（1）；；（2）①；②分布列见解析，.
【分析】
（1）根据分数及组距可得的可能值，由频率和为1可求得．
（2）①视频率为概率可得分数在5个区间上的概率，用符号（或）表示学生A（或B）在第一轮获奖等级为i，通过附加赛最终获奖等级为j，其中，记“学生B最终获奖等级不低于学生A的最终获奖等级”为事件W，则，由互斥事件和独立事件概率公式计算可得；
②先分别求出获得一等奖的概率，注意此时用条件概率计算，只有第一轮获奖，都有可能最终获利一等奖．最终获一等奖概率易知为，而最终获一等奖，需要在第一轮获奖的条件下才可能实现．因此，的可能取值为，分别计算概率可得分布列，再由期望公式计算期望．
【详解】
（1）根据题意，X在内，按5为组距可分成5个小区间，
分别是，，，，，
因为，由，，所以.
每个小区间的频率值分别是
由，解得.
（2）①由于参赛学生很多，可以把频率视为概率.
由（1）知，学生B的分数属于区间，，，，的概率分别是：，，，，.
我们用符号（或）表示学生A（或B）在第一轮获奖等级为i，通过附加赛最终获奖等级为j，其中
记“学生B最终获奖等级不低于学生A的最终获奖等级”为事件W，
则
.
②学生A最终获得一等奖的概率是，
学生B最终获得一等奖的概率是，
，，
.
所以的分布列为：
0
1
2
P
.
【点睛】
本题考查频率分布直方图，考查互斥事件与独立事件的概率公式，条件概率的计算，随机变量的概率分布列和数学期望．解题关键难点有两个，一是用用符号（或）表示学生A（或B）在第一轮获奖等级为i，通过附加赛最终获奖等级为j，其中，这样所求概率事件可表示若干互斥事件的和，从而求得概率；二是认识到最终获得一等奖这个事件是在第一轮获奖的条件下才能发生，因此需要用条件概率来理解计算．
19．（2021·湖南·长郡中学模拟预测）某商城玩具柜台五一期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送节日送礼，现有甲、乙两个系列盲盒，每个甲系列盲盒可以开出玩偶，，中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶，中的一个.
（1）记事件：一次性购买个甲系列盲盒后集齐玩偶，，玩偶；事件：一次性购买个乙系列盲盒后集齐，玩偶；求概率及；
（2）某礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒.通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为，前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；如此往复，记某人第次购买甲系列的概率为.
①求的通项公式；
②若每天购买盲盒的人数约为，且这人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个.
【答案】（1）；；（2） ①；②甲系列盲盒个，乙系列盲盒个.
【分析】
（1）计算一次性购买个甲系列盲盒，得到玩偶的情况总数为，利用排列与组合计算当集齐，，玩偶的所有情况总数，然后得到；利用正难则反思想，先计算一次性买个乙系列盲盒不能集齐，玩偶的概率，再利用计算即可；
（2）①由题意可得，当时，，利用构造法求出数列的通项公式；②假设用表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则根据题意可知，利用二项分布数学期望的计算公式得出购买甲的人数，从而得出购买乙的人数，根据一天中购买甲、乙的人数确定每天应准备甲、乙两种盲盒的个数.
【详解】
解：（1）若一次性购买个甲系列盲盒，得到玩偶的情况总数为，集齐，，玩偶，则有两种情况：
①其中一个玩偶个，其他两个玩偶各个，则有种结果；
②若其中两个玩偶各个，另外两个玩偶1个，则共有种结果，
故；
若一次性购买个乙系列盲盒，全部为与全部为的概率相等，均为，
故；
（2）①由题可知：，
当时，，则，，即是以为首项，以为公比的等比数列.
所以，即；
②因为每天购买盲盒的人都已购买过很多次，所以对于每一个人来说，某一天来购买盲盒时，可看作，所以，其购买甲系列的概率近似于，
假设用表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则，
所以，即购买甲系列的人数的期望为，
所以礼品店应准备甲系列盲盒个，乙系列盲盒个.
【点睛】
本题考查概率的实际运用，考查概率与数列的综合问题，解答本题的关键在于：
（1）理解题目的意思，将问题灵活转化，利用排列与组合解决（1）中及的计算；
（2）分析清楚与之间的联系，类比已知数列递推关系式求通项公式的方法求解，然后利用的性质解题.
20．（2021·全国·高三专题练习）在创建“全国文明城市”过程中，我市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次）通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：
组别
[30，40)
[40，50)
[50，60)
[60，70)
[70，80)
[80，90)
[90，100]
频数
2
13
21
25
24
11
4
（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分，近似为这100人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表），
①求的值；
②利用该正态分布，求；
（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；
②每次获赠的随机话费和对应的概率为：
赠送话费的金额（单位：元）
20
50
概率
现有市民甲参加此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望．
参考数据与公式：．若，则，，.
【答案】（1），；（2）分布列见解析，
【分析】
（1）直接根据公式计算得到，再根据正态分布的对称性及计算得到答案.
（2）获赠话费的可能取值为20，40，50，70，100，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.
【详解】
（1）由题意得：，
∴ ，∵，
，
（2）由题意知，.
获赠话费的可能取值为20，40，50，70，100，
，，，
，，.
∴的分布列为：
20
40
50
70
100
∴.
【点睛】
方法点睛：本题考查了正态分布求概率，分布列和数学期望，求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定的取值情况，然后利用排列，组合，概率知识求出取各个值时对应的概率，对应服从某种特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，考查学生逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.
21．（2021·全国·高三专题练习）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，．
（1）已知，求；
（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析.
【分析】
（1）利用公式计算可得.
（2）利用导数讨论函数的单调性，结合及极值点的范围可得的最小正零点.
（3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.
【详解】
（1）.
（2）设，
因为，故，
若，则，故.
，
因为，，
故有两个不同零点，且，
且时，；时，；
故在，上为增函数，在上为减函数，
若，因为在为增函数且，
而当时，因为在上为减函数，故，
故为的一个最小正实根，
若，因为且在上为减函数，故1为的一个最小正实根，
综上，若，则.
若，则，故.
此时，，
故有两个不同零点，且，
且时，；时，；
故在，上为增函数，在上为减函数，
而，故，
又，故在存在一个零点，且.
所以为的一个最小正实根，此时，
故当时，.
（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.
22．（2021·江西·南昌市豫章中学高三开学考试（理））某篮球队为提高队员的训练积极性，进行小组投篮游戏，每个小组由两名队员组成，队员甲与队员乙组成了一个小组.游戏规则：每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次，每小组投进的次数之和不少于3次的称为“神投小组”，已知甲乙两名队员投进篮球的概率为别为，.
（1）若，，则在第一轮游戏他们获“神投小组”的概率；
（2）若，则在游戏中，甲乙两名队员想要获得“神投小组”的称号16次，则理论上他们小组要进行多少轮游戏才行？并求此时，的值.
【答案】（1）；（2）理论上至少要进行轮游戏，.
【分析】
（1）由题分析可能的情况，利用独立事件概率公式和独立重复事件概率公式计算；
（2）先求得他们在一轮游戏中获“神投小组”的概率，并化简为关于的二次函数，利用不等式的基本性质和基本不等式求得的取值范围，进而求得的最大值，按照此最大值，利用二项分布的期望公式求得他们小组在轮游戏中获“神投小组”次数的期望值的最大值，令此最大值等于16，即求得理论上上他们小组要进行的游戏轮数的最小值，并根据基本不等式成立的条件求得此时，的值.
【详解】
（1）由题可知，所以可能的情况有：①甲投中1次，乙投中2次；②甲投中2次，乙投中1次；③甲投中2次，乙投中2次.故所求概率:
.
（2）他们在一轮游戏中获“神投小组”的概率为:
，
因为，所以，
因为，，，所以，，
又，所以，
令，以，则，
当时，，
他们小组在轮游戏中获“神投小组”次数满足，
由，则，所以理论上至少要进行轮游戏.
此时，，.
【点睛】
本题考查二项分布的应用，涉及利用基本不等式求最值，属中档题，关键是熟练掌握独立事件及独立重复事件概率公式，利用基本不等式和二次函数的性质求得他们在一轮游戏中获“神投小组”的概率的最大值，熟练掌握二项分布的期望值公式.
23．（2021·全国·高三专题练习）2021年是中国共产党百年华诞.中国站在“两个一百年”的历史交汇点，全面建设社会主义现代化国家新征程即将开启.2021年3月23日，中宣部介绍中国共产党成立100周年庆祝活动八项主要内容，其中第一项是结合巩固深化“不忘初心､牢记使命”主题教育成果，在全体党员中开展党史学习教育.这次学习教育贯穿2021年全年，总的要求是学史明理､学史增信､学史崇德､学史力行，教育引导党员干部学党史､悟思想､办实事，开新局.为了配合这次学党史活动，某地组织全体党员干部参加党史知识竞赛，现从参加人员中随机抽取100人，并对他们的分数进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）现从这100人中随机抽取2人，记其中得分不低于80分的人数为，试求随机变量的分布列及期望；
（2）由频率分布直方图，可以认为该地参加党史知识竞赛人员的分数服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，经计算.现从所有参加党史知识竞赛的人员中随机抽取500人，且参加党史知识竞赛的人员的分数相互独立，试问这500名参赛者的分数不低于82.3的人数最有可能是多少？
参考数据：，，，.
【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望：；（2）人数最有可能是79.
【分析】
（1）可得得分不低于80分的有20人，可能的取值为0，1，2，即可求得取不同值的概率，即可得出分布列，求出期望；
（2）由题求出，根据题意可得，即可求解.
【详解】
解：（1）100人中得分不低于80分的人数为，
随机变量可能的取值为0，1，2.
又，，，
则的分布列为：
0
1
2
.
（2）.
，
，
每位参赛者分数不低于82.3的概率为0.15865，记500位参赛者中分数不低于82.3的人数为随机变量，则，其中，
所以恰好有个参赛者的分数不低于82.3的概率为，，1，2，…，500.
由，
得.
所以当时，，
当时，
由此可知，在这500名参赛者中分数不低于82.3的人数最有可能是79.
24．（2021·广东·东莞市东方明珠学校模拟预测）某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是不是阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方式：
方式一：逐份检验，则需要检验次．
方式二：混合检验，将其中（且）份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这份血液样本全为阴性，因而这份血液样本只要检验一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这份血液样本究竟哪几份为阳性，就要对这份血液样本再逐份检验，此时这份血液样本的检验次数总共为．
假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为．现取其中份血液样本，记采用逐份检验方式，需要检验的总次数为，采用混合检验方式，需要检验的总次数为．
（1）若，试求关于的函数关系式；
（2）若与干扰素计量相关，其中是不同的正整数，且，都有成立．
①求证：数列是等比数列；
②当时，采用混合检验方式可以使样本需要检验的总次数的期望值比采用逐份检验方式的检验总次数的期望值更少，求的最大值．
参考数据：，．
【答案】（1）；（2）①证明见详解；②.
【分析】
（1）先由题意，得到；的可能取值为，；由离散型随机变量的期望求出，再由，化简整理，即可得出结果；
（2）①当时，由题中条件，得到，推出，令；利用数学归纳法证明对任意的正整数，即可；
②由①的结果，得到，根据题中条件，得到，推出；设，，对其求导，根据导数的方法判定其单调性，再结合具体的函数值，即可得出结果.
【详解】
（1）由已知，，，得；
的可能取值为，，
由题意，，
所以；
又，即，则，所以，
即关于的函数关系式为；
（2）①证明：当时，，所以，令，则；
因为，所以下面证明对任意的正整数，；
（i）当时，显然成立；
（ii）假设时，成立；
当时，由，
所以，
则，
即，所以，
因此，解得或（负值舍去），
所以；
由（i）（ii）可知，，即数列是等比数列；
②由①知，，
因为采用混合检验方式可以使样本需要检验的总次数的期望值比采用逐份检验方式的检验总次数的期望值更少，即，
所以，则，
所以，即；
设，，
则，
当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增；
所以；
又，，
所以使的最大整数的取值为，
即时，的最大值为；
综上，的最大值为.
【点睛】
关键点点睛：
求解本题第二问的关键在于先由题中条件，得到，猜想数列的通项公式；再由数学归纳法的一般步骤进行证明即可.
25．（2021·全国·高三专题练习）安庆市某学校高三年级开学之初增加晚自习，晚饭在校食堂就餐人数增多，为了缓解就餐压力，学校在原有一个餐厅的基础上增加了一个餐厅，分别记做餐厅甲和餐厅乙，经过一周左右统计调研分析：前一天选择餐厅甲就餐第二天选择餐厅甲就餐的概率是25%､选择餐厅乙就餐的概率为75%，前一天选择餐厅乙就餐第二天选择餐厅乙就餐的概率是50%､选择餐厅甲就餐的概率也为50%，如此往复.假设学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是，择餐厅乙就餐的概率是，记某同学第n天选择甲餐厅就餐的概率为.
（1）记某班级的3位同学第二天选择餐厅甲的人数为X，求X的分布列，并求E(X)；
（2）请写出与的递推关系；
（3）求数列的通项公式并帮助学校解决以下问题：为提高学生服务意识和团队合作精神，学校每天从20个班级中每班抽调一名学生志愿者为全体学生提供就餐服务工作，根据上述数据，如何合理分配到餐厅甲和餐厅乙志愿者人数？请说明理由.
【答案】（1）分布列答案见解析，；
（2）；
（3）分配到餐厅甲和餐厅乙志愿者人数8人和12人，理由见解析.
【分析】
（1）依题意可得，进而可得分布列和期望；
（2）由可得结果；
（3）由（2）求得，且，由此可得分配方案.
【详解】
（1）某同学第二天选择餐厅甲就餐的概率，
某同学第二天选择餐厅乙就餐的概率，
位同学第二天选择餐厅甲就餐的人数为，则.
，
的分布列为
0
1
2
3
故.
（2）依题意，，即.
（3）由（2）知，则
当时，可得，
数列是首项为公比为的等比数列.
，即.
，
所以，分配到餐厅甲的志愿者人数为，分配到餐厅乙的志愿者人数为.
【点睛】
关键点点睛：第（1）问的关键点是：探究得到；后两问的关键点是得到递推关系.
26．（2021·山东·模拟预测）某商场拟在年末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券“的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子（形状为正方体，六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），若向上点数不超2点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮游戏，若累计得分为19分，则游戏结束，可得到200元礼券，若累计得分为20分，则游戏结束，可得到纪念品一份，最多进行20轮游戏．
（1）当进行完3轮游戏时，总分为X，求X的期望；
（2）若累计得分为i的概率为，（初始得分为0分，）．
①证明数列，（i＝1，2，…，19）是等比数列；
②求活动参与者得到纪念品的概率．
【答案】（1）5；（2）①证明见解析；②．
【分析】
（1）由题意可知每轮游戏获得1分的概率为，获得2分的概率为，而每轮游戏的结果互相独立，设进行完3轮游戏时，得1分的次数为，所以，，即可求出X的期望；
（2）①根据累计得分为i的概率为，分两种情形讨论得分情况，从而得到递推式，再根据构造法即可证出数列是等比数列；
②根据①可求出，再根据累加法即可求出，然后由从而解出．
【详解】
（1）由题意可知每轮游戏获得1分的概率为，获得2分的概率为，设进行完3轮游戏时，得1分的次数为，所以，，而，即随机变量X可能取值为3，4，5，6，
，，
，．
∴X的分布列为：
X
3
4
5
6
P
E（X）＝＝5．
（2）①证明：n＝1，即累计得分为1分，是第1次掷骰子，向上点数不超过2点，，则，累计得分为i分的情况有两种：
（Ⅰ）i＝（i﹣2）＋2，即累计得i﹣2分，又掷骰子点数超过2点，其概率为，
（Ⅱ）累计得分为i﹣1分，又掷骰子点数没超过2点，得1分，其概率为，
∴，∴，（i＝2，3，•••，19），∴数列，（i＝1，2，…，19）是首项为﹣，公比为﹣的等比数列．
②∵数列，（i＝1，2，…，19）是首项为﹣，公比为﹣的等比数列，
∴，
∴，，•••，，
各式相加，得：，
∴，（i＝1，2，•••，19），
∴活动参与者得到纪念品的概率为：
．
【点睛】
本题第一问解题关键是明确得1分的次数为服从二项分布，从而找到所求变量与的关系，列出分布列，求得期望；第二问①主要是递推式的建立，分析判断如何得到分的情况，进而得到，利用数列知识即可证出，②借由①的结论，求出，分析可知，从而解出．
27．（2021·重庆一中模拟预测）某5G传输设备由奇数根相同的光导纤维并联组成，每根光导纤维能正常传输信号的概率均为，且每根光导纤维能否正常传输信号相互独立．已知该设备中有超过一半的光导纤维能正常传输信号，这个5G传输设备才可以正常工作．记根光导纤维组成的这种5G传输设备可以正常工作的概率为．
（1）用p表示；
（2）当时，证明：；
（3）为提高这个5G传输设备正常工作的概率，在这个传输设备上再并联两根相同规格的光导纤维，且新增光导纤维后的5G传输设备有超过一半的光导纤维能正常传输信号才可以正常工作．确定的取值范围，使新增两根光导纤维可以提高这个5G传输设备正常工作的概率．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.
【分析】
由题设可得，
（1）将代入上式即可求；
（2）由题意，由易知，进而可证明结论.
（3）讨论新增两个光纤{两根都能正常工作，一根正常工作，两根都不能正常工作}对应的光导纤维能正常传输信号的概率，进而求，根据即可求的范围.
【详解】
由题意知：要使5G传输设备可以正常工作，则至少有根光导纤维能正常传输信号，
∴，
（1）由上知：；
（2）当时，有，而，
∴，故，得证；
（3）由题意，，
新增两根光导纤维后，两根都能正常工作、一根正常工作、两根都不能正常工作，对应该设备能正常工作的概率分别为，
∴，，，
∴，
∴使新增两根光导纤维可以提高这个5G传输设备正常工作的概率，则，
∴，故时新增两根光导纤维可以提高这个5G传输设备正常工作的概率．
【点睛】
关键点点睛：第三问，讨论新增两个光纤{两根都能正常工作，一根正常工作，两根都不能正常工作}对应的光导纤维能正常传输信号的概率，根据题意得到即可求概率的范围.
28．（2021·山东·烟台二中三模）为纪念中国共产党成立100周年，加深青少年对党的历史、党的知识、党的理论和路线方针的认识，激发爱党爱国热情，坚定走新时代中国特色社会主义道路的信心，某校举办了党史知识竞赛．竞赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答3道题，若答对题目不少于5道题，则获得一个积分．已知甲乙两名同学一组，甲同学和乙同学对每道题答对的概率分别是和，且每道题答对与否互不影响．
（1）若，，求甲乙同学这一组在一轮竞赛中获得一个积分的概率；
（2）若，且每轮比赛互不影响，若甲乙同学这一组想至少获得5个积分，那么理论上至少要进行多少轮竞赛？
【答案】（1）；（2）15
【分析】
（1）根据可求得；
（2）得出获得一个积分的，由已知可得，进而求得，根据甲乙两同学在轮比赛中获得的积分数满足，根据即可解得.
【详解】
（1）假设甲和乙答对的题目个数分别为和，
故所求概率
，
所以甲乙同学这一组在一轮竞赛中获得一个积分的概率为；
（2）由（1）得
，
整理得，
因为且，所以，
所以，当且仅当时等号成立，即，
令，则，
所以，则，
当时，，则当时，，
甲乙两同学在轮比赛中获得的积分数满足，
所以由，即解得，
因为为正整数，所以至少为15，
所以若甲乙同学这一组想至少获得5个积分，那么理论上至少要进行15轮竞赛.
【点睛】
关键点睛：解决本题的关键是先求得获得一个积分的，且根据求得其最大值，再由甲乙两同学在轮比赛中获得的积分数服从二项分布求解.
29．（2021·全国·模拟预测）某学校招聘在职教师，甲､乙两人同时应聘.应聘者需进行笔试和面试，笔试分为三个环节，每个环节都必须参与，甲笔试部分每个环节通过的概率均为，乙笔试部分每个环节通过的概率依次为，，，笔试三个环节至少通过两个才能够参加面试，否则直接淘汰；面试分为两个环节，每个环节都必须参与，甲面试部分每个环节通过的概率依次为，，乙面试部分每个环节通过的概率依次为，，若面试部分的两个环节都通过，则可以成为该学校的在职教师.甲､乙两人通过各个环节相互独立.
（1）求乙未能参与面试的概率；
（2）记甲本次应聘通过的环节数为，求的分布列以及数学期望；
（3）若该校仅招聘1名在职教师，试通过概率计算，判断甲､乙两人谁更有可能入职.
【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：；（3）甲更可能成为该校的在职教师.
【分析】
（1）根据事件的互斥性及每一次是否通过相互独立求解即可；（2）首先确定随机变量的可能取值，再分别求出相应的概率值，列出分布列计算数学期望；（3）分别计算甲乙通过成为在职教师的概率值，比较大小，得出结论.
