适用于新高考新教材2024版高考数学二轮复习考点突破练10概率与统计的综合问题

这是一份适用于新高考新教材2024版高考数学二轮复习考点突破练10概率与统计的综合问题，共6页。试卷主要包含了5,xiui=106，45，879等内容，欢迎下载使用。

单位:人
(1)依据α=0.01的独立性检验,能否认为药物A对预防该疾病有效果?
(2)已知治愈一位服用药物A的该疾病患者需要2个疗程,治愈一位未服用药物A的该疾病患者需要3个疗程.从该地区随机抽取1人,调查其是否服用药物A、是否患该疾病.若未患病,则无需治疗;若患病,则对其进行治疗并治愈.求所需疗程数的数学期望.
附:χ2=,其中n=a+b+c+d.
2.(2023江苏七市三模)某高中采用多维评分的方式进行综合素质评价.下图是该校高三学生“运动与健康”评价结果的频率分布直方图,评分在区间[90,100),[70,90),[60,70),[50,60)内,分别对应为A,B,C,D四个等级.为了进一步引导学生对运动与健康的重视,初评获A等级的学生不参加复评,等级不变,对其余学生学校将进行一次复评.复评中,原获B等级的学生有的概率提升为A等级;原获C等级的学生有的概率提升为B等级;原获D等级的学生有的概率提升为C等级.用频率估计概率,每名学生复评结果相互独立.
(1)若初评中甲获得B等级,乙、丙获得C等级,记甲、乙、丙三人复评后等级为B等级的人数为ξ,求ξ的分布列和数学期望;
(2)从全体高三学生中任选1人,在已知该学生是复评晋级的条件下,求他初评是C等级的概率.
3.(2023浙江绍兴二模)2023年春季以来,各地出台了促进经济发展的各种措施,经济增长呈现稳中有进的可喜现象.服务业的消费越来越火爆,一些超市也纷纷加大了广告促销.现随机抽取7家超市,得到其广告支出x(单位:万元)与销售额y(单位:万元)的数据如下.
(1)已知x和y具有线性相关关系,建立y关于x的经验回归方程;(系数精确到0.01)
(2)若将超市的销售额y与广告支出x的比值称为该超市的广告效率值μ,当μ≥10时,称该超市的广告为“好广告”.从这7家超市中随机抽取4家超市,记这4家超市中“好广告”的超市数为X,求X的分布列与期望.
附:xiyi=2 788,=726,=13 350,经验回归直线x中斜率和截距的最小二乘估计分别为.
4.为了引导青少年抵制不良游戏,适度参与益脑游戏,某游戏公司开发了一款益脑游戏,在内测时收集了玩家每一关的平均过关时间,如下表:
计算得到一些统计量的值为ui=28.5,xiui=106.05,其中,u=ln y.
(1)若用模型y=aebx拟合y与x的关系,根据提供的数据,求出y与x的经验回归方程.
(2)制定游戏规则如下:玩家在每关的平均过关时间内通过可获得积分2分并进入下一关,否则获得-1分且该轮游戏结束.甲通过练习,前3关都能在平均时间内过关,后面3关能在平均时间内通过的概率均为,若甲玩一轮此款益脑游戏,求“甲获得的积分X”的分布列和数学期望.
参考公式:对于一组数据(xi,yi)(i=1,2,3,…,n),其经验回归直线x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
5.某商场为了回馈广大顾客,设计了一个抽奖活动,在抽奖箱中放10个除颜色外完全相同的小球,其中5个为红色,5个为白色.抽奖方式为:每名顾客进行两次抽奖,每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球.如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖,两个小球颜色不同即为不中奖.
(1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱,再进行第二次抽奖,求中奖次数X的分布列和数学期望;
(2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱,直接进行第二次抽奖,求中奖次数Y的分布列和数学期望.
6.(2023福建泉州模拟)某技术部门对工程师进行达标等级考核,需要进行两轮测试,每轮测试的成绩在90分及以上的定为该轮测试通过,只有通过第一轮测试的人员才能进行第二轮测试,两轮测试的过程相互独立,并规定:
①两轮测试均通过的定为一级工程师;
②仅通过第一轮测试,而第二轮测试没通过的定为二级工程师;
③第一轮测试没通过的不予定级.
现有某公司的甲、乙、丙三位工程师参加等级考核,已知他们通过第一轮测试的概率分别为,通过第二轮测试的概率均为.
(1)求经过本次考核,甲、乙、丙三位工程师中恰有两位被定为一级工程师的概率.
(2)公司为鼓励工程师参加等级考核设置两套奖励方案.
