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2025高考数学一轮知识必备练习第九章概率与统计9.3两个计数原理排列与组合
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这是一份2025高考数学一轮知识必备练习第九章概率与统计9.3两个计数原理排列与组合，共4页。
2.通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.
必备知识 温故知新
【教材梳理】
1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理
（1）分类加法计数原理.
①定义：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有 种不同的方法.
②拓展：完成一件事，如果有类方案,且：第1类方案中有种不同的方法，第2类方案中有种不同的方法, ,第类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法.
（2）分步乘法计数原理.
①定义：完成一件事需要两个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法,那么完成这件事共有 种不同的方法.
②拓展：完成一件事，如果需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法, ,做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法.
2.排列与组合
（1）排列：一般地，从个不同元素中取出个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.两个排列相同的充要条件是：两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同.
（2）排列数.
（3）组合：一般地，从个不同元素中取出个元素作为一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.
（4）组合数.
常用结论
1.解排列组合问题基本策略
（1）相邻问题捆绑策略,不相邻问题插空策略.
（2）多排问题单排策略,定位问题优先策略.
（3）定序问题消序策略,有序分配分步策略.
（4）多元问题分类策略,交叉问题集合策略.
（5）至少（至多）问题间接策略,选排问题先取后排.
2.重要恒等式
（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
自主评价 牛刀小试
1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.
（1） 在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事.（ √ ）
（2） 在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.（ × ）
（3） 所有元素完全相同的两个排列为相同排列.（ × ）
（4） 若,则.（ × ）
（5） .（ × ）
2. 某校在艺术节期间需要举办一场文娱演出晚会，现要从3名教师、4名男学生和5名女学生中选出若干人来主持这场晚会（任一人都可主持）.若需要教师、学生各一人共同主持，则不同的选法有（ C ）
A. 12种B. 15种C. 27种D. 30种
解：先选出一名教师，有3种选法；
再选出一名学生，有（种）选法.
根据分步乘法计数原理，共有（种）不同的选法.故选.
3. 【多选题】已知，为正整数，且，则下列等式正确的是（ ABD ）
A. B.
C. D.
解：对于，，故 正确.
对于，因为，所以，故 正确.
对于，因为，所以，故 错误.
对于，，故 正确.故选.
4. （教材题改编）由数字0,1,2,3,4,5,6可以组成1440个没有重复数字，并且比5 000 000大的正整数.
解：第一步，最高数位选5或6，有2种选法；第二步，其他各数位将剩下的6个数进行全排列.所以可以得到比5 000 000大的正整数的个数为.故填.定义及表示
从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号 表示
全排列的概念
个不同的元素全部取出的一个排列
阶乘的概念
正整数1到的连乘积，用 表示，
排列数公式
阶乘式
定义及表示
从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示
组合数公式
乘积式
阶乘式
两个性质
性质1
性质2
2.通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.
必备知识 温故知新
【教材梳理】
1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理
（1）分类加法计数原理.
①定义：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有 种不同的方法.
②拓展：完成一件事，如果有类方案,且：第1类方案中有种不同的方法，第2类方案中有种不同的方法, ,第类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法.
（2）分步乘法计数原理.
①定义：完成一件事需要两个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法,那么完成这件事共有 种不同的方法.
②拓展：完成一件事，如果需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法, ,做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法.
2.排列与组合
（1）排列：一般地，从个不同元素中取出个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.两个排列相同的充要条件是：两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同.
（2）排列数.
（3）组合：一般地，从个不同元素中取出个元素作为一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.
（4）组合数.
常用结论
1.解排列组合问题基本策略
（1）相邻问题捆绑策略,不相邻问题插空策略.
（2）多排问题单排策略,定位问题优先策略.
（3）定序问题消序策略,有序分配分步策略.
（4）多元问题分类策略,交叉问题集合策略.
（5）至少（至多）问题间接策略,选排问题先取后排.
2.重要恒等式
（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
自主评价 牛刀小试
1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.
（1） 在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事.（ √ ）
（2） 在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.（ × ）
（3） 所有元素完全相同的两个排列为相同排列.（ × ）
（4） 若,则.（ × ）
（5） .（ × ）
2. 某校在艺术节期间需要举办一场文娱演出晚会，现要从3名教师、4名男学生和5名女学生中选出若干人来主持这场晚会（任一人都可主持）.若需要教师、学生各一人共同主持，则不同的选法有（ C ）
A. 12种B. 15种C. 27种D. 30种
解：先选出一名教师，有3种选法；
再选出一名学生，有（种）选法.
根据分步乘法计数原理，共有（种）不同的选法.故选.
3. 【多选题】已知，为正整数，且，则下列等式正确的是（ ABD ）
A. B.
C. D.
解：对于，，故 正确.
对于，因为，所以，故 正确.
对于，因为，所以，故 错误.
对于，，故 正确.故选.
4. （教材题改编）由数字0,1,2,3,4,5,6可以组成1440个没有重复数字，并且比5 000 000大的正整数.
解：第一步，最高数位选5或6，有2种选法；第二步，其他各数位将剩下的6个数进行全排列.所以可以得到比5 000 000大的正整数的个数为.故填.定义及表示
从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号 表示
全排列的概念
个不同的元素全部取出的一个排列
阶乘的概念
正整数1到的连乘积，用 表示，
排列数公式
阶乘式
定义及表示
从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示
组合数公式
乘积式
阶乘式
两个性质
性质1
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