【详解】
（1）若乙笔试部分三个环节一个都没有通过或只通过一个，则不能参与面试，故乙未能参与面试的概率.
（2）的可能取值为0，1，2，3，4，5，
，
，
，
，
，
.
则的分布列为
0
1
2
3
4
5
故.
（3）由（2）可知，甲成为在职教师的概率，
乙成为在职教师的概率.
因为，所以甲更可能成为该校的在职教师.
【点睛】
本题考查相互独立事件的概率､离散型随机变量的分布列以及期望.在求解过程中需清楚互斥事件的概率加法计算公式和相互独立事件的概率乘法计算公式，分布列中需要准确计算每个可能取值的概率值，最后计算数学期望.
30．（2021·山东泰安·模拟预测）国际比赛赛制常见的有两种，一种是单败制，一种是双败制．单败制即每场比赛的失败者直接淘汰，常见的有等等．表示双方进行一局比赛，获胜者晋级．表示双方最多进行三局比赛，若连胜两局，则直接晋级；若前两局两人各胜一局，则需要进行第三局决胜负．现在四人进行乒乓球比赛，比赛赛制采用单败制，A与B一组，C与D一组，第一轮两组分别进行，胜者晋级，败者淘汰；第二轮由上轮的胜者进行，胜者为冠军．已知A与比赛，A的胜率分别为；B与比赛，B的胜率分别；C与D比赛，C的胜率为．任意两局比赛之间均相互独立．
（1）在C进入第二轮的前提下，求A最终获得冠军的概率；
（2）记A参加比赛获胜的局数为X，求X的分布列与数学期望．
【答案】（1）；（2）分布列见解析，.
【分析】
（1）根据独立重复事件的概率公式，结合条件概率的计算公式进行求解即可；
（2）参加比赛获胜的局数的取值有0，1，2，3，求出每种可能性的概率，列出分布列，根据数学期望公式进行运算求解即可.
【详解】
解：（1）进入第二轮的概率为，
与比赛，获胜，与比赛，获胜，且与比赛，获胜，
其概率为，
故在进入第二轮的前提下，最终获得冠军的概率．
（2）参加比赛获胜的局数的取值有0，1，2，3．
，
，
，
．
的分布列为：
0
1
2
3
．
【点睛】
关键点睛：根据条件概率的运算公式、认真阅读题干理解题意是解题的关键
31．（2021·山东济南·二模）某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立．当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）．
（1）若每个元件正常工作的概率．
（i）当时，求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和期望；
（ii）计算．
（2）已知设备升级前，单位时间的产量为件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了髙端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件髙端产品的利润是2元．请用表示出设备升级后单位时间内的利润（单位：元），在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，分析该设备能否通过增加控制系统中元件的个数来提高利润．
【答案】（1）（i）分布列见解析，数学期望为2；（ii）；（2）；分类讨论，答案见解析．
【分析】
（1）（i）由题意可知，利用二项分布求解即可；
（ii）根据互斥事件的和事件的概率公式求解；
（2）求出设备升级后单位时间内的利润，分类讨论求出与的关系，做差比较大小即可.
【详解】
（1）（i）因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为0，1，2，3；
因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，
所以，
所以，
，
，
所以控制系统中正常工作的元件个数的分布列为
0
1
2
3
控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为；
（ii）由题意知：
；
（2）升级改造后单位时间内产量的分布列为
产量
0
设备运行概率
所以升级改造后单位时间内产量的期望为；
所以
产品类型
高端产品
一般产品
产量（单位：件）
利润（单位：元）
2
1
设备升级后单位时间内的利润为
，即；
因为控制系统中元件总数为奇数，若增加2个元件，则第一类：原系统中至少有个元件正常工作，其概率为；
第二类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作，其概率为
；
第三类：原系统中有个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，其概率为
；
所以
，
即，
所以当时，，单调递增，
即增加元件个数设备正常工作的概率变大，
当时，，
即增加元件个数设备正常工作的概率没有变大，
又因为，
所以当时，设备可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润；
当时，设备不可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润．
【点睛】
关键点点睛：分析增加2个元件后，分三类求解，求出是解题的难点与关键，属于较难题.
32．（2021·河北省唐县第一中学高三月考）某病毒在进入人体后有潜伏期，患者在潜伏期内无任何症状，但已具传染性.假设一位病毒携带者在潜伏期内每天有n位密接者，每位密接者被感染的概率为p，
（1）若，，求一天内被一位病毒携带者直接感染人数X的分布列和均值：
（2）某定点医院为筛查某些人员是否感染此病毒，需要检测血液样本是否为阳性，有以下两种检验方式：
①逐份检验，即k份血液样本需要检验k次；
②混合检验，即将k份（且）血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，则这k份血液样本全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了：如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液样本究竞哪份为阳性，就要对k份血液样本再逐份检验，此时这k份血液样本的检验次数为k+1次.
假设样本的检验结果相互独立，且每份样本检验结果是阳性的概率为，为使混合检验需要的检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的期望值更少，求k的取值范围.
参考数据：，，，，.
【答案】（1）答案见解析；（2）且k∈N*．
【分析】
（1）依题意可知X服从二项分布，即X～B(3，)，由此求得随机变量的分布列；
（2）由题意知ζ的所有可能取值为1，，求得其期望，由已知得lnk＞k．设，运用导函数，研究函数的单调性和特殊点的函数值的符号可求得范围.
【详解】
（1）若n＝3，p＝，依题意可知X服从二项分布，即X～B(3，)，
从而，i＝0，1，2，3．
随机变量X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
随机变量X的均值为．
（2）由题意知ζ的所有可能取值为1，，且，，
∴，
又∵E(η)＝k，依题意E(ζ)＜E(η)，即：k＋1－k(1－p)k＜k，∴＜(1－p)k，
∵p＝1－，∴＜()k，∴lnk＞k．
设，则，所以时，，时，，
所以f(x)在(0，3)上单调递增，在(3，＋∞)上单调递减，
由于f(1)＝＜0，f(2)＝ln2－＞0，
f(4)＝ln4－＝0.0530＞0，f(5)＝ln5－＝－0.0573＜0，
故k的取值范围为且k∈N*．
【点睛】
方法点睛：求解离散型随机变量分布列的步骤是：
1.首先确定随机变量的所有可能取值；
2.计算取得每一个值的概率，可通过所有概率和为来检验是否正确；
3.进行列表，画出分布列的表格；
4.最后扣题，根据题意求数学期望或者其它．
33．（2021·湖北·汉阳一中模拟预测）2020年12月16日至18日，中央经济工作会议在北京召开，会议确定，2021年要抓好八个重点任务，其中第五点就是：保障粮食安全，关键在于落实藏粮于地､藏粮于技战略.要加强种质资源保护和利用，加强种子库建设.要尊重科学､严格监管，有序推进生物育种产业化应用.某“种子银行”对某种珍稀名贵植物种子采取“活态保存”方法进行保存，即对种子实行定期更换和种植.通过以往的相关数据表明，该植物种子的出芽率为，每颗种子是否发芽相互独立.现任取该植物种子颗进行种植，若种子的出芽数超过半数，则可认为种植成功().
（1）当，时，求种植成功的概率及的数学期望；
（2）现拟加种两颗该植物种子，试分析能否提高种植成功率？
【答案】（1）概率为，；（2）答案见解析.
【分析】
（1）利用服从二项分布，即求出种植成功的概率和数学期望；
（2）设种植颗种子时，种植成功的概率为，拟加种两颗该植物种子时，种植成功的概率为，为了种植成功，前颗种子中至少要有颗种子出芽，然后分三种情况分别求解种植成功的概率，利用作差法比较即可.
【详解】
（1）由题意可知，服从二项分布，
故，
故种植成功的概率为，
；
（2）设种植颗种子时，种植成功的概率为，
拟加种两颗该植物种子时，种植成功的概率为，
当种植颗种子时，考虑前颗种子出芽数，
为了种植成功，前颗种子中至少要有颗种子出芽，
①前颗种子中恰有颗出芽，它的概率为，
此时后两颗种子必须都要出芽，
所以这种情况下种植成功的概率为；
②前颗种子恰有颗出芽，它的概率为，
此时后两颗种子至少有一颗出芽即可，
所以这种情况下种植成功的概率为；
③前颗种子至少有颗出芽，
它的概率为，此时种植一定成功.
所以，
故，
，
因为，
所以，
所以当时，，种植成功率会降低；
当时，，种植成功率不变；
当时，，种植成功率会提高.
【点睛】
关键点睛：解决本题的关键一是要分类讨论，二是要分析出所有满足条件的情况并计算出概率.
34．（2021·全国·高三专题练习）品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，通常采用的测试方法如下：拿出（且）瓶外观相同但品质不同的酒让品酒师品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序.这称为一轮测试，根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.现分别以、、、、表示第一次排序时被排在、、、、的种酒在第二次排序时的序号，并令，则是对两次排序的偏离程度的一种描述.
（1）证明：无论取何值，的可能取值都为非负偶数；
（2）取，假设在品酒师仅凭随机猜测来排序的条件下，、、、等可能地为、、、的各种排列，且各轮测试相互独立.
①求的分布列和数学期望；
②若某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有，则认为该品酒师有较好的酒味鉴别功能.求出现这种现象的概率，并据此解释该测试方法的合理性.
【答案】（1）证明见解析；（2）①分布列答案见解析，数学期望为；②概率为，解释答案见解析.
【分析】
（1）分析出且与的奇偶性一致，右由此可得出结论；
（2）①由题意可知，随机变量的可能取值有、、、、，分别计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，并由此计算出的值；
②记“在相继进行的三轮测试中都有”为事件，计算出的值，由此可得出结论.
【详解】
（1）首先有，
去绝对值不影响数的奇偶性，故
与的奇偶性一致，而
为偶数，故的可能取值都为非负偶数；
（2）①由（1）知当时，的可能取值为、、、、，
，，，
，，
所以的分布列为
从而的数学期望；
②记“在相继进行的三轮测试中都有”为事件，“在某轮测试中有”
为事件，则，
又各轮测试相互独立，，
因为表示仅凭随机猜测得到较低偏离程度的结果的概率，
而，该可能性非常小，所以我们可以认为该品酒师确实有较好的酒味鉴别能力，而不是靠随机猜测，故这种测试方法合理.
【点睛】
思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：
（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布；
（2）求出每一个随机变量取值的概率；
（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率.
35．（2021·湖北·汉阳一中三模）设是给定的正整数（），现有个外表相同的袋子，里面均装有个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球．现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个取后不放回）．
（1）若，假设已知选中的恰为第2个袋子，求第三次取出为白球的概率；
（2）若，求第三次取出为白球的概率；
（3）对于任意的正整数，求第三次取出为白球的概率．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）时，第三次取出为白球的情况有：红红白，红白白，白红白，利用相互独立事件概率乘法公式，互斥事件概率加法公式能求出第三次取出为白球的概率．
（2）先求出第三次取出的是白球的种数，再求出在第个袋子中第三次取出的是白球的概率，选到第个袋子的概率为，由此能求出第三次取出的是白球的概率．
（3）先求出第三次取出的是白球的种数，再求出在第个袋子中第三次取出的是白球的概率，选到第个袋子的概率为，由此能求出第三次取出的是白球的概率．
【详解】
解：（1）时，第二个袋中有2白2红，共4个球，从中连续取出三个球（每个取后不放回）．
第三次取出为白球的情况有：红红白，红白白，白红白，
∴第三次取出为白球的概率．
（2）设选出的是第个袋，连续三次取球的方法数为，
第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形：
（白，白，白），取法数为，
（白，红，白），取法数为，
（红，白，白），取法数为，
（红，红，白），取法数为，
从而第三次取出的是白球的种数为：
，
则在第个袋子中第三次取出的是白球的概率，
而选到第个袋子的概率为，故所求概率为：
．
（3）设选出的是第个袋，连续三次取球的方法数为，
第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形：
（白，白，白），取法数为，
（白，红，白），取法数为，
（红，白，白），取法数为，
（红，红，白），取法数为，
从而第三次取出的是白球的种数为：
，
则在第个袋子中第三次取出的是白球的概率，
而选到第个袋子的概率为，故所求概率为：
．
【点睛】
关键点睛：本题考查概率的求法，相互独立事件概率乘法公式，互斥事件概率加法公式，关键在于运用列举法，准确地运用公式得以解决问题．
36．（2021·安徽·高三月考（理））公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫（Demere）向另一位著名的数学家帕斯卡（B. Pascal）提出了一个问题，帕斯卡和费马（Fermat）讨论了这个问题，后来惠更斯（C. Huygens）也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答.该问题如下：设两名运动员约定谁先赢局，谁便赢得全部奖金元.每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每场比赛相互独立.在甲赢了局，乙赢了局时，比赛意外终止.奖金该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金.
（1）规定如果出现无人先赢局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金.若，，，，求.
（2）记事件为“比赛继续进行下去乙赢得全部奖金”，试求当，，时比赛继续进行下去甲赢得全部奖金的概率，并判断当时，事件是否为小概率事件，并说明理由.规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件.
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【分析】
（1）设赌博再继续进行局甲赢得全部赌注，可知最后一局必然甲赢，可知的可能取值有、、，分别计算出在不同取值下的概率，可得出，进而可得出，由此可气得结果；
（2）设赌博继续进行局乙赢得全部赌注，则最后一局必然乙赢，可知的可能取值有、，分别计算出在不同取值下的概率，可求得，进而可得出，再利用导数求出的最小值，进而可得出结论.
【详解】
（1）设比赛再继续进行局甲赢得全部奖金，则最后一局必然甲赢.
由题意知，最多再进行局，甲、乙必然有人赢得全部奖金.
当时，甲以赢，所以；
当时，甲以赢，所以；
当时，甲以赢，所以.
所以，甲赢的概率为.
所以，；
（2）设比赛继续进行局乙赢得全部奖金，则最后一局必然乙赢.
当时，乙以赢，；
当时，乙以赢，；
所以，乙赢得全部奖金的概率为.
于是甲赢得全部奖金的概率.
求导，.
因为，所以，所以在上单调递增，
于是.
故乙赢的概率为，故事件是小概率事件.
【点睛】
关键点点睛：本题在求和时，要明确最后一局是谁赢，前几局甲或乙各赢了几局，再结合独立事件的概率乘法公式计算即可.
37．（2021·湖南·雅礼中学高三开学考试）某新型双轴承电动机需要装配两个轴承才能正常工作，且两个轴承互不影响．现计划购置甲，乙两个品牌的轴承，两个品牌轴承的使用寿命及价格情况如下表：
品牌
价格（元/件）
使用寿命（月）
甲
或
乙
或
已知甲品牌使用个月或个月的概率均为，乙品牌使用个月或个月的概率均为．
（1）若从件甲品牌和件乙品牌共件轴承中，任选件装入电动机内，求电动机可工作时间不少于个月的概率；
（2）现有两种购置方案，方案一：购置件甲品牌；方案二：购置件甲品牌和件乙品牌（甲、乙两品牌轴承搭配使用）．试从性价比（即电动机正常工作时间与购置轴承的成本之比）的角度考虑，选择哪一种方案更实惠？
【答案】（1）；（2）方案二更实惠．
【分析】
（1）分三种情况讨论：①装入两件甲品牌；②装入一件甲品牌，一件乙品牌，且乙品牌的使用寿命为个月；③装入两件乙品牌，且两件的使用寿命均为个月.分别计算出各种情况下对应事件的概率，利用互斥事件的概率加法公式可求得结果；
（2）若采用方案一，设电动机可工作时间为（单位：月），若采用方案二，设两件乙品牌轴承的使用寿命之和为（单位：月），计算出、的值，设甲品牌轴承的使用寿命为（单位：月），此时电动机可工作时间为（单位：月），计算出，然后比较和的大小关系，由此可得出结论.
【详解】
（1）电动机工作时间不少于个月共有三种情况：
①装入两件甲品牌，概率为；
②装入一件甲品牌，一件乙品牌，且乙品牌的使用寿命为个月，概率为；
③装入两件乙品牌，且两件的使用寿命均为个月，概率为.
电动机可工作时间不少于个月的概率为；
（2）若采用方案一，设电动机可工作时间为（单位：月），则的可能取值为、
，，
所以，的分布列为
，它与购置轴承的成本之比为．
若采用方案二，设两件乙品牌轴承的使用寿命之和为（单位：月），则的可能取值为、、，
，，.
设甲品牌轴承的使用寿命为（单位：月），此时电动机可工作时间为（单位：月），则的可能取值为、、，
，
，
，
所以，的分布列为：
，它与购置轴承的成本之比为
，
，从性价比的角度考虑，方案二更实惠．
【点睛】
方法点睛：求随机变量的期望和方差的基本方法如下：
（1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；
（2）已知随机变量的期望、方差，求的期望与方差，利用期望和方差的性质（，）进行计算；
（3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算.
38．（2021·全国·高三专题练习（理））为落实《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，完善学校体育“健康知识＋基本运动技能＋专项运动技能”教学模式，建立“校内竞赛－校级联赛－选拔性竞赛－国际交流比赛”为一体的竞赛体系，构建校、县（区）、地（市）、省、国家五级学校体育竞赛制度．某校开展“阳光体育节”活动，其中传统项目“定点踢足球”深受同学们喜爱．其间甲、乙两人轮流进行足球定点踢球比赛（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为，乙每次踢球命中的概率为，且各次踢球互不影响．
（1）经过1轮踢球，记甲的得分为，求的数学期望；
（2）若经过轮踢球，用表示经过第轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的概率．
①求，，；
②规定，且有，请根据①中，，的值求出、，并求出数列的通项公式．
【答案】（1）；（2）①，，；②，.
【分析】
（1）的可能取值为，0，1，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列与期望；
（2）①，经过2轮投球甲的累计得分高有两种情况：一是2轮甲各得1分，二是2轮中有1轮甲得0分，有1轮甲得1分，由此能求出．经过3轮投球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得分．由此能求出．
②推导出，将，代入得，，推导出是首项与公比都是的等比数列，由此能求出结果．
【详解】
（1）记一轮踢球，甲命中为事件，乙命中为事件，，相互独立．
由题意，，甲的得分的可能取值为，0，1．
，
．
，
∴的分布列为：
0
1
．
（2）①由（1），
．
经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得分．
∴，
②∵规定，且有，
∴代入得：，
∴，∴数列是等比数列，
公比为，首项为，∴．
∴．
【点睛】
关键点睛：利用待定系数法得到后，紧扣等比数列定义是解决问题的关键.
39．（2021·全国·模拟预测）当前，全国上下正处在新冠肺炎疫情“外防输入，内防反弹”的关键时期，为深入贯彻落实习近平总书记关于疫情防控的重要指示要求，始终把师生生命安全和身体健康放在第一位．结合全国第个爱国卫生月要求，学校某班组织开展了“战疫有我，爱卫同行”防控疫情知识竟赛活动，抽取四位同学，分成甲、乙两组，每组两人，进行对战答题．规则如下：每次每位同学给出道题目，其中有道是送分题(即每位同学至少答对题)．若每次每组答对的题数之和为的倍数，原答题组的人再继续答题；若答对的题数之和不是的倍数，就由对方组接着答题．假设每位同学每次答题之间相互独立，无论答对几道题概率都一样，且每次答题顺序不作考虑，第一次由甲组开始答题．求：
(1)若第次由甲组答题的概率为，求；
(2)前次答题中甲组恰好答题次的概率为多少？
【答案】(1)；(2)．
【分析】
(1)先根据所给条件，用列举法求出原答题组再继续答题的概率和由对方组接着答题的概率，再把第次由甲组答题的事件分拆成两个互斥事件的和，最后由概率加法公式列式求得；
(2)分析出甲在第次、第次、第次中只答题一次的事件，列式代数计算即得.
【详解】
(1)答对的题数之和为的倍数分别为，，，，，，，
其概率为，
则答对的题数之和不是的倍数的概率为，
第次由甲组答题，是第次由甲组答题，第次继续由甲组答题的事件与第次由乙组答题，第次由甲组答题的事件和，它们互斥，又各次答题相互独立，
所以第次由甲组答题，第次继续由甲组答题的概率为，
第次由乙组答题，第次由甲组答题的概率为，
因此，
则
因为第一次由甲组开始，则，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，
即
(2)由于第次由甲组答题，则只要第次、第次、第次这次中再由甲组答题一次即可，由(1)可知，，，
所以所求概率
.
所以．
【点睛】
涉及较繁琐的概率求解问题，关键是把要求概率的事件分拆成一些相互独立事件的积和彼此互斥的和，再根据概率的乘法公式和概率的加法公式求解.
