2025高考数学一轮知识必备练习第九章概率与统计9.2成对数据的统计分析

这是一份2025高考数学一轮知识必备练习第九章概率与统计9.2成对数据的统计分析，共5页。试卷主要包含了通过实例，理解列联表的统计意义，1B，879等内容，欢迎下载使用。
1.结合实例，了解样本相关系数的统计含义，了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系.
2.结合实例，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性.
3.结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法，会使用相关的统计软件.
4.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测.
5.通过实例，理解列联表的统计意义.
6.通过实例，了解列联表独立性检验及其应用.
必备知识 温故知新
【教材梳理】
1.成对数据的统计相关性
（1）变量的相关关系.
①相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系.
②散点图：将样本中个数据点描在平面直角坐标系中得到的统计图叫做散点图.
③正相关与负相关：如果从整体上看，当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值也呈现增加的趋势,我们就称这两个变量正相关;如果当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值呈现减少的趋势,则称这两个变量负相关.
④线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这两个变量线性相关.如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关.
（2）样本相关系数.
①样本相关系数的计算公式.
.
我们称为变量和变量的样本相关系数.
与标准化数据向量夹角的关系
令,，
其中,,则.
则 ,故 .
③样本相关系数的性质：当 时，称成对样本数据正相关；当 时，称成对样本数据负相关.当越接近于1时，成对样本数据的线性相关程度越强;当越接近于0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.当时，只表明成对样本数据间没有线性相关关系，但不排除它们之间有其他相关关系.
2.一元线性回归模型及其应用
（1）一元线性回归模型.

我们称上式为关于的一元线性回归模型.其中，称为因变量或响应变量，称为自变量或解释变量；和为模型的未知参数，称为截距参数，称为斜率参数；是与之间的随机误差.如果 ，那么与之间的关系就可用一元线性函数模型来描述.
（2）一元线性回归模型参数的最小二乘估计.
设满足一元线性回归模型的两个变量的对样本数据为,, ,,当,的取值为时，达到最小.
我们把称为关于的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线.这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的,叫做,的最小二乘估计.
（3）回归分析.
①残差：对于响应变量，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差.
②刻画回归效果的方式：一是残差图法，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高；二是残差平方和法，称为残差平方和，残差平方和越小，模型的拟合效果越好；三是用决定系数比较，，越大，模型的拟合效果越好，越小，模型的拟合效果越差.
3.列联表与独立性检验
（1）分类变量与列联表.
①分类变量：为了表述的方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量.
（2）列联表：一般地，假设两个分类变量和，它们的取值为，其样本频数列联表（也称为列联表）为
（3）独立性检验.
计算公式.
,
其中.
②临界值的定义.对于任何小概率值 ，可以找到相应的正实数 ，使得 成立，我们称 为 的临界值，概率值 越小,临界值越大.
③独立性检验.,通常称为零假设或原假设.基于小概率值 的检验规则是：
当 时，我们就推断不成立，即认为和不独立，该推断犯错误的概率不超过 ；
当 时，我们没有充分证据推断不成立，可以认为和独立.
这种利用的取值推断分类变量和是否独立的方法称为独立性检验,读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验.
④临界值表.
自主评价 牛刀小试
1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.
（1） “名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系.（ √ ）
（2） 经验回归直线一定过成对样本数据的中心点，且中心相同的样本点的经验回归方程一定相同.（ × ）
（3） 两个变量的样本相关系数越小,它们的相关性越弱.（ × ）
（4） 独立性检验适用于普查数据.（ × ）
（5） 在一元线性回归模型中，决定系数越接近1，表示回归的效果越好.（ √ ）
2. 为研究混凝土的抗震强度与抗压强度的关系，某研究部门得到下表的样本数据：
若与线性相关，且线性回归方程为，则（ A ）
A. 9.1B. 8.9C. D.
解：由题意，得，，所以，解得.故选.
3. （教材题改编）在利用独立性检验来判断两个分类变量与之间是否有关系时，下列说法正确的是（ B ）
A. 越大，“与有关系”的可信程度越小
B. 越小，“与有关系”的可信程度越小
C. 越接近于0，“与没有关系”的可信程度越小
D. 越大，“与没有关系”的可信程度越大
解：根据独立性检验的思想，知 越小，变量有关系的可信程度越小，故 正确.故选.
4. （教材题改编）下面是列联表：
则表中，的值分别为52，74.
解：因为，所以.又，所以74.故填52;74.

合计










合计




0.1
0.05
0.01
0.005
0.001

2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

140
150
170
180
195

23
24
26
28
28


合计




21
73

22
25
47
合计

46
120