2025高考数学一轮知识必备练习第九章概率与统计9.3两个计数原理排列与组合
展开2.通过实例,理解排列、组合的概念;能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.
必备知识 温故知新
【教材梳理】
1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理
(1)分类加法计数原理.
①定义:完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有 种不同的方法.
②拓展:完成一件事,如果有类方案,且:第1类方案中有种不同的方法,第2类方案中有种不同的方法, ,第类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有 种不同的方法.
(2)分步乘法计数原理.
①定义:完成一件事需要两个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,那么完成这件事共有 种不同的方法.
②拓展:完成一件事,如果需要分成个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法, ,做第步有种不同的方法,那么完成这件事共有 种不同的方法.
2.排列与组合
(1)排列:一般地,从个不同元素中取出个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.两个排列相同的充要条件是:两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同.
(2)排列数.
(3)组合:一般地,从个不同元素中取出个元素作为一组,叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.
(4)组合数.
常用结论
1.解排列组合问题基本策略
(1)相邻问题捆绑策略,不相邻问题插空策略.
(2)多排问题单排策略,定位问题优先策略.
(3)定序问题消序策略,有序分配分步策略.
(4)多元问题分类策略,交叉问题集合策略.
(5)至少(至多)问题间接策略,选排问题先取后排.
2.重要恒等式
(1).
(2).
(3).
(4).
自主评价 牛刀小试
1. 判断下列命题是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1) 在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能直接完成这件事.( √ )
(2) 在分步乘法计数原理中,事情是分两步完成的,其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.( × )
(3) 所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( × )
(4) 若,则.( × )
(5) .( × )
2. 某校在艺术节期间需要举办一场文娱演出晚会,现要从3名教师、4名男学生和5名女学生中选出若干人来主持这场晚会(任一人都可主持).若需要教师、学生各一人共同主持,则不同的选法有( C )
A. 12种B. 15种C. 27种D. 30种
解:先选出一名教师,有3种选法;
再选出一名学生,有(种)选法.
根据分步乘法计数原理,共有(种)不同的选法.故选.
3. 【多选题】已知,为正整数,且,则下列等式正确的是( ABD )
A. B.
C. D.
解:对于,,故 正确.
对于,因为,所以,故 正确.
对于,因为,所以,故 错误.
对于,,故 正确.故选.
4. (教材题改编)由数字0,1,2,3,4,5,6可以组成1440个没有重复数字,并且比5 000 000大的正整数.
解:第一步,最高数位选5或6,有2种选法;第二步,其他各数位将剩下的6个数进行全排列.所以可以得到比5 000 000大的正整数的个数为.故填.定义及表示
从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的排列数,用符号 表示
全排列的概念
个不同的元素全部取出的一个排列
阶乘的概念
正整数1到的连乘积,用 表示,
排列数公式
阶乘式
定义及表示
从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的组合数,用符号表示
组合数公式
乘积式
阶乘式
两个性质
性质1
性质2
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