40．（2021·全国·高三专题练习（理））甲、乙、丙三人参加学校“元旦嘉年华”竞答游戏，活动的规则为：甲、乙、丙三人先分别坐在圆桌的，，三点，第一轮从甲开始通过掷骰子决定甲的竞答对手，如果点数是奇数，则按逆时针选择乙，如果是偶数，则按顺时针选丙，下一轮由上一轮掷骰子选中的对手继续通过掷骰子决定竟答对手，如果点数是奇数按逆时针选对手，点数是偶数按顺时针选对手，已知每场竞答甲对乙、甲对丙、乙对丙获胜的概率分别为，，且甲、乙、丙之间竞答互不影响，各轮游戏亦互不影响，比赛中某选手累计获胜场数达到场，游戏结束，该选手为晋级选手．
（1）求比赛进行了场且甲晋级的概率；
（2）当比赛进行了场后结束，记甲获胜的场数为，求的分布列与数学期望．
【答案】（1）；（2）分布列见解析；期望为．
【分析】
（1）根据题意分别求出每一类情况的概率，再利用互斥事件概率加法公式即可求解；（2）由题意可知的所有可能取值为，，，利用独立事件与互斥事件的概率公式求出对应的概率即可求出分布列与数学期望．
【详解】
解：（1）甲赢两场，分下面三种情况
①第一场甲胜，第二场无甲，第三场甲胜
概率为： ；
②第一场甲输，二三场均胜
概率为：；
③第一场甲胜，第二场输，第三场胜
概率为： ；
由互斥事件的概率加法公式可知：比赛进行了场且甲晋级的概率为：.
（2）依题意的所有可能取值为，，
由（1）知，
当比赛进行了场后结束，甲获胜的场数为时，
分两种情况：
3场比赛中甲参加了1场，输了,概率为：
3场比赛中甲参加了2场，都输了，概率为：
3场比赛甲都参加且都输掉是不可能的，否则两场比赛打不到3场.
所以，
故，
故的分布列为
则．
【点睛】
本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望，考査数据处理能力、运算求解能力，考查数学运算、数据分析、数学抽象核心素养．
41．（2021·重庆南开中学高三月考）中国职业篮球联赛（CBA联赛）分为常规赛和季后赛.由于新冠疫情关系，今年联赛采用赛会制：所有球队集中在同一个地方比赛，分两个阶段进行，每个阶段采用循环赛，分主场比赛和客场比赛，积分排名前8的球队进入季后赛.季后赛的总决赛采用五场三胜制（“五场三胜制”是指在五场比赛中先胜三场者获得比赛胜利，胜者成为本赛季的总冠军）.下表是队在常规赛60场比赛中的比赛结果记录表.
阶段
比赛场数
主场场数
获胜场数
主场获胜场数
第一阶段
30
15
20
10
第二阶段
30
15
25
15
（1）根据表中信息，是否有90%的把握认为比赛的“主客场”与“胜负”之间有关？
（2）已知队与队在季后赛的总决赛中相遇，假设每场比赛结果相互独立，队除第五场比赛获胜的概率为外，其他场次比赛获胜的概率等于队常规赛60场比赛获胜的频率.记为队在总决赛中获胜的场数.
（ⅰ）求的分布列；
（ⅱ）求队获得本赛季的总冠军的概率.
附：.
（）
0.100
0.050
0.025
2.706
3.841
5.024
【答案】（1）没有90%的把握；（2）（ⅰ）分布列见解析；（ⅱ）.
【分析】
（1）利用独立性检验的知识，列出A队在主客场胜负的列联表，求出，以此进行判断；（2）（ⅰ）利用二项分布，分布求得取值为0，1，2，3的概率，从而求得的分布列；（ⅱ）由（ⅰ）中所得取值为3的概率，即可求得队获得本赛季的总冠军的概率.
【详解】
解：（1）根据表格信息得到列联表：
队胜
队负
合计
主场
25
5
30
客场
20
10
30
合计
45
15
60
所以没有90%的把握认为比赛的“主客场”与“胜负”之间有关.
（2）（ⅰ）的所有可能取值为0，1，2，3，
队前4场中每场获胜的概率为.
；
；
；
.
所以的分布列为
0
1
2
3
（ⅱ）队获得本赛季的总冠军的概率为
.
【点睛】
（1）计算时，一定要找到正确的分类变量，然后列出列联表再计算；
（2）比赛五场三胜制，当赢够三场时一定是最后一场赢，所以属于排列问题.
42．（2021·江苏省天一中学三模）最近考试频繁，为了减轻同学们的学习压力，班上决定进行一次减压游戏.班主任把除颜色不同外其余均相同的8个小球放入一个纸箱子，其中白色球与黄色球各3个，红色球与绿色球各1个.现甲、乙两位同学进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分，黄球每个记2分，红球每个记3分，绿球每个记4分，规定摸球人得分不低于8分获胜.比赛规则如下：①只能一个人摸球；②摸出的球不放回；③摸球的人先从袋中摸出1球；若摸出的是绿色球，则再从袋子里摸出2个球；若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出3个球，他的得分为两次摸出的球的记分之和；④剩下的球归对方，得分为剩下的球的记分之和.
（1）若甲第一次摸出了绿色球，求甲获胜的概率；
（2）如果乙先摸出了红色球，求乙得分的分布列和数学期望；
（3）第一轮比赛结束，有同学提出比赛不公平，提出你的看法，并说明理由.
【答案】（1）；（2）分布列见解析，；（3）比赛不公平，理由见解析.
【分析】
（1）甲再摸2球至少得4分，分两种情况：一个红球，一个其他球，或者两个黄球，求出方法数，由此根据古典概型公式计算出概率；
（2）乙第一次摸出红球，则可以再从袋子里摸出 3个小球，可计算出3个球的得分情况也即乙得分情况，分别计算概率得概率分布列，从而计算出期望.
（3）以第一次摸出的球的颜色分类，分别计算获胜的概率，再计算概率的期望，与比较大小即可.
【详解】
（1）记“甲第一次摸出了绿色球，求甲获胜”为事件
则
（2）如果乙第一次摸出红球，则可以再从袋子里摸出3个小球，则得分情况有：6分，7分，8分，9分，10分，11分
所以的分布列为：
6
7
8
9
10
11
所以的数学期望.
（3）由第（1）问知，若第一次摸出来绿球，则摸球人获胜的概率为
由第（2）问知，若第一次摸出了红球，则摸球人获胜的概率为
若第一次摸出了黄球，则摸球人获胜的概率为
若第一次摸出了白球，则摸球人获胜的概率为
则摸球人获胜的概率为
所以比赛不公平.
【点睛】
关键点点睛：本题第三问，判断是否公平，即判断任何一方获胜的概率是不是，但是由于第一次摸出什么球对后面摸球有影响，所以需要对第一摸球进行分类.
43．（2021·全国·高三专题练习）网络是第五代移动通信网络的简称，是新一轮科技革命最具代表性的技术之一.年初以来，我国网络正在大面积铺开.A市某调查机构为了解市民对该市网络服务质量的满意程度，从使用了手机的市民中随机选取了人进行了问卷调查，并将这人根据其满意度得分分成以下组：、、、、，统计结果如图所示：
（1）由直方图可认为市市民对网络满意度得分（单位：分）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得.若市恰有万名手机用户，试估计这些手机用户中满意度得分位于区间的人数（每组数据以区间的中点值为代表）；
（2）该调查机构为参与本次调查的手机用户举行了抽奖活动，每人最多有轮抽奖活动，每一轮抽奖相互独立，中奖率均为.每一轮抽奖，若中奖，奖金为元话费且继续参加下一轮抽奖；若未中奖，则抽奖活动结束，现小王参与了此次抽奖活动.
（ⅰ）求小王获得元话费的概率；
（ⅱ）求小王所获话费总额的数学期望（结果精确到）.
参考数据：若随机变量z服从正态分布，即，则，.
【答案】（1）人；（2）（ⅰ），（ⅱ）元.
【分析】
（1）计算出样本的平均数，可得出，结合参考数据可求得，乘以可得结果；
（2）（i）由题意可知，小王获得元话费表明其前轮连续中奖且第轮未中奖，利用独立事件的概率公式可求得所求事件的概率；
（ii）由题意可知的可能取值有、、、、、、、、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，结合离散型随机变量的期望公式与错位相减法可求得结果.
【详解】
解：（1）由题意知样本平均数为，，
，所以，，
而，
故万名手机用户中满意度得分位于区间的人数约为（人）；
（2）（ⅰ）小王获得元话费表明其前轮连续中奖且第轮未中奖，故所求的概率为；
（ⅱ）由题意可知的可能取值有、、、、、、、、、、，即，，，
当，时，，说明小王前轮连续中奖且第轮未中奖，此时，
又满足，，
所以，，
所以，
令，则，
上述两个等式相减得，
化简得，所以，（元）.
【点睛】
方法点睛：求随机变量的期望和方差的基本方法如下：
（1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；
（2）已知随机变量的期望、方差，求的期望与方差，利用期望和方差的性质（，）进行计算；
（3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算.
44．（2021·全国·高三月考（理））“博弈”原指下棋，出自我国《论语·阳货》篇，现在多指一种决策行为，即一些个人､团队或组织，在一定规则约束下，同时或先后，一次或多次，在各自允许选择的策略下进行选择和实施，并从中各自取得相应结果或收益的过程.生活中有很多游戏都蕴含着博弈，比如现在有两个人玩“亮”硬币的游戏，甲､乙约定若同时亮出正面，则甲付给乙3元，若同时亮出反面，则甲付给乙1元，若亮出结果是一正一反，则乙付给甲2元.
（1）若两人各自随机“亮”出正反面，求乙收益的期望.
（2）因为各自“亮”出正反面，而不是抛出正反面，所以可以控制“亮”出正面或反面的频率(假设进行多次游戏，频率可以代替概率)，因此双方就面临竞争策略的博弈.甲､乙可以根据对手出正面的概率调整自己出正面的概率，进而增加自己赢得收益的期望，以收益的期望为决策依据，甲､乙各自应该如何选择“亮”出正面的概率，才能让结果对自己最有利？并分析游戏规则是否公平.
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【分析】
（1）根据题意可得随机变量的可能取值为，1，3，列出分布列，求出数学期望即可.
（2）设甲以的概率“亮”出正面，乙以的概率“亮”出正面，分别求出甲的收益分布列以及乙的收益分布列，求出数学期望，讨论的取值，分析甲、乙的数学期望即可得出结果.
【详解】
解析（1）因为是各自随机“亮”出正反面，所以甲､乙“亮”出正面的概率均可认为是，
设乙在此游戏中的收益为随机变量，则的可能取值为，1，3，
所以可得乙的收益的分布列为
-2
1
3
.
（2）假设甲以的概率“亮”出正面，乙以的概率“亮”出正面，
甲收益的随机变量为，乙收益的随机变量为，此时甲的收益分布列为
2
-1
-3
所以甲的收益期望为.
同理可得乙的收益分布列为
-2
1
3
所以乙的收益期望为.
根据甲的收益期望，可知乙的最优策略是“亮”出正面的概率为，
否则若，有，甲的收益期望，
甲可以选择都“亮”出反面的策略，即，达到预期收益最大，此时.
若，则甲选择都“亮”出正面的策略，即，达到预期收益最大，.
同理，可知甲的最优策略是“亮”出正面的概率为，
所以最终两人的决策为保持“亮”出正面的概率都为.
而当时，，，
所以此时游戏结果对两人都是最有利，但是规则不公平.
【点睛】
关键点点睛：本题考查了离散型随机变量的分布列、数学期望，解题的关键是求出甲、乙收益的数学期望，考查了分析能力、理解能力以及数学期望.
45．（2021·重庆·西南大学附中高三开学考试）“T2钻石联赛”是世界乒联推出一种新型乒乓球赛事，其赛制如下：采用七局四胜制，比赛过程中可能出现两种模式：“常规模式”和“FAST5模式”.在前24分钟内进行的常规模式中，每小局比赛均为11分制，率先拿满11分的选手赢得该局；如果两名球员在24分钟内都没有人赢得4局比赛，那么将进入“FAST5”模式，“FAST5”模式为5分制的小局比赛，率先拿满5分的选手赢得该局.24分钟计时后开始的所有小局均采用“FAST5”模式.某位选手率先在7局比赛中拿下4局，比赛结束.现有甲、乙两位选手进行比赛，经统计分析甲、乙之间以往比赛数据发现，24分钟内甲、乙可以完整打满2局或3局，且在11分制比赛中，每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为；在“FAST5”模式，每局比赛双方获胜的概率都为，每局比赛结果相互独立.
（Ⅰ）求4局比赛决出胜负的概率；
（Ⅱ）设在24分钟内，甲、乙比赛了3局，比赛结束时，甲乙总共进行的局数记为，求的分布列及数学期望.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）分布列见解析，.
【分析】
（Ⅰ）设前24分钟比赛甲胜出分别为，乙胜出分别为，在“FAST5”模式每局比赛甲获胜为，4局比赛决出胜负记为事件，分类即可求解；
（Ⅱ）的可能取值为4、5、6、7，分别求得其相应概率，列出分布列，再求期望.
【详解】
（Ⅰ）设前24分钟比赛甲胜出分别为，乙胜出分别为，在“FAST5”模式每局比赛甲获胜为，4局比赛决出胜负记为事件.
若24分钟内甲、乙打满2局，则；
若24分钟内甲、乙打满3局，则
；
（Ⅱ）的可能取值为4、5、6、7
；
；
；
；
所以，随机变量的概率分别列为：
4
5
6
7
的数学期望为.
【点睛】
方法点睛：(1)正确分析所求事件的构成，将其转化为几个彼此互斥事件的和或相互独立事件的积，然后利用相关公式进行计算．(2)注意根据问题情境正确判断事件的独立性．(3)在应用相互独立事件的概率公式时，对含有“至多有一个发生”“至少有一个发生”的情况，可结合对立事件的概率求解．
46．（2021·江西南昌·三模（理））高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图1所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，…，7的球槽内.例如小球要掉入3号球槽，则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下.
（1）如图1，进行一次高尔顿板试验，求小球落入5号球槽的概率；
（2）小红､小明同学在研究了高尔顿板后，利用高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动.小红使用图1所示的高尔顿板，付费6元可以玩一次游戏，小球掉入m号球槽得到的奖金为元，其中.小明改进了高尔顿板(如图2)，首先将小木块减少成5层，然后使小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，最后掉入编号为1，2，……，5的球槽内，改进高尔顿板后只需付费4元就可以玩一次游戏，小球掉入n号球槽得到的奖金为元，其中.两位同学的高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小红和小明同学谁的盈利多？请说明理由.
【答案】（1）；（2）小明的盈利多，理由见解析.
【分析】
（1）设这个小球掉入5号球槽为事件，掉入5号球槽，需要向右4次向左2次，利用独立重复试验的概率计算可得；
（2）的可能取值为0，4，8，12，分别求出对应的概率，列出分布列求出；的可能取值为0，1，4，9，求出对应的概率，列出分布列求出，比较与的大小，确定小明的盈利多.
【详解】
（1）设这个小球掉入5号球槽为事件，掉入5号球槽，需要向右4次向左2次，所以，
所以这个小球掉入5号球槽的概率为.
（2）小红的收益计算如下：每一次游戏中，的可能取值为0，4，8，12.
，
，
，
.
0
4
8
12
一次游戏付出的奖金，则小红的收益为.
小明的收益计算如下：每一次游戏中，的可能取值为0，1，4，9.
，
，
，
.
0
1
4
9
一次游戏付出的奖金，则小明的收益为.
显然，，所以小明的盈利多.
【点睛】
方法点睛：本题考查独立重复试验的概率问题以及离散型随机变量的分布列和数学期望，求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定的取值情况，然后利用排列，组合，概率知识求出取各个值时对应的概率，对应服从某种特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，考查学生逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.
47．（2021·湖南·长郡中学高三月考）一支担负勘探任务的队伍有若干个勘探小组和两类勘探人员，甲类人员应用某种新型勘探技术的精准率为0.6，乙类人员应用这种勘探技术的精准率为.每个勘探小组配备1名甲类人员与2名乙类人员，假设在执行任务中每位人员均有一次应用这种技术的机会且互不影响，记在执行任务中每个勘探小组能精准应用这种新型技术的人员数量为.
（1）证明：在各个取值对应的概率中，概率的值最大；
（2）在特殊的勘探任务中，每次只能派一个勘探小组出发，工作时间不超过半小时，如果半小时内无法完成任务，则重新派另一组出发.现在有三个勘探小组可派出，若小组能完成特殊任务的概率t；，且各个小组能否完成任务相互独立.试分析以怎样的先后顺序派出勘探小组，可使在特殊勘探时所需派出的小组个数的均值达到最小.
【答案】（1）证明见解析；（2）按照完成任务概率从大到小的的先后顺序派出勘探小组.
【分析】
（1）由已知，的所有可能取值为0，1，2，3，再根据独立事件的概率计算出取不同值对应的概率，再做差比较即可判断；
（2）先根据（1）中的结论比较和的大小，可得，故而可猜想出结论，再进行证明即可.
【详解】
（1）由已知，的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
.
∵，
∴，
，
，
∴概率）的值最大.
（2）由（1）可知，当时，有的值最大，
且，
∴.
∴应当以的顺序派出勘探小组，可使在特殊勘探时所需派出的小组个数的均值达到最小，即优先派出完成任务概率大的小组可减少所需派出的小组个数的均值.
证明如下：
假定为的任意一个排列，即若三个小组按照某顺序派出，该顺序下三个小组能完成特殊任务的概率依次为，记在特殊勘探时所需派出的小组个数为，则，且的分布列为
1
2
3
P
∴数学期望.
下面证明成立，
∵
.
∴按照完成任务概率从大到小的的先后顺序派出勘探小组，可使在特殊勘探时所需派出的小组个数的均值达到最小.
【点睛】
本题考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的分布列和数学期望，以及期望的实际应用，考查学生对数据的分析能力和运算能力.
48．（2021·重庆·西南大学附中高三月考）在“十三五”期间，我国的扶贫工作进入了“精准扶贫”阶段．到2020年底，全国830个贫困县全部脱贫摘帽，最后4335万贫困人口全部脱贫，这是我国脱贫攻坚史上的一大壮举．重庆市奉节县作为国家贫困县之一，于2019年4月顺利脱贫摘帽．因地制宜发展特色产业，是奉节脱贫攻坚的重要抓手．奉节县规划发展了以高山烟叶、药材、反季节蔬菜；中山油橄榄、养殖；低山脐橙等为主的产业格局，各类特色农产品已经成为了当地村民的摇钱树．尤其是奉节脐橙，因“果皮中厚、脆而易剥，肉质细嫩化渣、无核少络，酸甜适度，汁多爽口，余味清香”而闻名．为了防止返贫，巩固脱贫攻坚成果，各职能部门对脐橙种植、销售、运输、改良等各方面给予大力支持．已知脐橙分类标准：果径为一级果，果径为二级果，果径或以上为三级果．某农产品研究所从种植园采摘的大量奉节脐橙中随机抽取1000个，测量这些脐橙的果径（单位：），得到如图所示的频率分布直方图．
（1）试估计这1000个奉节脐橙的果径的中位数；
（2）在这1000个脐橙中，按分层抽样的方法在果径中抽出9个脐橙，为进一步测量其他指标，在抽取的9个脐橙中再抽出3个，求抽到的一级果个数的分布列与数学期望；
（3）以样本估计总体，用频率代替概率，某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买100个，其中一级果的个数为，记一级果的个数为的概率为，写出的表达式，并求出当为何值时，最大？
【答案】（1）81；（2）分布列见解析，；（3），30.
【分析】
（1）中位数为一组数从小到大后中间的那个数，利用频率分布直方图来求解时，中位数的左侧长方形面积之和为0.5，即可找出中位数；
（2）分层抽样过程中，一级果、二级果、三级果个数分别为4，3，2个，故随机变量，
逐个写出概率即可得到分布列；
（3）利用，判断出当时，最大.
【详解】
解：（1）果径的频率为，
果径的频率为，
故果径的中位数在，不妨设为，则，
解得中位数．
（2）果径，，的频率之比为，
所以分层抽样过程中，一级果、二级果、三级果个数分别为4，3，2个，
故随机变量，
，
，
，
，
所以的分布列为
0
1
2
3
期望．
（3）这批果实中一级果的概率，每个果实相互独立，则，
则，题目即求为何值时，最大，
令，解得，
故当时，，即…，当时，，即…，所以，
即一级果的个数最有可能为30个．
49．（2021·江苏南通·模拟预测）某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G有2n﹣1个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率均为p，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若系统中有超过一半的电子元件正常工作，则系统G可以正常工作，否则就需维修．
（1）当时，若该电子产品由3个系统G组成，每个系统的维修所需费用为500元，设为该电子产品需要维修的系统所需的总费用，求的分布列与数学期望；
（2）为提高系统G正常工作的概率，在系统内增加两个功能完全一样的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则系统C可以正常工作，问p满足什么条件时，可以提高整个系统G的正常工作概率？
【答案】（1）分布列见解析，数学期望为750；（2）．
【分析】
（1）由题知当时个系统需要维修的概率为，进而得电子产品需要维修的系统个数满足，，再根据二项分布求解即可；
（2）设个元件组成的系统正常工作的概率为，进而得，再分三种情况（见解析）讨论，进而求解时的情况即可得答案.