方案一:定为一级工程师的奖励2 000元,定为二级工程师的奖励1 500元,未定级的给予鼓励奖500元.
方案二:定为一级或二级工程师的均奖励2 000元,未定级的不予奖励.
采用哪套方案,公司的奖励支出会更少?
考点突破练10 概率与统计的综合问题
1.解 (1)零假设为H0:药物A对预防该疾病没有效果.
由题意可得χ2==6.75>6.635=x0.01,所以依据α=0.01的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为药物A对预防该疾病有效果,此推断犯错误的概率不大于0.01.
(2)设所需疗程数为X,则X的可能取值为0,2,3.
由表格可知,P(X=0)=,P(X=2)=,P(X=3)=,所以随机变量X的分布列为
则E(X)=0×+2×+3×,
所以所需疗程数的数学期望为.
2.解 (1)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,
P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,
P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,
∴ξ的分布列如下:
E(ξ)=.
(2)记事件A为“该学生复评晋级”,事件B为“该学生初评是C等级”,
则所求概率为P(B|A)==.
3.解 (1)由表中数据可得=8,
=42.
又xiyi=2788,=726,
∴≈1.57,
=42-×8≈29.45.
∴y关于x的经验回归方程为=1.57x+29.45.
(2)由题知,7家超市中有3家超市的广告是“好广告”,则X的可能取值是0,1,2,3,
P(X=0)=,P(X=1)=,
P(X=2)=,P(X=3)=.
所以X的分布列为
期望为E(X)=0×+1×+2×+3×.
4.解(1)因为y=aebx两边取对数可得lny=ln(aebx)=lna+lnebx,即lny=lna+bx,
令u=lny,所以u=bx+lna,由ui=4.75,
×(1+2+3+4+5+6)=3.5,=12+22+32+42+52+62=91.
所以=0.36.
又,即4.75=0.36×3.5+,
所以=3.49,所以=e3.49.
所以y关于x的经验回归方程为=e0.36x+3.49.
(2)由题知,甲获得的积分X的所有可能取值为5,7,9,12,
所以P(X=5)=,P(X=7)=,
P(X=9)=,P(X=12)=,
所以X的分布列为
所以E(X)=5×+7×+9×+12×.
5.解 (1)若第一次抽奖后将球放回抽奖箱,再进行第二次抽奖,则每次中奖的概率为.
因为两次抽奖相互独立,所以中奖次数X服从二项分布,即X~B(2,),X的所有可能取值为0,1,2,
则P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
所以X的分布列为
数学期望为E(X)=2×.
(2)若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱,直接进行第二次抽奖,中奖次数Y的所有可能取值为0,1,2,
则P(Y=0)=,
P(Y=1)=,
P(Y=2)=,
所以Y的分布列为
数学期望为E(Y)=1×+2×.
6.解 (1)设甲、乙、丙被定为一级工程师的事件分别为A1,A2,A3,
事件C表示三位工程师中恰有两位被定为一级工程师.
P(A1)=,P(A2)=P(A3)=,
所以P(C)=P(A2A3)+P(A1A3)+P(A1A2)=.
(2)方案一:设甲、乙、丙获得的奖金分别为X,Y,Z,则X,Y,Z的取值均可能为2000,1500,500.
则P(X=2000)=P(A1)=,P(X=1500)=,P(X=500)=1-,
故E(X)=2000×+1500×+500×.
P(Y=2000)=P(Z=2000)=P(A2)=,
P(Y=1500)=P(Z=1500)=,
P(Y=500)=P(Z=500)=1-,
故E(Y)=E(Z)=2000×+1500×+500×.E(X)+E(Y)+E(Z)=+2×.
方案二:设甲、乙、丙获得的奖金分别为X',Y',Z',则X',Y',Z'的取值均可能为2000,0.
P(X'=2000)=,E(X')=2000×;P(Y'=2000)=P(Z'=2000)=,E(Y')=E(Z')=2000×.
E(X')+E(Y')+E(Z')=+2×.
显然,故公司采用方案二奖励支出会更少.
药物A
患病
未患病
合计
服用
10
38
48
未服用
22
26
48
合计
32
64
96
α
0.1
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
6.635
7.879
10.828
超市编号i
1
2
3
4
5
6
7
广告支出xi
1
2
4
6
10
13
20
销售额yi
19
32
44
40
52
53
54
关卡x
1
2
3
4
5
6
平均过关时间y/秒
50
78
124
121
137
352
X
0
2
3
P
ξ
0
1
2
3
P
X
0
1
2
3
P
X
5
7
9
12
P
X
0
1
2
P
Y
0
1
2
P