【详解】
（1）当时，一个系统有3个电子元件，则一个系统需要维修的概率为，设为该电子产品需要维修的系统个数，则，，
∴，
∴的分布列为：
0
500
1000
1500
P
∴．
（2）记个元件组成的系统正常工作的概率为．
个元件中有个正常工作的概率为，
因此系统工常工作的概率．
在个元件组成的系统中增加两个元件得到个元件组成的系统，则新系统正常工作可分为下列情形：
（a）原系统中至少个元件正常工作，概率为；
（b）原系统中恰有个元件正常工作，且新增的两个元件至少有1个正常工作，
概率为；
（c）原系统中恰有个元件正常工作，且新增的两个元件均正常工作，
概率为．
所以,
因此，
，
故当时，单调增加，增加两个元件后，能提高系统的可靠性．
【点睛】
该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有独立重复试验，二项分布，分布列与期望，概率加法公式，考查运算求解能力，分析数据处理数据的能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于求出个元件组成的系统正常工作的概率为，进而分三类情况讨论增加两个元件后的系统正常工作的概率，并讨论使得的情况.
50．（2021·全国·高三专题练习（理））已知正三角形，某同学从点开始，用擦骰子的方法移动棋子，规定：①每掷一次骰子，把一枚棋子从三角形的一个顶点移动到另一个顶点；②棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数大于3，则按逆时针方向移动：若掷出骰子的点数不大于3，则按顺时针方向移动.设掷骰子次时，棋子移动到，，处的概率分别为：，，，例如：掷骰子一次时，棋子移动到，，处的概率分别为，，
（1）掷骰子三次时，求棋子分别移动到，，处的概率，，；
（2）记，，，其中，，求.
【答案】（1），，；（2）.
【分析】
（1）由题意分别列出到A，B，C的情况，进而可得结果.
（2）由题意可得，进而可得，构造等比数列，即可得出结果.
【详解】
（1），
所以
所以
所以
（2）∵，即，，
又，
∴时
又∵，可得
由
可得数列是首项为公比为的等比数列
，即
又
故
【点睛】
关键点点睛：由递推公式，构造等比数列，进而可得通项公式.本题考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于难题.
51．（2021·江西·模拟预测（理））某种疾病可分为、两种类型.为了解该疾病类型与性别的关系，在某地区随机抽取了患该疾病的病人进行调查，其中女性是男性的倍，男性患型病的人数占男性病人的，女性患型病的人数占女性病人的.
（1）若在犯错误的概率不超过的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，求男性患者至少有多少人？
（2）某药品研发公司欲安排甲乙两个研发团队来研发此疾病的治疗药物.两个团队各至多安排个接种周期进行试验.甲团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为，每人每次接种花费元，每个周期至多接种3次，第一个周期连续次出现抗体则终止本接种周期进入第二个接种周期，否则需依次接种至第一周期结束，再进入第二周期：第二接种周期连续2次出现抗体则终止试验，否则需依次接种至至试验结束：乙团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为，每人每次花费元，每个周期接种次，每个周期必须完成次接种，若一个周期内至少出现次抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个接种周期，假设两个研发团队每次接种后产生抗体与否均相互独立.当，时，从两个团队试验的平均花费考虑，试证明该公司选择乙团队进行药品研发的决策是正确的.
附：，
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
【答案】（1）；（2）该公司选择乙团队进行药品研发的决策是正确的.
【分析】
（1）设男性患者有人，则女性患者有人，列出列联表，计算出的观测值，根据题意可得出关于的不等式，结合、可求得整数的最小值；
（2）设甲研发团队试验总花费为元，设乙研发团队试验总花费为元，计算出、，利用函数的单调性可得出，由此可得出结论.
【详解】
（1）设男性患者有人，则女性患者有人，列联表如下：
Ⅰ型病
Ⅱ型病
合计
男
z
女
合计
要使在犯错误的概率不超过的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，
则，解得，
∵，，的最小整数值为，因此，男性患者至少有人；
（2）设甲研发团队试验总花费为元，则的可能取值为、、，
，，
，
，
在递减，，
设乙研发团队试验总花费为元，则的可能取值为、，
，，
，
设，，
函数在递减，，恒成立，
所以，该公司选择乙团队进行药品研发的决策是正确的.
【点睛】
方法点睛：求离散型随机变量均值与方差的基本方法：
（1）已知随机变量的分布列求它的均值、方差，按定义求解．
（2）已知随机变量的均值、方差，求的线性函数的均值、方差，可直接用的均值、方差的性质求解；
（3）如果所给随机变量是服从常用的分布（如两点分布、二项分布等），利用它们的均值、方差公式求解．
第51讲 概率与统计综合问题
一、解答题
1．（2021·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）十三届全国人大四次会议3月11日表决通过了关于国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要的决议，决定批准这个规划纲要.纲要指出：“加强原创性引领性科技攻关”.某企业集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技术，已成功实现离子注入机全谱系产品国产化，包括中束流､大束流､高能､特种应用及第三代半导体等离子注入机，工艺段覆盖至28，为我国芯片制造产业链补上重要一环，为全球芯片制造企业提供离子注入机一站式解决方案.此次技术的突破可以说为国产芯片的制造做出了重大贡献.该企业使用新技术对某款芯片进行试生产.
（1）在试产初期，该款芯片的批次生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为，，.
①求批次芯片的次品率；
②第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行抽查检验.已知批次的芯片智能自动检测显示合格率为，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率（百分号前保留两位小数）.
（2）已知某批次芯片的次品率为，设个芯片中恰有个不合格品的概率为，记的最大值点为，改进生产工艺后批次的芯片的次品率.某手机生产厂商获得批次与批次的芯片，并在某款新型手机上使用.现对使用这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查.据统计，回访的名用户中，安装批次有部，其中对开机速度满意的有人；安装批次有部，其中对开机速度满意的有人.求，并判断是否有的把握认为芯片质量与用户对开机速度满意度有关？
附：.
【答案】（1）①；②；（2），有的把握认为芯片质量与用户对开机速度满意度有关.
【分析】
（1）①利用对立事件、相互独立事件概率乘法公式求得所求的次品率.
②根据条件概率计算公式，计算出所求概率.
（2）先求得的表达式，利用导数求得，填写列联表，计算，由此作出判断.
【详解】
（1）①Ⅰ批次芯片的次品率为
.
②设批次Ⅰ的芯片智能自动检测合格为事件，人工抽检合格为事件，
由己知得，，
则工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品为事件，
.
（2）个芯片中恰有个不合格的概率.
因此，
令，得.
当时，；当时，.
所以的最大值点为.
由（1）可知，，，故批次芯片的次品率低于批次，故批次的芯片质量优于批次.
由数据可建立2×2列联表如下：（单位：人）
开机速度满意度
芯片批次
合计
I
J
不满意
12
3
15
满意
28
57
85
合计
40
60
100
根据列联表得
.
因此，有的把握认为芯片质量与用户对开机速度满意度有关.
【点睛】
求解最值点有关的题目，是利用导数研究函数的单调性，由此来求得最值点.
2．（2021·广西·模拟预测（理））十三届全国人大常委会第二十次会议审议通过的《未成年人保护法》针对监护缺失、校园欺凌、烟酒损害、网络沉迷等问题，进一步压实监护人、学校、住宿经营者及网络服务提供者等主体责任，加大对未成年人的保护力度．某中学为宣传未成年人保护法，特举行一次未成年人保护法知识竞赛，比赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答两题，若答对题数不少于3题，被称为“优秀小组”，已知甲乙两位同学组成一组，且同学甲和同学乙答对每道题的概率分为，．
（1）若，，则在第一轮竞赛中，求他们获“优秀小组”的概率；
（2）当，且每轮比赛互不影响，如果甲乙同学在此次竞赛活动中要想获得“优秀小组”的次数为9次，那么理论上至少要进行多少轮竞赛？
【答案】（1）；（2）至少要进行19轮竞赛．
【分析】
（1）由题意可知获“优秀小组”的情况包含三种情况，分别计算概率，再求和；
（2）首先计算甲乙同学获得“优秀小组”的概率，再根据，利用基本不等式求的范围，再将概率表示为二次函数求的最大值，根据，计算的最小值.
【详解】
（1）由题可知，所以可能的情况有：
①甲答对1次，乙答对2次的概率
②甲答对2次，乙答对1次的概率；
③甲答对2次，乙答对2次的概率
故所求的概率
（2）他们在轮竞赛中获“优秀小组”的概率为：
因为，，，所以，，
所以
利用基本不等式知，当且仅当时，等号成立，
，
令，则，
所以当时，，
他们小组在竞赛中获“优秀小组”次数满足
由，则，所以理论上至少要进行19轮比赛.
【点睛】
关键点点睛：本题考查独立事件概率，二项分布，最值的综合应用，重点考查读懂题意，抽象与概括能力，属于中档题型，本题第二问的关键是求出每次获得“优秀小组”的概率的最大值，并能抽象概括他们小组在竞赛中获“优秀小组”次数满足.
3．（2021·江苏泰州·模拟预测）现有一批疫苗试剂，拟进入动物试验阶段，将1000只动物平均分成100组，任选一组进行试验．第一轮注射，对该组的每只动物都注射一次，若检验出该组中有9只或10只动物产生抗体，说明疫苗有效，试验终止；否则对没有产生抗体的动物进行第二轮注射，再次检验．如果被二次注射的动物都产生抗体，说明疫苗有效，否则需要改进疫苗．设每只动物是否产生抗体相互独立，两次注射疫苗互不影响，且产生抗体的概率均为．
（1）求该组试验只需第一轮注射的概率（用含的多项式表示）；
（2）记该组动物需要注射次数的数学期望为，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】
（1）设第一轮注射有Y只动物产生抗体，则，则所求概率即；
（2）先求得，由显然可得，再变形，可证得.
【详解】
（1）平均每组人，
设第一轮注射有Y只动物产生抗体，则，
所以，
所以该组试验只需第一轮注射的概率为．
（2）由（1）得，
，
所以
，
设，则，
又，
所以
，因为，所以，
又
，因为，所以，
所以．
【点睛】
关键点点睛：本题第（2）问的关键点是：求得.
4．（2021·全国·高三专题练习）冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征（）和严重急性呼吸综合征（）等较严重疾病.而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒（）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等.在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡.某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有n（）份血液样本，有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，则需要检验n次.方式二：混合检验，将其中k（且）份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（）.现取其中k（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为.
（1）若，试求p关于k的函数关系式；
（2）若p与干扰素计量相关，其中（）是不同的正实数，满足且（）都有成立.
（i）求证：数列等比数列；
（ii）当时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的期望值更少，求k的最大值
【答案】（1），（，且）；（2）（i）证明见解析；（ii）4.
【分析】
（1）由已知，，；的所有可能取值为1，，，根据解得即可得解；
（2）（i）由已知可得，，得，可猜想，再用数学归纳法证明，再根据等比数列的定义可证结论；
（ii）求出，根据得到，再构造函数（），利用导数可求得结果.
【详解】
（1）由已知，，，得，
的所有可能取值为1，，
∴，.
∴.
若，则，
所以，∴，
∴.
∴p关于k的函数关系式为，（，且）.
（2）（i）∵证明：当时，，∴，所以，
令，则，
∵，∴下面证明对任意的正整数n，.
①当，2时，显然成立；
②假设对任意的时，，下面证明时，；
由题意，得，
∴，
∴，，
∴，
所以.
∴或（负值舍去）.
∴成立.
∴由①②可知，对任意的正整数n，，
所以，所以为等比数列.
（ii）解：由（i）知，，，
∴，得，∴.
设（），，
∴当时，，则在上单调递减；
又，，所以，
，，所以，
，，∴；
，.∴.
∴k的最大值为4.
【点睛】
本题考查了对立事件的概率公式，考查了离散型随机变量的期望公式，考查了数学归纳法，考查了等比数列的定义，考查了利用导数解决不等式恒成立问题，属于难题.
5．（2021·河南南阳·高三期末（理））某单位为患病员工集体筛查新型流感病毒，需要去某医院检验血液是否为阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方案，方案一：逐份检验，则需要检验k次；方案二：混合检验，将k份血液样本分别取样混合在一起检验一次，若检验结果为阴性，则k份血液样本均为阴性，若检验结果为阳性，为了确定k份血液中的阳性血液样本，则对k份血液样本再逐一检验.逐份检验和混合检验中的每一次检验费用都是元，且k份血液样本混合检验一次需要额外收元的材料费和服务费.假设在接受检验的血液样本中，每份样本是否为阳性是相互独立的，且据统计每份血液样本是阳性的概率为.
（1）若份血液样本采用混合检验方案，需要检验的总次数为X，求X分布列及数学期望；
（2）①若，以检验总费用为决策依据，试说明该单位选择方案二的合理性；
②若，采用方案二总费用的数学期望低于方案一，求k的最大值.
参考数据：，，，，
【答案】（1）分布列见解析，；（2）①答案见解析；②11.
【分析】
（1）依据题意写出X的所有可能取值并计算相应的概率，列出分布列，然后计算期望即可.
（2）①设方案总费用为Y，，计算数学期望，然后与方案一的总费用为，作差比较即可. ②根据，可得，然后构造函数，利用导数研究其单调性，进行判断即可.
【详解】
（1）X的可能值为1和，
，，
所以随机变量X的分布列为：
X
1
P
所以.
（2）①设方案总费用为Y，方案一总费用为Z，则，
所以方案二总费用的数学期望为：
，
又，所以，
又方案一的总费用为，
所以，
当时，，
，又，
所以，所以该单位选择方案二合理.
②由①知方案二总费用的数学期望
，
当时，，
又方案一的总费用为，
令得：，
所以，即，
即，所以，
设，
所以，
令得，得，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
，
，
，
，
，
，
所以k的最大值为11.
【点睛】
本题考查概率与导数的综合，本题考查阅读理解能力以及计算能力，同时概率与数列，概率与导数算是近几年热点内容，属难题.
6．（2021·全国·高三期中）临近元旦，高三（1）班共50名同学，大家希望能邀请数学张老师参加元旦文艺表演．张老师决定和同学们进行一个游戏，根据游戏的结果决定是否参与表演．游戏规则如下：班长先确定班上参与游戏的同学人数（）；每位同学手里均有张除颜色外无其他区别的卡片；第（，，，，）位同学手中有张红色卡片，张白色卡片；老师任选其中一位同学，并且从该同学的手中随机连续取出两张卡片，若第二次取出的卡片为白色，则学生获胜，张老师同意参加文艺表演，否则，张老师将不参加文艺表演．
（1）若，求张老师同意参加文艺表演的概率；
（2）若希望张老师参加文艺表演的可能最大，班长应该邀请多少同学参与游戏？
【答案】
（1）
（2）50
【分析】
（1）设选出的是第k（k=1，2,3）个同学，求出连续两次卡片的方法数，再计算出第二次取出的是白色卡片的取法数，根据古典概型的概率计算公式即可求解.
（2）设选出的是第k个同学，计算连续两次抽取卡片的方法数为n（n-1）以及第二次取出的是白色卡片的种数，计算得出参加表演的概率，即求.
（1）
n=3时，设选出的是第k（k=1，2,3）个同学，连续两次卡片的方法数为3×2=6，
第二次取出的是白色卡片的两次抽取卡片的颜色有如下两种情形：
（白，白）,取法数为（3－k）（2－k），（红，白），取法数为k（3一k），
从而第二次取出的是白色卡片的种数为：（3-k）（2-k）十k（3-k）=6-2k，
则在第k个同学手中第二次取出的是白色卡片的概率，
而选到第k个同学的概率为号，
故所求概率为：
（2）
设选出的是第k个同学，连续两次抽取卡片的方法数为n（n-1），
第二次取出的是白色卡片的两次卡片颜色有如下两种情形：
（白，白）,取法数为（n—k）（n—k－1），
（红，白），取法数为k（n一k），
从而第二次取出的是白色卡片的种数为：
（n－k)（n－k－1)＋k(n－k)=(n－k)(n－1),
则在第k个同学中第二次取出的是白球的概率，
而选到第k个同学的概率为，故所求概率为：
又，可知n越大，张老师参加文艺表演的可能性最大，
因此，班长应该邀请班上的50名同学全部参与游戏，可使获胜的概率最大.
7．（2021·山东·广饶一中高三月考）为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面推进素质教育，某学校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛的12名队员来自3个不同校区，三个校区的队员人数分别是3，4，5.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛（每场比赛都采取5局3胜制），最后根据积分选出最后的冠军.积分规则如下：比赛中以或取胜的队员积3分，失败的队员积0分；而在比赛中以取胜的队员积2分，失败的队员的队员积1分.已知第10轮张三对抗李四，设每局比赛张三取胜的概率均为.
（1）比赛结束后冠亚军恰好来自不同校区的概率是多少？
（2）第10轮比赛中，记张三取胜的概率为.
①求出的最大值点；
②若以作为的值，这轮比赛张三所得积分为，求的分布列及期望.
【答案】（1）；（2）①；②分布列答案见解析，数学期望：.
【分析】
（1）利用互斥事件的概率公式即得；
（2）由题可求，然后利用导数可求最值，再利用条件可求随机变量的分布列，即得.
【详解】
（1）比赛结束后冠亚军恰好来自不同校区的概率是；
（2）①由题可知，
，
令，得，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减.
所以的最大值点，
②的可能取值为0，1，2，3.
；
；
；.
所以的分布列为
0
1
2
3
的期望为.
8．（2021·重庆·西南大学附中高三月考）甲、乙两人进行对抗比赛，每场比赛均能分出胜负．已知本次比赛的主办方提供8000元奖金并规定：①若有人先赢4场，则先赢4场者获得全部奖金同时比赛终止；②若无人先赢4场且比赛意外终止，则甲、乙便按照比赛继续进行各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金．已知每场比赛甲赢的概率为p（0＜p＜1），乙赢的概率为1-p，且每场比赛相互独立．
（1）当时，假设比赛不会意外终止，记比赛场次为随机变量Y，求Y的分布列；
（2）当时，若已进行了5场比赛，其中甲赢了3场，乙赢了2场，此时比赛因意外终止，主办方决定颁发奖金，求甲获得的奖金金额；
（3）规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件，我们可以认为该事件不可能发生，否则认为该事件有可能发生．若本次比赛，且在已进行的3场比赛中甲赢2场、乙赢1场，请判断：比赛继续进行乙赢得全部奖金是否有可能发生，并说明理由．
【答案】（1）分布列见解析；（2）6000元；（3）不可能发生，理由见解析.
【分析】
（1）由题意可得，的可能取值为4，5，6，7，分别求出对应的概率，即可求得分布列．
（2）分别求出5场比赛甲胜3局，则继续比赛甲胜的概率和继续比赛乙胜的概率，根据二者的比值，确定奖金的占比．
（3）设继续进行场比赛乙赢得全部奖金，可能取值为3，4，，，设乙赢得全部奖金为事件，则（A），设，再结合导数的单调性，即可求解．
【详解】
（1）的可能取值为4，5，6，7
的分布列为
4
5
6
7
（2）5场比赛甲胜3局，则继续比赛甲胜的概率为；继续比赛乙胜的概率为，
甲获得奖金金额为（元）
（3）设继续进行场比赛乙赢得全部奖金，可能取值为3，4.
;
设乙赢得全部奖金为事件，则
设，则，由
在单调递减，
认为比赛继续进行乙赢得全部奖金不可能发生.
9．（2021·全国·高三课时练习）系统中每个元件正常工作的概率都是，各个元件是否正常工作相互独立.如果系统中有多于一半的元件正常工作，系统就能正常工作，系统正常工作的概率称为系统的可靠性.已知该系统配置有个元件，为正整数.
（1）求该系统正常工作的概率的表达式；
（2）现为改善系统的性能，拟增加2个元件，试讨论增加2个元件后，系统可靠性的变化.
【答案】（1）；（2）当时，系统可靠性不变；当，系统可靠性降低；当，系统可靠性提高.
【分析】
（1）结合独立重复试验概率计算公式，求得的表达式.
（2）通过对“前个元件中正常工作的元件数量”进行分类讨论，求得增加个元件后系统的可靠性，利用差比较法对系统可靠性的变化进行探讨.
【详解】
（1）个元件中，恰好有个正常工作的概率为，
恰好有个元件正常工作的概率为，
恰好有个元件正常工作的概率为，故，
（2）若增加2个元件，此时共有个元件.
为使系统正常工作，前个元件中至少有个元件正常工作.
分三种情况讨论：
①前个元件中恰好有个元件正常工作的概率为，此时新增的2个元件必须同时正常工作，
所以这种情况下系统正常工作的概率为；
②前个元件中恰好有个元件正常工作的概率为，此时新增的2个元件至少有1个正常工作即可，
所以这种情况下系统正常工作的概率为；
③前个元件中至少有个元件正常工作的概率为，此时不管新增的2个元件是否正常工作，系统都会正常工作.
所以当有个元件时，系统正常工作的概率为.
所以
.
故当时，，系统可靠性不变；
当，，系统可靠性降低；
当，，系统可靠性提高.
10．（2021·全国·高三课时练习）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按，，，，分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.
（1）填写下面的列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.
单位：只
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体
没有抗体
合计
（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.
（i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率；
（ii）以（i）中确定的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量.试验后统计数据显示，当时，取最大值，求参加人体接种试验的人数及.
参考公式： (其中为样本容量)
参考数据：
0.50
0.40
0.25
0.15
0.100
0.050
0.025
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
【答案】（1）列联表答案见解析，认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关；（2）（i）；（ii）当接种人数为n=99时，；当n=100时，.
【分析】
（1）根据频率分布直方图算出每个区间段的小白鼠数量，然后根据指标值完成列联表，并根据参考公式进行运算，然后进行数据比对，最终得到答案；
（2）（i）根据古典概型公式，结合对立事件概率求法即可得到答案；
（ii）根据最大，结合二项定理概率求法列出不等式组解出X，最后求出期望.
【详解】
（1）由频率分布直方图，知200只小白鼠按指标值分布为：
在内有（只）；
在内有（只）；
在内有（只）；
在内有（只）；
在内有（只）.
由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有（只），所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下：
单位：只
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体
50
110
160
没有抗体
20
20
40
合计
70
130
200
零假设为：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.
根据列联表中数据，得.
根据的独立性检验，推断不成立，即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）（i）令事件“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”.
记事件A，B，C发生的概率分别为，，，
则，，.
所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率.
（ii）由题意，知随机变量，（）.
因为最大，
所以，
解得，因为是整数，所以或，所以接受接种试验的人数为99或100.
①当接种人数为99时，；
②当接种人数为100时，.
11．（2021·辽宁·高三月考）个人所得税起征点是个人所得税工薪所得减除费用标准或免征额，个税起征点与个人税负高低的关系最为直接，因此成为广大工薪阶层关注的焦点.随着我国人民收入的逐步增加，国家税务总局综合考虑人民群众消费支出水平增长等各方面因素，规定从2019年1月1日起，我国实施个税新政.实施的个税新政主要内容包括: ①个税起征点为元②每月应纳税所得额(含税)收入个税起征点专项附加扣除; ③专项附加扣除包括住房、子女教育和赡养老人等.新旧个税政策下每月应纳税所得额(含税)计算方法及其对应的税率表如下:
旧个税税率表(个税起征点元)
新个税税率表(个税起征点元)
缴税级数
每月应纳税所得额(含税) 收入个税起征点
税率/%
每月应纳税所得额(含税）收入个税起征点专项附加扣除
税率/%
1
不超过元
不超过元
2
部分超过元至元部分
部分超过元至元部分
3
超过元至元的部分
超过元至元的部分
4
超过元至元的部分
超过元至元的部分
5
超过元至元部分
超过元至元部分
···
···
···
···
随机抽取某市名同一收入层级的无亲属关系的男性互联网从业者(以下互联网从业者都是指无亲属关系的男性)的相关资料，经统计分析，预估他们2022年的人均月收入为元.统计资料还表明，他们均符合住房专项扣除，同时他们每人至多只有一个符合子女教育扣除的孩子，并且他们之中既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是.此外，他们均不符合其他专项附加扣除.新个税政策下该市的专项附加扣除标准为:住房元/月，子女教育每孩元/月，赡养老人元/月等.假设该市该收入层级的互联网从业者都独自享受专项附加扣除，将预估的该市该收入层级的互联网从业者的人均月收入视为其个人月收入.根据样本估计总体的思想，解决下列问题.
（1）按新个税方案，设该市该收入层级的互联网从业者2022年月缴个税为元，求的分布列和数学期望;
（2）根据新旧个税方案，估计从2022年1月开始，经过几个月，该市该收入层级的互联网从业者各月少缴的个税之和就能购买一台价值为元的华为智慧屏巨幕电视?
【答案】（1）分布列见解析，3150；（2）12个月.
【分析】
（1）先求出的可能值为，再求其对应的概率即得解；
（2）先求出该收入层级的互联网从业者每月少缴的个税为元，再解不等式即得解.
【详解】
解:既不符合子女教育扣除也不符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为元，
月缴个税元;
只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为元，
月缴个税元;
只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除的人群每月应纳税所得额为元，
月缴个税元;
既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额元，
月缴个税元.
所以的可能值为，
依题意，上述四类人群的人数之比是，
所以
，
，
，
所以的分布列为
所以
在旧政策下该收入层级的互联网从业者2022年每月应纳税所得额为元，
其月缴个税为元，
由知在新政策下该收入层级的互联网从业者2022年月缴个税为元，
所以该收入层级的互联网从业者每月少缴的个税为元.
设经过个月，该收入层级的互联网从业者少缴的个税的总和就超过
则
因为
所以
所以经过个月﹐该收入层级的互联网从业者就能购买一台价值为元的华为智慧屏巨幕电视.
12．（2021·全国·模拟预测）2020年我国科技成果斐然，其中北斗三号全球卫星导航系统7月31日正式开通．北斗三号全球卫星导航系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星，共30颗卫星组成．北斗三号全球卫星导航系统全球范围定位优于10米，实测的导航定位精度都是2~3米，全球服务可用性99%，亚太地区性能更优．
（Ⅰ）南美地区某城市通过对1000辆家用汽车进行定位测试，发现定位精确度近似满足，预估该地区某辆家用汽车导航精确度在的概率；
（Ⅱ）（ⅰ）某地基站工作人员30颗卫星中随机选取4颗卫星进行信号分析，选取的4颗卫星中含3颗倾斜地球同步轨道卫星数记为，求的分布列和数学期望；
（ⅱ）某日北京、上海、拉萨、巴黎、里约5个基地同时独立随机选取1颗卫星进行信号分析，选取的5颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目记为，求的数学期望．
附：若，则，，．
【答案】（Ⅰ）0.84；（Ⅱ）（ⅰ）分布列见解析，；（ⅱ）4.
【分析】
（Ⅰ）根据“”原则及图形的对称性即可求解；
（Ⅱ）（ⅰ）由题可知服从超几何分布，利用公式即可求解；（ⅱ）由题可知服从二项分布，利用公式即可求解．
【详解】
（Ⅰ）由，易知
，
则预估该地区某辆家用汽车导航精确度在的概率为0.84．
（Ⅱ）（ⅰ）由题意知，，
∴的分布列为
∴．
（ⅱ）5个基地相互独立，每个基地随机选取1颗卫星是中圆地球轨道卫星的概率为，所以5个基地选取的5颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目，
∴．
【点睛】
方法点睛：本题以北斗三号全球卫星导航系统为背景，考查正态分布、超几何分布、二项分布，求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定的取值情况，然后利用排列，组合，概率知识求出取各个值时对应的概率，对应服从某种特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，考查学生逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.
13．（2021·湖南·双峰县第一中学高三开学考试）有甲、乙两个袋子，甲袋中有2个白球2个红球，乙袋中有2个白球2个红球，从甲袋中随机取出一球与乙袋中随机取出一球进行交换．
（1）一次交换后，求乙袋中红球与白球个数不变的概率；
（2）二次交换后，记X为“乙袋中红球的个数”，求随机变量X的分布列与数学期望．
【答案】（1）；（2）分布列见解析，.
【分析】
（1）分甲乙交换的均是红球，甲乙交换的均是白球，两种情况讨论即可得解；
（2）写出随机变量X的所有可能取值，先分别求出一次交换后，乙袋中有2个白球2个红球，乙袋中有1个白球3个红球，乙袋中有3个白球1个红球的概率，从而可求得对于随机变量的概率，写出分布列，根据期望公式即可求出数学期望.
【详解】
解：（1）甲乙交换的均是红球，则概率为，
甲乙交换的均是白球，则概率为，
所以乙袋中红球与白球个数不变的概率为；
（2）X可取0，1，2，3，4，
由（1）得，一次交换后，乙袋中有2个白球2个红球的概率为，
乙袋中有1个白球3个红球的概率为，
乙袋中有3个白球1个红球的概率为，
则，
，
，
，
，
所以随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
所以数学期望.
14．（2021·福建·模拟预测）班级里共有名学生，其中有，，．已知，，中任意两人均为朋友，且三人中每人均与班级里中超过一半的学生为朋友．若对于某三个人，他们当中任意两人均为朋友，则称他们组成一个“朋友圈”．
（1）求班级里朋友圈个数的最大值．
（2）求班级里朋友圈个数的最小值．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）利用组合数可求；
（2）利用容斥原理可求.
【详解】
（1）当班级中的任意3人中，任意两个人都是朋友时，班级里朋友圈个数的最大，
此时.
（2）当时，，
当时，，，中的每个人都至少与班级的3个同学是好朋友，故4人彼此是好朋友，故，
当时，记为班级中除去且与是朋友的同学的集合，为班级中除去且与是朋友的同学的集合，为班级中除去且与是朋友的同学的集合，
若，由题设可知，、、中的元素的个数不小于，余下同学记为：，集合中元素的个数记为，
因为余下人数为，由容斥原理可得
，
所以，
即，
故此时，
考虑一种特殊情况：，
此时朋友圈个数为，故.
若，由题设可知，、、中的元素的个数不小于，余下同学记为：，集合中元素的个数记为，
因为余下人数为，由容斥原理可得
，
所以，
即，
故此时，
考虑一种特殊情况：，
此时朋友圈个数为，故.
综上，.
15．（2021·江苏省前黄高级中学高三月考）公元1651年，法国学者德梅赫向数学家帕斯卡请教了一个问题：设两名赌徒约定谁先赢满4局，谁便赢得全部赌注元，已知每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局赌博相互独立，在甲赢了2局且乙赢了1局后，赌博意外终止，则赌注该怎么分才合理？帕斯卡先和费尔马讨论了这个问题，后来惠更斯也加入了讨论，这三位当时欧洲乃至全世界著名的数学家给出的分配赌注的方案是：如果出现无人先赢4局且赌博意外终止的情况，则甲、乙按照赌博再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比分配赌注．（友情提醒：珍爱生命，远离赌博）
（1）若，甲､乙赌博意外终止，则甲应分得多少元赌注？
（2）若，求赌博继续进行下去甲赢得全部赌注的概率，并判断“赌博继续进行下去乙赢得全部赌注”是否为小概率事件（发生概率小于的随机事件称为小概率事件）．
【答案】（1）216元；（2），是小概率事件．
【分析】
（1）设赌博再继续进行X局且甲赢得全部赌注，则最后一局必然甲赢，由题意知，最多再进行4局，甲、乙必然有人赢得全部赌注，利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求出甲赢的概率，由此能求出甲应分得的赌注．
（2）设赌博继续进行Y局乙赢得全部赌注，则最后一局必然乙赢，当时，乙以贏，，当时，乙以贏，，求出甲赢得全部赌注的概率对其求导，利用导数分析单调性，求出该函数的最小值，从而判断出“赌博继续进行下去乙赢得全部赌注”是小概率事件.
【详解】
（1）设赌博再继续进行局且甲赢得全部赌注，则最后一局必然甲贏
由题意知，最多再进行4局，甲、乙必然有人赢得全部赌注．
当时，甲以赢，所以；
当时，甲以赢，所以；
当时，甲以赢，所以．
所以，甲赢的概率为．
所以，甲应分得的赌注为元
（2）设赌注继续进行局乙赢得全部赌注，则最后一局必然乙赢，则的可能取值有3、4，
当时，乙以贏，；
当时，乙以贏，；
所以，乙赢得全部赌注的概率为
于是甲赢得全部赌注的概率
求导，．
因为所以所以在上单调递增，
于是．
故乙赢的概率最大为故是小概率事件．
16．（2021·湖南师大附中高三月考）一疫苗生产单位通过验血方法检验某种疫苗产生抗体情况，需要检验血液是否有抗体现有份血液样本每份样本取到的可能性均等有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n次；（2）混合检验将其中（且）份血液样本分别取样混合在一起检验若检验结果无抗体，则这k份的血液全无抗体，因而这k份血液样本只需检验一次就够了，若检验结果有抗体，为了明确这k份血液究竟哪几份有抗体就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验总次数为k+1次假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果有无抗体都是相互独立的，且每份样本有抗体的概率均为．
（1）假设有5份血液样本，其中只有2份血液样本有抗体，若采用逐份检验方式，求恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率；
（2）现取其中（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式样本需要检验的总次数为．若，求关于k的函数关系式，并证明．
【答案】（1）；（2）；证明见解析．
【分析】
（1）设恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来为事件A，由古典概型概率计算公式可得答案；
（2）由题得，，进而根据化简整理得，再令（且）得，再令，利用导数研究最值得，进而得，即，进而证明.
【详解】
解：（1）设恰好经过3次检验能把有抗体血液样本全部检验出来为事件A，
所以，
所以恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率为．
（2）由已知得，
的所有可能取值为1，．
所以，，
所以，
若，则，
所以，，
所以，即，
所以p关于k的函数关系式为（且）
证明：令（且）
所以，
令，
，
所以得，
所以，，单调递减，
，，单调递增
所以，所以，
因为且，
所以，即，
所以，即，
所以．
【点睛】
本题考查古典概型求概率，随机变量概率分布列，数学期望，利用导数研究函数的性质等，考查运算求解能力，逻辑推理能力，是难题.本题第二问题解题的关键在于根据题意求得，进而结合得，再通过换元法结合导数研究函数不等式.
17．（2021·全国·高三专题练习（理））某市为提升农民的年收入，更好地实现2021年精准扶贫的工作计划，统计了2020年位农民的年收入并制成频率分布直方图，如图．
[Failed to download image : https://img.xkw.com/dksih/QBM/2021/7/10/2761416923308032/2776847444451328/STEM/98da53a0dc174d8faf0b102e862ddbb3.png]
（1）根据频率分布直方图，估计这位农民的年平均收入（单位：千元）（同一数据用该组数据区间的中点值表示）；
（2）由频率分布直方图，可以认为该市农民年收入服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得，利用该正态分布，求：
①在扶贫攻坚工作中，若使该市约有占农民人数的的农民的年收入高于本市规定的最低年收入标准，则此最低年收入标准大约为多少千元？
②该市为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策落实情况，随机走访了位农民．若每位农民的年收入互相独立，问：这位农民中的年收入不少于千元的人数最有可能是多少？
附：；若，则，，．
【答案】（1）千元．；（2）①千元；②人．
【分析】
(1)求各组数据区间的中点值乘以相应的频率之和，即可得；
(2)①根据正态分布曲线的对称性分析求解即可；
②根据正态分布求出每个农民的年收入不少于千元的概率，记个农民的年收入不少于千元的人数为，可得，其中，然后根据二项分布的概率计算公式，计算出“恰好有个农民的年收入不少于千元”中的最大值即可.
【详解】
解：（1）由频率分布直方图可知：
，
故估计位农民的年平均收入为千元．
（2）由题意知，
①因为，
时，满足题意，即最低年收入标准大约为千元；
②由，
每个农民的年收入不少于千元的概率为，记个农民的年收入不少于千元的人数为，
则，其中，
于是恰好有个农民的年收入不少于千元的事件概率为．
从而由，得，而，
所以当时，，
当时，
由此可知，在所走访位农民中，年收入不少于千元的人数最有可能是人．
18．（2021·重庆八中高三月考）为丰富学生课外生活，某市组织了高中生钢笔书法比赛，比赛分两个阶段进行：第一阶段由评委为所有参赛作品评分，并确定优胜者；第二阶段为附加赛，参赛人员由组委会按规则另行确定.数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析，这些分数X都在内，再以5为组距画分数的频率分布直方图（设“”）时，发现Y满足：.
（1）试确定n的所有取值，并求k；
（2）组委会确定：在第一阶段比赛中低于85分的同学无缘获奖也不能参加附加赛；分数在内的同学评为一等奖；分数在内的同学评为二等奖，但通过附加赛有的概率提升为一等奖；分数在内的同学评为三等奖，但通过附加赛有的概率提升为二等奖（所有参加附加赛的获奖人员均不降低获奖等级，且附加赛获奖等级在第一阶段获奖等级基础上，最多升高一级）.已知学生A和B均参加了本次比赛，且学生A在第一阶段获得二等奖.
①求学生B最终获奖等级不低于学生A最终获奖等级的概率；
②已知学生A和B都获奖，记A，B两位同学最终获得一等奖的人数为，求的分布列和数学期望.
【答案】（1）；；（2）①；②分布列见解析，.
【分析】
（1）根据分数及组距可得的可能值，由频率和为1可求得．
（2）①视频率为概率可得分数在5个区间上的概率，用符号（或）表示学生A（或B）在第一轮获奖等级为i，通过附加赛最终获奖等级为j，其中，记“学生B最终获奖等级不低于学生A的最终获奖等级”为事件W，则，由互斥事件和独立事件概率公式计算可得；
②先分别求出获得一等奖的概率，注意此时用条件概率计算，只有第一轮获奖，都有可能最终获利一等奖．最终获一等奖概率易知为，而最终获一等奖，需要在第一轮获奖的条件下才可能实现．因此，的可能取值为，分别计算概率可得分布列，再由期望公式计算期望．
【详解】
（1）根据题意，X在内，按5为组距可分成5个小区间，
分别是，，，，，
因为，由，，所以.
每个小区间的频率值分别是
由，解得.
（2）①由于参赛学生很多，可以把频率视为概率.
由（1）知，学生B的分数属于区间，，，，的概率分别是：，，，，.
我们用符号（或）表示学生A（或B）在第一轮获奖等级为i，通过附加赛最终获奖等级为j，其中
记“学生B最终获奖等级不低于学生A的最终获奖等级”为事件W，
则
.
②学生A最终获得一等奖的概率是，
学生B最终获得一等奖的概率是，
，，
.
所以的分布列为：
0
1
2
P
.
【点睛】
本题考查频率分布直方图，考查互斥事件与独立事件的概率公式，条件概率的计算，随机变量的概率分布列和数学期望．解题关键难点有两个，一是用用符号（或）表示学生A（或B）在第一轮获奖等级为i，通过附加赛最终获奖等级为j，其中，这样所求概率事件可表示若干互斥事件的和，从而求得概率；二是认识到最终获得一等奖这个事件是在第一轮获奖的条件下才能发生，因此需要用条件概率来理解计算．
19．（2021·湖南·长郡中学模拟预测）某商城玩具柜台五一期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送节日送礼，现有甲、乙两个系列盲盒，每个甲系列盲盒可以开出玩偶，，中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶，中的一个.
（1）记事件：一次性购买个甲系列盲盒后集齐玩偶，，玩偶；事件：一次性购买个乙系列盲盒后集齐，玩偶；求概率及；
（2）某礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒.通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为，前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；如此往复，记某人第次购买甲系列的概率为.
①求的通项公式；
②若每天购买盲盒的人数约为，且这人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个.
【答案】（1）；；（2） ①；②甲系列盲盒个，乙系列盲盒个.
【分析】
（1）计算一次性购买个甲系列盲盒，得到玩偶的情况总数为，利用排列与组合计算当集齐，，玩偶的所有情况总数，然后得到；利用正难则反思想，先计算一次性买个乙系列盲盒不能集齐，玩偶的概率，再利用计算即可；
（2）①由题意可得，当时，，利用构造法求出数列的通项公式；②假设用表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则根据题意可知，利用二项分布数学期望的计算公式得出购买甲的人数，从而得出购买乙的人数，根据一天中购买甲、乙的人数确定每天应准备甲、乙两种盲盒的个数.
【详解】
解：（1）若一次性购买个甲系列盲盒，得到玩偶的情况总数为，集齐，，玩偶，则有两种情况：
①其中一个玩偶个，其他两个玩偶各个，则有种结果；
②若其中两个玩偶各个，另外两个玩偶1个，则共有种结果，
故；
若一次性购买个乙系列盲盒，全部为与全部为的概率相等，均为，
故；
（2）①由题可知：，
当时，，则，，即是以为首项，以为公比的等比数列.
所以，即；
②因为每天购买盲盒的人都已购买过很多次，所以对于每一个人来说，某一天来购买盲盒时，可看作，所以，其购买甲系列的概率近似于，
假设用表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则，
所以，即购买甲系列的人数的期望为，
所以礼品店应准备甲系列盲盒个，乙系列盲盒个.
【点睛】
本题考查概率的实际运用，考查概率与数列的综合问题，解答本题的关键在于：
（1）理解题目的意思，将问题灵活转化，利用排列与组合解决（1）中及的计算；
（2）分析清楚与之间的联系，类比已知数列递推关系式求通项公式的方法求解，然后利用的性质解题.
20．（2021·全国·高三专题练习）在创建“全国文明城市”过程中，我市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次）通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：
组别
[30，40)
[40，50)
[50，60)
[60，70)
[70，80)
[80，90)
[90，100]
频数
2
13
21
25
24
11
4
（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分，近似为这100人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表），
①求的值；
②利用该正态分布，求；
（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；
②每次获赠的随机话费和对应的概率为：
赠送话费的金额（单位：元）
20
50
概率
现有市民甲参加此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望．
参考数据与公式：．若，则，，.
【答案】（1），；（2）分布列见解析，
【分析】
（1）直接根据公式计算得到，再根据正态分布的对称性及计算得到答案.
（2）获赠话费的可能取值为20，40，50，70，100，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.
【详解】
（1）由题意得：，
∴ ，∵，
，
（2）由题意知，.
获赠话费的可能取值为20，40，50，70，100，
，，，
，，.
∴的分布列为：
20
40
50
70
100
∴.
【点睛】
方法点睛：本题考查了正态分布求概率，分布列和数学期望，求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定的取值情况，然后利用排列，组合，概率知识求出取各个值时对应的概率，对应服从某种特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，考查学生逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.
21．（2021·全国·高三专题练习）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，．
（1）已知，求；
（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析.
【分析】
（1）利用公式计算可得.
（2）利用导数讨论函数的单调性，结合及极值点的范围可得的最小正零点.
（3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.
【详解】
（1）.
（2）设，
因为，故，
若，则，故.
，
因为，，
故有两个不同零点，且，
且时，；时，；
故在，上为增函数，在上为减函数，
若，因为在为增函数且，
而当时，因为在上为减函数，故，
故为的一个最小正实根，
若，因为且在上为减函数，故1为的一个最小正实根，
综上，若，则.
若，则，故.
此时，，
故有两个不同零点，且，
且时，；时，；
故在，上为增函数，在上为减函数，
而，故，
又，故在存在一个零点，且.
所以为的一个最小正实根，此时，
故当时，.
（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.
22．（2021·江西·南昌市豫章中学高三开学考试（理））某篮球队为提高队员的训练积极性，进行小组投篮游戏，每个小组由两名队员组成，队员甲与队员乙组成了一个小组.游戏规则：每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次，每小组投进的次数之和不少于3次的称为“神投小组”，已知甲乙两名队员投进篮球的概率为别为，.
（1）若，，则在第一轮游戏他们获“神投小组”的概率；
（2）若，则在游戏中，甲乙两名队员想要获得“神投小组”的称号16次，则理论上他们小组要进行多少轮游戏才行？并求此时，的值.
【答案】（1）；（2）理论上至少要进行轮游戏，.
【分析】
（1）由题分析可能的情况，利用独立事件概率公式和独立重复事件概率公式计算；
（2）先求得他们在一轮游戏中获“神投小组”的概率，并化简为关于的二次函数，利用不等式的基本性质和基本不等式求得的取值范围，进而求得的最大值，按照此最大值，利用二项分布的期望公式求得他们小组在轮游戏中获“神投小组”次数的期望值的最大值，令此最大值等于16，即求得理论上上他们小组要进行的游戏轮数的最小值，并根据基本不等式成立的条件求得此时，的值.
【详解】
（1）由题可知，所以可能的情况有：①甲投中1次，乙投中2次；②甲投中2次，乙投中1次；③甲投中2次，乙投中2次.故所求概率:
.
（2）他们在一轮游戏中获“神投小组”的概率为:
，
因为，所以，
因为，，，所以，，
又，所以，
令，以，则，
当时，，
他们小组在轮游戏中获“神投小组”次数满足，
由，则，所以理论上至少要进行轮游戏.
此时，，.
【点睛】
本题考查二项分布的应用，涉及利用基本不等式求最值，属中档题，关键是熟练掌握独立事件及独立重复事件概率公式，利用基本不等式和二次函数的性质求得他们在一轮游戏中获“神投小组”的概率的最大值，熟练掌握二项分布的期望值公式.
23．（2021·全国·高三专题练习）2021年是中国共产党百年华诞.中国站在“两个一百年”的历史交汇点，全面建设社会主义现代化国家新征程即将开启.2021年3月23日，中宣部介绍中国共产党成立100周年庆祝活动八项主要内容，其中第一项是结合巩固深化“不忘初心､牢记使命”主题教育成果，在全体党员中开展党史学习教育.这次学习教育贯穿2021年全年，总的要求是学史明理､学史增信､学史崇德､学史力行，教育引导党员干部学党史､悟思想､办实事，开新局.为了配合这次学党史活动，某地组织全体党员干部参加党史知识竞赛，现从参加人员中随机抽取100人，并对他们的分数进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）现从这100人中随机抽取2人，记其中得分不低于80分的人数为，试求随机变量的分布列及期望；
（2）由频率分布直方图，可以认为该地参加党史知识竞赛人员的分数服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，经计算.现从所有参加党史知识竞赛的人员中随机抽取500人，且参加党史知识竞赛的人员的分数相互独立，试问这500名参赛者的分数不低于82.3的人数最有可能是多少？
参考数据：，，，.
【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望：；（2）人数最有可能是79.
【分析】
（1）可得得分不低于80分的有20人，可能的取值为0，1，2，即可求得取不同值的概率，即可得出分布列，求出期望；
（2）由题求出，根据题意可得，即可求解.
【详解】
解：（1）100人中得分不低于80分的人数为，
随机变量可能的取值为0，1，2.
又，，，
则的分布列为：
0
1
2
.
（2）.
，
，
每位参赛者分数不低于82.3的概率为0.15865，记500位参赛者中分数不低于82.3的人数为随机变量，则，其中，
所以恰好有个参赛者的分数不低于82.3的概率为，，1，2，…，500.
由，
得.
所以当时，，
当时，
由此可知，在这500名参赛者中分数不低于82.3的人数最有可能是79.
24．（2021·广东·东莞市东方明珠学校模拟预测）某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是不是阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方式：
方式一：逐份检验，则需要检验次．
方式二：混合检验，将其中（且）份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这份血液样本全为阴性，因而这份血液样本只要检验一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这份血液样本究竟哪几份为阳性，就要对这份血液样本再逐份检验，此时这份血液样本的检验次数总共为．
假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为．现取其中份血液样本，记采用逐份检验方式，需要检验的总次数为，采用混合检验方式，需要检验的总次数为．
（1）若，试求关于的函数关系式；
（2）若与干扰素计量相关，其中是不同的正整数，且，都有成立．
①求证：数列是等比数列；
②当时，采用混合检验方式可以使样本需要检验的总次数的期望值比采用逐份检验方式的检验总次数的期望值更少，求的最大值．
参考数据：，．
【答案】（1）；（2）①证明见详解；②.
【分析】
（1）先由题意，得到；的可能取值为，；由离散型随机变量的期望求出，再由，化简整理，即可得出结果；
（2）①当时，由题中条件，得到，推出，令；利用数学归纳法证明对任意的正整数，即可；
②由①的结果，得到，根据题中条件，得到，推出；设，，对其求导，根据导数的方法判定其单调性，再结合具体的函数值，即可得出结果.
【详解】
（1）由已知，，，得；
的可能取值为，，
由题意，，
所以；
又，即，则，所以，
即关于的函数关系式为；
（2）①证明：当时，，所以，令，则；
因为，所以下面证明对任意的正整数，；
（i）当时，显然成立；
（ii）假设时，成立；
当时，由，
所以，
则，
即，所以，
因此，解得或（负值舍去），
所以；
由（i）（ii）可知，，即数列是等比数列；
②由①知，，
因为采用混合检验方式可以使样本需要检验的总次数的期望值比采用逐份检验方式的检验总次数的期望值更少，即，
所以，则，
所以，即；
设，，
则，
当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增；
所以；
又，，
所以使的最大整数的取值为，
即时，的最大值为；
综上，的最大值为.
【点睛】
关键点点睛：
求解本题第二问的关键在于先由题中条件，得到，猜想数列的通项公式；再由数学归纳法的一般步骤进行证明即可.
25．（2021·全国·高三专题练习）安庆市某学校高三年级开学之初增加晚自习，晚饭在校食堂就餐人数增多，为了缓解就餐压力，学校在原有一个餐厅的基础上增加了一个餐厅，分别记做餐厅甲和餐厅乙，经过一周左右统计调研分析：前一天选择餐厅甲就餐第二天选择餐厅甲就餐的概率是25%､选择餐厅乙就餐的概率为75%，前一天选择餐厅乙就餐第二天选择餐厅乙就餐的概率是50%､选择餐厅甲就餐的概率也为50%，如此往复.假设学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是，择餐厅乙就餐的概率是，记某同学第n天选择甲餐厅就餐的概率为.
（1）记某班级的3位同学第二天选择餐厅甲的人数为X，求X的分布列，并求E(X)；
（2）请写出与的递推关系；
（3）求数列的通项公式并帮助学校解决以下问题：为提高学生服务意识和团队合作精神，学校每天从20个班级中每班抽调一名学生志愿者为全体学生提供就餐服务工作，根据上述数据，如何合理分配到餐厅甲和餐厅乙志愿者人数？请说明理由.
【答案】（1）分布列答案见解析，；
（2）；
（3）分配到餐厅甲和餐厅乙志愿者人数8人和12人，理由见解析.
【分析】
（1）依题意可得，进而可得分布列和期望；
（2）由可得结果；
（3）由（2）求得，且，由此可得分配方案.
【详解】
（1）某同学第二天选择餐厅甲就餐的概率，
某同学第二天选择餐厅乙就餐的概率，
位同学第二天选择餐厅甲就餐的人数为，则.
，
的分布列为
0
1
2
3
故.
（2）依题意，，即.
（3）由（2）知，则
当时，可得，
数列是首项为公比为的等比数列.
，即.
，
所以，分配到餐厅甲的志愿者人数为，分配到餐厅乙的志愿者人数为.
【点睛】
关键点点睛：第（1）问的关键点是：探究得到；后两问的关键点是得到递推关系.
26．（2021·山东·模拟预测）某商场拟在年末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券“的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子（形状为正方体，六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），若向上点数不超2点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮游戏，若累计得分为19分，则游戏结束，可得到200元礼券，若累计得分为20分，则游戏结束，可得到纪念品一份，最多进行20轮游戏．
（1）当进行完3轮游戏时，总分为X，求X的期望；
（2）若累计得分为i的概率为，（初始得分为0分，）．
①证明数列，（i＝1，2，…，19）是等比数列；
②求活动参与者得到纪念品的概率．
【答案】（1）5；（2）①证明见解析；②．
【分析】
（1）由题意可知每轮游戏获得1分的概率为，获得2分的概率为，而每轮游戏的结果互相独立，设进行完3轮游戏时，得1分的次数为，所以，，即可求出X的期望；
（2）①根据累计得分为i的概率为，分两种情形讨论得分情况，从而得到递推式，再根据构造法即可证出数列是等比数列；
②根据①可求出，再根据累加法即可求出，然后由从而解出．
【详解】
（1）由题意可知每轮游戏获得1分的概率为，获得2分的概率为，设进行完3轮游戏时，得1分的次数为，所以，，而，即随机变量X可能取值为3，4，5，6，
，，
，．
∴X的分布列为：
X
3
4
5
6
P
E（X）＝＝5．
（2）①证明：n＝1，即累计得分为1分，是第1次掷骰子，向上点数不超过2点，，则，累计得分为i分的情况有两种：
（Ⅰ）i＝（i﹣2）＋2，即累计得i﹣2分，又掷骰子点数超过2点，其概率为，
（Ⅱ）累计得分为i﹣1分，又掷骰子点数没超过2点，得1分，其概率为，
∴，∴，（i＝2，3，•••，19），∴数列，（i＝1，2，…，19）是首项为﹣，公比为﹣的等比数列．
②∵数列，（i＝1，2，…，19）是首项为﹣，公比为﹣的等比数列，
∴，
∴，，•••，，
各式相加，得：，
∴，（i＝1，2，•••，19），
∴活动参与者得到纪念品的概率为：
．
【点睛】
本题第一问解题关键是明确得1分的次数为服从二项分布，从而找到所求变量与的关系，列出分布列，求得期望；第二问①主要是递推式的建立，分析判断如何得到分的情况，进而得到，利用数列知识即可证出，②借由①的结论，求出，分析可知，从而解出．
27．（2021·重庆一中模拟预测）某5G传输设备由奇数根相同的光导纤维并联组成，每根光导纤维能正常传输信号的概率均为，且每根光导纤维能否正常传输信号相互独立．已知该设备中有超过一半的光导纤维能正常传输信号，这个5G传输设备才可以正常工作．记根光导纤维组成的这种5G传输设备可以正常工作的概率为．
（1）用p表示；
（2）当时，证明：；
（3）为提高这个5G传输设备正常工作的概率，在这个传输设备上再并联两根相同规格的光导纤维，且新增光导纤维后的5G传输设备有超过一半的光导纤维能正常传输信号才可以正常工作．确定的取值范围，使新增两根光导纤维可以提高这个5G传输设备正常工作的概率．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.
【分析】
由题设可得，
（1）将代入上式即可求；
（2）由题意，由易知，进而可证明结论.
（3）讨论新增两个光纤{两根都能正常工作，一根正常工作，两根都不能正常工作}对应的光导纤维能正常传输信号的概率，进而求，根据即可求的范围.
【详解】
由题意知：要使5G传输设备可以正常工作，则至少有根光导纤维能正常传输信号，
∴，
（1）由上知：；
（2）当时，有，而，
∴，故，得证；
（3）由题意，，
新增两根光导纤维后，两根都能正常工作、一根正常工作、两根都不能正常工作，对应该设备能正常工作的概率分别为，
∴，，，
∴，
∴使新增两根光导纤维可以提高这个5G传输设备正常工作的概率，则，
∴，故时新增两根光导纤维可以提高这个5G传输设备正常工作的概率．
【点睛】
关键点点睛：第三问，讨论新增两个光纤{两根都能正常工作，一根正常工作，两根都不能正常工作}对应的光导纤维能正常传输信号的概率，根据题意得到即可求概率的范围.
28．（2021·山东·烟台二中三模）为纪念中国共产党成立100周年，加深青少年对党的历史、党的知识、党的理论和路线方针的认识，激发爱党爱国热情，坚定走新时代中国特色社会主义道路的信心，某校举办了党史知识竞赛．竞赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答3道题，若答对题目不少于5道题，则获得一个积分．已知甲乙两名同学一组，甲同学和乙同学对每道题答对的概率分别是和，且每道题答对与否互不影响．
（1）若，，求甲乙同学这一组在一轮竞赛中获得一个积分的概率；
（2）若，且每轮比赛互不影响，若甲乙同学这一组想至少获得5个积分，那么理论上至少要进行多少轮竞赛？
【答案】（1）；（2）15
【分析】
（1）根据可求得；
（2）得出获得一个积分的，由已知可得，进而求得，根据甲乙两同学在轮比赛中获得的积分数满足，根据即可解得.
【详解】
（1）假设甲和乙答对的题目个数分别为和，
故所求概率
，
所以甲乙同学这一组在一轮竞赛中获得一个积分的概率为；
（2）由（1）得
，
整理得，
因为且，所以，
所以，当且仅当时等号成立，即，
令，则，
所以，则，
当时，，则当时，，
甲乙两同学在轮比赛中获得的积分数满足，
所以由，即解得，
因为为正整数，所以至少为15，
所以若甲乙同学这一组想至少获得5个积分，那么理论上至少要进行15轮竞赛.
【点睛】
关键点睛：解决本题的关键是先求得获得一个积分的，且根据求得其最大值，再由甲乙两同学在轮比赛中获得的积分数服从二项分布求解.
29．（2021·全国·模拟预测）某学校招聘在职教师，甲､乙两人同时应聘.应聘者需进行笔试和面试，笔试分为三个环节，每个环节都必须参与，甲笔试部分每个环节通过的概率均为，乙笔试部分每个环节通过的概率依次为，，，笔试三个环节至少通过两个才能够参加面试，否则直接淘汰；面试分为两个环节，每个环节都必须参与，甲面试部分每个环节通过的概率依次为，，乙面试部分每个环节通过的概率依次为，，若面试部分的两个环节都通过，则可以成为该学校的在职教师.甲､乙两人通过各个环节相互独立.
（1）求乙未能参与面试的概率；
（2）记甲本次应聘通过的环节数为，求的分布列以及数学期望；
（3）若该校仅招聘1名在职教师，试通过概率计算，判断甲､乙两人谁更有可能入职.
【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：；（3）甲更可能成为该校的在职教师.
【分析】
（1）根据事件的互斥性及每一次是否通过相互独立求解即可；（2）首先确定随机变量的可能取值，再分别求出相应的概率值，列出分布列计算数学期望；（3）分别计算甲乙通过成为在职教师的概率值，比较大小，得出结论.
【详解】
（1）若乙笔试部分三个环节一个都没有通过或只通过一个，则不能参与面试，故乙未能参与面试的概率.
（2）的可能取值为0，1，2，3，4，5，
，
，
，
，
，
.
则的分布列为
0
1
2
3
4
5
故.
（3）由（2）可知，甲成为在职教师的概率，
乙成为在职教师的概率.
因为，所以甲更可能成为该校的在职教师.
【点睛】
本题考查相互独立事件的概率､离散型随机变量的分布列以及期望.在求解过程中需清楚互斥事件的概率加法计算公式和相互独立事件的概率乘法计算公式，分布列中需要准确计算每个可能取值的概率值，最后计算数学期望.
30．（2021·山东泰安·模拟预测）国际比赛赛制常见的有两种，一种是单败制，一种是双败制．单败制即每场比赛的失败者直接淘汰，常见的有等等．表示双方进行一局比赛，获胜者晋级．表示双方最多进行三局比赛，若连胜两局，则直接晋级；若前两局两人各胜一局，则需要进行第三局决胜负．现在四人进行乒乓球比赛，比赛赛制采用单败制，A与B一组，C与D一组，第一轮两组分别进行，胜者晋级，败者淘汰；第二轮由上轮的胜者进行，胜者为冠军．已知A与比赛，A的胜率分别为；B与比赛，B的胜率分别；C与D比赛，C的胜率为．任意两局比赛之间均相互独立．
（1）在C进入第二轮的前提下，求A最终获得冠军的概率；
（2）记A参加比赛获胜的局数为X，求X的分布列与数学期望．
【答案】（1）；（2）分布列见解析，.
【分析】
（1）根据独立重复事件的概率公式，结合条件概率的计算公式进行求解即可；
（2）参加比赛获胜的局数的取值有0，1，2，3，求出每种可能性的概率，列出分布列，根据数学期望公式进行运算求解即可.
【详解】
解：（1）进入第二轮的概率为，
与比赛，获胜，与比赛，获胜，且与比赛，获胜，
其概率为，
故在进入第二轮的前提下，最终获得冠军的概率．
（2）参加比赛获胜的局数的取值有0，1，2，3．
，
，
，
．
的分布列为：
0
1
2
3
．
【点睛】
关键点睛：根据条件概率的运算公式、认真阅读题干理解题意是解题的关键
31．（2021·山东济南·二模）某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立．当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）．
（1）若每个元件正常工作的概率．
（i）当时，求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和期望；
（ii）计算．
（2）已知设备升级前，单位时间的产量为件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了髙端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件髙端产品的利润是2元．请用表示出设备升级后单位时间内的利润（单位：元），在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，分析该设备能否通过增加控制系统中元件的个数来提高利润．
【答案】（1）（i）分布列见解析，数学期望为2；（ii）；（2）；分类讨论，答案见解析．
【分析】
（1）（i）由题意可知，利用二项分布求解即可；
（ii）根据互斥事件的和事件的概率公式求解；
（2）求出设备升级后单位时间内的利润，分类讨论求出与的关系，做差比较大小即可.
【详解】
（1）（i）因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为0，1，2，3；
因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，
所以，
所以，
，
，
所以控制系统中正常工作的元件个数的分布列为
0
1
2
3
控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为；
（ii）由题意知：
；
（2）升级改造后单位时间内产量的分布列为
产量
0
设备运行概率
所以升级改造后单位时间内产量的期望为；
所以
产品类型
高端产品
一般产品
产量（单位：件）
利润（单位：元）
2
1
设备升级后单位时间内的利润为
，即；
因为控制系统中元件总数为奇数，若增加2个元件，则第一类：原系统中至少有个元件正常工作，其概率为；
第二类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作，其概率为
；
第三类：原系统中有个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，其概率为
；
所以
，
即，
所以当时，，单调递增，
即增加元件个数设备正常工作的概率变大，
当时，，
即增加元件个数设备正常工作的概率没有变大，
又因为，
所以当时，设备可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润；
当时，设备不可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润．
【点睛】
关键点点睛：分析增加2个元件后，分三类求解，求出是解题的难点与关键，属于较难题.
32．（2021·河北省唐县第一中学高三月考）某病毒在进入人体后有潜伏期，患者在潜伏期内无任何症状，但已具传染性.假设一位病毒携带者在潜伏期内每天有n位密接者，每位密接者被感染的概率为p，
（1）若，，求一天内被一位病毒携带者直接感染人数X的分布列和均值：
（2）某定点医院为筛查某些人员是否感染此病毒，需要检测血液样本是否为阳性，有以下两种检验方式：
①逐份检验，即k份血液样本需要检验k次；
②混合检验，即将k份（且）血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，则这k份血液样本全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了：如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液样本究竞哪份为阳性，就要对k份血液样本再逐份检验，此时这k份血液样本的检验次数为k+1次.
假设样本的检验结果相互独立，且每份样本检验结果是阳性的概率为，为使混合检验需要的检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的期望值更少，求k的取值范围.
参考数据：，，，，.
【答案】（1）答案见解析；（2）且k∈N*．
【分析】
（1）依题意可知X服从二项分布，即X～B(3，)，由此求得随机变量的分布列；
（2）由题意知ζ的所有可能取值为1，，求得其期望，由已知得lnk＞k．设，运用导函数，研究函数的单调性和特殊点的函数值的符号可求得范围.
【详解】
（1）若n＝3，p＝，依题意可知X服从二项分布，即X～B(3，)，
从而，i＝0，1，2，3．
随机变量X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
随机变量X的均值为．
（2）由题意知ζ的所有可能取值为1，，且，，
∴，
又∵E(η)＝k，依题意E(ζ)＜E(η)，即：k＋1－k(1－p)k＜k，∴＜(1－p)k，
∵p＝1－，∴＜()k，∴lnk＞k．
设，则，所以时，，时，，
所以f(x)在(0，3)上单调递增，在(3，＋∞)上单调递减，
由于f(1)＝＜0，f(2)＝ln2－＞0，
f(4)＝ln4－＝0.0530＞0，f(5)＝ln5－＝－0.0573＜0，
故k的取值范围为且k∈N*．
【点睛】
方法点睛：求解离散型随机变量分布列的步骤是：
1.首先确定随机变量的所有可能取值；
2.计算取得每一个值的概率，可通过所有概率和为来检验是否正确；
3.进行列表，画出分布列的表格；
4.最后扣题，根据题意求数学期望或者其它．
33．（2021·湖北·汉阳一中模拟预测）2020年12月16日至18日，中央经济工作会议在北京召开，会议确定，2021年要抓好八个重点任务，其中第五点就是：保障粮食安全，关键在于落实藏粮于地､藏粮于技战略.要加强种质资源保护和利用，加强种子库建设.要尊重科学､严格监管，有序推进生物育种产业化应用.某“种子银行”对某种珍稀名贵植物种子采取“活态保存”方法进行保存，即对种子实行定期更换和种植.通过以往的相关数据表明，该植物种子的出芽率为，每颗种子是否发芽相互独立.现任取该植物种子颗进行种植，若种子的出芽数超过半数，则可认为种植成功().
（1）当，时，求种植成功的概率及的数学期望；
（2）现拟加种两颗该植物种子，试分析能否提高种植成功率？
【答案】（1）概率为，；（2）答案见解析.
【分析】
（1）利用服从二项分布，即求出种植成功的概率和数学期望；
（2）设种植颗种子时，种植成功的概率为，拟加种两颗该植物种子时，种植成功的概率为，为了种植成功，前颗种子中至少要有颗种子出芽，然后分三种情况分别求解种植成功的概率，利用作差法比较即可.
【详解】
（1）由题意可知，服从二项分布，
故，
故种植成功的概率为，
；
（2）设种植颗种子时，种植成功的概率为，
拟加种两颗该植物种子时，种植成功的概率为，
当种植颗种子时，考虑前颗种子出芽数，
为了种植成功，前颗种子中至少要有颗种子出芽，
①前颗种子中恰有颗出芽，它的概率为，
此时后两颗种子必须都要出芽，
所以这种情况下种植成功的概率为；
②前颗种子恰有颗出芽，它的概率为，
此时后两颗种子至少有一颗出芽即可，
所以这种情况下种植成功的概率为；
③前颗种子至少有颗出芽，
它的概率为，此时种植一定成功.
所以，
故，
，
因为，
所以，
所以当时，，种植成功率会降低；
当时，，种植成功率不变；
当时，，种植成功率会提高.
【点睛】
关键点睛：解决本题的关键一是要分类讨论，二是要分析出所有满足条件的情况并计算出概率.
34．（2021·全国·高三专题练习）品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，通常采用的测试方法如下：拿出（且）瓶外观相同但品质不同的酒让品酒师品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序.这称为一轮测试，根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.现分别以、、、、表示第一次排序时被排在、、、、的种酒在第二次排序时的序号，并令，则是对两次排序的偏离程度的一种描述.
（1）证明：无论取何值，的可能取值都为非负偶数；
（2）取，假设在品酒师仅凭随机猜测来排序的条件下，、、、等可能地为、、、的各种排列，且各轮测试相互独立.
①求的分布列和数学期望；
②若某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有，则认为该品酒师有较好的酒味鉴别功能.求出现这种现象的概率，并据此解释该测试方法的合理性.
【答案】（1）证明见解析；（2）①分布列答案见解析，数学期望为；②概率为，解释答案见解析.
【分析】
（1）分析出且与的奇偶性一致，右由此可得出结论；
（2）①由题意可知，随机变量的可能取值有、、、、，分别计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，并由此计算出的值；
②记“在相继进行的三轮测试中都有”为事件，计算出的值，由此可得出结论.
【详解】
（1）首先有，
去绝对值不影响数的奇偶性，故
与的奇偶性一致，而
为偶数，故的可能取值都为非负偶数；
（2）①由（1）知当时，的可能取值为、、、、，
，，，
，，
所以的分布列为
从而的数学期望；
②记“在相继进行的三轮测试中都有”为事件，“在某轮测试中有”
为事件，则，
又各轮测试相互独立，，
因为表示仅凭随机猜测得到较低偏离程度的结果的概率，
而，该可能性非常小，所以我们可以认为该品酒师确实有较好的酒味鉴别能力，而不是靠随机猜测，故这种测试方法合理.
【点睛】
思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：
（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布；
（2）求出每一个随机变量取值的概率；
（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率.
35．（2021·湖北·汉阳一中三模）设是给定的正整数（），现有个外表相同的袋子，里面均装有个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球．现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个取后不放回）．
（1）若，假设已知选中的恰为第2个袋子，求第三次取出为白球的概率；
（2）若，求第三次取出为白球的概率；
（3）对于任意的正整数，求第三次取出为白球的概率．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）时，第三次取出为白球的情况有：红红白，红白白，白红白，利用相互独立事件概率乘法公式，互斥事件概率加法公式能求出第三次取出为白球的概率．
（2）先求出第三次取出的是白球的种数，再求出在第个袋子中第三次取出的是白球的概率，选到第个袋子的概率为，由此能求出第三次取出的是白球的概率．
（3）先求出第三次取出的是白球的种数，再求出在第个袋子中第三次取出的是白球的概率，选到第个袋子的概率为，由此能求出第三次取出的是白球的概率．
【详解】
解：（1）时，第二个袋中有2白2红，共4个球，从中连续取出三个球（每个取后不放回）．
第三次取出为白球的情况有：红红白，红白白，白红白，
∴第三次取出为白球的概率．
（2）设选出的是第个袋，连续三次取球的方法数为，
第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形：
（白，白，白），取法数为，
（白，红，白），取法数为，
（红，白，白），取法数为，
（红，红，白），取法数为，
从而第三次取出的是白球的种数为：
，
则在第个袋子中第三次取出的是白球的概率，
而选到第个袋子的概率为，故所求概率为：
．
（3）设选出的是第个袋，连续三次取球的方法数为，
第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形：
（白，白，白），取法数为，
（白，红，白），取法数为，
（红，白，白），取法数为，
（红，红，白），取法数为，
从而第三次取出的是白球的种数为：
，
则在第个袋子中第三次取出的是白球的概率，
而选到第个袋子的概率为，故所求概率为：
．
【点睛】
关键点睛：本题考查概率的求法，相互独立事件概率乘法公式，互斥事件概率加法公式，关键在于运用列举法，准确地运用公式得以解决问题．
36．（2021·安徽·高三月考（理））公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫（Demere）向另一位著名的数学家帕斯卡（B. Pascal）提出了一个问题，帕斯卡和费马（Fermat）讨论了这个问题，后来惠更斯（C. Huygens）也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答.该问题如下：设两名运动员约定谁先赢局，谁便赢得全部奖金元.每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每场比赛相互独立.在甲赢了局，乙赢了局时，比赛意外终止.奖金该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金.
（1）规定如果出现无人先赢局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金.若，，，，求.
（2）记事件为“比赛继续进行下去乙赢得全部奖金”，试求当，，时比赛继续进行下去甲赢得全部奖金的概率，并判断当时，事件是否为小概率事件，并说明理由.规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件.
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【分析】
（1）设赌博再继续进行局甲赢得全部赌注，可知最后一局必然甲赢，可知的可能取值有、、，分别计算出在不同取值下的概率，可得出，进而可得出，由此可气得结果；
（2）设赌博继续进行局乙赢得全部赌注，则最后一局必然乙赢，可知的可能取值有、，分别计算出在不同取值下的概率，可求得，进而可得出，再利用导数求出的最小值，进而可得出结论.
【详解】
（1）设比赛再继续进行局甲赢得全部奖金，则最后一局必然甲赢.
由题意知，最多再进行局，甲、乙必然有人赢得全部奖金.
当时，甲以赢，所以；
当时，甲以赢，所以；
当时，甲以赢，所以.
所以，甲赢的概率为.
所以，；
（2）设比赛继续进行局乙赢得全部奖金，则最后一局必然乙赢.
当时，乙以赢，；
当时，乙以赢，；
所以，乙赢得全部奖金的概率为.
于是甲赢得全部奖金的概率.
求导，.
因为，所以，所以在上单调递增，
于是.
故乙赢的概率为，故事件是小概率事件.
【点睛】
关键点点睛：本题在求和时，要明确最后一局是谁赢，前几局甲或乙各赢了几局，再结合独立事件的概率乘法公式计算即可.
37．（2021·湖南·雅礼中学高三开学考试）某新型双轴承电动机需要装配两个轴承才能正常工作，且两个轴承互不影响．现计划购置甲，乙两个品牌的轴承，两个品牌轴承的使用寿命及价格情况如下表：
品牌
价格（元/件）
使用寿命（月）
甲
或
乙
或
已知甲品牌使用个月或个月的概率均为，乙品牌使用个月或个月的概率均为．
（1）若从件甲品牌和件乙品牌共件轴承中，任选件装入电动机内，求电动机可工作时间不少于个月的概率；
（2）现有两种购置方案，方案一：购置件甲品牌；方案二：购置件甲品牌和件乙品牌（甲、乙两品牌轴承搭配使用）．试从性价比（即电动机正常工作时间与购置轴承的成本之比）的角度考虑，选择哪一种方案更实惠？
【答案】（1）；（2）方案二更实惠．
【分析】
（1）分三种情况讨论：①装入两件甲品牌；②装入一件甲品牌，一件乙品牌，且乙品牌的使用寿命为个月；③装入两件乙品牌，且两件的使用寿命均为个月.分别计算出各种情况下对应事件的概率，利用互斥事件的概率加法公式可求得结果；
（2）若采用方案一，设电动机可工作时间为（单位：月），若采用方案二，设两件乙品牌轴承的使用寿命之和为（单位：月），计算出、的值，设甲品牌轴承的使用寿命为（单位：月），此时电动机可工作时间为（单位：月），计算出，然后比较和的大小关系，由此可得出结论.
【详解】
（1）电动机工作时间不少于个月共有三种情况：
①装入两件甲品牌，概率为；
②装入一件甲品牌，一件乙品牌，且乙品牌的使用寿命为个月，概率为；
③装入两件乙品牌，且两件的使用寿命均为个月，概率为.
电动机可工作时间不少于个月的概率为；
（2）若采用方案一，设电动机可工作时间为（单位：月），则的可能取值为、
，，
所以，的分布列为
，它与购置轴承的成本之比为．
若采用方案二，设两件乙品牌轴承的使用寿命之和为（单位：月），则的可能取值为、、，
，，.
设甲品牌轴承的使用寿命为（单位：月），此时电动机可工作时间为（单位：月），则的可能取值为、、，
，
，
，
所以，的分布列为：
，它与购置轴承的成本之比为
，
，从性价比的角度考虑，方案二更实惠．
【点睛】
方法点睛：求随机变量的期望和方差的基本方法如下：
（1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；
（2）已知随机变量的期望、方差，求的期望与方差，利用期望和方差的性质（，）进行计算；
（3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算.
38．（2021·全国·高三专题练习（理））为落实《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，完善学校体育“健康知识＋基本运动技能＋专项运动技能”教学模式，建立“校内竞赛－校级联赛－选拔性竞赛－国际交流比赛”为一体的竞赛体系，构建校、县（区）、地（市）、省、国家五级学校体育竞赛制度．某校开展“阳光体育节”活动，其中传统项目“定点踢足球”深受同学们喜爱．其间甲、乙两人轮流进行足球定点踢球比赛（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为，乙每次踢球命中的概率为，且各次踢球互不影响．
（1）经过1轮踢球，记甲的得分为，求的数学期望；
（2）若经过轮踢球，用表示经过第轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的概率．
①求，，；
②规定，且有，请根据①中，，的值求出、，并求出数列的通项公式．
【答案】（1）；（2）①，，；②，.
【分析】
（1）的可能取值为，0，1，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列与期望；
（2）①，经过2轮投球甲的累计得分高有两种情况：一是2轮甲各得1分，二是2轮中有1轮甲得0分，有1轮甲得1分，由此能求出．经过3轮投球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得分．由此能求出．
②推导出，将，代入得，，推导出是首项与公比都是的等比数列，由此能求出结果．
【详解】
（1）记一轮踢球，甲命中为事件，乙命中为事件，，相互独立．
由题意，，甲的得分的可能取值为，0，1．
，
．
，
∴的分布列为：
0
1
．
（2）①由（1），
．
经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得分．
∴，
②∵规定，且有，
∴代入得：，
∴，∴数列是等比数列，
公比为，首项为，∴．
∴．
【点睛】
关键点睛：利用待定系数法得到后，紧扣等比数列定义是解决问题的关键.
39．（2021·全国·模拟预测）当前，全国上下正处在新冠肺炎疫情“外防输入，内防反弹”的关键时期，为深入贯彻落实习近平总书记关于疫情防控的重要指示要求，始终把师生生命安全和身体健康放在第一位．结合全国第个爱国卫生月要求，学校某班组织开展了“战疫有我，爱卫同行”防控疫情知识竟赛活动，抽取四位同学，分成甲、乙两组，每组两人，进行对战答题．规则如下：每次每位同学给出道题目，其中有道是送分题(即每位同学至少答对题)．若每次每组答对的题数之和为的倍数，原答题组的人再继续答题；若答对的题数之和不是的倍数，就由对方组接着答题．假设每位同学每次答题之间相互独立，无论答对几道题概率都一样，且每次答题顺序不作考虑，第一次由甲组开始答题．求：
(1)若第次由甲组答题的概率为，求；
(2)前次答题中甲组恰好答题次的概率为多少？
【答案】(1)；(2)．
【分析】
(1)先根据所给条件，用列举法求出原答题组再继续答题的概率和由对方组接着答题的概率，再把第次由甲组答题的事件分拆成两个互斥事件的和，最后由概率加法公式列式求得；
(2)分析出甲在第次、第次、第次中只答题一次的事件，列式代数计算即得.
【详解】
(1)答对的题数之和为的倍数分别为，，，，，，，
其概率为，
则答对的题数之和不是的倍数的概率为，
第次由甲组答题，是第次由甲组答题，第次继续由甲组答题的事件与第次由乙组答题，第次由甲组答题的事件和，它们互斥，又各次答题相互独立，
所以第次由甲组答题，第次继续由甲组答题的概率为，
第次由乙组答题，第次由甲组答题的概率为，
因此，
则
因为第一次由甲组开始，则，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，
即
(2)由于第次由甲组答题，则只要第次、第次、第次这次中再由甲组答题一次即可，由(1)可知，，，
所以所求概率
.
所以．
【点睛】
涉及较繁琐的概率求解问题，关键是把要求概率的事件分拆成一些相互独立事件的积和彼此互斥的和，再根据概率的乘法公式和概率的加法公式求解.
40．（2021·全国·高三专题练习（理））甲、乙、丙三人参加学校“元旦嘉年华”竞答游戏，活动的规则为：甲、乙、丙三人先分别坐在圆桌的，，三点，第一轮从甲开始通过掷骰子决定甲的竞答对手，如果点数是奇数，则按逆时针选择乙，如果是偶数，则按顺时针选丙，下一轮由上一轮掷骰子选中的对手继续通过掷骰子决定竟答对手，如果点数是奇数按逆时针选对手，点数是偶数按顺时针选对手，已知每场竞答甲对乙、甲对丙、乙对丙获胜的概率分别为，，且甲、乙、丙之间竞答互不影响，各轮游戏亦互不影响，比赛中某选手累计获胜场数达到场，游戏结束，该选手为晋级选手．
（1）求比赛进行了场且甲晋级的概率；
（2）当比赛进行了场后结束，记甲获胜的场数为，求的分布列与数学期望．
【答案】（1）；（2）分布列见解析；期望为．
【分析】
（1）根据题意分别求出每一类情况的概率，再利用互斥事件概率加法公式即可求解；（2）由题意可知的所有可能取值为，，，利用独立事件与互斥事件的概率公式求出对应的概率即可求出分布列与数学期望．
【详解】
解：（1）甲赢两场，分下面三种情况
①第一场甲胜，第二场无甲，第三场甲胜
概率为： ；
②第一场甲输，二三场均胜
概率为：；
③第一场甲胜，第二场输，第三场胜
概率为： ；
由互斥事件的概率加法公式可知：比赛进行了场且甲晋级的概率为：.
（2）依题意的所有可能取值为，，
由（1）知，
当比赛进行了场后结束，甲获胜的场数为时，
分两种情况：
3场比赛中甲参加了1场，输了,概率为：
3场比赛中甲参加了2场，都输了，概率为：
3场比赛甲都参加且都输掉是不可能的，否则两场比赛打不到3场.
所以，
故，
故的分布列为
则．
【点睛】
本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望，考査数据处理能力、运算求解能力，考查数学运算、数据分析、数学抽象核心素养．
41．（2021·重庆南开中学高三月考）中国职业篮球联赛（CBA联赛）分为常规赛和季后赛.由于新冠疫情关系，今年联赛采用赛会制：所有球队集中在同一个地方比赛，分两个阶段进行，每个阶段采用循环赛，分主场比赛和客场比赛，积分排名前8的球队进入季后赛.季后赛的总决赛采用五场三胜制（“五场三胜制”是指在五场比赛中先胜三场者获得比赛胜利，胜者成为本赛季的总冠军）.下表是队在常规赛60场比赛中的比赛结果记录表.
阶段
比赛场数
主场场数
获胜场数
主场获胜场数
第一阶段
30
15
20
10
第二阶段
30
15
25
15
（1）根据表中信息，是否有90%的把握认为比赛的“主客场”与“胜负”之间有关？
（2）已知队与队在季后赛的总决赛中相遇，假设每场比赛结果相互独立，队除第五场比赛获胜的概率为外，其他场次比赛获胜的概率等于队常规赛60场比赛获胜的频率.记为队在总决赛中获胜的场数.
（ⅰ）求的分布列；
（ⅱ）求队获得本赛季的总冠军的概率.
附：.
（）
0.100
0.050
0.025
2.706
3.841
5.024
【答案】（1）没有90%的把握；（2）（ⅰ）分布列见解析；（ⅱ）.
【分析】
（1）利用独立性检验的知识，列出A队在主客场胜负的列联表，求出，以此进行判断；（2）（ⅰ）利用二项分布，分布求得取值为0，1，2，3的概率，从而求得的分布列；（ⅱ）由（ⅰ）中所得取值为3的概率，即可求得队获得本赛季的总冠军的概率.
【详解】
解：（1）根据表格信息得到列联表：
队胜
队负
合计
主场
25
5
30
客场
20
10
30
合计
45
15
60
所以没有90%的把握认为比赛的“主客场”与“胜负”之间有关.
（2）（ⅰ）的所有可能取值为0，1，2，3，
队前4场中每场获胜的概率为.
；
；
；
.
所以的分布列为
0
1
2
3
（ⅱ）队获得本赛季的总冠军的概率为
.
【点睛】
（1）计算时，一定要找到正确的分类变量，然后列出列联表再计算；
（2）比赛五场三胜制，当赢够三场时一定是最后一场赢，所以属于排列问题.
42．（2021·江苏省天一中学三模）最近考试频繁，为了减轻同学们的学习压力，班上决定进行一次减压游戏.班主任把除颜色不同外其余均相同的8个小球放入一个纸箱子，其中白色球与黄色球各3个，红色球与绿色球各1个.现甲、乙两位同学进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分，黄球每个记2分，红球每个记3分，绿球每个记4分，规定摸球人得分不低于8分获胜.比赛规则如下：①只能一个人摸球；②摸出的球不放回；③摸球的人先从袋中摸出1球；若摸出的是绿色球，则再从袋子里摸出2个球；若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出3个球，他的得分为两次摸出的球的记分之和；④剩下的球归对方，得分为剩下的球的记分之和.
（1）若甲第一次摸出了绿色球，求甲获胜的概率；
（2）如果乙先摸出了红色球，求乙得分的分布列和数学期望；
（3）第一轮比赛结束，有同学提出比赛不公平，提出你的看法，并说明理由.
【答案】（1）；（2）分布列见解析，；（3）比赛不公平，理由见解析.
【分析】
（1）甲再摸2球至少得4分，分两种情况：一个红球，一个其他球，或者两个黄球，求出方法数，由此根据古典概型公式计算出概率；
（2）乙第一次摸出红球，则可以再从袋子里摸出 3个小球，可计算出3个球的得分情况也即乙得分情况，分别计算概率得概率分布列，从而计算出期望.
（3）以第一次摸出的球的颜色分类，分别计算获胜的概率，再计算概率的期望，与比较大小即可.
【详解】
（1）记“甲第一次摸出了绿色球，求甲获胜”为事件
则
（2）如果乙第一次摸出红球，则可以再从袋子里摸出3个小球，则得分情况有：6分，7分，8分，9分，10分，11分
所以的分布列为：
6
7
8
9
10
11
所以的数学期望.
（3）由第（1）问知，若第一次摸出来绿球，则摸球人获胜的概率为
由第（2）问知，若第一次摸出了红球，则摸球人获胜的概率为
若第一次摸出了黄球，则摸球人获胜的概率为
若第一次摸出了白球，则摸球人获胜的概率为
则摸球人获胜的概率为
所以比赛不公平.
【点睛】
关键点点睛：本题第三问，判断是否公平，即判断任何一方获胜的概率是不是，但是由于第一次摸出什么球对后面摸球有影响，所以需要对第一摸球进行分类.
43．（2021·全国·高三专题练习）网络是第五代移动通信网络的简称，是新一轮科技革命最具代表性的技术之一.年初以来，我国网络正在大面积铺开.A市某调查机构为了解市民对该市网络服务质量的满意程度，从使用了手机的市民中随机选取了人进行了问卷调查，并将这人根据其满意度得分分成以下组：、、、、，统计结果如图所示：
（1）由直方图可认为市市民对网络满意度得分（单位：分）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得.若市恰有万名手机用户，试估计这些手机用户中满意度得分位于区间的人数（每组数据以区间的中点值为代表）；
（2）该调查机构为参与本次调查的手机用户举行了抽奖活动，每人最多有轮抽奖活动，每一轮抽奖相互独立，中奖率均为.每一轮抽奖，若中奖，奖金为元话费且继续参加下一轮抽奖；若未中奖，则抽奖活动结束，现小王参与了此次抽奖活动.
（ⅰ）求小王获得元话费的概率；
（ⅱ）求小王所获话费总额的数学期望（结果精确到）.
参考数据：若随机变量z服从正态分布，即，则，.
【答案】（1）人；（2）（ⅰ），（ⅱ）元.
【分析】
（1）计算出样本的平均数，可得出，结合参考数据可求得，乘以可得结果；
（2）（i）由题意可知，小王获得元话费表明其前轮连续中奖且第轮未中奖，利用独立事件的概率公式可求得所求事件的概率；
（ii）由题意可知的可能取值有、、、、、、、、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，结合离散型随机变量的期望公式与错位相减法可求得结果.
【详解】
解：（1）由题意知样本平均数为，，
，所以，，
而，
故万名手机用户中满意度得分位于区间的人数约为（人）；
（2）（ⅰ）小王获得元话费表明其前轮连续中奖且第轮未中奖，故所求的概率为；
（ⅱ）由题意可知的可能取值有、、、、、、、、、、，即，，，
当，时，，说明小王前轮连续中奖且第轮未中奖，此时，
又满足，，
所以，，
所以，
令，则，
上述两个等式相减得，
化简得，所以，（元）.
【点睛】
方法点睛：求随机变量的期望和方差的基本方法如下：
（1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；
（2）已知随机变量的期望、方差，求的期望与方差，利用期望和方差的性质（，）进行计算；
（3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算.
44．（2021·全国·高三月考（理））“博弈”原指下棋，出自我国《论语·阳货》篇，现在多指一种决策行为，即一些个人､团队或组织，在一定规则约束下，同时或先后，一次或多次，在各自允许选择的策略下进行选择和实施，并从中各自取得相应结果或收益的过程.生活中有很多游戏都蕴含着博弈，比如现在有两个人玩“亮”硬币的游戏，甲､乙约定若同时亮出正面，则甲付给乙3元，若同时亮出反面，则甲付给乙1元，若亮出结果是一正一反，则乙付给甲2元.
（1）若两人各自随机“亮”出正反面，求乙收益的期望.
（2）因为各自“亮”出正反面，而不是抛出正反面，所以可以控制“亮”出正面或反面的频率(假设进行多次游戏，频率可以代替概率)，因此双方就面临竞争策略的博弈.甲､乙可以根据对手出正面的概率调整自己出正面的概率，进而增加自己赢得收益的期望，以收益的期望为决策依据，甲､乙各自应该如何选择“亮”出正面的概率，才能让结果对自己最有利？并分析游戏规则是否公平.
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【分析】
（1）根据题意可得随机变量的可能取值为，1，3，列出分布列，求出数学期望即可.
（2）设甲以的概率“亮”出正面，乙以的概率“亮”出正面，分别求出甲的收益分布列以及乙的收益分布列，求出数学期望，讨论的取值，分析甲、乙的数学期望即可得出结果.
【详解】
解析（1）因为是各自随机“亮”出正反面，所以甲､乙“亮”出正面的概率均可认为是，
设乙在此游戏中的收益为随机变量，则的可能取值为，1，3，
所以可得乙的收益的分布列为
-2
1
3
.
（2）假设甲以的概率“亮”出正面，乙以的概率“亮”出正面，
甲收益的随机变量为，乙收益的随机变量为，此时甲的收益分布列为
2
-1
-3
所以甲的收益期望为.
同理可得乙的收益分布列为
-2
1
3
所以乙的收益期望为.
根据甲的收益期望，可知乙的最优策略是“亮”出正面的概率为，
否则若，有，甲的收益期望，
甲可以选择都“亮”出反面的策略，即，达到预期收益最大，此时.
若，则甲选择都“亮”出正面的策略，即，达到预期收益最大，.
同理，可知甲的最优策略是“亮”出正面的概率为，
所以最终两人的决策为保持“亮”出正面的概率都为.
而当时，，，
所以此时游戏结果对两人都是最有利，但是规则不公平.
【点睛】
关键点点睛：本题考查了离散型随机变量的分布列、数学期望，解题的关键是求出甲、乙收益的数学期望，考查了分析能力、理解能力以及数学期望.
45．（2021·重庆·西南大学附中高三开学考试）“T2钻石联赛”是世界乒联推出一种新型乒乓球赛事，其赛制如下：采用七局四胜制，比赛过程中可能出现两种模式：“常规模式”和“FAST5模式”.在前24分钟内进行的常规模式中，每小局比赛均为11分制，率先拿满11分的选手赢得该局；如果两名球员在24分钟内都没有人赢得4局比赛，那么将进入“FAST5”模式，“FAST5”模式为5分制的小局比赛，率先拿满5分的选手赢得该局.24分钟计时后开始的所有小局均采用“FAST5”模式.某位选手率先在7局比赛中拿下4局，比赛结束.现有甲、乙两位选手进行比赛，经统计分析甲、乙之间以往比赛数据发现，24分钟内甲、乙可以完整打满2局或3局，且在11分制比赛中，每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为；在“FAST5”模式，每局比赛双方获胜的概率都为，每局比赛结果相互独立.
（Ⅰ）求4局比赛决出胜负的概率；
（Ⅱ）设在24分钟内，甲、乙比赛了3局，比赛结束时，甲乙总共进行的局数记为，求的分布列及数学期望.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）分布列见解析，.
【分析】
（Ⅰ）设前24分钟比赛甲胜出分别为，乙胜出分别为，在“FAST5”模式每局比赛甲获胜为，4局比赛决出胜负记为事件，分类即可求解；
（Ⅱ）的可能取值为4、5、6、7，分别求得其相应概率，列出分布列，再求期望.
【详解】
（Ⅰ）设前24分钟比赛甲胜出分别为，乙胜出分别为，在“FAST5”模式每局比赛甲获胜为，4局比赛决出胜负记为事件.
若24分钟内甲、乙打满2局，则；
若24分钟内甲、乙打满3局，则
；
（Ⅱ）的可能取值为4、5、6、7
；
；
；
；
所以，随机变量的概率分别列为：
4
5
6
7
的数学期望为.
【点睛】
方法点睛：(1)正确分析所求事件的构成，将其转化为几个彼此互斥事件的和或相互独立事件的积，然后利用相关公式进行计算．(2)注意根据问题情境正确判断事件的独立性．(3)在应用相互独立事件的概率公式时，对含有“至多有一个发生”“至少有一个发生”的情况，可结合对立事件的概率求解．
46．（2021·江西南昌·三模（理））高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图1所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，…，7的球槽内.例如小球要掉入3号球槽，则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下.
（1）如图1，进行一次高尔顿板试验，求小球落入5号球槽的概率；
（2）小红､小明同学在研究了高尔顿板后，利用高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动.小红使用图1所示的高尔顿板，付费6元可以玩一次游戏，小球掉入m号球槽得到的奖金为元，其中.小明改进了高尔顿板(如图2)，首先将小木块减少成5层，然后使小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，最后掉入编号为1，2，……，5的球槽内，改进高尔顿板后只需付费4元就可以玩一次游戏，小球掉入n号球槽得到的奖金为元，其中.两位同学的高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小红和小明同学谁的盈利多？请说明理由.
【答案】（1）；（2）小明的盈利多，理由见解析.
【分析】
（1）设这个小球掉入5号球槽为事件，掉入5号球槽，需要向右4次向左2次，利用独立重复试验的概率计算可得；
（2）的可能取值为0，4，8，12，分别求出对应的概率，列出分布列求出；的可能取值为0，1，4，9，求出对应的概率，列出分布列求出，比较与的大小，确定小明的盈利多.
【详解】
（1）设这个小球掉入5号球槽为事件，掉入5号球槽，需要向右4次向左2次，所以，
所以这个小球掉入5号球槽的概率为.
（2）小红的收益计算如下：每一次游戏中，的可能取值为0，4，8，12.
，
，
，
.
0
4
8
12
一次游戏付出的奖金，则小红的收益为.
小明的收益计算如下：每一次游戏中，的可能取值为0，1，4，9.
，
，
，
.
0
1
4
9
一次游戏付出的奖金，则小明的收益为.
显然，，所以小明的盈利多.
【点睛】
方法点睛：本题考查独立重复试验的概率问题以及离散型随机变量的分布列和数学期望，求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定的取值情况，然后利用排列，组合，概率知识求出取各个值时对应的概率，对应服从某种特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，考查学生逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.
47．（2021·湖南·长郡中学高三月考）一支担负勘探任务的队伍有若干个勘探小组和两类勘探人员，甲类人员应用某种新型勘探技术的精准率为0.6，乙类人员应用这种勘探技术的精准率为.每个勘探小组配备1名甲类人员与2名乙类人员，假设在执行任务中每位人员均有一次应用这种技术的机会且互不影响，记在执行任务中每个勘探小组能精准应用这种新型技术的人员数量为.
（1）证明：在各个取值对应的概率中，概率的值最大；
（2）在特殊的勘探任务中，每次只能派一个勘探小组出发，工作时间不超过半小时，如果半小时内无法完成任务，则重新派另一组出发.现在有三个勘探小组可派出，若小组能完成特殊任务的概率t；，且各个小组能否完成任务相互独立.试分析以怎样的先后顺序派出勘探小组，可使在特殊勘探时所需派出的小组个数的均值达到最小.
【答案】（1）证明见解析；（2）按照完成任务概率从大到小的的先后顺序派出勘探小组.
【分析】
（1）由已知，的所有可能取值为0，1，2，3，再根据独立事件的概率计算出取不同值对应的概率，再做差比较即可判断；
（2）先根据（1）中的结论比较和的大小，可得，故而可猜想出结论，再进行证明即可.
【详解】
（1）由已知，的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
.
∵，
∴，
，
，
∴概率）的值最大.
（2）由（1）可知，当时，有的值最大，
且，
∴.
∴应当以的顺序派出勘探小组，可使在特殊勘探时所需派出的小组个数的均值达到最小，即优先派出完成任务概率大的小组可减少所需派出的小组个数的均值.
证明如下：
假定为的任意一个排列，即若三个小组按照某顺序派出，该顺序下三个小组能完成特殊任务的概率依次为，记在特殊勘探时所需派出的小组个数为，则，且的分布列为
1
2
3
P
∴数学期望.
下面证明成立，
∵
.
∴按照完成任务概率从大到小的的先后顺序派出勘探小组，可使在特殊勘探时所需派出的小组个数的均值达到最小.
【点睛】
本题考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的分布列和数学期望，以及期望的实际应用，考查学生对数据的分析能力和运算能力.
48．（2021·重庆·西南大学附中高三月考）在“十三五”期间，我国的扶贫工作进入了“精准扶贫”阶段．到2020年底，全国830个贫困县全部脱贫摘帽，最后4335万贫困人口全部脱贫，这是我国脱贫攻坚史上的一大壮举．重庆市奉节县作为国家贫困县之一，于2019年4月顺利脱贫摘帽．因地制宜发展特色产业，是奉节脱贫攻坚的重要抓手．奉节县规划发展了以高山烟叶、药材、反季节蔬菜；中山油橄榄、养殖；低山脐橙等为主的产业格局，各类特色农产品已经成为了当地村民的摇钱树．尤其是奉节脐橙，因“果皮中厚、脆而易剥，肉质细嫩化渣、无核少络，酸甜适度，汁多爽口，余味清香”而闻名．为了防止返贫，巩固脱贫攻坚成果，各职能部门对脐橙种植、销售、运输、改良等各方面给予大力支持．已知脐橙分类标准：果径为一级果，果径为二级果，果径或以上为三级果．某农产品研究所从种植园采摘的大量奉节脐橙中随机抽取1000个，测量这些脐橙的果径（单位：），得到如图所示的频率分布直方图．
（1）试估计这1000个奉节脐橙的果径的中位数；
（2）在这1000个脐橙中，按分层抽样的方法在果径中抽出9个脐橙，为进一步测量其他指标，在抽取的9个脐橙中再抽出3个，求抽到的一级果个数的分布列与数学期望；
（3）以样本估计总体，用频率代替概率，某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买100个，其中一级果的个数为，记一级果的个数为的概率为，写出的表达式，并求出当为何值时，最大？
【答案】（1）81；（2）分布列见解析，；（3），30.
【分析】
（1）中位数为一组数从小到大后中间的那个数，利用频率分布直方图来求解时，中位数的左侧长方形面积之和为0.5，即可找出中位数；
（2）分层抽样过程中，一级果、二级果、三级果个数分别为4，3，2个，故随机变量，
逐个写出概率即可得到分布列；
（3）利用，判断出当时，最大.
【详解】
解：（1）果径的频率为，
果径的频率为，
故果径的中位数在，不妨设为，则，
解得中位数．
（2）果径，，的频率之比为，
所以分层抽样过程中，一级果、二级果、三级果个数分别为4，3，2个，
故随机变量，
，
，
，
，
所以的分布列为
0
1
2
3
期望．
（3）这批果实中一级果的概率，每个果实相互独立，则，
则，题目即求为何值时，最大，
令，解得，
故当时，，即…，当时，，即…，所以，
即一级果的个数最有可能为30个．
49．（2021·江苏南通·模拟预测）某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G有2n﹣1个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率均为p，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若系统中有超过一半的电子元件正常工作，则系统G可以正常工作，否则就需维修．
（1）当时，若该电子产品由3个系统G组成，每个系统的维修所需费用为500元，设为该电子产品需要维修的系统所需的总费用，求的分布列与数学期望；
（2）为提高系统G正常工作的概率，在系统内增加两个功能完全一样的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则系统C可以正常工作，问p满足什么条件时，可以提高整个系统G的正常工作概率？
【答案】（1）分布列见解析，数学期望为750；（2）．
【分析】
（1）由题知当时个系统需要维修的概率为，进而得电子产品需要维修的系统个数满足，，再根据二项分布求解即可；
（2）设个元件组成的系统正常工作的概率为，进而得，再分三种情况（见解析）讨论，进而求解时的情况即可得答案.
【详解】
（1）当时，一个系统有3个电子元件，则一个系统需要维修的概率为，设为该电子产品需要维修的系统个数，则，，
∴，
∴的分布列为：
0
500
1000
1500
P
∴．
（2）记个元件组成的系统正常工作的概率为．
个元件中有个正常工作的概率为，
因此系统工常工作的概率．
在个元件组成的系统中增加两个元件得到个元件组成的系统，则新系统正常工作可分为下列情形：
（a）原系统中至少个元件正常工作，概率为；
（b）原系统中恰有个元件正常工作，且新增的两个元件至少有1个正常工作，
概率为；
（c）原系统中恰有个元件正常工作，且新增的两个元件均正常工作，
概率为．
所以,
因此，
，
故当时，单调增加，增加两个元件后，能提高系统的可靠性．
【点睛】
该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有独立重复试验，二项分布，分布列与期望，概率加法公式，考查运算求解能力，分析数据处理数据的能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于求出个元件组成的系统正常工作的概率为，进而分三类情况讨论增加两个元件后的系统正常工作的概率，并讨论使得的情况.
50．（2021·全国·高三专题练习（理））已知正三角形，某同学从点开始，用擦骰子的方法移动棋子，规定：①每掷一次骰子，把一枚棋子从三角形的一个顶点移动到另一个顶点；②棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数大于3，则按逆时针方向移动：若掷出骰子的点数不大于3，则按顺时针方向移动.设掷骰子次时，棋子移动到，，处的概率分别为：，，，例如：掷骰子一次时，棋子移动到，，处的概率分别为，，
（1）掷骰子三次时，求棋子分别移动到，，处的概率，，；
（2）记，，，其中，，求.
【答案】（1），，；（2）.
【分析】
（1）由题意分别列出到A，B，C的情况，进而可得结果.
（2）由题意可得，进而可得，构造等比数列，即可得出结果.
【详解】
（1），
所以
所以
所以
（2）∵，即，，
又，
∴时
又∵，可得
由
可得数列是首项为公比为的等比数列
，即
又
故
【点睛】
关键点点睛：由递推公式，构造等比数列，进而可得通项公式.本题考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于难题.
51．（2021·江西·模拟预测（理））某种疾病可分为、两种类型.为了解该疾病类型与性别的关系，在某地区随机抽取了患该疾病的病人进行调查，其中女性是男性的倍，男性患型病的人数占男性病人的，女性患型病的人数占女性病人的.
（1）若在犯错误的概率不超过的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，求男性患者至少有多少人？
（2）某药品研发公司欲安排甲乙两个研发团队来研发此疾病的治疗药物.两个团队各至多安排个接种周期进行试验.甲团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为，每人每次接种花费元，每个周期至多接种3次，第一个周期连续次出现抗体则终止本接种周期进入第二个接种周期，否则需依次接种至第一周期结束，再进入第二周期：第二接种周期连续2次出现抗体则终止试验，否则需依次接种至至试验结束：乙团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为，每人每次花费元，每个周期接种次，每个周期必须完成次接种，若一个周期内至少出现次抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个接种周期，假设两个研发团队每次接种后产生抗体与否均相互独立.当，时，从两个团队试验的平均花费考虑，试证明该公司选择乙团队进行药品研发的决策是正确的.
附：，
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
【答案】（1）；（2）该公司选择乙团队进行药品研发的决策是正确的.
【分析】
（1）设男性患者有人，则女性患者有人，列出列联表，计算出的观测值，根据题意可得出关于的不等式，结合、可求得整数的最小值；
（2）设甲研发团队试验总花费为元，设乙研发团队试验总花费为元，计算出、，利用函数的单调性可得出，由此可得出结论.
【详解】
（1）设男性患者有人，则女性患者有人，列联表如下：
Ⅰ型病
Ⅱ型病
合计
男
z
女
合计
要使在犯错误的概率不超过的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，
则，解得，
∵，，的最小整数值为，因此，男性患者至少有人；
（2）设甲研发团队试验总花费为元，则的可能取值为、、，
，，
，
，
在递减，，
设乙研发团队试验总花费为元，则的可能取值为、，
，，
，
设，，
函数在递减，，恒成立，
所以，该公司选择乙团队进行药品研发的决策是正确的.
【点睛】
方法点睛：求离散型随机变量均值与方差的基本方法：
（1）已知随机变量的分布列求它的均值、方差，按定义求解．
（2）已知随机变量的均值、方差，求的线性函数的均值、方差，可直接用的均值、方差的性质求解；
（3）如果所给随机变量是服从常用的分布（如两点分布、二项分布等），利用它们的均值、方差公式求解．
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